2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的单调性 Word版含解析
2019高考数学考点突破__导数及其应用与定积分导数与函数的极值最值学案20180816687
导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数. [解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表.x (0，2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增ln 2－1单调递减故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a.【例2】(1)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，174(2)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23 D ．2或－23[答案] (1) D (2) A[解析] (1)因为f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，即a ＝x ＋1x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x2，令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1，4)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减． 所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎪⎫2，174.(2)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，满足题意，故a b ＝－23. 【例3】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) [答案] D[解析] 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 【类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程【对点训练】1．求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)的极值． [解析] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a lna ，无极大值.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )A．－4 B．－2C．4 D．2[答案] D[解析] 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.4．函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值[答案] C[解析] 由函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象知，当x<－1及3<x<5时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－1<x<3及x>5时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3，5)；单调增区间为(－1，3)，(5，＋∞).f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，因此C不正确.考点二、利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．[解析] (1)由f (x )＝(x －k )e x，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，k －1)k －1(k －1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋f (x )单调递减－ek －1单调递增(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ， 当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e. 【类题通法】1.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a ，b )内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；第三步，将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【对点训练】 已知函数f (x )＝x －1x－ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)． [解析] (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∴f ′(x )＝1x 2－1x＝1－xx2，由f ′(x )>0，得0<x <1，由f ′(x )<0，得x >1，∴f (x )＝1－1x－ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－1－ln 1＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)． ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e. 考点三、利用导数研究不等式的有关问题【例5】已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝kx (k ∈R)． (1)证明：当x >0时，f (x )<x ；(2)证明：当k <1时，存在x 0>0，使得对任意的x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )． [解析] (1)令F (x )＝f (x )－x ＝ln(1＋x )－x ，x ∈[0，＋∞)， 则有F ′(x )＝11＋x －1＝－xx ＋1.当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在[0，＋∞)上单调递减，故当x >0时，F (x )<F (0)＝0，即当x >0时，f (x )<x . (2)令G (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－kx ，x ∈[0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x ＋1－k ＝－kx ＋1－kx ＋1. 当k ≤0时，G ′(x )>0，故G (x )在[0，＋∞)上单调递增，G (x )>G (0)＝0，故任意正实数x 0均满足题意．当0<k <1时，令G ′(x )＝0，得x ＝1－k k ＝1k－1>0，取x 0＝1k－1，对任意x ∈(0，x 0)，有G ′(x )>0，从而G (x )在[0，x 0)上单调递增， 所以G (x )>G (0)＝0，即f (x )>g (x )．综上，当k <1时，总存在x 0>0，使得对任意x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )． 【类题通法】1．证明不等式的常用方法——构造法(1)证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．(2)证明f (x )>g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )>0，则F (x )在(a ，b )上是增函数，同时若F (a )≥0，由增函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )>0，即证明了f (x )>g (x )．2．不等式成立(恒成立)问题中的常用结论(1)f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，f (x )≥a 成立⇒f (x )max ≥a . (2)f (x )≤b 恒成立⇔f (x )max ≤b ，f (x )≤b 成立⇔f (x )min ≤b .(3)f (x )>g (x )恒成立 F (x )min >0（F (x )＝f (x )－g (x )）. (4)①∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)max ； ②∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)min ； ③∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)min ； ④∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)max . 【对点训练】已知函数f (x )＝e x－1－x －ax 2. (1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝e x－1－x ，f ′(x )＝e x－1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0.(2)f ′(x )＝e x－1－2ax ，令h (x )＝e x－1－2ax ，则h ′(x )＝e x－2a .①当2a ≤1，即a ≤12时，h ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，h (x )单调递增，∴h (x )≥h (0)，即f ′(x )≥f ′(0)＝0， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )≥f (0)＝0， ∴当a ≤12时满足条件．②当2a >1，即a >12时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 2a ，当x ∈[0，ln 2a )时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴当x ∈[0，ln 2a )时，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<f ′(0)＝0， ∴f (x )在区间[0，ln 2a )上为减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，不合题意． 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.。
