人教新课标版数学高一-2014版数学人教A版必修一练习1-3-1-1函数的单调性
人教A版数学必修一人教版高一函数及其表示同步训练题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作函数及其表示内容提要：理解函数的概念，会用集合与对应的语言刻画函数；明确函数的三要素；学会求函数的定义域，某些函数特殊的函数值，正确判断两个函数是否相等；正确使用“区间”表示函数的定义域、值域等数集；理解函数三种表示方法，学会分段函数的作图。
一、基础训练1、集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤x<1},下列表示从A到B的函数是（）A、f : x→y=12x B、f : x→y=2xC、f : x→y=13x D、f : x→y=x2、已知函数f(x)= , ,则f[f(-1)]=( )A、-1B、1C、4D、-43、下列哪个函数与y=x相等（）A、y=3x3B、y=x2C、y=(x )2 D、y=x2xx2+1 (x≤0)-x2(x>0)4、已知函数f(x)=x 2+ax+b 满足f(1)=f(2)=0，则f(-1)的值是（ ）A 、-6B 、6C 、-5D 、55、函数y=1-x +x-1 的定义域是（ ）A 、[1，+∞)B 、（- ∞，1]C 、 {1}D 、不能确定6、函数f(x)=|x|+1的图象是（ ） A 、 B 、C 、D 、 7、函数y=-x 2-2x+3 (-3≤x ≤0)的值域是（ ）A 、[0，3]B 、[0，4]C 、[3，4]D 、[-1，4]8、下列图象中不能．．作为函数y=f(x)的图象的是（ ）9、若函数f(x)=ax 2-1,a 为一个正常数，且f[f(-1)]=-1，那么a 的值是( )A 、1B 、0C 、-1D 、21 y x O1 yxO 1 y x O 1yxO y x O A y x O B y x O Cy x O D10、集合A 的元素按对应法则“先乘12减1”和集合B 中的元素对应，在这种对应所成的映射f:A →B 中，若集合B={1，2，3，4，5}，那么集合A 不可能．．．是（ ） A 、{4，6，8} B 、{4，6} C 、{2，4，6，8} D 、{10}二、能力提高11、函数f(x)=4-x x-1 的定义域是12、某种钢笔，每支5元，把买钢笔钱数y(元)表示钢笔个数x(支)的函数，则y= 其定义域为13、若函数f(x)满足f(x+1)=x 2-2x,则f(2)=14、已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=p,f(3)=q ，那么f(36)=三、解答题15、求一次函数f(x),使f[f(x)]=9x+116、画出函数f(x)=x+|x|x 的图象。
人教新课标版数学高一-2014版数学人教A版必修一练习1-1-3-1并集、交集
1.1.3集合的基本运算第1课时并集、交集基础达标1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝()．A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}解析N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}．又M＝{－1,0,1}，∴M∩N＝{0,1}．答案 B2．若集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅解析∵A＝{x|－1≤x≤1}，又B＝{x|x≥0}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤1}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x≤1}．答案 C3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()．A．0 B．1 C．2 D．4解析∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.答案 D4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集的个数是________．解析∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的所有子集为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．答案 45．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|x＜－2或x＞5}，则A∪B＝________.解析将－3≤x≤4与x＜－2或x＞5在数轴上表示出来由图可得：A∪B＝{x|x≤4或x＞5}．答案{x|x≤4或x＞5}6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.解析∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.答案 27．定义A*B＝{x|x＝x1＋2x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}．(1)求A*B；(2)求A∩(A*B)∪B.解(1)∵A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，∴A*B＝{x|x＝x1＋2x2，x1∈A，x2∈B}＝{3,4,5,6,7}．(2)A∩(A*B)∪B＝{1,2,3}∩{3,4,5,6,7}∪{1,2}＝{3}∪{1,2}＝{1,2,3}．