北师大版八年级数学下册各章知识点汇总

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

北师大版八年级下册数学各章知识要点总结

北师大版八年级下册数学各章知识要点总结北师大版八年级下册数学各章学问要点总结北师大版八年级数学下册各章学问要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把全部满意不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。

6、等式根本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的根本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。

）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变.不等式的根本性质、若a>b,则ac>bc；、若a>b,c>0则ac>bc，若cc,则a>c四、一元一次不等式与一次函数五、一元一次不等式组※1.定义：由含有一个一样未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共局部叫做不等式组的解集.假如这些不等式的解集无公共局部，就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共局部，通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些解集的公共局部，（3）写出这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种状况（a、b为实数，且a找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取一样的字母，字母的指数取较低的；（3）取一样的多项式，多项式的指数取较低的.（4）全部这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则依据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a+2ab+b或a-2ab+b的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：1、提公因式法。

八年级下册数学北师大版知识点总结

八年级下册数学北师大版知识点总结一、三角形的证明。

1. 等腰三角形。

- 性质：- 等腰三角形的两腰相等，两底角相等（等边对等角）。

- 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

- 判定：- 有两边相等的三角形是等腰三角形。

- 有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

2. 等边三角形。

- 性质：- 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，且每个角都等于60°。

- 判定：- 三条边都相等的三角形是等边三角形。

- 三个角都相等的三角形是等边三角形。

- 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3. 直角三角形。

- 性质：- 直角三角形的两个锐角互余。

- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

- 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边）。

- 判定：- 有一个角是直角的三角形是直角三角形。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

4. 线段的垂直平分线。

- 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

- 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

- 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5. 角平分线。

- 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

- 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

- 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

二、不等式（组）1. 不等式的基本性质。

- 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

- 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

- 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

2. 一元一次不等式。

- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式。

最新北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总附解析

北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总第一章三角形的证明1等腰三角形1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（）A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°【答案】D【解析】①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=45°，∴∠A=45°，即顶角的度数为45°.②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=45°，∴∠BAD=45°，∴∠BAC=135°.故选：D．2．如图，在△AB C中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE ＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个【答案】D【解析】在△AB C中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形；因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACD=∠DCB=36°，所以△ACD是等腰三角形；在△BD C中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°，所以△BDC是等腰三角形；所以BD=BC=BE，所以△BDE 是等腰三角形；所以∠BDE=72°，∠ADE=36°，所以△ADE是等腰三角形．共5个．故选D3．如图，在△AB C中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为()A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【答案】A【解析】在△AB C中，AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A．4．如图，在△AB C中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为()A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】D【解析】∵△AB D中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选：B．5．如图，在△AB C中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为____.【答案】72°【解析】∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，∴∠B=（180°-36°）÷2=72°，∠DCB=36°．∴∠BDC=72°．故答案为：72°6．