高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式1ni =∑f (ξi )Δx ＝1ni =∑b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛abf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝limn →∞1ni =∑b －anf (ξi ). 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x ) ⎪⎪⎪ba ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba )＝F (b )－F (a ).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.(3)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________. [答案] (1) π (2) 8 (3) 1＋π4[解析] (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝83＋4＋4－83＝8.(3)⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.又∵⎠⎛01 2x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1， ∴⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x＝1＋π4.【类题通法】1. 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算.2．运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 【对点训练】1．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.[答案] 23[解析] ⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|10＝23.2．⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2[答案] C[解析] ⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －xd x ＋⎠⎛01e xd x ＝－e －x⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e＋e －1＝2e －2，故选C.3．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.[答案] 9π4[解析] 由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.考点二、运用定积分求平面图形的面积【例2】(1)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________. (2)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.(3)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] (1) 23－2π3(2) 18 (3) 2[解析] (1)令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝ (2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )＝23－2π3.(2)如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k 0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.【类题通法】1. 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2．注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正. 【对点训练】1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1C ．32D ． 3[答案] D[解析] 由题意知封闭图形的面积S ＝-⎰33ππcos x d x ＝sin x33ππ- ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 2．曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2[答案] D[解析] 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1(舍去)，x ＝2，作出曲线y ＝2x与直线y ＝x －1的图象如图所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝12x 2－x －2ln x ⎪⎪⎪42＝4－2ln 2.3．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. [答案] 49[解析] 封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.考点三、定积分在物理中的应用【例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A ． 3 JB ．233 JC ．433J D ．2 3 J[答案] (1) C (2) C [解析] (1)令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t dt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). (2)⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×32⎪⎪⎪21＝433， ∴F (x )做的功为43 3 J.【类题通法】定积分在物理中的两个应用：1．变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；2．变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【对点训练】1．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m /s )作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .[答案] 132[解析] s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21 ＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m )．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦.[答案] 36[解析] 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦).。
2019版高考数学(文理通用新课标)一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第五节 定积分与微积分基本定理
[
1－x2－sin x]dx＝________.
解析：令 1－x2 ＝y，则x2＋y2＝1(y≥0)，该方程表示以(0,0)
1
为圆心，1为半径的圆的一半．所以－1
1－x2dx表示圆x2＋y2
＝1与x轴所围成的上半圆的面积，因此
1 －1
－1
1－x2dx
＝
π 2
.
1
又因为－1sin xdx＝(－cos
x
42＝4－2ln 2.
答案：D
3.[考点一](2016·衡阳一模)如图，阴影部分的面积是 ( )
A．32
B．16
C．332
D．83
解析：由题意得，阴影部分的面积S＝ 1－3 (3－x2－2x)dx＝
3x－13x3－x2 1－3
－1 3＝332.
答案：C
4．由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积
答案：B
2．[考点一]
2 0
sin2x2dx＝
()
A．0
B．π4－12 C．π4－14
D．π4－1
解析： 2
0
sin2x2dx＝
2 0
1－cos 2
xdx＝12x－12sin
xπ02＝π4－12.
答案：B
3.
[考点一]
设f(x)＝
x2，x∈[0，1]， 1x，x∈1，e]
第五节 定积分与微积 分基本定理
本节主要包括 2 个知识点： 1.求定积分； 2.定积分的应用.
基础联通
突破点(一) 求定积分
抓主干知识的“源”与“流”
1．定积分的定义
一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝
2019-2020年高考数学复习 专题02 函数与导数 定积分与微积分基本定理考点剖析
2019-2020年高考数学复习 专题02 函数与导数 定积分与微积分基本定理考点剖析主标题：定积分与微积分基本定理副标题：为学生详细的分析定积分与微积分基本定理的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：定积分，应用难度：4重要程度：5考点剖析：了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法.了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题.命题方向：定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：①依据定积分的基本运算求解简单的定积分；②根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积．关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解．各地考纲对定积分的要求不高．学习时以掌握基础题型为主．规律总结：1．求定积分常用的方法(1)利用微积分基本定理．(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积．2．定积分计算应注意的问题+(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数知 识 梳 理1.定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，当时，和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记做：.记：=，分别叫做积分下限和积分上限，区间叫做积分区间.2.定积分几何意义：如果函数在区间上连续且恒有 ，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义.3.定积分性质：(1)()()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰为常数）1212(3)[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 4.微积分基本定理一般地，如果函数是区间上的连续函数，并且，那么 .。
高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数. [解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a.【例2】(1)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，174(2)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23 D ．2或－23[答案] (1) D (2) A[解析] (1)因为f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，即a ＝x ＋1x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x2，令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1，4)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减． 所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎪⎫2，174.(2)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，满足题意，故a b ＝－23. 【例3】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) [答案] D[解析] 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 【类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程【对点训练】1．求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)的极值． [解析] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a lna ，无极大值.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0， ∴a ＞6或a ＜－3.3．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2[答案] D[解析] 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.4．函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值[答案] C[解析] 由函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象知，当x<－1及3<x<5时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－1<x<3及x>5时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3，5)；单调增区间为(－1，3)，(5，＋∞).f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，因此C不正确.