能力提升8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{(－2，－3)}C．∅D．{－3}解析 由于A 是点集，B 是数集，∵A ∩B ＝∅.答案 C9．设集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，若A ∪B ＝A ，则a ＝________.解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0. 当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，∴－1a ∈A ， 即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a ＝0或a ＝12.答案 0或1210．集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值；(2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．解 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎨⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19，解之得a ＝5. (2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅， 得3∈A,2∉A ，－4∉A .由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾；当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2a －15＝0}＝{3，－5}，符合题意．。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第3章 函数的概念与性质 习题课 单调性与奇偶性的综合应用
第三章习题课单调性与奇偶性的综合应用A级必备知识基础练1.(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是( )A.这个函数有2个单调递增区间B.这个函数有3个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-72.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=x2B.y=x-1xC.y=x+1x D.y=x-1x3.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有( )A.f(-1)>f(2)>f(-3)B.f(2)>f(-1)>f(-3)C.f(-3)>f(-1)>f(2)D.f(-1)>f(-3)>f(2)4.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上( )A.单调递增,且有最小值为f(1)B.单调递增,且有最大值为f(1)C.单调递减,且有最小值为f(2)D.单调递减,且有最大值为f(2)5.若函数f(x+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-√2),f(√3)的大小关系为( )A.f(√3)>f(-√2)>f(-1)B.f(√3)<f(-√2)<f(-1)C.f(-√2)<f(√3)<f(-1)D.f(-1)<f(√3)<f(-√2)6.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是( )A.f(0)<f(6)B.f(3)>f(2)C.f(-1)<f(3)D.f(2)>f(0)7.[安徽宿州高一月考]已知奇函数f(x)在定义域R上是增函数,则不等式f(4x-3x2)+f(7)>0的解集是.8.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数.若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.B级关键能力提升练9.(多选题)关于函数y=f(x),y=g(x),下述结论正确的是( )A.若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0B.若y=f(x)是偶函数,则y=|f(x)|也是偶函数C.若y=f(x)(x∈R)满足f(1)<f(2),则f(x)在区间[1,2]上单调递增D.若y=f(x),y=g(x)均为R上的增函数,则y=f(x)+g(x)也是R上的增函数10.设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且f(x)在[0,1)上单调递减,f-12 =1,则f(x)<1的解集为.11.[江苏扬州高一月考]已知函数f(x)=x|x|,则满足f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是.