在△AB C中，AB＝AC，且BC＝8cm，BD是腰AC的中线，△ABC的周长分为两部分，已知它们的差为2cm，则等腰三角形的腰长为__________.【答案】10cm或6cm【解析】如图∵BD是腰AC的中线，∴AD=CD，①当△ABD的周长与△BCD的周长差为2时，即AB+AD+BD-(BD+BC+CD)=2,∴AB-BC=2,∵BC=8cm，∴AB=10cm.②当△BCD的周长与△ABD的周长差为2时，即BD+BC+CD -(AB+AD+BD)=2,∴BC - AB =2,∵BC=8cm，∴AB=6cm.所以等腰三角形的腰长为10cm或6cm.7．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）求出∠AFB的度数．【答案】（1）见解析；（2）120°．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC（等边三角形三边都相等），∠C=∠ABE=60°，（等边三角形每个内角是60°）．在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS）．（2）∵△ABE≌△BCD（已证），∴∠BAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），∵∠AFD=∠ABF+∠BAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°．2直角三角形1．（2019·河北初二期末）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=12∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG;其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB．又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1 2（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=1 2∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=12∠CGE，故正确．故选C．2. （2019·福建初二期中）如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH=∠ADB=90°．∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE，∴∠HBD=∠EAH．∵DH=DC，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD=AD，BH=AC；②∵BC=AC，∴∠BAC=∠ABC．由①知，在Rt△ABD中，∵BD=AD，∴∠ABC=45°，∴∠BAC=45°，∴∠ACB=90°．∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°，∴结论②为错误结论．③由①证明知，△BDH≌△ADC，∴BH=AC；④∵CE=CD，∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°，∴△BEC≌△ADC，由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，∴结论④为错误结论．综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．故选B．3. （2019·江西初二期中）三角形的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】D【解析】∵(a+2b−60)2+|b−，∴a+2b−60=0，b−18=0，c−30=0，∴a=24，b=18，c=30，∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形，故选：D.4. （2019·湖南初一期末）已知两个分别含有30°，45°角的一幅直角三角板．（1）如图1叠放在一起，若∠CAD=4∠BAD，请计算∠CAE的度数；（2）如图2叠放在一起，使∠ACE=2∠BCD，请计算∠ACD的度数．【解析】解：（1）由∠CAD+∠BAD=90°，∠CAD=4∠BAD，∴5∠BAD=90°，∴∠BAD=18°，∴∠CAE=18°；（2）设∠BCE=α，∵∠ACE=2∠BCD，∴90-α=2（60-α），∴α=30°，即∠BCE=30°，∴∠BCD=30°，∴∠ACD=120°．5. （2019·全国初二课时练习）如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．【解析】连接AC ，∵∠ADC=90°∴在Rt△ADC中，AC2= AD2+CD2=42+32=25，∵AC2+BC2=25+122=169, AB2=132=169，∴AC2+BC2= AB2 ，∴∠ACB=90°，∴S=S△ACB－S△ADC=12×12×5－12×4×3=24m2答：这块地的面积是24平方米6. （2019·江苏初二月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；（2）判断△ABC的形状；（3）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．【解析】解：（1）由题意可知：A(-1,5),B(-2,0),C(-4,3); (2)根据勾股定理可得：2221526AB =+= 2223213BC =+=2223213AC =+=∴BC=AC，且222BC AC AB += ∴△ABC 是等腰直角三角形； (3) △A 'B 'C '如图所示：7. （2019·广东初二期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，CD ＝3，AD ＝1，且∠ABC ＝90°，连接AC ．（1）求AC 的长度．（2）求证△ACD 是直角三角形．（3）求四边形ABCD 的面积？【解析】解：（1）在直角△ABC中，AC为斜边，且AB＝BC＝2，则AC＝22AB BC+＝2222+＝22．（2）∵AD＝1，CD＝3，AC＝22∴AC2+AD2＝CD2，即△ACD为直角三角形，且∠DAC＝90°，（3）四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝12AB×BC+12AD×AC＝12×2×2+12×1×22＝2+2．答：四边形ABCD的面积为2+2．3线段的垂直平分线1．如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为（）A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°【答案】D【解析】根据作图方法可得BD=CD，则∠DCB=∠B=25°，则∠CDA=50°，∵CD=AC，则∠A=∠CDA=50°，则∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105°．2. 在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（）A. 10°B. 15°C. 40°D. 50°【答案】A【解析】∵在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，∴∠ACB=50°．∵AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=∠BCA﹣∠ACD=50°﹣40°=10°．故选A．3. 点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是( )A. 11B. 16C. 24D. 64【答案】C【解析】∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∴OB=OC=OA=8cm，∴OA+OB+OC=24cm，故选C．4. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】∵∠A=65°，∠ABC=85°，∴∠ACB=30°．∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠ACB=60°．∵直线MN为BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴△BCD是等边三角形．