2019高考数学考点突破——平面向量：平面向量的数量积 Word版含解析

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专题16 平面向量的数量积及应用-2019年高考数学(理)考点分析与突破性讲练Word版含解析

一、考纲要求:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．二、概念掌握及解题上的注意点： 1.向量数量积的两种计算方法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos θ. 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝x 1，y 1，b ＝x 2，y 2，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.2.向量数量积性质的应用类型与求解策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有 ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. (4)射影的数量(投影)a 在b 上的投影|a | cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |.三、高考考题题例分析：例1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.【答案】7【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.例2. (2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.【答案】6【解析】法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝x ＋2＋y 2，cos θ＝AQ AP＝x ＋2x ＋2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.例3.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 【答案】2 3.【解析】法一：|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.例4(2015高考安徽，理8)C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b =（B ）a b ⊥（C ）1a b ⋅=（D ）()4C a b +⊥B 【答案】D【解析】如图，例5(2016高考山东理数)已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】：由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=所以4t =-，故选B.例6.(2016高考新课标2理数)已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.例7.(2017天津，理13)在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【解析】01232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=例8.（2018课标卷II ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【解析】：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B ．例9.（2018课标卷III ）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ= ．【答案】平面向量数量积及其应用练习一、选择题：1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C2．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝ ( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．4【答案】C【解析】：由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3，所以|a |＝1＋x 2＝4＝2．3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )2C ．32 D ．3【答案】A【解析】：依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32. 4.线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32B ．32C ．－332D ．332【答案】A【解析】：由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.5．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( )A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5【答案】C6．若向量a ＝(2，－1)，b ＝(3－x,2)，c ＝(4，x )满足(6a －b )·c ＝8，则x 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】D【解析】：因为6a －b ＝(9＋x ，－8)，所以(6a －b )·c ＝36＋4x －8x ＝8，解得x ＝7，故选D.7．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为 ( )35C ．45 D ．34【答案】A【解析】：由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则tan α<0，解得tan α＝－43，故选A ．8.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a·b ＝1，则|a －b |＝( )A ．2B ．2 3C ．3D ．2 5【答案】B【解析】：由|a ＋b |＝4两边平方可得|a |2＋|b |2＝16－2a·b ＝14，则|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝12＝23，故选B ．9.已知平面向量a ，b 的夹角为120°，且a ·b ＝－1，则|a －b |的最小值为 ( ) A. 6 B ． 3 C. 2 D ．1 【答案】 610．已知两点A (－1,1)，B (3,5)，点C 在曲线y ＝2x 2上运动，则AB →·AC →的最小值为( )A ．2B ．12 C ．－2 D ．－12【答案】D【解析】：设C (x 0,2x 20)，因为AB →＝(4,4)，AC →＝(x 0＋1,2x 20－1)，所以AB →·AC →＝8x 20＋4x 0＝8⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋142－12≥－12，即AB →·AC →的最小值为－12，故选D.11.O 是平面上一点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心【答案】A【解析】∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|＝1， ∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|表示与∠A 的平分线共线的向量．又OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴P 一定在∠A 的平分线上，即P 点一定通过△ABC 的内心．12．已知a ，b 均为单位向量，且a·b ＝0．若|c －4a |＋|c －3b |＝5，则|c ＋a |的取值范围是 ( )A ．[3，10 ]B ．[3,5]C ．[3,4]D ．[10，5]【答案】B【解析】： ∵a ，b 均为单位向量，且a·b ＝0，。

高考数学复习考点题型专题讲解题型59 平面向量数量积(解析版)

高考数学复习考点题型专题讲解题型:平面向量数量积【高考题型一】：平面向量数量积。

『解题策略』：定义：(与物理中功的定义一致，两向量通过数量积运算以后是标量或实数。

)(亦称内积)是两向量乘法运算中的一种，2121y y x x ⋅+⋅==⋅θ，叫做向量a 与b 的数量积。

θ为向量a 与b 的夹角，注意：求两向量的夹角应把向量的起点移到同一点，注意不能理解成两条直线的夹角，[]0,θπ∈。

几何意义为：b a ⋅等于a (或b )与b (或a )在a (或b)方向上的投影cos b θ(θcos a)的乘积。

运算率：①交换率：⋅=⋅； ②分配率：()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+;③不满足结合率：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅，因为前面表示与c 共线的向量，后面表示与a 共线的向量。

三种方法：1.定义法：代入到数量积的公式中，对于较简单题（已知两向量的模与夹角），用此法计算。

2.绕法：当两向量的模与夹角不易求时，把两向量通过平行四边形或三角形绕成用已知向量（已知模与夹角的向量）表示，然后代入到数量积公式中。

3.坐标法：如果给出两向量所在图形存在垂直关系（易建系时）时，适当建立直角坐标系，代入坐标计算。

4.投影法：当一个向量在另一个向量上的投影易求时，用此法计算。

5.特殊图形法：如果图形形状不确定，则可取特殊图形，然后利用建系或投影计算。

【题型1】：简单型，利用定义计算。

1.(2010年辽宁卷)平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==，则OAB ∆的面积等于 ( )222()a b a b -⋅ B.222()a b a b +⋅C.12222()a b a b -⋅ D.()22221ba b a ⋅+【解析】：定义法：1sin 2OABS OA OB θ∆=⋅2222221(1cos )()a b a b a b θ⋅-=⋅-⋅，选C 。