考点二、利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．[解析] (1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：单调递减单调递增(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ， 当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e. 【类题通法】1.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a ，b )内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；第三步，将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【对点训练】 已知函数f (x )＝x －1x－ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)． [解析] (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∴f ′(x )＝1x 2－1x＝1－xx2，由f ′(x )>0，得0<x <1，由f ′(x )<0，得x >1，∴f (x )＝1－1x－ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－1－ln 1＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)． ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e. 考点三、利用导数研究不等式的有关问题【例5】已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝kx (k ∈R)． (1)证明：当x >0时，f (x )<x ；(2)证明：当k <1时，存在x 0>0，使得对任意的x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )． [解析] (1)令F (x )＝f (x )－x ＝ln(1＋x )－x ，x ∈[0，＋∞)， 则有F ′(x )＝11＋x －1＝－xx ＋1.当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在[0，＋∞)上单调递减，故当x >0时，F (x )<F (0)＝0，即当x >0时，f (x )<x . (2)令G (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－kx ，x ∈[0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x ＋1－k ＝－kx ＋－kx ＋1. 当k ≤0时，G ′(x )>0，故G (x )在[0，＋∞)上单调递增，G (x )>G (0)＝0，故任意正实数x 0均满足题意．当0<k <1时，令G ′(x )＝0，得x ＝1－k k ＝1k－1>0，取x 0＝1k－1，对任意x ∈(0，x 0)，有G ′(x )>0，从而G (x )在[0，x 0)上单调递增， 所以G (x )>G (0)＝0，即f (x )>g (x )．综上，当k <1时，总存在x 0>0，使得对任意x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )． 【类题通法】1．证明不等式的常用方法——构造法(1)证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．(2)证明f (x )>g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )>0，则F (x )在(a ，b )上是增函数，同时若F (a )≥0，由增函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )>0，即证明了f (x )>g (x )．2．不等式成立(恒成立)问题中的常用结论(1)f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，f (x )≥a 成立⇒f (x )max ≥a . (2)f (x )≤b 恒成立⇔f (x )max ≤b ，f (x )≤b 成立⇔f (x )min ≤b .(3)f (x )>g (x )恒成立 F (x )min >0（F (x )＝f (x )－g (x )）. (4)①∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)max ； ②∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)min ； ③∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)min ； ④∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)max . 【对点训练】已知函数f (x )＝e x－1－x －ax 2. (1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝e x－1－x ，f ′(x )＝e x－1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0.(2)f ′(x )＝e x－1－2ax ，令h (x )＝e x－1－2ax ，则h ′(x )＝e x－2a .①当2a ≤1，即a ≤12时，h ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，h (x )单调递增，∴h (x )≥h (0)，即f ′(x )≥f ′(0)＝0， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )≥f (0)＝0， ∴当a ≤12时满足条件．②当2a >1，即a >12时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 2a ，当x ∈[0，ln 2a )时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴当x ∈[0，ln 2a )时，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<f ′(0)＝0， ∴f (x )在区间[0，ln 2a )上为减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，不合题意． 综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.。
2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：变化率与导数、导数的计算
变化率与导数、导数的计算【考点梳理】1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式3(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．【考点突破】考点一、导数的计算【例1】(1)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.(2)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.(3)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2[答案] (1) 3 (2) 36－4π (3) B[解析] (1)因为f (x )＝(2x ＋1)e x， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.(2)因为f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，所以f ′(x )＝2x f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos x . 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2×π3×f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos π3. 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝36－4π.(3) f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 【类题通法】熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错． 【对点训练】1．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e[答案] B[解析] f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e[答案] B[解析] 由f (x )＝2x f ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2 f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.考点二、导数的几何意义【例2】已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 【类题通法】求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 【对点训练】 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．[解析] (1)根据已知得点P (2，4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4， ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.【例3】(1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.[答案] (1) (e ，e) (2) A (3) 8[解析] (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)． (2)由y ′＝－2x －2得曲线在点(3，2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A. (3)法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.【类题通法】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 【对点训练】1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1，1)处的切线互相垂直，则ab的值为( ) A ．13 B ．23 C ．－23 D ．－13 [答案] D[解析] 由题意，y ′＝3x 2，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3.所以a b ×3＝－1，即a b ＝－13.3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________. [答案] 1[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的单调性
(2) 二定．确认 f ′（x) 在( a， b) 内的符号；
(3) 三结论．作出结论： f ′（x) ＞ 0 时为增函数； f ′（x) ＜ 0 时为减函数．
【对点训练】 已知函数 f ( x) ＝ x3＋ ax2＋ b( a， b∈ R)，试讨论 f ( x) 的单调性．
[ 解析 ] f ′（x) ＝ 3x2＋ 2ax，令 f ′（x) ＝ 0， 2a
即实数 a 的取值范围为 ( －∞， 0].