(用区间表示)参考答案习题课 单调性与奇偶性的综合应用1.BC 根据偶函数的图象关于y 轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.2.D y=x 2为偶函数,不符合条件;y=f(x)=x -1x=1-1x为非奇非偶函数,不符合题意;y=x+1x 为奇函数,但在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,不符合题意;y=x-1x 为奇函数,而y=x-1x 在(0,+∞)上单调递增,故选D.3.A 由y=f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),又因为函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f(2)>f(3),即f(-1)>f(2)>f(-3),故选A.4.C 根据奇函数的图象关于原点对称,所以其在y 轴两侧单调性相同,因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.5.B ∵函数f(x+3是R 上的偶函数,∴f(--1)=0,即f(x)=-x 2+3.∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f(-1)>f(-√2)>f(-√3)=f(√3).即f(√3)<f(-√2)<f(-1),故选B. 6.C ∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(-1), 又f(3)>f(1),故f(3)>f(-1).故选C.7.{x |-1<x <73} ∵f(4x-3x 2)+f(7)>0,∴f(4x-3x 2)>-f(7).又f(x)为定义域R 上的奇函数, ∴f(4x-3x 2)>f(-7).∵f(x)在定义域R 上是增函数,∴4x-3x 2>-7,解得-1<x<73,故原不等式的解集为{x |-1<x <73}.8.解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a 2)=-f(a 2-1), ∴f(1-a)+f(1-a 2)<0,则f(1-a)<-f(1-a 2),即f(1-a)<f(a 2-1). ∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数, ∴{1-a >a 2-1,-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,解得0<a<1, 故实数a 的取值范围为(0,1).9.BD 若y=f(x)是奇函数,当定义域不包含0时不成立,故A 错误;若y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x),故|f(x)|=|f(-x)|,y=|f(x)|也是偶函数,B 正确;举反例:f(x)=x-432满足f(1)<f(2),在[1,2]上不单调递增,故C 错误;设x 1<x 2,则[f(x 2)+g(x 2)]-[f(x 1)+g(x 1)]=[f(x 2)-f(x 1)]+[g(x 2)-g(x 1)]>0,故y=f(x)+g(x)也是R 上的增函数,故D 正确. 10.-1,-12∪12,1 ∵f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,∴f12=f -12=1,则不等式f(x)<1为f(x)<f 12,则f(|x|)<f12.∵f(x)在[0,1)上单调递减,∴|x|>12,解得x<-12或x>12.又定义域为(-1,1),故不等式的解集为-1,-12∪12,1.11.12,+∞ 由题意f(x)=x|x|,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 又f(x)=x|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以函数f(x)在R 上单调递增,则f(x)+f(3x-2)≥0,即f(x)≥-f(3x-2)=f(-3x+2),又函数单调递增,所以x≥-3x+2,解得x≥12.。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：1.3.1 第1课时 函数的单调性 Word版含解析.pdf
������
������
������
因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,即 4 ∉(1,4),所以 4 ≤1 或 4 ≥4,即 m≤4 或 m≥16.
试题为高清版 下载可打印
试题为高清版 下载可打印
答案(-∞,4]∪[16,+∞)
10.证明函数 f(x)=- ������在定义域上为减函数.
证明函数 f(x)=- ������的定义域为[0,+∞).
( )
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+a)<f(a)
D.f(a2+1)<f(a)
解析选项 D 中,因为 a2+1>a,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以 f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当 a=0 时, 自变量均是 0,应取等号.故选 D.
答案 D
6.若函数 f(x)=x2+3ax+5 在区间(-∞,5)上为减函数,则实数 a 的取值范围是( )
10
所以 a≤- 3 . 答案 A 7.函数 f(x)=|x-2|的单调递增区间是 . 解析由图象可知,f(x)的单调递增区间是[2,+∞).
试题为高清版 下载可打印
答案[2,+∞) 8.已知函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当 x∈(-∞,-2)时,f(x)是减函数,则 f(1)= . 解析∵函数 f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,+∞)上是增函数,
设 x1,x2 是[0,+∞)上的任意两个实数,且 0≤x1<x2,则 x2-x1>0, f(x2)-f(x1)=(- ������2)-(- ������1) = ������1 ‒ ������2
