数学北师大版八年级下册《等腰三角形》
北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形
1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
北师大版八年级数学下册1.1.1等腰三角形教学设计
教师在评价学生时，要关注学生在解决问题过程中的思考和方法，鼓励学生勇于尝试，激发学习积极性。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示一些生活中的等腰三角形实物，如等腰三角形的玩具、等腰三角形的图标等，引导学生观察这些图形的特点，激发学生的兴趣。
在课堂小结环节，教师引导学生回顾本节课所学内容，总结等腰三角形的性质和判定方法，加深印象。
6.布置课后作业，注重培养学生的实际应用能力。
设计一些实际问题，让学生在课后运用等腰三角形的性质解决问题，提高学生的数学应用意识。
7.开展小组合作活动，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
教学过程中，组织学生进行小组讨论、合作探究，让学生在互动交流中提高自己的表达能力和团队协作能力。
学生在学习过程中，对新知识充满好奇心，但学习动机和兴趣可能因个体差异而有所不同。部分学生可能对几何图形的理解和运用存在一定困难，需要教师在教学过程中关注个体差异，采用分层教学、个别辅导等方式，帮助学生克服学习难点。
此外，学生在合作交流方面已有一定的基础，但部分学生可能在实际操作中缺乏主动性和积极性。因此，在教学过程中，教师应注重引导学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
教学中，提出一些需要运用等腰三角形性质解决的问题，让学生通过自主探究、合作交流，逐步培养逻辑推理能力。
4.采用分层教学策略，针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题，使每位学生都能得到有效的提高。
教师根据学生的认知水平和学习需求，设计基础题、提高题和拓展题，让每位学生都能在课堂上学有所得。
5.加强课堂小结，通过师生互动、生生互动，总结等腰三角形的性质和判定方法，巩固所学知识。
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
北师大版八年级下册1.1《等腰三角形(四)等边三角形的判定》说课稿
5.拓展延伸：布置一些具有挑战性的拓展题，让学生在课后继续探索，激发学生的学习兴趣。
三、发式教学法、探究式教学法和情境教学法。
1.启发式教学法：通过提问、设疑、引导等方式，激发学生的思维，引导学生主动探究等边三角形的判定方法。这种方法的理论依据是建构主义学习理论，认为学生是主动的信息建构者，教师应发挥引导和促进作用。
3.拓展题：布置一些具有挑战性的题目，激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力。
作业的目的是：帮助学生巩固所学知识，提高学生的几何思维和解决问题的能力，培养学生的自主学习习惯。同时，通过作业的完成情况，教师可以了解学生的学习状况，为下一节课的教学提供参考。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将采用清晰、简洁的布局，主要内容分为以下几个部分：
北师大版八年级下册1.1《等腰三角形（四）等边三角形的判定》说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自北师大版八年级下册1.1《等腰三角形（四）等边三角形的判定》。这部分内容是整个初中数学课程体系中几何知识的一个重要组成部分，也是学生在学习等腰三角形的基础上，进一步探索等边三角形的判定方法。通过本节课的学习，学生可以巩固和拓展对等腰三角形的认识，为后续学习相似三角形、圆等知识打下基础。
2.在解题过程中，注重引导学生运用所学知识，提高学生的应用能力；
3.优化课堂互动设计，充分调动学生的积极性，提高参与度。
课后评估教学效果：
1.课后收集学生作业，分析学生掌握知识点的情况；
2.通过课堂观察，了解学生的参与程度和互动效果；
3.搜集学生反馈意见，了解教学中的不足。
北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法》教案
北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》教案一. 教材分析《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》这一课时，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形性质等知识的基础上进行学习的。
本课时主要让学生学习等腰三角形的判定方法，以及运用反证法证明等腰三角形的性质。
通过这一课时的学习，使学生进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的认识。
但是，对于等腰三角形的判定和反证法的运用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生，激发他们的思考，帮助他们理解和掌握等腰三角形的判定方法和反证法的运用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的观察能力、思考能力和创新能力。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的判定方法，反证法的运用。
2.教学难点：反证法的运用，等腰三角形性质的证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生观察、思考、交流，激发学生的学习兴趣。
2.探究式教学法：引导学生主动探究等腰三角形的性质，培养学生的探究能力。
3.小组合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识，提高他们的交流能力。
六. 教学准备1.准备等腰三角形的模型或图片，用于引导学生观察和操作。
2.准备反证法的相关案例，用于讲解和练习。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示等腰三角形的图片，引导学生观察等腰三角形的特征，激发学生的学习兴趣。
提问：你们知道等腰三角形有什么特点吗？2.呈现（10分钟）呈现等腰三角形的判定方法，引导学生思考和交流，总结出等腰三角形的判定方法。
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习(第3课时)
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如何证明？
数学语言：已知：在△ABC中，∠B＝∠C；求证：AB＝AC 方法思考：①作高AD可以吗？ ②作角平分线AD呢？ ③作中线AD呢？
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°
∴△APQ是等边三角形
课堂检测，巩固新知
1.如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成
30°夹角，这棵大树在折断前的高度为( B )
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC.求证 ：△CEB为等边三角形．
开放训练，体现应用
例 2 (教材第11页例4)求证：如果等腰三角形的底角等于15°，那么腰上的高是
腰长的一半．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．
求证：CD＝1AB.