【变式 1】函数 f ( x) 不变，若 f ( x) 在区间 (1 ，＋∞ ) 上为增函数，求 a 的取值范围．
[ 解析 ] 因为 f ′（x) ＝ 3x2－ a，且 f ( x) 在区间 (1 ，＋∞ ) 上为增函数，
所以 f ′（x) ≥０在 (1 ，＋∞ ) 上恒成立， 即 3x2－a≥０在(1 ，＋∞ ) 上恒成立， 所以 a≤３x2 在 (1 ，＋∞ ) 上恒成立，
导数与函数的单调性
【考点梳理】
函数的导数与单调性的关系
函数 y＝ f ( x) 在某个区间内可导，则
(1) 若 f ′（x) ＞0，则 f ( x) 在这个区间内单调递增；
(2) 若 f ′（x) ＜0，则 f ( x) 在这个区间内单调递减；
(3) 若 f ′（x) ＝0，则 f ( x) 在这个区间内是常数函数．
所以 a≤3，即 a 的取值范围为 ( －∞， 3].
【变式 2】函数 f ( x) 不变，若 f ( x) 在区间 ( －1,1) 上为减函数，试求 a 的取值范围． [ 解析 ] 由 f ′（x) ＝ 3x2－a≤０在 ( － 1,1) 上恒成立，得 a≥３x2 在 ( － 1,1) 上恒成立 .
2a
1
2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.12定积分与微积分基本定理课件理
其中正确命题的个数为( A．1 C．3
) B．2 D．4
b f(x)dx＝F(b)－F(a)＞0，得 F(b)＞F(a)，未必 f(x)＞0.因此①错误； 解析：①由
a
②
2π π
|sinx|dx＝ |sinx|dx＋ |sinx|dx＝
2π (－ sinx)dx＝ (－cosx) ＋
f(x)dx＝________.
1 x 2 x (2x＋e )dx＝(x ＋e ) 解析：(1)
0
＝(1＋e)－(0＋e0)＝e.
1－cosx (2)因为 sin ＝ ， 2 2
2x
2 2 2 2 2 2 (x － 1)dx ，令 y ＝ (3)由已知得 f ( x )d x ＝ 1 － x d x ＋ 1 － x ，得 x ＋ y ＝ 1 -1 -1
a a
3．微积分基本定理
b f(x)dx＝ 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么
a
F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． ___________
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
b b b 作 F ( x )| a ，即 f(x)dx＝F(x)a＝F(b)－F(a)． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记_________
|
2 1 所以 f ( x )d x ＝ -1 -1
π 4 1－x dx＋ (x －1)dx＝ ＋ . 2 3
2
2 1
2
(4)由函数 y＝f(x)的图象可知． y＝f(x)的图象关于点(π，0)对称． 所以对应的面积大小相等，其代数和为 0. 则 f(x)dx＝0. 0
19版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.12定积分与微积分基本定理课件理
函数、导数及其应用
2．12
定积分与微积分基本定理
基础知识过关
[知识梳理] 1．定积分的概念
2．定积分的几何意义
3．定积分的性质
4．微积分基本定理
5．定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为 S.
6．定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当 曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上 方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时， 定积 分的值为零． (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是 路程．
2 3 则围成图形的面积为 (3 x － x )dx 0 3 1 3 2 3 x － x ＝2 |0 3
3 1 ＝2×3×3－3×3×3×3 1 9 ＝6×3×3×3＝2.故选 C.