人教A版高中数学必修第一册素养单元课后习题 第3章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念
第三章学习单元1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念 A 级必备知识基础练1.下列各式中,表示y 是x 的函数的有( ) ①y=x-(x-3);②y=√x -2+√1-x ;③y={x -1,x ≤0,x +1,x ≥0.A.0个B.1个C.2个D.3个2.(多选题)下列四个图形中,可能是函数y=f(x)的图象的是( )3.下列四组函数中,是同一个函数的一组是( ) A.y=|x|,u=√v 2 B.y=√x 2,s=(√t )2 C.y=x 2-1x -1,m=n+1D.y=√x +1·√x -1,y=√x 2-1 4.函数f(x)=√x+1x -1的定义域是( )A.[-1,1)B.[-1,1)∪(1,+∞)C.[-1,+∞)D.(1,+∞) 5.设f(x)=1+2x -1,x≠±1,则f(-x)等于( )A.f(x)B.-f(x)C.-1f (x )D.1f (x )6.若(a,3a-1]为一确定区间,则实数a 的取值范围是 .7.(1)函数y=2x+1,x ∈(-1,1]的值域是 .(用区间表示) (2)函数y=x 2+x+2,x ∈R 的值域是 .(用区间表示)8.已知函数f(x)=x 2x 2+1. (1)求f(1),f(2)+f 12的值;(2)证明:f(x)+f 1x等于定值.B 级关键能力提升练9.下列关于x,y 的关系式中,y 可以表示为x 的函数关系式的是( ) A.x 2+y 2=1 B.|x|+|y|=1 C.x 3+y 2=1D.x 2+y 3=110.若函数f(x)=ax 2-1,a 为正实数,且f(f(-1))=-1,则a 的值是 .11.已知函数f(x)=x 2-2x,x ∈[0,b],且该函数的值域为[-1,3],则b 的值为 . 12.函数y=1x 2+x+1的值域为 .参考答案学习单元1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念1.B 对于①,y=x-(x-3),x 的取值范围为R,化简解析式为y=3,每个x 的值按对应法则都有唯一实数3与之对应,属于多对一,故①是函数;对于②,由y=√x -2+√1-x ,可知{x -2≥0,1-x ≥0,无解,故②不是函数;对于③,由y={x -1,x ≤0,x +1,x ≥0,可知当x=0时,y 有两个值-1,1与之对应,故③不是函数.2.AD 在A,D 中,对于x 的取值范围内的每一个x 都有唯一的y 与之对应,满足函数关系;在B,C 中,存在一个x 有两个y 与之对应的情况,不满足函数关系.3.A 对于A,y=|x|和u=√v 2=|v|的定义域都是R,对应关系也相同,因此是同一个函数;对于B,y=√x 2的定义域为R,s=(√t )2的定义域为{t|t≥0},两函数定义域不同,因此不是同一个函数;对于C,y=x 2-1x -1的定义域为{=n+1的定义域为R,两函数定义域不同,因此不是同一个函数;对于D,y=√x +1·√x -1的定义域为{x|x≥1},y=√x 2-1的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},定义域不同,不是同一个函数.故选A. 4.B 由{x +1≥0,x -1≠0,解得x≥-1,且x≠1.5.D f(x)=1+2x -1=x+1x -1,x≠±1,则f(-x)=-x+1-x -1=x -1x+1=1f (x ),故选D.6.12,+∞ 由题意,得3a-1>a,解得a>12.7.(1)(-1,3] (2)74,+∞ (1)∵-1<x≤1,∴-2<2x≤2.∴-1<2x+1≤3.∴函数的值域为(-1,3]. (2)∵x 2+x+2=(x +12)2+74≥74,∴函数的值域为[74,+∞).8.(1)解f(1)=1212+1=12,f(2)=2222+1=45,f12=(12) 2(12) 2+1=15,所以f(2)+f12=45+15=1.(2)证明f1x=(1x ) 2(1x) 2+1=1x 2+1,所以f(x)+f 1x=x 2x 2+1+1x 2+1=1,为定值.9.D 根据函数的定义,函数关系中任意一个x 都有唯一的y 对应,选项A,B,C 中满足关于x,y 的关系式中,存在一个x 有两个y 与之对应,不能构成函数关系,选项D 中满足关于x,y 的关系式中的任意一个x 都有唯一的y 对应,能构成函数关系.故选D.10.1 ∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a -1)2-1=a 3-2a 2+a-1=-1. ∴a 3-2a 2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).故a=1.11.3 作出函数f(x)=x 2-2x(x≥0)的图象如图所示.由图象结合值域为[-1,3]可知,区间右端点b 必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以f(b)=3,即b 2-2b=3,解得b=-1或b=3.又b>0,所以b=3.12.0,43 ∵x 2+x+1=x+122+34≥34,∴0<1x 2+x+1≤43.∴值域为0,43.。
人教A版高中数学必修一-3.1.1 函数的概念-同步练习(含解析)