2.(2016年新课标全国卷II3)已知向量()()2,3,,1-==b m a 且()b b a ⊥+，则m = ( )A.－8B.－6C.6D.8 【解析】：定义法：代入坐标选D 。

高考数学考点一遍过专题19 平面向量的数量积及向量的应用(含解析)文

考点19平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作⋅a b ,即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||c o s θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b =()λ⋅a b ； ③分配律：()+⋅⋅+⋅a b c =a c bc二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b . （2）模：||==a （3）夹角：cos ||||θ⋅==a bab .（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.【注】当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时,⋅=a b ||||-a b . （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔1212||x x y y +≤.三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b .（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b 1221x y x y -0(0)=≠b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ=||||⋅a ba b=,a b 为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=a或||||AB AB ==,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算. （2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W =||||cos (θθ⋅=⋅⋅F s F s 为F 和s 的夹角).考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1已知向量()1,2=-a ，向量b 满足，,a b 的夹角为，则⋅=a bA B ．2CD 【答案】A【解析】由题意可得，则c o s5故选A.1．如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且2DF FC =，则AE BF ⋅的值是．考向二平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.典例2 若||1,||2==a b ,=+c a b 且⊥c a ,则向量a 与b 的夹角为________.【答案】120°2．已知向量(2,1),(,1)λ=--=a b ,且a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是.考向三平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||==a ，或坐标公式||=a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.典例3已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且1co s 3α=，若向量a =3e 1−2e 2，则|a |=________. 【答案】3【解析】因为a 2=(3e 1−2e 2)2=9−2×3×2×cos α＋4=9，所以|a |=3.3．已知向量2==a b ，a 与b 的夹角为π3.若向量m 满足1--=m a b ，则m 的最大值是A ．1B ．1C ．4D 1考向四平面向量的应用1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤： (1)向量与平面几何综合问题的解法 ①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． ②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系.2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题. 3．用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.4．常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0或1()3PG PA PB PC ++=(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心． (2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅.反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=HC HA ⋅，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0.反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC ==.反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心.典例4 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A．45-B．35-C．45D．35【答案】A则2244 cos55 ||||AE BF aaAE BFθ⋅-====-⋅.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.4．对任意,直线与圆交于不同的两点,且存在使 (是坐标原点)成立,那么的取值范围是A ．B ．C ．D ．典例5 设向量a =(2cos α，2sin α)，b =(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a＋b 与a −2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β−α)=________. 【答案】14【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.5．G 是ABC △的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若33aGA bGB cGC ++=0，则角A = A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°典例6 一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．【答案】【解析】由题意知F 3=−(F 1＋F 2)，∴|F 3|=|F 1＋F 2|， ∴|F 3|2=|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos60°=28，∴|F 3|=6．在水流速度为4km/h 的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8km/h 的速度航行，则船自身航行的速度大小为____________km/h .1．设向量()(),2,1,1x ==-a b ，且()-⊥a b b ，则x 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4 2．已知向量,a b 的夹角为,且,则等于A ．B ．C ．D ．3．已知共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s =(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为 A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．24．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-，()2,1AD =，则AD AC ⋅=A ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量a ，b 的夹角为，则2-a b 在a 方向上的投影为 A ．2 B ．4 C ．6D ．86．若向量,a b 满足||||1==a b ,且1()2⋅-=a a b ,则向量与的夹角为 A ．B ．C ．D ．7．在ABC △中,若·=·=·,则该三角形是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．已知为非零向量,且,则下列命题正确的个数为(1)若,则 (2)若,则(3)若,则 (4)若,则A ．1B ．2C ．3D ．49．已知向量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ满足A ．λ<−B ．λ>−C ．λ>−且λ≠0D ．λ<−且λ≠−510．如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是A ．[]0,3B ．C ．D ．11．设F 为抛物线x y 22=的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为ABC △的重心，FA FB ++FC 的值为A ．1B ．2C ．3D ．412．设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若∥a b ，则|3|+a b 等于. 13．如图,在边长为3的正方形中与交于点则.14．设向量(c o s ,s i n ),(c ααββ==a b ，其中0παβ<<<，若|2||2+=-a b a b ，则βα-=.15．