3．小题热身
经典题型冲关
题型 1 典例1 A．5
定积分的计算
2 2 (2017· 广州质检)定积分 | x －2x|dx＝( －2
利用定积分求平面图形的面积 求平面图形的面积 (2017· 葫芦岛模拟 ) 如图所示，正弦曲线 y ＝ )
sinx，余弦曲线 y＝cosx 与两直线 x＝0，x＝π 所围成的阴影 部分的面积为(
A．1
B. 2 C．2
D．2 2
本题采用割补转化法．
角度 2 典例
已知曲边梯形面积求参数 (2017· 北京东城区检测)如图，已知点
内部文件，请勿外传
π 1＋4 2 1 4．(2017· 江西联考) (2x＋ 1－x )dx＝________.
0
解析
1 0
1－x2dx 表示以原点为圆心，以 1 为半径的
高考数学基础突破——导数与积分：第4讲导数与函数的单调性Word版含解析
【知识梳理】1．函数的单调性与导数的关系若()f x 在某个区间(a ，b )内可导，则有：（1）如果()0f x '≥，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增； （2）如果()0f x '≤，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减 （3）若()0f x =，则f (x )在这个区间内是常数函数．． 【基础考点突破】考点1．导数与函数的单调性 命题点1．不含参数的函数的单调性 【例1】求函数ln ()xf x x=的单调区间．【归纳总结】确定函数单调区间的步骤：（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 变式训练1．函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是________． 命题点2．含参数的函数的单调性【例2】（2016年四川高考改编）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R ，试讨论f (x )的单调性．【归纳总结】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在R 上是增函数．变式训练2．已知函数f (x )＝－12ax 2＋x －ln(1＋x )，其中a >0，求f (x )的单调递减区间．考点2．利用函数单调性求参数 【例3】已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ．(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．【归纳总结】已知函数单调性，求参数范围的两个方法：（1）利用集合间的包含关系处理：()y f x =在(,)a b 上单调，则区间(,)a b 是相应单调区间的子集．（2）转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”来求解．变式训练3．(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式训练4．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． (4)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在(－2，－1)内为减函数，求实数a 的取值范围． (5)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值． (6)若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围． 【基础练习巩固】1．(2016·北京海淀区模拟)函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，1)2．函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )3．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1，4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，518B ．(－∞，3]C ．⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)4．(2016·九江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________． 5．函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是________．6． 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋ax 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________． 7．【2016北京高考】函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间．8．【2014·全国卷】 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)，讨论f (x )的单调性．9．（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈． （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．【知识梳理】1．函数的单调性与导数的关系若()f x 在某个区间(a ，b )内可导，则有：（1）如果()0f x '≥，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增； （2）如果()0f x '≤，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减 （3）若()0f x =，则f (x )在这个区间内是常数函数．． 【基础考点突破】考点1．导数与函数的单调性 命题点1．不含参数的函数的单调性 【例1】求函数ln ()xf x x=的单调区间． 解析 函数()f x 的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2．当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减． 故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． 【归纳总结】确定函数单调区间的步骤：（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 变式训练1．函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是________．解析 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )>0，解得x >ln 2，则函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．命题点2．含参数的函数的单调性【例2】（2016年四川高考改编）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R ，试讨论f (x )的单调性．解析：由题意，()2121'2,0ax f x ax x x x-=-=>①当0a ≤时，2210ax -≤，()'0f x ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减．②当0a >时，()2'a x x f x x⎛+ ⎝⎭⎝⎭=，当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x <；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0f x >．故()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 【归纳总结】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．变式训练2．已知函数f (x )＝－12ax 2＋x －ln(1＋x )，其中a >0，求f (x )的单调递减区间．解： 易知函数f (x )＝－12ax 2＋x －ln(1＋x )(a >0)的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝－ax ＋1－11＋x ＝－ax 2－（1－a ）x x ＋1＝－ax （x －1－aa ）x ＋1.令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－a a ＝1a－1.①当0<a <1时，x 1<x 2，所以当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间是(－1，0)，（ 1a－1，＋∞）.②当a ＝1时，x 1＝x 2＝0，f ′(x )＝－x 2x ＋1≤0，所以f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)．③当a >1时，－1<x 2<0，所以当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间是（－1，1a－1），(0，＋∞)．综上，当0<a <1时，f (x )的单调递减区间是(－1，0)，（ 1a－1，＋∞）；当a >1时，f (x )的单调递减区间是（－1，1a －1），(0，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)．考点2．利用函数单调性求参数 【例3】已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ．(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．解析 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x ，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1，故f (x )的单调递减区间是(0，1)．(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2，∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0．②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)．【归纳总结】已知函数单调性，求参数范围的两个方法：（1）利用集合间的包含关系处理：()y f x =在(,)a b 上单调，则区间(,)a b 是相应单调区间的子集．（2）转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”来求解．变式训练3．(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x ＞1，∴0＜1x＜1，∴k ≥1，故选D ．变式训练4．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．(4)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在(－2，－1)内为减函数，求实数a 的取值范围． (5)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值． (6)若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f＝1，f ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0. (2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0． 