人教A 版高中数学必修一-3.1.1 函数的概念-同步练习（原卷版）一、选择题1．集合A={x|0≤x ≤4}，B={y|0≤y ≤2}，下列不能表示从A 到B 的函数的是（ ） A ．f ：x →y =12x B ．f ：x →y=2﹣xC ．f ：x →y =23x D ．f ：x →y =√x2．函数f (x )=√x +1x 的定义域是（ ）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥0}C ．{x|x ≠0}D ．R 3．下列每组函数是同一函数的是（ ）A ．f(x)=x −1,g(x)=(√x −1)2B ．f(x)=x −1,g(x)=√(x −1)2C ．f(x)=x 2−4x−2,g(x)=x +2 D ．f(x)=|x|,g(x)=√x 24．变量x 与变量y ，w ，z 的对应关系如下表所示：下列说法正确的是 A ．y 是x 的函数 B ．w 不是x 的函数 C ．z 是x 的函数D ．z 不是x 的函数5．已知集合{}|A x y ==， {}| B x x a =≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( ) A ．(],3-∞- B ．(),3-∞- C ．(],0-∞ D ．[)3,+∞6．设()2211x f x x -=+，则()212f f ⎛⎫⎪⎝⎭等于( )A ．1B ．－1C ．35 D ．－35二、填空题7．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出．（1） ()()1f g ＝________；（2）若()()g f x ＝2，则x ＝________． 8．用区间表示下列数集． (1){x |x ≥2}＝________； (2){x |3<x ≤4}＝________； (3){x |x >1且x ≠2}＝________.9．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．10．已知f(x)＝x 2＋x －1，x ∈{0，1，2，3}，则f(x)的值域为________. 三、解答题11．求下列函数的定义域（1）y =√x +8+√3−x （2）y =√x 2−1+√1−x 2x−112．已知函数()f x =的定义域为集合A ，B ＝{x |x <a }． (1)求集合A ；(2)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(3)若全集U ＝{x |x ≤4}，a ＝－1，求∁U A 及A ∩(∁U B )．人教A 版高中数学必修一-3.1.1 函数的概念-同步练习（解析版）一 、选择题1．集合A={x|0≤x ≤4}，B={y|0≤y ≤2}，下列不能表示从A 到B 的函数的是（ ） A ．f ：x →y =12x B ．f ：x →y=2﹣xC ．f ：x →y =23x D ．f ：x →y =√x【答案】C【解析】对于C 选项的对应法则是f ：x →y=23x ，可得f （4）=83∉B ，不满足映射的定义，故C 的对应法则不能构成映射．故C 的对应f 中不能构成A 到B 的映射．其他选项均符合映射的定义. 故选：C ．2．函数f (x )=√x +1x 的定义域是（ ）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥0}C ．{x|x ≠0}D ．R 【答案】A【解析】要使f(x)有意义，则满足{x ≥0x ≠0，得到x>0.故选A.3．下列每组函数是同一函数的是（ ）A ．f(x)=x −1,g(x)=(√x −1)2B ．f(x)=x −1,g(x)=√(x −1)2C ．f(x)=x 2−4x−2,g(x)=x +2 D ．f(x)=|x|,g(x)=√x 2【答案】D【解析】A ，函数f(x)的定义域为，g (x )的定义域为{x|x ≥1}，两个函数的定义域不相同,不是同一函数；B ，函数f (x )和g (x )的值域不相同，不是同一函数；C ,函数f (x )和g (x )的定义域不同，不是同一函数；D ,f (x )=|x |,g (x )=√x 2=|x |，函数f (x )和g (x )的定义域、值域、对应法则都相同，属于同一函数,故选D.4．变量x 与变量y ，w ，z 的对应关系如下表所示：下列说法正确的是 A ．y 是x 的函数 B ．w 不是x 的函数 C ．z 是x 的函数 D ．z 不是x 的函数【答案】C【解析】观察表格可以看出，当x =1时，y =–1，–4，则y 不是x 的函数；根据函数的定义，一个x 只能对应一个y,反之一个y 可以跟多个x 对应，很明显w 是x 的函数，z 是x 的函数． 故选C ．5．已知集合{}|A x y ==， {}| B x x a =≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( ) A ．(],3-∞- B ．(),3-∞- C ．(],0-∞ D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.6．设()2211x f x x -=+，则()212f f ⎛⎫⎪⎝⎭等于( )A ．1B ．－1C ．35 D ．－35【答案】B【解析】()2221413221415f --===++. 221111132********2f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴.()2112f f =-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选B. 二、填空题7．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出．（1） ()()1f g ＝________；（2）若()()g f x ＝2，则x ＝________． 