2
证明：在△ABC中， ∵AB＝AC，∠B＝15° ∴∠B＝∠ACB＝15°(等边对等角) ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30° ∵CD是腰AB上的高 ∴∠ADC＝90° ∴CD＝AC ∴CD＝1AB
开放训练，体现应用
变式训练1 如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC 的平分线BD交边AC于点D.求证：△BCD为等腰三角形．
证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35° ∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝70° ∵BD平分∠ABC ∴∠DBC＝∠ABC＝35° ∴∠DBC＝∠ACB＝35° ∴DB＝DC ∴△BCD为等腰三角形
北师大版数学八年级下册1.1.3《等腰三角形的判定及反证法》说课稿
北师大版数学八年级下册1.1.3《等腰三角形的判定及反证法》说课稿一. 教材分析《等腰三角形的判定及反证法》这一节内容是北师大版数学八年级下册第1章第1节的一部分。
在此之前，学生已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有了初步的认识。
本节课主要引导学生探究等腰三角形的性质，并运用反证法进行证明。
教材通过引入等腰三角形的定义和性质，让学生体会数学的推理过程，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的相关知识有一定的了解。
但是，对于等腰三角形的性质和反证法的运用，还需要通过本节课的学习来进一步掌握。
学生在学习过程中，需要通过观察、操作、思考、推理等环节，逐步理解等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能掌握等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、推理等环节，培养逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生体验数学的推理过程，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质，反证法的运用。
2.教学难点：反证法的理解与运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引出等腰三角形的定义。
2.探究等腰三角形的性质：学生分组讨论，每组尝试用反证法证明等腰三角形的性质。
3.汇报展示：各组汇报探究过程和结果，教师点评并总结。
4.练习巩固：学生独立完成教材中的练习题，教师讲解答案。
5.拓展延伸：引导学生思考等腰三角形的判定问题，学生自主探究并分享成果。
6.总结反思：学生总结本节课的收获，教师进行情感态度的评价。
七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的性质1.定义：两腰相等的三角形叫等腰三角形。
a.两腰相等b.底角相等c.高线、中线、角平分线重合2.假设结论不成立3.从假设出发，推出矛盾4.矛盾说明假设不成立，结论成立八. 说教学评价1.学生能准确描述等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形》教学设计
北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形》是学生在学习了三角形的基本概念和性质的基础上，进一步研究等腰三角形的性质。
本节课的内容包括等腰三角形的定义、等腰三角形的性质以及等腰三角形的判定。
通过本节课的学习，学生能够掌握等腰三角形的性质，并能运用其解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、操作和推理能力。
但部分学生对概念的理解不够深入，对性质的运用不够熟练，因此需要在教学过程中加强对学生的引导和启发。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质，并能运用其解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等方法，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质及其运用。
2.教学难点：等腰三角形性质的推理和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题和情境，引导学生主动探索和解决问题。
2.合作学习法：引导学生进行小组讨论和合作，共同解决问题。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对等腰三角形性质的理解。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、几何模型、黑板等。
2.学具准备：学生自带三角板、直尺、铅笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示等腰三角形的图片，引导学生观察和思考：这些三角形有什么共同的特点？从而引出等腰三角形的定义。
2.呈现（10分钟）呈现等腰三角形的性质，引导学生通过观察和操作，发现并证明等腰三角形的性质。
在此过程中，教师引导学生运用已学的三角形性质，培养学生的几何思维能力。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，运用等腰三角形的性质解决实际问题。
教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）教师选取几道练习题，让学生在课堂上完成，检验学生对等腰三角形性质的掌握程度。
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
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课件 课件
课件 课件
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》教案
北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》这一节主要让学生掌握三角形全等的判定方法，以及等腰三角形的性质。
在教材中，已经给出了三角形全等的判定方法——SSS、SAS、ASA、AAS，学生需要通过练习来熟练掌握这些方法。
等腰三角形的性质包括：等腰三角形的底角相等，等腰三角形的底边上的高、中线、角平分线重合。
学生需要通过操作活动来探索和证明这些性质。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了三角形、四边形的相关知识，对图形的变换、性质有一定的了解。
但是，对于三角形全等的判定方法，学生可能还不是很熟悉，需要通过练习来加深理解。
