自然常数e

自然常数e

一．由银行存款引发的思考

我们在银行存款是有利息的，而存款赚到的利息又可以继续和本金一起，赚取更多的利息。

下面考虑一种理想状况，也就是假定有这样一家银行，它一年的存款利率是100% (简记为1)，并允许我们自由选择结算利息的次数。如果我们存入银行1块钱，那么我们一年最多能够赚多少钱呢？(1)如果只在年底结算一次利息，由于一年的利率是1，那么一年后我们可以连本带利得到2块钱。

(2)如果我们要求每半年就结算一次利息，由于半年的利率是1/2，那么一年后我们可以连本带利得到2.25块钱。

(3)如果我们要求每一个月就结算一次利息，由于一个月的利率是1/12，那么一年后我们可以连本带利得到2.61块钱。

(4)可以看到，利息结算次数越多，年底获得的收入也就越多。如果我们要求银行时时刻刻为我们结算利息，也就是说结算利息的次数为无数次，那么我们能否得到无穷无尽的收入呢？

很遗憾，这个是不可能的！因为我们最终获得的收入是这样的：

而数学家的计算已经表明，这个式子的值其实是有限的，其大小为2.718281828…，是一个无限不循环小数，为了使用方便，我们就用e来代表它。所以，e就是复利的极限，或者更广义地说，应该是增长的极限。

百度百科对e的解释如下 :

自然常数，是数学科的一种法则。约为 2.71828，就是公式为lim(1+1/x)x，x→∞或lim(1+z)1/z，z→0，是一个无限不循环小数，是为超越数。

小结：人们在生活中经常遇到一个量的变化与自身大小相关的问题，为求解这类问题必须引入关于e的指数函数与对数函数，并定义e=lim(1+1/x)x (x→∞)，而e的定义表明其实这个值就是增长的极限。

二．为什么e x和 lnx 这么常见？

因为里面涉及了两个函数的特殊性质。

（1）首先是指数函数。众所周知，指数函数在我们现实世界中具有重要作用那么我们便不可避免地需要对指数函数进行求导运算。

指数函数 y=a x的导数为

可以看到，要想得到y=a x的导数，需要求得后面的极限，可是如果直接令△x→0，是无法得到极限的，怎么办？这里我们转换一下思维，让a△x-1=1/n，那么就有△x=log a(1+1/n)，这个时候就有了

这个时候我们发现，e的定义派上用场了。去掉极限符号，我们可以得到

但是，后面那个数字看着真的好不舒服，怎么才能把那个数字去掉呢？答案就是，当a=e的时候，因为这个时候数字正好变成了1。最终，我们把这个特殊的指数函数单拎了出来，使得其区别于其它的指数函数。

（2）下面我们再来看一看指数函数的另一半y=log a x。我们来看一下y=log a x的导数。

可以看到，如果我们也让a=e，常数log a e便等于1，此时对数函数的导数形式也最简单。所以说，当a=e时，无论是指数函数还是对数函数，其导数形式都是最简单的。

人们为了让关于e的对数函数区别于其它对数函数，甚至还给它

另外起了个名字，叫自然对数，并简单记为y=lnx，这也充分凸显了自然对数的重要性。

此外，对于y=2x或者y=log2x这种运算呢？没关系，我们可以给它整下容，变成y=e xln2或者y=log2elnx，计算方式并没有发生本质变化。

三．e的现实应用

其实，之所以频繁出现关于e的函数，是因为我们现实世界中有太多问题具有以下特点：即一个量的变化与自身大小相关。而凡是这一类问题，都迫使我们必须引入关于e的指数函数或对数函数。（1）理想环境下的种群数量

在生物领域，一个简单而又经典的问题便是理想环境下的种群数量变化规律。种群数量越大，种群的增长速率也就越快，种群数量的变化率是和当前种群数量y相关的，于是可以简单描述为

我们已经知道，导数等于自身的函数就是y=e t。但是因为右边存在一个比例常数l，所以我们可以假定种群数量y随时间t的变化规律符合通用关系y=ae bt+c (a≠0)，从而有

可以发现，要使左右两端相等，需要c=0，b=l，所以种群数量

的变化规律符合y=ae lt。我们知道，现实中的资源不可能无穷无尽，种群数量也不可能无限增长，可是上述规律却为我们研究早期某一种群数量的变化提供了一个良好的近似。

（2）放射性核素的衰变同样符合上述规律。放射性核素的衰变速率与当前核素的数量N相关，也就是有

最终也会导致放射性核素数量的变化符合N=N0 e-lt。

（3）弹簧振子的运动

弹簧振子的受力和它自身的位移成正比，并且与运动方向相反。根据牛顿第二定律，有

我们已经知道，x=e t的导数等于自身，那我们当然可以进一步知道，其二阶导数、三阶导数甚至更高阶的导数仍然是它自己。所以这里我们当然还是可以假定x=ae bt+c(a≠0)，从而有

可以发现，要使左右两端相等，需要c=0，b2=-k/m，也就是

所以弹簧振子的运动符合

可以看到，引入关于e的指数函数与对数函数后，现实中很多问题都得到了顺利求解。当然，除了以上一些问题，还有一些问题，如LC振荡电路、原子轨道等，对这些问题的求解都必须引入自然常数e。所以说，引入自然常数e是人类认识自然现象。

三．e的一些有趣性质