【答案】1 1 【解析】由题意得，g （1）=3，则f[g （1）]=f （3）=1 ∵g[f （x ）]=2，即f （x ）=2，∴x=1． 故答案为：1，1． 8．用区间表示下列数集． (1){x |x ≥2}＝________； (2){x |3<x ≤4}＝________； (3){x |x >1且x ≠2}＝________.【答案】 [2，＋∞) (3,4] (1,2)∪(2，＋∞) 【解析】由区间表示法知： (1)[2，＋∞)； (2)(3,4]；(3)(1,2)∪(2，＋∞)．9．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】由题意3a －1>a ，得a>12,故填1,.2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知f(x)＝x 2＋x －1，x ∈{0，1，2，3}，则f(x)的值域为________. 【答案】{－1，1，5，11}【解析】由已知得f(0)=−1;f(1)=1+1−1=1;f(2)=4+2−1=5;f(3)=9+3−1=11 故答案为{－1，1，5，11}. 三、解答题11．求下列函数的定义域（1）y =√x +8+√3−x （2）y =√x 2−1+√1−x 2x−1【答案】（1）[−8,3]；（2）{−1}。
人教A版数学必修1练习：第一章 1.3 1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：∵a ＞0，∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)开口向下以y 轴为对称轴， ∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上单调递减， ∴x ＝0时，f (x )最大值为9. 答案：A 2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12. 答案：B3．函数y ＝|x ＋1|－|2－x |的最大值是( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－2解析：由题意可知y ＝|x ＋1|－|2－x |＝⎩⎨⎧－3， x <－1；2x －1， －1≤x ≤2；3， x >2.画出函数图象即可得到最大值3.故选A.答案：A4．函数y ＝x ＋2x －1( ) A ．有最小值12，无最大值 B ．有最大值12，无最小值 C ．有最小值12，有最大值2D ．无最大值，也无最小值解析：f (x )＝x ＋2x －1的定义域为⎣⎢⎡12，＋∞)，在定义域内单调递增，∴f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，无最大值．答案：A5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，即a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值， 而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈ [0,2]的最小值为0，∴a ＜0. 答案：C6．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7.则a ＝________，b ＝________.解析：∵y ＝－x 2＋6x ＋9的对称轴为x ＝3，而a <b <3. ∴函数在[a ，b ]单调递增．∴⎩⎨⎧f (a )＝－a 2＋6a ＋9＝－7，f (b )＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得⎩⎨⎧ a ＝－2，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝6，又∵a <b <3， ∴⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝0. 答案：－2 07．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________． 解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎨⎧ －k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎨⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73. 答案：f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋738．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：f (x )＝4x ＋a x (x ＞0，a ＞0)在(0，a 2]上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝a 2时取得最小值，由题意知a2＝3，∴a ＝36. 答案：36 9．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝(x 1－1)(x 2＋2)－(x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)＝3(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝x －1x ＋2在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值，为f (3)＝25；当x ＝5时，函数f (x )取得最大值，为f (5)＝47.10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)求实数a 的范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数； (2)求f (x )的最小值．