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为.1．（2017年高考新课标Ⅱ卷）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b2．（2017年高考北京卷）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =，2·I OB OC =，3·I OC OD =，则A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<4．(2016年高考新课标Ⅲ卷)已知向量1(,22BA =uu r ,1),22BC =uu ur 则ABC ∠= A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．（2017年高考新课标Ⅰ卷）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．6．(2017年高考新课标Ⅲ卷)已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________． 7．（2017年高考天津卷）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________．8．（2017年高考浙江卷）已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．9．（2016年高考新课标Ⅰ卷）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =________． 10．(2016年高考江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．1．【答案】34【解析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则()00A，，)E，)B，2F⎫⎪⎭，∴()2,1AE=，2BF⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴24233AE BF⋅=-+=.2．【答案】1(,2)(2,)2-+∞【解析】∵a与b的夹角为钝角，∴0⋅<a b，即(2,1)(,1)210λλ--⋅=--<，∴12λ>-.又当a与b反向时，夹角为180°，即||||⋅=-a b a b，则21λ+=2λ=.应该排除反向的情形，即排除2λ=，于是实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2-+∞.【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,cos10θ=>;当夹角为180°时,cos10θ=-<,这是容易忽略的地方.3．【答案】B【名师点睛】本题可根据已知条件构造坐标系，从而可求得m 的终点的轨迹方程，再根据平面几何知识求解. 4．【答案】C【解析】将直线方程代入圆的方程得：，则由∆得恒成立，即.设点则,,即，平方得0,即,即，即,即有解,即，即,综上可知:.5．【答案】D【解析】因为G 是ABC △的重心，所以有GA GB GC ++=0.又33aGA bGB cGC ++=0，所以a ∶b c =1∶1∶1，设c ，则有a =b =1，由余弦定理可得，cosA ==A =30°，故选D.6．【答案】541．【答案】D【解析】()1,3x -=-a b ，那么()130x -⋅=--=a b b ，解得4x =，故选D. 2．【答案】A 【解析】因为，解得故本题选A.3．【答案】D【解析】由题意，共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，其合力为F 1+F 2=（1，2lg2）, 产生位移s =(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W =( F 1+F 2).4．【答案】D【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以()()()1,22,13,1AC AB AD =+=-+=-，所以()23115AD AC ⋅=⨯+⨯-=，故选D ． 5．【答案】C6．【答案】B【解析】设向量,a b 的夹角为,由()1·,||||12-===a a b a b ,可得221·111cos 2θ-=-⨯⨯=a ab ,解得,根据∈,可知.7．【答案】D【解析】设边AB 的中点为D ，则由·=·可得·,则⊥，CA =CB ,同理可证CB =AB ,所以该三角形是等边三角形. 8．【答案】D 【解析】若,则,故(1)正确;若,则,故(2)正确;若,则,即,故(3)正确;若,则,即,故(4)正确.故选D. 9．【答案】C【解析】由题意知，向量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则根据向量的数量积可知，a (a ＋λb )＞0，a ２＋λa b ＞0，而a ２=5，a b =1+2=3,则5+3λ>0,同时a ，a ＋λb 不能共线且同向，则λ，解得λ>−且λ≠0，选C.10．【答案】C=.当时,取得最大值5;当时,取得最小值2,即的取值范围是.选C.11．【答案】C【解析】设()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C ，抛物线x y 22=的焦点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21F ，准线方程为21-=x ，由于F 是ABC △的重心，∴123123320x x x y y y ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，由抛物线的性质得112F A x =+，212FB x =+，312FC x =+，∴FA FB FC ++3212121321=+++++=x x x ，故选C.12．【解析】因为∥a b ，所以()1220y ⋅-⨯-=，解得4,y =-从而3+a b =(1,2),|3|+=a b13．【答案】【解析】由已知可知，,则，，,则22.14．【答案】π215．【答案】7【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设),(n m A ，),(n m C --，),(y x B ，∴(6,)PA PB PC x y ++=-，∴=(PA PB PC x ++的最大值为圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值，从而易得当⎩⎨⎧=-=01y x 时，P A P B P C++的最大值为7.1．【答案】A【解析】由+=-a b a b 平方得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A.【名师点睛】已知1122(,),(,)x y x y ==a b . (1)向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ,11BA AC OA OB λλ=⇔=++1OC λλ+.(2)向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .(3)向量运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b . 2．【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A. 3．【答案】C【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD ∠=∠>，由AB =BC =AD =2，CD =3，可求得OA OC <，OB OD <，进而得到312I I I <<． 4．【答案】A 【解析】因为向量1(,22BA =uu r,1),22BC =uu u r 所以1312222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠==⨯2=，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【名师点睛】（1）平面向量a 与b 的数量积为|||cos |θ⋅＝a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤；（2）由向量的数量积的性质知|a ·cos ||||θ=a ba b ，·0⇔⊥＝a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 5．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 6．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =. 【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b . 7．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则 12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．8．【答案】4，令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力和最值处理能力有一定的要求． 9．【答案】23-【解析】由题意，20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1212x x y y ⋅=+a b .10．【答案】78【解析】因为222211436()()=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==，2211114()()123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-，因此22513,82FD BC ==，所以222114()()224E D BB E CEB--⋅=-⋅--===【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．。