对于等腰三角形的性质，学生可能刚开始接触，需要通过操作活动来探索和证明。
三. 教学目标1.知识与技能：理解三角形全等的判定方法，掌握等腰三角形的性质。
2.过程与方法：通过操作活动，培养学生的观察能力、操作能力、证明能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质。
2.教学难点：三角形全等的判定方法的运用，等腰三角形性质的证明。
五. 教学方法采用问题驱动法、操作活动法、讲解法、讨论法等教学方法，引导学生探索、发现、证明等腰三角形的性质，通过练习让学生熟练掌握三角形全等的判定方法。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、三角板、直尺、圆规。
2.学具：每个学生准备一套三角板、直尺、圆规。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过复习三角形、四边形的相关知识，引导学生进入三角形全等和等腰三角形的性质的学习。
2. 呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现三角形全等的判定方法和等腰三角形的性质，让学生初步了解这些知识。
3. 操练（10分钟）学生分组，每组用三角板、直尺、圆规拼出两个全等的三角形，然后用这些工具证明两个三角形全等。
1.1等腰三角形(第2课时)等边三角形的性质课件19张北师大版八年级数学下册
解析：在等边△ABC中，
∵AD为BC边上的高，
A
∴∠ADC=90°，
∠CAD=30°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠EDC=15°.
B
D
E
C
2.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，∠ABE=60°，
∵△BDE是等边三角形，
两腰上的中线相等，两腰上的高相等.
探究新知
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC和AB上.
1
1
(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE = ∠ACB，那么BD=CE吗？如
3
1
果∠ABD= ∠ABC，
4
么结论？
∠ACE
3
1
= ∠ACB呢？由此你能得到一个什
4
A
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵ ∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，
E
D
∴∠ABD=∠ACE，∠DBC=∠ECB，
∵BC=CB，∴△EBC≌△DCB，
∴BD=CE.
B
C
探究新知
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC和AB上.
1
1
(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE = ∠ACB，那么BD=CE吗？如
三条对称轴
探究归纳
等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都
等于60°.
A
符号语言：
∵
∴
△ABC 是等边三角形，
∠A =∠B =∠C =60°．
北师大版八年级数学下册等腰三角形和直角三角形复习课件
选一选 你真棒
6.下列关于直角三角形的判定，正确的有（ D） (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形. (定义) (2)两内角互余的三角形是直角三角形。 (3)一条边上的中线等于该边的一半，这条边所对的
角是直角，则这个三角形是直角三角形。 (4)较小两边的平方和等于较大边的平方的三角形是
直角三角形. (勾股定理的逆定理)
则底角度数为______顶角度数为_______。
2 如图，已知在直角△ABC中， ∠C=90 °， BD平分∠ABC交AC于D；
（1）若∠BAC=30 °，则AD=——； A
D
B
C
例1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，
CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：
BM=CM。 A
▪ 证明：∵AB=AC
▪ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
▪ ∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ▪ ∴∠BEC=∠CDB=90° ▪ ∴∠1+∠ACB=90°，
∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余）
E
Mபைடு நூலகம்
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来
▪ ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ▪ ∴BM=CM（等角对等边）
（1）求证ME=MF；
课后思考 （2）若CD为AB边上的高， ME+MF与CD有什
么数量关系？
（3）若M在BC上移动,ME+MF为定值吗？试说明理由。
总结：许多问题可以用基本的性质、判定解决，
用探讨研究的精神去看待
3. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直 线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
北师大版数学 八年级下册 第一章第3课时 等腰三角形的判定与反证法 优秀课件
由题得AB=15×2=30（海里）
N B 72° 36° C
∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）
36°
A
2、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC, BD平分 ∠ABC, DE∥BC, EF平分∠AED，问在这个图形中，有 那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
△ABC、 △BCD 、△EBD、 △EDF 、△FAE 、△ADE、 △ABD
的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形
M
D
出现，因此，找到问题的突破口． B
N C
4、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
36°
F
E 36°72°D
73263°°6°
B
72°
C
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
A
B
C
你认为这个结论成立吗? 如果成立, 你能证明它吗?