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．(4)方法一： ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数，∴g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g－，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解之得a ≤－3， 即实数a 的取值范围为(－∞，－3]．方法二 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，由题意可得g ′(x )≤0在(－2，－1)上恒成立，即a ≤x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x ，x ∈(－2，－1)的值域为(－3，－2 2 ]，∴a ≤－3，∴实数a 的取值范围是(－∞，－3]．(5) ∵g (x )的单调减区间为(－2，－1)，∴x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3．（6）由(4)知g (x )在(－2，－1)上为减函数，a 的范围是(－∞，－3]， 若g (x )在(－2，－1)上为增函数，可知a ≥x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x的值域为(－3，－2 2 ]，∴a 的范围是[－22，＋∞)，∴函数g (x )在(－2，－1)上单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)， 故g (x )在(－2，－1)上不单调，实数a 的取值范围是(－3，－22)．【基础练习巩固】1．(2016·北京海淀区模拟)函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x(x ＞0)．∴当x ∈(0，1)时f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．答案 A2．函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f (x )在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢． 答案 B3．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1，4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C ．⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1，4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1，4]上恒成立． 因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1，4]上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518． 答案 C4．(2016·九江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________．解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x ． f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2． 答案 (2，＋∞)5．函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是________．[答案] (ln 2，＋∞)[解析] f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )>0，解得x >ln 2，则函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．6． 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋ax 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．[答案] [0，3][解析] 易知f ′(x )＝3x 2－2ax ＋a ≥0恒成立，所以Δ＝4a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤3．7．【2016年高考北京理数】设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞． 解析：（1）因为bx xex f xa +=-)(，所以b e x x f x a +-='-)1()(．依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,1,222222e b e e b e a a 解得e b a ==,2；（2）由（Ⅰ）知ex xe x f x+=-2)(．由)1()(12--+-='x xe x ex f 即02>-x e 知，)(x f '与11-+-x e x 同号．令11)(-+-=x e x x g ，则11)(-+-='x ex g ．所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增． 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g ．综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞． 8．【2014·全国卷】 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)，讨论f (x )的单调性． 解：易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2．(1)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )上是增函数；若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)上是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数． (3)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)上是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )上是减函数； 若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)上是增函数．9．（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈． （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立． 【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′xx x a x f －－－322)(1(=x ax x )－－ 当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增，)(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1） 当＜２＜a 0时，1>2a，(0,1)∈x 或),(∈+∞2ax ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；(Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′x x x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322x x x x x x x x f x f 2－－－(－－－－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－ ，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ， 于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－，0≥1=1=)(g ′x x x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)； 又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－，所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增；2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ．所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－．即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．补充题目若函数2()ln f x ax x x=++，求函数()f x 的单调区间． 解析 222212()(0)ax x f x a x x x x +-'=-+=>．令()0f x '=，即2()20h x ax x '=+-=（注意这里方程的类型需要讨论）．（1）当0a =时，作出()2h x x =-的图象可知，① ()0,2,()0x h x ∈<，即()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递减． ②()2,,()0x h x ∈+∞>，即()0f x '>，所以()f x 在()2,+∞上单调递增． （2）当0a <时，因为10,(0)202x h a=->=-<， ①若0∆≤，即18a ≤-时，在()0,+∞上()0h x <，即()0f x '<， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．②若0∆>，即108a -<<时，令()0h x =得，1x 或2x ．列表如下：由上表知，()f x 的减区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()f x 的增区间为1122a a ⎛-- ⎝⎭．（3）当0a >时，因为10,(0)202x h a=-<=-<，所以()0h x =有一正一负两根，解得1102x a --=<或2102x a-=>．列表如下：由上表知，()f x 的减区间为⎛ ⎝⎭，增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．综上所述，0a <时，()f x 的减区间为,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的增区间为⎝⎭．0a =，()f x 的减区间为(0,2)，()f x 的增区间为()2,+∞．0a >时，()f x 的递减区间为⎛ ⎝⎭，增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．。
2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积
的几何意义和奇偶函数图象的对称性可得:
(1)若f(x)是偶函数,则 a f(x)dx=2 0 f(x)dx; (2)若f(x)是奇函数,则 a f(x)dx=0.
a a a
1-1 计算:定积分 1 |3-2x|dx=
2
1 2
.