5. 如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD.正确的有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④【答案】C【解析】因为AB＝AC∠∠A＝36°∠MN垂直平分AC，所以∠B＝∠ACB＝72°，DA＝DC，所以∠A＝∠ACD＝36°.①因为∠BDC＝∠A＋∠ACD，所以∠BDC＝36°＋36°＝72°，所以∠B＝∠BDC，所以△BCD是等腰三角形.则①正确；②因为∠ACB＝72°，∠ACD＝36°，所以CD平分∠ACB.则②正确；③因为DA＝DC，所以C△BCD＝BC＋CD＋DB＝BC＋DA＋DB＝BC＋AB.则③正确.④△ADM是直角三角形，△BCD不是直角三角形，则④不正确.故选C.6. ∠∠∠∠△ABC∠∠AB=BC∠∠ABC=110°∠AB∠∠∠∠∠∠DE∠AC∠∠D∠∠∠BD,∠∠ABD= __°∠∵∠△ABC∠∠AB=BC∠∠ABC=110°∠∴∠A=∠C=35°∠∵AB∠∠∠∠∠∠DE∠AC∠∠D∠∴AD=BD∠∴∠ABD=∠A=35°∠∠∠∠∠35∠7. 如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？【解析】∠1∠∵在△ABC中，边AB∠AC的垂直平分线分别交BC于D∠E∠∴AD=BD∠AE=EC∠∵BC=8∠∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8∠∠2∠∵∠BAC=118°∠∴∠B+∠C=62°∠∵DA=DB∠EA=EC∠∴∠BAD=∠B∠∠EAC=∠C∠∴∠BAD+∠EAC=62°∠56∠DAE=ο8.如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：BF=FC．【解析】连接AF∠∵AB=AC∠∠BAC=120°∠∴∠B=∠C=30°∠∵EF为AB的垂直平分线，∴BF=AF∠∴∠BAF=∠B=30°∠∴∠FAC=120°-30°=90°∠∵∠C=30°∠∴AF=CF∠∵BF=AF∠∴BF=FC∠4角的平分线1．如图，已知点P到AE∠AD∠BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC∠∠CBE∠∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是()A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③【答案】A【解析】∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选A.2.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）A. 1︰1︰1B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4D. 3︰4︰5【答案】C【解析】三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O点为△ABC的内心，则O点到△ABC三边的距离相等，设距离为r，有S∠ABO=×AB×r∠S∠BCO=×BC×r∠S∠CAO=×CA×r，所以S∠ABO:S∠BCO:S∠CAO=AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.故答案选C.3. 如图，在Rt∠ABC中，∠C∠90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC∠AB 于点M∠N，再分别以点M∠N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD∠5∠AB∠18，则△ABD的面积是（）A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】C【解析】由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于E ，又∵∠C ＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积等于AB ⋅DE ＝×18×5＝45.故选C.4. 如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ，下列结论中不一定成立的是（）A. PA PB =B. PO 平分APB ∠C. OA OB =D. AB 垂直平分OP【答案】D 【解析】∵OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB∴PA=PB∴∴OPA∴∴OPB∴∴APO=∴BPO ，OA=OB∴A 、B 、C 项正确设PO 与AB 相交于E∴OA=OB ，∴AOP=∴BOP ，OE=OE∴∴AOE∴∴BOE∴∴AEO=∴BEO=90°∴OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选D．5. 如图，Rt△ABC中，∠C=90º∠BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E∠BC=6∠CD=3∠AE=4，则DE=_______∠AD=_______∠△ABC的周长是_______∠【答案】(1). 3(2). 5(3). 24【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90º∠BD是角平分线，DE⊥AB∠∴CD=DE=3∠∴Rt△BCD ≌Rt△BED∠∴BC=BE=6∠又∵AE=4∠∴AB=10∠∴AC=8∠∴AD=5∠∴△ABC周长=24.故答案为3,5,24.6. 如图，△ABC中，∠C=90º∠BD平分∠ABC交AC于D∠DE是AB的垂直平分线，DE= 12BD，且DE=1.5cm，则AC等于________.【答案】4.5【解析】∵∠C=90º∠BD平分∠ABC交AC于D∠12BD∠∴BD=3.∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD=3.∴AC=4.5∠故答案为4.5.7. 如图，已知CD∠AB于点D，BE∠AC于点E，CD交BE于点O.(1)若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB.【解析】(1)连接AO，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CEB=∠BDO=90°，又∵∠COE=∠BOD（对顶角相等），∴∠C=∠B（等角的余角相等），∴△CEO和△BDO中，C BOC OBCOE BOD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEO≌△BDO（ASA），∴OE=OD（全等三角形的对应边相等），又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上；∴DE=CD=1.5∠又∵DE=(2)∵AO 平分∠BAC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴OD=OE ，在△DOB 和△EOC 中，DOB EOC OD OEODB OEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DOB ≌△EOC （ASA ），∴OB=OC ．8. 如图，已知AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，且BC=CD.（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求证：AB+AD=2AE.【答案】详见解析【解析】（1）证明：∵AC 是角平分线，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ， ∴CE=CF ，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE 和Rt△DCF 中，∴△BCE ≌△DCF ；（2）解：∵CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC 和Rt△EAC 中，， ∴Rt △FAC ≌Rt △EAC ，∴AF=AE ，。