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要
B
C
在△ABD和 △ACD中
D
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝∠ADC.AD=AD
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的判定及反证法课件
解：△BDE 是等腰三角形. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD = ∠DBC， 又∵DE∥BC， ∴∠DBC = ∠EDB， ∴∠ABD =∠EDB， ∴△BDE 是等腰三角形.
练习
1-1 如图，AE平分∠BAC，DE∥AB，若 AD=5，则DE的长是____5___.
知识点二：反证法
于是∠A +∠B +∠C = 180°+∠C ＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A 和∠B 是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
【选自教材P9随堂练习第2题】
2. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：
这五个数中至少有一个大于或等于 1 . 5
证明：假设这五个数是a1，，a3，a4，a5全
∴AB = AC.
B
D
C
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为：等角对等边.
几何语言：
A
在△ABC中，
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB = AC（等角对等边） B
C
例 已知：如图，AB = DC，BD = CA， BD 与 CA 相交于点 E.求证：△AED 是等腰三 角形.
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
北师版八年级数学下册
学习目标
1、掌握并运用等腰三角形的判定定理； 2、理解反证法的含义，并运用反证法证明命 题.
回顾复习
等腰三角形的特殊性质： 等腰三角形_两__底__角__的__平__分__线__相等、_两__腰__上__的__高_ 相等、_两__腰__上__中__线__相等. 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等.
A C
反证法：在证明时，先假设命题的结论不 成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的 结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
数学北师大八年级下册等腰三角形的性质
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考考你!
如图，在△ABC中，点D是BC上一点，AB=AD=DC，∠BAC= 1050，求∠C的度数。
解: 设∠C=x0
A
∵在△ACD中，AD=DC
∴∠1=∠C=x0 （等边对等角）
1
同理可得：∠B=∠2
B
在△ACD中 ∠2=∠1+∠C=2x0
2
C
D
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
1.等腰三角形的性质
等腰三角形的按边分类所得的特殊三角形，它除了具有三角形的一切性质外,还有 哪些特殊性质呢?
做一做
A 剪一张等腰三角形的半透明纸片,把纸片对折,让两腰AB 和AC重合在一起,折痕为AD,你发现了什么?
折痕两旁的三角形完全重合。
即等腰三角形是轴对称图形，折痕AD所在的直线是
它的对称轴.