(完整word版)必修四平面向量的数量积讲义

2.3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量｜a ｜×｜b ｜×cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝｜｜×｜｜×cos θ。

注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量．．．．．．．．．．．．．．．，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．．．．．．．．．．．；．（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“·． ”不能省略，也不能也成“×”．．．．．．．．．．．．．．；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：．．．．．．．．．．．．0．0．≤．θ≤．180．．．0．。

．（4）规定：．．．零向量与任．．．．．一向量的数量积为．．．．．．．．0．，即．．0·b ＝．0．；（5）当向量a 与b 的夹角为900时，叫a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b ，此时：a ⊥b ⇔a ·b ＝0。

2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于·＝｜｜×｜｜×cos θ，其中｜｜×cos θ叫做在方向上的投影，当θ为锐角时，投影为正；当θ为钝角时，投影为负；当θ就直角时，投影为0；当θ为0度时，投影是｜｜；当θ为180度时，投影为－｜｜；（2）．在．方向上的投影．．．．．．与．在．方向上的投影就不同的．．．．．．．．．．；（3））在方向。

例1：已知｜｜＝2，｜｜＝5，当（1）与夹角为300时；（2）当⊥时；（3）当当a ∥b 时；分别计算a 与b 的数量积。

【解析】：（1）53；（2）0；（3）±10变式练习1：已知｜｜＝3，｜｜＝5，且与的夹角为450，则在方向上的投影是（） A ：223 B ：3 C ：4 D ：5 【解析】：A变式练习2：已知｜｜＝6，｜｜＝3，且·＝－12，则在方向上的投影是（）A：－4 B：－2 C：4 D：2【解析】：A二、平面向量数量积的性质若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角1、·＝·＝｜｜×｜｜×cosθ2、⊥⇔·＝03、若与同向，则·＝｜｜×｜｜( 夹角为0度)；若反向，则·＝－｜｜×｜｜( 夹角为180度)；特别地，·＝()2＝｜｜2或｜｜＝4、若θ是a与b的夹角，则cosθ＝5、｜·｜≤｜｜×｜｜（当与共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、·＝·2、(λ)·＝λ(·)＝·(λ)3、(a＋b)·c＝a·c＋b·c4、(a＋b)·(a－b)＝(a)2－(b)2＝｜a｜2－｜b｜25、(＋)2＝｜｜2＋2×·＋｜｜2注意：（1）没有(·)·＝·(·)这个运算定律；（2）·＝·，则不能得到a＝b；（3）若a·b＝0，则a＝0或b＝0或<a，b>＝900。

考点15+平面向量的数量积及应用-2019届高考数学(理)提分必备30个黄金考点+word版含解析

【考点剖析】1.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与平面几何、三角函数、解析几何、不等式等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查．2.课本结论总结：（1）两个向量的夹角①定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.③向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（2）平面向量数量积①已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.向量的投影：|b|cosθ叫向量b在向量a方向上的投影当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.②a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．（3）向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a.②a⊥b⇔a·b＝0.③a·a＝|a|2，|a|=④cos θ＝∙a b|a||b|.(θ为a与b的夹角)⑤|a ·b |≤|a ||b |. （4）数量积的运算律 ①交换律：a ·b ＝b ·a .②分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .③对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．（5）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： ①a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. ②a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. ③|a |＝a 21＋a 22. ④cos θ＝∙a b |a ||b |.(θ为a 与b 的夹角)3.名师二级结论：(1)向量 b 在a 的方向上的投影为|b |cos θ=||a ba ∙. （2）若向量a ∥b ，且b =11(,)x y ，则可设a=11(,)x y λλ. 4.考点交汇展示：1.【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD 中，，，，. 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为A.B. C.D.【答案】A结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.2.【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.3.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】4.【2016高考浙江】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤则a ·b 的最大值是．【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12.5.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角的正切值为，，则的值为____．【答案】. 【解析】令，则，所以，所以，由正弦定理可得，所以.故答案为：6.【2016高考浙江】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．【考点分类】考向一平面向量数量积及其几何意义1.【2019届四川省成都市第七中学零诊】如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】2.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；③用平面向量数量积的几何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．【解题技巧】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量b在向量a方向上的投影有两种思路：思路1，用|b|cosθ计算;思路2，利用∙a b|a|计算.3.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.例已知平面向量a,b,c，下列说法中：①若a·b=a·c,则a=c；②a(b·c)=(a·b)c;③若a·b=0,则a=0或b=0; ④a·b≤|a|·|b|，正确的序号为 .【错解】①②③④【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质. 