八年级数学《平均数、众数和中位数》知识点

八年级数学《平均数、众数和中位数》知识点

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一、基本定义

1、平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。即有n个

数x1，x2，…，x n，则x=1

n

（x1+x2+…+x n）叫这n个数的平均数。平均数的计算方法：

（1）定义法；（2）加权平均法；（3）新数据法：x=x1+a，x是x1，x2，…，x n的平均数，x1是x11=x1－a，x21=x2－a，…，x n1=x n－a的平均数．

2、中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。

3、众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

二、平均数的优点和缺点

平均数：一组数据的平均值（平均水平）.平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小。平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的相应变动.平均数一般的计算方法为：用一组数据的总和除以这组数据的个数．

平均数的优点：反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定．

平均数的缺点：平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算，计算的工作量也较大。平均数易受极端数据的影响，从而使人对平均数产生怀疑。

三、中位数的优点和缺点

中位数：在有序排列的一组数据中最居中的那个数据（中等水平）.中位数是描述数据的另一种指标，如果将一组数按从小到大排列那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。中位数仅与数据的大小排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．中位数是将数据按大小顺序依次排列（相等的数也要全部参加排序）后“找”到的．当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数据；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数据的平均数作为中位数．

中位数的优点：简单明了，很少受一组数据的极端值的影响。

中位数的缺点：中位数不受其数据分布两端数据的影响，因此中位数缺乏灵敏性，不能充分利用所有数据的信息。当观测数据已经分组或靠近中位数附近有重复数据出现时，则难以用简单的方法确定中位数。

四、众数的优点和缺点

众数：一组数据中出现次数最多的那个数据（集中趋势）. 众数告诉我们，这个值出现次数最多，一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。众数着眼于对各数据出现的频数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关．一组数据中的众数不止一个．当一组数据中有相同数据多次出现时，其众数往往是我们关心的．

众数的优点：比较容易了解一组数据的大致情况，不受极端数据的影响，并且求法简便。众数的缺点：当一组数据变化很大时，它只能用来大略地估计一组数据的集中趋势。

五、这三个统计量不同点主要表现在以下方面：

１、个数不同

在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。

２、呈现形式不同

平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据，它可能与原数据中的某一个相同，也可能与原数据中的任何一个都不同。

中位数：是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据是奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，只有当中间的两个数相同时，它才与这组数据中的两个或两个以上数据相同，是数据中的一个真实的数，如果正中间的两个数不同，此时的中位数就是一个

“虚拟”的数。

众数：是一组数据中出现次数最多的原数据，它是真实存在的。但当一组数据中的每一个数据都出现相同次数时，这组数据就没有众数了。

３、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。

中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。

这三个统计量虽然有所不同，但都可以反映一组数据的集中趋势，都可以作为一组数据一般水平的代表。

４、特点不同

平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。

中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。

众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有。

５、作用不同

平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

通常情况下，看平均数是否具有代表性，主要看它是否代表大部分数据的水平；看中位数是否具有代表性，看它两侧的数据大小是否均衡。

一般情况下，如果一组数据中出现了一些极端数据，这时考虑用众数或中位数来说明整体水平比较合适，而一组数据中的数据如果都比较接近，没有极端数据出现，这时用平均数来表示整体水平比较合适。

选用它们表示一组数据的集中趋势时，一般是遵循“多数原则”，即哪种特征数能代表这组数据的绝大多数，正确选用合适的特征数来说明、评价、分析实际问题，避免误用和滥用。

六、关于平均数、中位数、众数的知识可以总结为：

分析数据平中众，比较接近选平均，相差较大看中位，频数较大用众数；

所有数据定平均，个数去除数据和，即可得到平均数；大小排列知中位；

整理数据顺次排，单个数据取中问，双个数据两平均；频数最大是众数。

当一组数据中没有特别偏大或偏小的数据时，平均数和中位数这两个统计量都能较好地反映该组数据的一般水平。

当一组数据有特别大或特别小的数据时，或者当一组数据中有个别数所不确切时，或者资料属于等级性质时，选用中位数来表示该组数据的一般水平比较合适。

平均数与中位数均唯一，但众数不一定唯一．在实际问题中求得的平均数、众数和中位数都应有相应单位．