例1已知:在△ABC中，AB=AC，∠B=800。求∠C和∠A的大小。 A
解
∵AB=AC (已知)
∴∠C=∠B=800
(等边对等角)
又∵∠A+∠B+∠C=1800
（三角形的内角和是1800）
B
C
∴∠A=1800-∠B-∠C
(等式的性质)
=1800-800-800
=200
答：∠C是800，∠A是200。
A.800、200 B.500、500 C.800、500 D.是A或B
3.下列命题中，真命题的个数是( )B
①等腰三角形的底角可以是直角或钝角；②等腰三角形的顶角
可以是直角或钝角；③等腰三角形的底角只能是锐角；④等腰
三角形的顶角只能是锐角。
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
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课题：1.1.4等腰三角形课型：新授课年级：八年级教学目标：1.探究并掌握等边三角形的判定方法.2.探究并掌握含有30°角的直角三角形的性质.3.在探究过程中，使学生进一步体会分类讨论、转化、逆向思维等数学思想方法，提高学生的能力.教学重点与难点：重点：1.等边三角形判定定理的发现与证明.2.含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.难点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.教法与学法指导：教法：启发探究式教学．通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决问题的能力．学法：引导学生“自主探究——合作交流——自我提高”．通过动手操作三角板，拼接等腰及等边三角形改变学生被动接受的学习方式，倡导学生自主参与，小组合作，积极互动，主动获取新知识，培养学生良好的学习习惯．课前准备：多媒体课件.教学过程：一、激趣导入，提出问题活动内容：欣赏几组图片(多媒体展示):同学们这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志.(1)图中的三角形有什么特点？(2)等边三角形与等腰三角形有什么关系？(3)等边三角形有哪些特点？(4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形呢？（教师板书课题）处理方式:先让学生观察，给学生1分钟思考的时间,然后找学生回答. 教师可让同学代表充分发表自己的看法．设计意图: 通过生活中的图片引入等边三角形，使学生在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣，体现了学生走进生活感受数学的高涨热情.并提出等边三角形的判定问题．明确重点的同时，激发学生的求知欲，精美的图片非常吸引学生,使学生很自然的进入本节的学习，进而顺利引入新课． 二、自主合作，解决问题探究活动1：探究等边三角形的判定方法问题1：除了三边相等的三角形是等边三角形.还有其他的判定方法吗？你能证明吗？ 问题2：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?问题3：你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．问题4：完成表格问题5：总结等边三角形的判定方法.处理方式: 生积极思考，通过老师的点拨，认识到有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，并且需要分类讨论:当这个角分别是底角和顶角的情况, 等腰三角形中，如果顶角是60°，那这个等腰三角形是等边三形;等腰三角形中，如果有一个底角是60°，那这个等腰三角形也是等边三角形．学生合作完成证明.师以顶角为例写出已知和求证.另一个证明要求学生到黑板上完成．在问题3中，同学们总结等边三角形的判定方法：方法一：三边相等的三角形是等边三角形；方法二：三个角相等的三角形是等边三角形；方法三：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.（附证明过程）（顶角是60°时）已知:如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A =60°. 求证：ABC 是等边三角形. 证明：如图 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠A =60°BC∴∠B=∠C =26018000-=60°∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC 是等边三角形. （底角是60°时）已知: 如图，△ABC 中AB=AC ，∠B =60°. 求证：ABC ∆是等边三角形. 证明：如图 ∵AB=AC ，∠B=60° ∴∠B=∠C =60° ∴∠A =180°-60°×2=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC 是等边三角形. （附表格答案）（教师板书）设计意图: 等边三角形的判定方法是本节课的重点．通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件，使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识．条件加在不同的位置也要分情况讨论，这样在探究过程中充分体现了分类的作用，这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用．探究活动2：含30°角的直角三角形的性质问题1：请同学们用两个含30°角的全等三角尺，拼成一个三角形．你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？（学生分组合作完成，并展示所拼图形）问题2：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．BC问题3：在一个含30°角的三角尺中，你能发现什么结论？能用语言形式叙述吗？能证明这个结论吗？处理方式：问题1要给学生足够的时间动手操作，然后分组展示自己的成果，第（1）个三角形是等边三角形，第（2）图形是等腰三角形.并说明第（1）个三角形为什么是等边三角形的，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC ．又因为Rt △ABD 中，∠BAD =60°，所以∠ABD =60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．