答案
1 2
解析
3 2 1
3 3 2 x , x , 2 2 因为|3-2x|= 所以 1 |3-2x|dx 3 2 x 3, x , 2
2
答案 解析
2
1 2 x sin x ( x +cos x )d x = = . 0 2 2
பைடு நூலகம்
2
2
考点突破
考点一 定积分的计算
3
1 2 x 1 典例1 (1)(2017北京丰台一模,3)定积分 x dx= ( 22 64 A.10-ln 3 B.8-ln 3 C. D. 3 9
(a>1),得a2+ln a=4+ln 2,所以a=2.
3 x 3.(2018北京海淀期中,9)定积分 1 dx 的值为 0 .
1
答案 0
解析
1 4 1 1 3 x x dx = = - =0. 1 4 1 4 4
1
1
4.若 0 f ( x)dx 1, 0 f ( x)dx 1, 则1 f ( x)dx
1 1 1
2
B )
0 xdx,b= 0 x dx,c= 0 xdx ,则a,b,c的大小 (2)(2017北京海淀一模,5)已知a=
关系是 ( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理实用课件理
＝0，
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函数，
所以0 (3x3＋4sin x)dx＝－5(3x3＋4sin x)dx，
－5
0
5
所以
5
(3x3＋4sin
x)dx＝
0
(3x3＋4sin
x)dx＋
(3x3＋4sin
0
－5
－5
x)dx＝0.
[方法技巧]
利用定积分的几何意义求定积分
(1)1 1－x－12dx； 0
(2)
5
(3x3＋4sin x)dx.
－5
[解]
(1)根据定积分的几何意义，可知
1
0
1－x－12 dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面
积的14(如图所示的阴影部分)．故1 1－x－12 0
bf(x)dx＝F(x)| ba＝ F(b)－F(a) ．
a
[基本能力]
(1)
π 2
0
(3x＋sin x)dx＝________.
答案：38π2＋1
(2)
2
ex－2xdx＝________________.
1
答案：e2－e－2ln 2
(3)
1
e|x|dx 的值为________．
2.[考点一、二](2018·山西康杰中学月考)设f(x)＝
1－x2，x∈[－1，1， x2－1，x∈[1，2]，
则2
f(x)dx的值为
－1
()
A.π2＋43
B.π2＋3
C.π4＋43
导数与函数的单调性(word解析版)
导数与函数的单调性(word解析版) x在区间[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，则函数f(x)在区间[0,2]上的单调递增区间为（）.A。
[0,1] B。
[1,2] C。
[0,2] D。
[0,1]∪[1,2]答案】B解析】根据题意，f(x)在[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f'(x)=1+cosx，当x∈[0,2]时，cosx的取值范围是[-1,1]，因此f'(x)的取值范围是[0,2].因此函数f(x)在[0,2]上单调递增，单调递增区间为[1,2]，故选B选项.方法技巧归纳】1.求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.2.对于多项式函数一般不超过三次的情况，可以直接利用导数求解其单调性和极值.3.对于含参数的函数，可以先求导数，然后根据参数的取值范围来判断函数的单调性和极值.变式1】【2018江苏高考】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为常数，且f(x)在[0,1]上单调递增，则（）.A。
a>0，b>0，c>0 B。
a>0，b0 C。
a0，c>0 D。
a0答案】C解析】根据题意，f(x)在[0,1]上单调递增，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+2ax+b，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f(x)在[0,1]上单调递增，因此f'(x)在[0,1]上恒大于等于0.又因为f'(x)是一个二次函数，因此其开口向上，当x∈[0,1]时，f'(x)的最小值为0，即当x=0时，f'(x)取到最小值，此时有f'(0)=b.由于f'(x)在[0,1]上恒大于等于0，因此b≥0.又因为f(x)为单调递增函数，因此其二次项系数a>0.又因为f(x)在[0,1]上单调递增，因此f(1)>f(0)，即1+a+b+c>0，因此c>-(1+a+b).综上所述，可得a0，c>0，故选C选项.变式2】【2018山东高考】设函数f(x)=x3+3x2+3x+k，其中k为常数，则f(x)在区间（-∞，0）上单调递（增/减）；在区间（0，+∞）上单调递（增/减）.答案】单调递减，单调递增解析】根据题意，可以利用导数求解函数f(x)的单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+6x，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.当x∈(-∞，0)时，f'(x)的取值范围是[0，+∞)，因此f(x)在(-∞，0)上单调递减；当x∈(0，+∞)时，f'(x)的取值范围是(-∞，0]，因此f(x)在(0，+∞)上单调递增，故选单调递减，单调递增.讨论函数$f(x)=1-x^2e^x$的单调性。
2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.