解析：(1)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，可知f (x )的图象开口向上，对称轴方程为x ＝－a ，要使f (x )在[－5,5]上单调，则－a ≤－5或－a ≥5， 即a ≥5或a ≤－5.(2)当－a ≤－5，即a ≥5时，f (x )在[－5,5]上是增函数，所以f (x )min ＝f (－5)＝27－10a .当－5<－a ≤5，即－5≤a <5时， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2，当－a >5，即a <－5时，f (x )在[－5,5]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，综上可得，f (x )min ＝⎩⎨⎧27－10a (a ≥5)，2－a 2(－5≤a ＜5)，27＋10a (a <－5).[B 组 能力提升]1．函数y ＝2x ＋1－2x ，则( ) A ．有最大值54，无最小值B ．有最小值54，无最大值 C ．有最小值12，最大值54 D ．既无最大值，也无最小值解析：设1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t 22，所以y ＝1－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)，对称轴t ＝12∈[0，＋∞)，所以y 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上递减，所以y在t ＝12处取得最大值54，无最小值．选A.答案：A 2．y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[－5,5]上的最大值、最小值分别是 ( ) A.37，0 B.32，0C.32，37D ．无最大值，无最小值解析：由图象可知答案为D.答案：D3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝－m2. (1)当－m2≤1时，即m ≥－2时，满足f (2)＝4＋2m ＋4≤0， ∴m ≤－4，又m ≥－2，∴此时无解．(2)当－m2≥2，即m ≤－4时，需满足f (1)＝1＋m ＋4≤0 ∴m ≤－5，又m ≤－4，∴m ≤－5.(3)当1＜－m2＜2，即－4<m <－2时，需满足⎩⎨⎧－4<m <－2，f (1)＝1＋m ＋4≤0，f (2)＝4＋2m ＋4≤0.此时无解．综上所述，m ≤－5. 答案：m ≤－54．已知函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：解法一：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即a ＜x 2＋2x 对一切x ∈R 都成立．因为x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，所以a ＜－1.解法二：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即x 2＋2x －a ＞0对一切x ∈R 都成立，所以Δ＝4＋4a ＜0即可，解得a ＜－1. 答案：(－∞，－1)5．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 解析：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.6．已知(x ＋2)2＋y 24＝1，求x 2＋y 2的取值范围．解析：由(x ＋2)2＋y 24＝1，得(x ＋2)2＝1－y24≤1，∴－3≤x ≤－1，∴x 2＋y 2＝x 2－4x 2－16x －12＝－3x 2－16x －12＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋283，因此，当x ＝－1时，x 2＋y 2有最小值1；当x ＝－83时，x 2＋y 2有最大值283. 故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，283.。
2014年新课标人教A版必修1数学1.3.1函数的单调性随堂优化训练课件
【变式与拓展】 1．用函数单调性的定义证明：f(x)＝－2x2＋3x＋c(c 为常数)
3 在－∞，4上是增函数．
证明：设任意的 f(x1)－f(x2)
3 x1，x2∈－∞，4，且 x1<x2，则
2 ＝(－2x2 1＋3x1＋c)－(－2x2＋3x2＋c) 2 ＝2x2 － 2 x 2 1＋3x1－3x2＝2(x2＋x1)(x2－x1)－3(x2－x1)
证明：设任意的 x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，
1 1 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x 1 2 1 1 ＝(x1－x2)＋x －x 1 2
x 2 －x 1 ＝(x1－x2)＋ x x 1 2 x1－x2x1x2－1 ＝ . xx
＝[2(x2＋x1)－3](x2－x1)．
由 x1<x2，得 x2－x1>0，
由
3 3 3 x1，x2∈ －∞，4 ，得 x1<4，x2<4.