问题2中根据等边三角形的性质，发现线段间的等量关系有：（1）AB=AC=BC ，（2）BD=CD ；倍数关系有：（1）BC=2BD=2CD ，（2）AB =2BD =2CD ,(3) AC =2BD =2CD .由此就得出在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．然后学生尝试证明，小组内交流，教师巡视对证明有困难的小组给予指导. （附证明过程）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°． 求证：BC =12AB ．证明：延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°∠B =60°. 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD (如图所示)． ∵∠ACB =90° ∴∠ACD =90° 又∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC (SAS)．∴AB=AD (全等三角形的对应边相等)．∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC =12 BD =12 AB ．（教师板书）D(2)(1)BCACBA几何语言：∵∠C＝900 ∠A＝300BC＝AB21在证明性质之后，教师追问：该定理的作用是什么？该定理可以用来证明线段之间的倍数关系，也可以求线段的长度.老师可以举例，给BC的长，让学生求AC、AB的长；给AB的长，让学生求BC、AC的长；给AC的长，让学生求BC、AB的长.让学生通过计算感知，在直角三角形中，当一个角为300时，再给一条边便可求其余两边.设计意图：“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”是本课的难点，在难点的突破上主要采取两种方法：（1）通过三角尺操作的实践活动，（2）对问题的分步引导的方法．这样在难点的突破更具有直观性和可操性．三、展示汇报，反馈点拨已知：在△ABC中，已知AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高．求证：CD=12 AB．处理方式：学生思考，并解决问题．因为此三角形为等腰三角形，底角为15°，顶角为150°，所以为等腰钝角三角形，此时强调高应在三角形外部，由此可构造出特殊的直角三角形，进而解决问题，可让一名同学黑板板演，教师纠正学生出现的问题，强调步骤的规范性.（附证明过程）证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）．∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°．∴CD=12AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．∴CD=12AB．BAD设计意图：在有一个角是30°的直角三角形的性质的证明上，则采取延续探究的练习题的再深入探究，很直观地展示了两边的关系和证明思路，学生口述证明，节约了时间.在点拨了例题之后，规范板书，了解解题步骤，给学生以书写指导，同时给学生消化吸收的时间，为接下来巩固练习的解决搭好台阶．四、巩固训练，拓展提高A 类：1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④2．如图，△ABC 中AB=AC ，AO 平分∠BAC ，若∠BOC=60°,则△BOC 的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形3.已知，如图，在△ABC 中,∠ACB ＝90°,∠A =30°,CD ⊥AB 于D . 求证: AB BD 41. B 类：4．已知：一块形如△ABC 的空地，AB =2a 米,AC =3a 米,∠A =150°，若在其中种上单价20元/平方米的草皮，需要多少钱？处理方式：学生先独立思考在练习本上写出答案,然后相互交流各自的想法,最后小组展示结果.待学生全部完成后学生进行分析讲解,有问题的让学生之间相互进行纠错,评判,反思. 可以由几名学生到黑板板演，其他学生在练习本上完成．然后借助多媒体配合教师巡视并适时点拨，及时点评，展示矫正、规范理解，关注并评价同伴表现，检查自己的完成情况，拓展学生的思路.设计意图：通过展示结果,及时巩固所学知识,同时教师巡视,有利于查缺补漏,个别辅导,保证学生把基础 知识掌握透彻.对于班额大的班级,充分发挥小组的作用,保证小组学习的顺利进行. 通过设置不同层次的题目，检测纠错并提高认识知识的效率，同时也强化了学生的学习重点，进一步巩固、提升学生所学知识.五、当堂测试，课堂小结（一）课堂小结师:学习如逆水行舟，不进则退.只有不断反思自我,充实自我,才能取得更大的进步!所以每一节课大家都要用心反思,查缺补漏,保证自己的小船稳稳前进!现在谁愿意先来反思一下自己本节课学习的体会?学生反思自己课堂的表现及所学习的知识和方法等内容，大家相互补充.设计意图：学生在学习的过程中会有遗忘,因此必要的反复至关重要,每节课的小结更是必不可少.因为良好的课堂小结，可以再次激起学生思维的高潮，起到余味无穷、启迪智慧的效果。
能使一堂课所讲的知识体现出的数学思想、数学方法系统化.（二）当堂检测基础题：1.课本12页习题1.4第1、2、3题．提升题：2.助学10页自主评价．处理方式：学生先独立完成，教师巡视.做的快的可以边巡视边批改,绝大多数完成后,根据批改情况找学生错的比较多的问题讲解,由做错的学生进行纠错.留半分钟的时间纠错反思.设计意图：让学生独立完成,有利于把握学生对本节课的掌握情况.同时老师面批,有利于查缺补漏,因材施教.最后留给学生反思,将错题真正改正,落实到实处.让学生最大程度地获得新知，同时针对本节课的重点，有目的的设计习题，以检测教学目标达成情况、纠正错误、熟练知识，发现与弥补遗漏；同时可以让学生全面了解自己的学习过程，感受自己的成长和进步，促进学生对学习及时进行反思，为教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教提供重要依据．结束语：师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！同时送给你们一句话共勉：在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.---达哥拉斯六、板书设计。