【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故①②，因若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b，故③错，根据平面向量的数量积的性质知④正确，故正确的说法序号为④考向二平面向量垂直、平面向量夹角1.【2018年文北京卷】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若，则m =_________.【答案】2.【2017课标1，文13】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7 【解析】3.【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【答案】3【方法规律】 1.对平面向量夹角问题(1)当a ，b 是非坐标形式时，需要先求出∙a b 及|a |、|b |或它们的关系. (2)若已知向量a ，b 的坐标，直接利用公式求解.2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决. 【解题技巧】1.非零向量垂直a ,b 的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题．【易错点睛】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.若两个向量夹角为锐角，则cos θ＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则cos θ小于0，反之，不一定3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．4.a ⊥b ⇔a·b ＝0是对非零向量而言的，若a ＝0时，a ·b ＝0，但不能说a ⊥b . 例已知向量(1,2),(,1)a b x →→==，且向量a 与b 夹角为锐角，求x 的范围；【错解】因为向量a 与b 夹角为锐角，所以a b ∙=x +2＞0，解得x ＞-2. 【错因分析】从0a b →→⋅>出发解出x 的值，忽视剔除,a b →→同向的情况．【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏. 【正解】因为向量a 与b 夹角为锐角，所以a b ∙=x +2＞0，解得x ＞-2. 当x =12时，a 与b 同向，故x 的范围为11(2,)(,)22-⋃+∞. 考向三平面向量模1.【2018年浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A.−1 B.+1 C. 2 D. 2−【答案】A2.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为【方法规律】对平面向量的模问题，若向量a 是非坐标形式，用==∙22|a |a a a 求模长；若给出向量a 的坐标，则用|a 来求解. 【解题技巧】1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式==∙22|a |a a a 转化为平面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.2．对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决. 【易错点睛】在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：a ·b ＝|a ||b |和|a ·b |＝|a ||b |. 例已知|a |=1，|b |=2，向量a 与b 夹角为120o,求|3a b +|.【错解】|3a b +229||6||a a b b =+∙+=【错因分析】错用a ·b ＝|a ||b |,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式==∙22|a |a a a 和平面向量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误：a ·b ＝|a ||b |和|a ·b |＝|a ||b |.【正解】|3a b +229||6||a a b b =+∙+=【热点预测】1.已知向量1(2BA =uu v ，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（）(A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A2．【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知单位向量满足，则与的夹角是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，即如图=即是第二象限的角平分线，所以由图可见与的夹角是，故选D.3．【2018届陕西省咸阳市5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，，则向量在方向上的正射影的数量为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵两个向量和的夹角为，，∴，∴向量在向量方向上的正射影为=故选：D4．【2018届河南省洛阳市期中】向量,a b 均为非零向量， ()()2,2a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为（） A.3π B. 2π C. 23π D. 56π 【答案】A5．【2018届黑龙江省仿真模拟（五）】已知向量，，则当时，的取值范围是__________．【答案】.【解析】，因此，故．因为，故，所以填．6．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若，且，，则的取值范围是（）A.B.C. D.【答案】D【解析】如图所示：，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离.的最大值是，最小值为.故选：D.7．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】8．【2018届河南省郑州外国语学校调研】已知向量，向量在方向上的投影为，且，则__________．【答案】5【解析】由已知得，，，由得：，即，.故答案为：5.9．【2018届黑龙江省仿真模拟(三)】已知单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】10．【2018届湖北省宜昌市一中考前训练2】在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________．【答案】24.【解析】分析：由，可得，可得，以为坐标原点建立坐标系，设，由展开后配方整理，可得当时取得最小值，求得，再由数量积的坐标运算求解.详解：11．【2018届河北省唐山一中强化提升（一）】已知向量的夹角为，，则______. 【答案】【解析】的夹角为，，则故答案为12．【2018届上海市大同中学三模】如图直角梯形中，，，，.点是直角梯形区域内任意一点，.点所在区域的面积是__________．【答案】【解析】如图所示，△ABE中，,，，分别为边的中点，则梯形即为满足题意的图形，以为直径的圆及其内部的点满足，则图中的阴影部分为满足题意的点所在区域.其中△BFG为边长为1的等边三角形，其面积，扇形是半径为1，圆心角为120°的扇形，其面积为，综上可得：点所在区域的面积是.13.【2018届辽宁省葫芦岛市二模】如图，已知为中点，以为直径在同侧作半圆，分别为两半圆上的动点，（不含端点)，且，则的最大值为__________．【答案】【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得以为直径的半圆方程为以为直径的半圆方程为（，设可得14.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．（1）求角的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为，若，求的值【答案】(1) .(2) .【解析】（1）由，得，即．所以，即，所以．因为，所以．。