5 年 12 考
基本性质和微积分
应用 2.了解微积分基本定理的
基本定理.
含义.
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」
1．定积分的概念
在bf(x)dx 中， a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间， a
_f_(_x)___叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式．
得1
f(x)dx＝0
－12xdx＋1x2dx.故选
D.
-1
-1
0
答案：D
3．给出以下命题： ①若bf(x)dx＞0，则 f(x)＞0；
a
② |sinx|dx＝4；
③应用微积分基本定理，有21xdx＝F(2)－F(1)，则 F(x)＝ln x； 1
④f(x)的原函数为 F(x)，且 F(x)是以 T 为周期的函数，则af(x)dx＝∫aT＋Tf(x)dx； 0
(2)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分． ②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分 再求和． ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.
定积分几何意义的应用
[典 例 导 引]
4，②正确；③根据函数
＋cosx
＝1－(－1)＋1－(－1)＝
导数运算性质，若
F′(x)＝1x，应有
F(x)＝ln
x＋c(c
为常数)，③错误；④af(x)dx
0
＝F(a)－F(0)，
f(x)dx＝F(a＋T)－F(T)＝F(a)－F(0)，即af(x)dx＝ 0
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导数与函数的单调性
【考点梳理】
函数的导数与单调性的关系
函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则
(1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内单调递增；
(2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内单调递减；
(3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数．
【考点突破】
考点一、判断或证明函数的单调性
【例1】已知函数已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性.
[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .
若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，
所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.
若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭
⎫0，1a 时，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭
⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 【类题通法】
用导数判断或证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤
(1)一求．求f ′(x )；
(2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；
(3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．
【对点训练】
已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)，试讨论f (x )的单调性．
[解析] f ′(x )＝3x 2
＋2ax ，令f ′(x )＝0，
解得x 1＝0，x 2＝－2a 3
. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )
在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，
x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2a 3
，0时，f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0， x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝
⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减. 考点二、求函数的单调区间
【例2】已知函数f (x )＝x22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间．
[解析]因为f (x )＝x22－a ln x ，所以x ∈(0，＋∞)，
f ′(x )＝x －a x ＝x2－a x
. (1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数.
(2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x
，则有 ①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ).
②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞).
综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.
当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).
【类题通法】
求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f (x )的定义域；
(2)求f ′(x )；
(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0，得单调递增区间；
(4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0，得单调递减区间．
【对点训练】
已知函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间． [解析]由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax2－1x
(x >0). 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减.
当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a
， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为⎝
⎛⎭⎪⎫0，12a .
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ，＋∞. 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间.
当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ，＋∞. 考点三、已知函数的单调性求参数
【例3】已知函数f (x )＝x 3－ax －1.若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．
[解析]因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f ′(x )＝3x 2
－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.
因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.
又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，
即实数a 的取值范围为(－∞，0].
【变式1】函数f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．
[解析]因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，
所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，
所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，
所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3].
【变式2】函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．
[解析]由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立.
因为－1＜x ＜1，
所以3x 2＜3，
所以a ≥3.
即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1,1)上为减函数.
【变式3】函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．
[解析]∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a .
由f ′(x )＝0，得x ＝±3a 3(a ≥0). ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜3a 3
＜1，得0＜a ＜3， 即a 的取值范围为(0,3).
【类题通法】
根据函数单调性求参数的一般方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．
【对点训练】
1．若函数f (x )＝x －13
sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，1] B ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 [答案]C
[解析]取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23
－1＝－23
＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A ，B ，D.故选C. 2．已知a ∈R ，若函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围.
[解析]因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，
所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立.
因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，
所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.
因为e x ＞0，
所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0，
则a ≥x2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1
对x ∈(－1，1)都成立. 令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1，则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2
＞0， 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1
在(－1，1)上单调递增， 所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－
11＋1＝32， 所以a ≥32，又当a ＝32
时，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0， 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。