北师大版初中数学各册章节知识点总结

北师大版初中数学各册章节知识点总结第一册：《初二上册》1.直角三角形：直角三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理。

2.平面图形的表示：点、线、线段、射线、角度、平行线、垂直线、相交线等基本概念。

3.二次根式：二次根式的定义、运算法则。

4.初中平面几何基本定理：垂线定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、角平分线定理等。

5.多边形：多边形的定义、正多边形、变位积分、多边形的内角和、多边形的外角和。

6.梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理的概念、定理的应用。

第二册：《初二下册》1.线性方程：线性方程的定义、解线性方程的常用方法。

2.三角函数的定义和初步认识：三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等。

3.平行线与相交线：平行线的性质、平行线之间的角对、相交线之间的角对等。

4.二次函数：二次函数的基本性质、二次函数图像的性质与应用。

5.海伦公式：海伦公式的概念、海伦公式的应用。

第三册：《初三上册》1.集合：集合的概念、集合的运算、集合的表示等。

2.图形的相似：图形相似的概念、相似比、相似三角形的性质等。

3.三角形的性质：三角形的角与边的关系、角边关系等。

4.空间几何基本概念：欧几里得空间几何学的基本概念、空间图形与平面图形的关系等。

5.高中数学预修知识：比例与相似、复数等。

第四册：《初三下册》1.数系的扩充：有理数和无理数的概念、实数的分类等。

2.几何体的计算：几何体的表面积、几何体的体积等。

3.空间几何基本定理：角的平分线、角的辅助线等。

4.三角恒等式：三角函数的反函数、三角函数的周期等。

第五册：《九年级上册》1.一次函数：一次函数的定义、一次函数图像的性质、线性规律等。

2.向量几何：向量的定义、向量的运算、向量的平行和垂直等。

3.数的四则运算：整数、有理数、无理数的四则运算等。

4.二次方程与不等式：二次方程的定义、解二次方程的方法等。

5.三角形的面积：三角形的名字、面积的计算公式等。

第六册：《九年级下册》1.指数与对数：指数、对数和底数的概念、指数与对数的性质等。

北师大版八年级下册数学各章知识点总结

北师大版八年级下册数学各章知识点总结集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >.(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, c b c a <2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a b x <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。

北师大版八年级下册数学第五章分式与分式方程(知识点)

第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。

如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。

分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。

3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。

字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。

最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。

通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。

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第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线。

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1. 不等关系2. 不等式的基本性质3. 不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组一.不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二.不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cb c a < ※2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三.不等式的解集※1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.※2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.¤3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四.一元一次不等式※1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.※2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.※3.解一元一次不等式的步骤:①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)※4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数; 当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a b x <; ¤5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式与一次函数六. 一元一次不等式组※1.定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a<b)第三章图形的平移与旋转一、平移定义和规律1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

关键：a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。

b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。

2平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。

注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

3简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。

整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。

二、旋转的定义和规律1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。

关键：a. 旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。

b. 图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

2旋转的规律(性质)：经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。

) 注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。

3简单的旋转作图：旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。

整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。

三、中心对称1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2．中心对称的基本性质：（1）．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3．中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点就是它的对称中心。

4、中心对称与中心对称图形的区别与联系如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。

3．图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比5、图案的分析与设计①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。

②图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。

第四章因式分解1. 因式分解2. 提公因式法3. 公式法一. 因式分解※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二. 提公共因式法※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: )(c b a ac ab +=+※2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+ ※3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三. 公式法※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.※2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((22b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-¤3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底. ※4. 运用公式法:(1)平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.(2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.※5. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. （补充）分组分解法:※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++※2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.十字相乘法:※1.对于二次三项式c bx ax ++2,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅= , 21c c c ⋅=, 且满足1221c a c a b +=,往往写成c 2a 2c 1a 1 的形式,将二次三项式进行分解.如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++ ※2. 二次三项式q px x ++2的分解: ))((2b x a x q px x ++=++ ab q ba p =+=b a 11※3. 规律内涵:(1)理解:把q px x ++2分解因式时,如果常数项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同.(2)如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.※4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第五章分式与分式方程1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。