专题20 平面向量的数量积(解析版)

专题20 平面向量的数量积一、基础知识：（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：1、平面向量基本定理：若向量12e e u r u r，为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量a r ，均存在唯一一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+r u r u r 。

其中12e e u r u r ，成为平面向量的一组基底。

（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）2、向量数量积运算cos a b a b θ⋅=⋅r r r r，其中θ为向量,a b r r 的夹角3、向量夹角的确定：向量,a b r r 的夹角θ指的是将,a b r r的起点重合所成的角，[]0,θπ∈其中0θ=：同向 θπ=：反向 2πθ=：a b ⊥r r4、数量积运算法则：（1）交换律：a b b a ⋅=⋅r r r r（2）系数结合律：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈r r r r r r（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r5、平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a·b |≤|a||b|.6、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例1、(2018苏州暑假测试）已知平面向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，若|a ＋b |＝52，则|b |的值是________．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b ..变式1、（2019年高考全国III 卷文数）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】210-【解析】()222228262cos ,||||1022(8)6⨯-+⨯⋅===-⋅+⨯-+a b a b a b ．变式2、(2017苏北四市期末）已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________．【答案】、5714【解析】、解法1 因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b |＝2a －b2＝5a 2－4a ·b ＝7|a |，cos 〈a ,2a －b 〉＝a ·2a －b |a |·|2a －b |＝52a 2|a |·7|a |＝527＝5714.解法2 因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以〈a ，b 〉＝2π3，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2a 2－|a |·|b |cos 2π3＝52a 2，|2a －b |＝2a －b2＝5a 2－4a ·b ＝5a 2－4|a |·|b |cos 2π3＝7|a |. 以下同解法1.例2、（2019年江苏高考）.如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=变式1、（2016江苏卷）. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=u u u r u u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=---==u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g （）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=---==-u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g （）（），因此22513,82FD BC ==u u u r u u u r ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=---===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g （）（）变式2、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________．【答案】、. 9【解析】、BC →·DC →＝(OC →－OB →)·(OC →－OD →)＝(OC →＋OD →)·(OC →－OD →)＝OC 2－OD 2，类似AB →·AD →＝AO 2－OD 2＝－7，所以BC →·DC →＝OC 2－OD 2＝OC 2－AO 2－7＝9. 思想根源极化恒等式：a ·b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－⎝⎛⎭⎫a －b 22.在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB →·AC →＝AM 2－MC 2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．例3、(2019镇江期末）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝3EF ，则AF →·BC →的值为________．【答案】、13.【解析】、解法1(基底法) 连结AE.因为△ABC 为正三角形，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC.所以AF →·BC →＝(AE →＋EF →)·BC →＝AE →·BC →＋EF →·BC →＝EF →·BC →.由题知EF →＝13DE →＝16AC →，所以AF →·BC →＝16AC →·BC →＝16×2×2×cos 60°＝13.解法2(向量法) 建立如图所示平面直角坐标系，A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32，E(0，0)，设点F(x 0，y 0)由DE ＝3EF 得DE →＝3EF →，故⎝⎛⎭⎫12，－32＝3(x 0，y 0)，故x 0＝16，y 0＝－36，所以AF →＝⎝⎛⎭⎫16，－736，故AF →·BC →＝⎝⎛⎭⎫16，－736·(2，0)＝13.变式1、(2018南京学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________．【答案】、. 13【解析】、解法1(基底法) 因为AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝λAC →＋(1－λ)AB →，所以AM →·BC →＝[λAC →＋(1－λ)AB →]·(AC →－AB →)＝λ|AC →|2＋(λ－1)|AB →|2＋(1－2λ)AB →·AC →＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos 120°＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.解法2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，3)，设点M 的坐标为(x ，y)，则(x －3，y)＝λ(－1－3，3)，即⎩⎨⎧x ＝3－4λ，y ＝3λ，故AM →·BC →＝(3－4λ，3λ)·(－4，3)＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.变式2、(2018南通、泰州一调）如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD上，且∠PAQ ＝45°，则AP →·AQ →的最小值为________．【答案】. 42－4解法：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)．设∠PAB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.变式3、(2019苏锡常镇调研）在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ →·CP →的最大值为________．【答案】－94【解析】(坐标法) 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，1)，D ⎝⎛⎭⎫1，12，E ⎝⎛⎭⎫12，14，设P(p ，0)，Q(0，q)，则p>0，q>0，且直线PQ ：x p ＋y q ＝1，因为点E 在直线PQ 上，所以12p ＋14q ＝1，BQ →·CP→＝(－2，q)·(p ，－1)＝－2p －q ＝(－2p －q)⎝⎛⎭⎫12p ＋14q ＝－54－⎝⎛⎭⎫q 2p ＋p 2q ≤－54－2q 2p ×p 2q ＝－94，当且仅当q2p＝p 2q ，即p ＝q ＝34时取“＝”，所以BQ →·CP →的最大值是－94.1、(2017无锡期末）已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与m a ＋b 垂直，则实数m 的值为________．【答案】、14【解析】、根据向量a ，b 的坐标可得a －b ＝(1,2)，m a ＋b ＝(2m ＋1，m －1)，因为(a －b )⊥(m a ＋b )，所以(a －b )·(m a ＋b )＝1×(2m ＋1)＋2×(m －1)＝4m －1＝0，故m ＝14.2、(2016苏北四市摸底）. 已知|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为________．【答案】、. 23π【解析】、因为a ＋b ＝(1，2)，所以|a ＋b |＝3，两边平方得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，将|a |＝1，|b |＝2代入得1＋2a ·b ＋4＝3，从而a ·b ＝－1，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，而〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝23π，即向量a ，b 的夹角为23π.3、(2019南京学情调研）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6，AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为________．【答案】、－92【解析】、设BE →＝λAD →，且菱形的边长为x ，则AE →＝AB →＋λAD →，AB →·AE →＝AB →·(AB →＋λAD →)＝x 2－12λx 2＝6，AD →·AE →＝AD →·(AB →＋λAD →)＝－12x 2＋λx 2＝32，解得x 2＝9，所以AB →·AD →＝x 2cos 120°＝－92.4、(2019苏北三市期末）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内一点，满足CP →＝32PB →＋2PA →，则CP →·AB →的值为________．【答案】、－1【解析】、因为CP →＝32PB →＋2PA →，所以AP →－AC →＝32(AB →－AP →)－2AP →，解得AP →＝13AB →＋29AC →，故CP →·AB →＝(AP →－AC →)·AB →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋29AC →－AC →·AB →＝13AB →2－79AC →·AB →＝43－79×2×3×cos 60°＝－1.5、(2019苏北三市期末）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内一点，满足CP →＝32PB →＋2PA →，则CP →·AB →的值为________．【答案】、－1解法1(坐标法) 以A 为原点， AC 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，3)，C(3，0)，设P(x ，y)．由CP →＝32PB →＋2PA →得(x －3，y)＝32(1－x ，3－y)＋2(－x ，－y)，得x ＝1，y ＝33，所以P ⎝⎛⎭⎫1，33，CP →·AB →＝⎝⎛⎭⎫－2，33·(1，3)＝－2＋1＝－1.解法2(基底法)因为CP →＝32PB →＋2PA →，所以AP →－AC →＝32(AB →－AP →)－2AP →，解得AP →＝13AB →＋29AC →，故CP →·AB →＝(AP →－AC →)·AB →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋29AC →－AC →·AB →＝13AB →2－79AC →·AB →＝43－79×2×3×cos 60°＝－1. 6、(2018苏州期末）如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，点P 是劣弧EF ︵上的一动点，则PB →·PC →的取值范围是________．【答案】. [－11，－9]【解析】(坐标法) 以A 为原点，垂直于BC 的直线为x 轴建立平面直角坐标系xAy ，则B(2，－23)，C(2，23)，设P(cos θ，sin θ)，其中θ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3. PB →·PC →＝(2－cos θ，－sin θ－23)·(2－cos θ，23－sin θ)＝(cos θ－2)2＋sin 2θ－12＝－7－4cos θ. 因为cos θ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以PB →·PC →∈[－11，－9]．45)21(1)(22+--=++-==⋅t t t t f ，所以OP OQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围为1,1]． 7、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅u u u r u u u r的取值范围是．【答案】、[4,6]-【解析】：以BA 为x 轴，BC 为y 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)A ，(0,0)B ，(0,2)C ，(2,2)D ，设(,2),(0,)E x F y ，因为E F ，分别是线段DC 和BC 上，所以,[0,2]x y ∈，则(3,2),(,2)AC EF x y =-=--u u u r u u u r ，324AC EF x y ⋅=+-u u u r u u u r，因为,[0,2]x y ∈，所以32[0,10]x y +∈，从而324[4,6]x y +-∈-，即AC EF ⋅u u u r u u u r的取值范围为[4,6]-.。

第03讲平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)

第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。

高考复习：平面向量的数量积含解析答案(教师版+学生版)

5.3平面向量的数量积与平面向量应用知识梳理：1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.考点一：平面向量的数量积的运算例1（1）.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.（2）．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．（3）.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．考点二：平面向量数量积的性质例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，求2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值(2)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，求实数λ的值．变式训练1：(1)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，求|b |的值. (2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值例3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值； (2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．变式训练2(2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．课堂练习：1．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝k e1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．2．在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________．3．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则实数k的取值范围是________．4．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．5．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则AO·BC＝________.6.已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．5.3平面向量的数量积与平面向量应用作业1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．2．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC |BC |＝________.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ―→·EM ―→的取值范围是________．6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．8．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．9．(2014·泰州期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R .(1)求|a |2＋|b |2的值；(2)若a ⊥b ，求θ； (3)若θ＝π20，求证：a ∥b .10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．11．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．11．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.解析：法一：由题知，CM ·CB ＝(CB ＋BM )·CB ＝2CB ＋ 23BA ―→·CB ＝36＋23×6×6×cos 120°＝24.法二：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，A (0,33)，从而M (－1,23)，所以CM ＝(－4,23)，CB ＝(－6,0)．因此CM ·CB ＝(－4)×(－6)＋23×0＝24.答案：242．(2013·盐城二模)若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________．解析：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a 25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35.答案：351．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________．解析：(a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2a ，b ＝0，可得a ，b ＝12，又因为0≤a ，b ≤π，所以a ，b ＝π3.答案：π32．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．解析：(a ＋b )2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7. 答案：7平面向量的数量积与平面向量应用举例知识梳理：1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.解析：a ·b ＝(e 1＋2e 2)·4e 1＝4e 21＋8e 1·e 2＝4＋8×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝0. 答案：02．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.解析：如图，依题意向量BC ，BA 所成角为2π3，|BC |＝|BA |＝23，AC ＝BC －BA ，EF ―→＝13BC ＋BA ，EF ·AC ＝⎝⎛⎭⎫13BC ＋BA ·(BC －BA )＝13|BC |2＋23BC ·BA －|BA |2＝－12. 答案：－12考点一：平面向量的数量积的运算1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b＝(3,1)，则a ·b ＝________.解析：法一：由a ·⎝⎛⎭⎫a －12b ＝5，得a 2－12a ·b ＝5，即5－12a ·b ＝5，所以a ·b ＝0.法二：由a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，得b ＝(－4,2)，所以a ·b ＝0 答案：02．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．解析：由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.答案：－233.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB ＝(2，0)，AE ＝(2，1)，AD ＝(0,2)．设AF ＝(x,2)，x ＞0，则AB ·AF ＝2x ＝2，解得x ＝1.所以F (1,2)，BF ＝(1－2，2)，于是AE ·BF ＝ 2.答案： 24．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC ―→|的最小值是________．解析：∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC |＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC |min ＝ 6. 答案： 6考点二：平面向量数量积的性质题型二求向量的模与夹角例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值为．(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝.(3)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为．答案 (1)－126 (2)32 (3)712解析 (1)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.(2)∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. (3)由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________．解析：①当A ＝90°时， ∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0，解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.考点三：向量数量积的综合3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，又C ⎝⎛⎭⎫－22，22，所以OC ＋OD ＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22，所以|OC ＋OD |2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)，当t ＝22时，其最小值为12，即|OC ＋OD |的最小值为22. (2)设OC ＝(cos α，sin α)⎝⎛⎭⎫0≤α≤3π2，则CE ＝OE －OC ＝⎝⎛⎭⎫0，－12－(cos α，sin α) ＝⎝⎛⎭⎫－cos α，－12－sin α. 又D ⎝⎛⎭⎫12，0，E ⎝⎛⎭⎫0，－12，所以DE ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，故CE ·DE ＝12⎝⎛⎭⎫cos α＋12＋sin α＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋14. 因为π4≤α＋π4≤7π4，所以CE ·DE ∈⎣⎡⎦⎤14－22，14＋22.[典例] (2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.课堂练习：1．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题得|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos2π3＝－12，所以a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k |e 1|2＋(1－2k )·e 1e 2－2|e 2|2＝k ＋2k －12－2＝0，解得k ＝54.答案：542．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．解析：由题意得AB ·AC ＋AB ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )＝|AB |2＝4，所以AB ＝2.答案：23．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则实数k 的取值范围是________．解析：因为a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )，所以a ＋b ＝(3，k ＋2)，所以|a ＋b |＝32＋(k ＋2)2＝13＋4k ＋k 2≤5，解得－6≤k ≤2 答案：[－6,2]4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ·BC ―→的值为________．解析：BD ·BC ＝BD ·(BA ＋AC )＝BD ·BA ＋BD ·AC＝BD ·BA ＝|BD |·|BA |·cos ∠ABD ＝|BD |2. 在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝7，又S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×2×3×sin 60°＝332，所以12AC ·BD ＝332，所以BD ＝3217，所以BD ·BC ＝|BD |2＝277. 答案：2775．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．解析：由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2 ＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2. 又|a |＝3|b |，所以a ，b＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |2＝－13. 答案：－136．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 解析：取BC 边的中点D ，连接AD ，则AO ·BC ＝(AD ＋DO )·BC ＝AD ·BC ＋DO ·BC ＝AD ·BC ＝12(AB ＋AC )·(AC －AB )＝12(AC 2－AB 2)＝12(62－102)＝－32.答案：－32 作业1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，从而5－6e 1·e 2－8＝0，所以e 1·e 2＝－12，故〈e 1·e 2〉＝2π3.答案：2π32．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC |BC |＝________.解析：由条件得|AB ＋AC |＝|AC －AB |，故AC ·AB ＝0，即AC ⊥AB ，故|BC |＝2，∠ABC ＝60°，从而原式＝1×2×cos 60°2＝12.答案：123．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)．答案：(3,0)4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.解析：如图，CD ＝CB ＋BD .又∵BD ＝2DA ，∴CD ＝CB ＋23BA ＝CB ＋23(CA －CB )，即CD ＝23CA ＋13CB ，∵∠C ＝π2，∴CA ·CB ＝0，∴CD ·CA ＝⎝⎛⎭⎫23 CA ＋13 CB ·CA ＝23CA 2＋13CB ·CA ＝6. 答案：65．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ―→·EM ―→的取值范围是________．解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 答案：⎣⎡⎦⎤12，326．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝22|b |， ∴|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10.∴|b |＝3 2. 答案：3 27．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)， b －c ＝(1，－2－y )．∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4. ∴向量MN ＝(－8,8)，∴|MN |＝8 2. 答案：8 28．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC －AB )＝－λ2AB ＋2AC ＋(λ－1) AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712. 答案：7129．(2014·泰州期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R .(1)求|a |2＋|b |2的值； (2)若a ⊥b ，求θ； (3)若θ＝π20，求证：a ∥b .解：(1)因为|a |＝cos 2(λθ)＋cos 2[(10－λ)θ]，|b |＝sin 2[(10－λ)θ]＋sin 2(λθ)，所以|a |2＋|b |2＝2. (2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin [(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z .(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－ λ)θ·sin(10－ λ)θ ＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20·sin ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，所以a ∥b .10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0.∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝⎛⎭⎫34，32，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤p ＋q2，∴p ·q ≤3.∴p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.5．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ＝－1＋cos2x ＋23sin x cos x＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin(2x ＋π6)－1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)∵f (C )＝2sin(2C ＋π6)－1＝1，∴sin(2C ＋π6)＝1，∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7.将ab ＝23代入可得a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或4.∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3. ∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.10．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)m ∥n ⇒2sin B ·(2cos 2B2－1)＋3cos2B ＝0⇒sin2B ＋3cos2B ＝0⇒2sin(2B ＋π3)＝0(B 为锐角)⇒2B ＝2π3⇒B ＝π3.(2)cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ⇒ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4⇒ac ≤4.S △ABC ＝12a ·c ·sin B ≤12×4×32＝ 3.故S △ABC 的最大值为 3.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.解析：法一：由题知，CM ·CB ＝(CB ＋BM )·CB ＝2CB ＋ 23BA ―→·CB ＝36＋23×6×6×cos 120°＝24.法二：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，A (0,33)，从而M (－1,23)，所以CM ＝(－4,23)，CB ＝(－6,0)．因此CM ·CB ＝(－4)×(－6)＋23×0＝24.答案：242．(2013·盐城二模)若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________．解析：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a 25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35.答案：351．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________．解析：(a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2a ，b ＝0，可得a ，b ＝12，又因为0≤a ，b ≤π，所以a ，b ＝π3.答案：π32．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．解析：(a ＋b )2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7.答案：7。

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平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________. [答案](1)B (2) 6[解析](1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.(2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝() A ．－32B ．32C ．－332D ．332[答案]A[解析]由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案]1 1[解析]法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案](1)2 (2)D (3)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎪⎫－92，3[解析](1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 [答案]D[解析]法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案]－2[解析]∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6[答案]C[解析]∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° [答案]A[解析]因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.[答案](1) 23 (2) 5[解析](1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝23.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A ．57B ．61C ．57D ．61 [答案] B[解析]由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a|2＋9|b|2－12a·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案]494[解析]建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x0－322＋⎝⎛⎭⎫y0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14，它表示以⎝⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2m ax ＝494.。