3 3 ∵2x1<2，2x2<2，∴2(x2＋x1)<3， 即 2(x2＋x1)－3<0. 于是 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
增 函数． 区间[2,3]上是______
练习 2：下列函数在区间(0,2)上是增函数的是( C )
A．y＝－x＋1 C．y＝ 2x B．y＝x2－4x＋5 2 D．y＝x
【问题探究】
根据 f(x)＝x2(x>0)的图象进行讨论：随着 x 的增大，函数值 怎样变化？当 x1>x2 时，f(x1)与 f(x2)有怎样的大小关系？
1.3
1.3.1
函数的基本性质
函数的单调性
人教A版数学必修一新课标高中(必修1)第一章：函数及其表示(综合训练)题.docx
科 目： 数学适用年级: 高一资料名称: 新课标高中数学（必修1）第一章函数及其表示（综合训练）测试题一、选择题1．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +2．函数)23(,32)(-≠+=x x cxx f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ）A ．3B ．3-C ．33-或D ．35-或3．已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ）A ．15B ．1C ．3D ．304．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（）A ．[]052， B. []-14，C. []-55，D. []-37，5．函数224y x x =--+的值域是（ ）A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[2,2]-6．已知2211()11xxf x x --=++，则()f x 的解析式为（ ）A ．21x x+ B ．212x x+-C ．212x x+ D ．21x x+-二、填空题1．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = ．2．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .3．函数21()223f x x x =+-+的值域是 。
4．已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 。
5．设函数21y ax a =++，当11x -≤≤时，y 的值有正有负，则实数a 的范围 。
三、解答题1．设,αβ是方程24420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为何值时, 22αβ+有最小值?求出这个最小值.2．求下列函数的定义域（1）83y x x =++- （2）11122--+-=x x x y （3）x x y ---=111113．求下列函数的值域（1）x x y -+=43 （2）34252+-=x x y （3）x x y --=21 4．作出函数(]6,3,762∈+-=x x x y 的图象。
人教新课标版数学高一人教A数学必修1作业 1-3-1-1函数的单调性
课时作业(十) 函数的单调性一、选择题1．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减 答案：C解析：y ＝|x ＋2|＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如图．易知函数在[－3，－2]上为减函数，在[－2,0]上为增函数．2．已知函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则f (2)________f (x 2－4x ＋6)( )A ．≥B ．>C ．≤D ．<答案：C 解析：∵x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2，且f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (2)≤f (x 2－4x ＋6)．3．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 答案：D 解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a ＞0时，由函数f (x )＝ax 2＋2x －3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上单调递增；当a ＜0时，只有－22a ≥4，即a ≥－14满足函数f (x )在区间(－∞，4)上是单调递增的．综上可知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0. 4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案：C 解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，所以2m ＞－m ＋9，即m ＞3.5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1]D ．(0,1)答案：C 解析：由题可知，g (x )＝ax ＋1，x 在[1,2]上是减函数⇒a ＞0，欲使y ＝－x 2＋2ax 在[1,2]上单调递减，必须满足a ≤1.综上，0＜a ≤1.故选C.6．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4]B ．[0,2]C ．(－∞，0]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案：A 解析：由f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (2)＞f (0)，解得a ＜0.又因f (x )图象的对称轴为x ＝－－4a2a ＝2.所以x 在[0,2]上的值域与[2,4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是[0,4]．二、填空题7．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是________．答案：(0,1) 解析：∵f (x )为R 上的减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＜f (1)，∴1x ＞1，∴0＜x ＜1.8．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.9．函数f (x )＝ax ＋2x ＋2(a 为常数)在(－2，2)内为增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：(1，＋∞) 解析：函数f (x )＝ax ＋2x ＋2＝a ＋2－2ax ＋2，由于f (x )存在增区间，所以2－2a ＜0，即a ＞1.10．已知函数f (x )＝－ax 在(0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案：(0，＋∞) 解析：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 由题意知，f (x 1)<f (x 2)，即－a x 1<－ax 2，∴a (x 2－x 1)x 1x 2>0.又0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0， ∴a >0，即a 的取值范围是(0，＋∞)． 三、解答题11．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1.(1)求f (1)；(2)若f (x )＋f (x －8)≤2，求x 的取值范围．解：(1)∵f (3)＝f (1×3)＝f (1)＋f (3)， ∴f (1)＝0.(2)f (9)＝f (3×3)＝f (3)＋f (3)＝2， 从而有f (x )＋f (x －8)≤f (9)， 即f (x (x －8))≤f (9)，∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧x (x －8)≤9，x ＞0，x －8＞0，解得8＜x ≤9，即x ∈(8,9]．12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)．(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0，求函数f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.①∵f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)的最小值为4a －b 24a ，f (x )对x ∈R 均有f (x )≥0，∴必有f (x )min ＝4a －b 24a ≥0，∵a ＞0，∴4a －b 2≥0，即b 2－4a ≤0.② 将①代入②，得b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0， ∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1. (2)由(1)，得g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， ∵x ∈[－2,2]时，g (x )是单调函数， ∴－2－k 2≤－2或－2－k2≥2，解得k≤－2或k≥6.即k的取值范围为{k|k≤－2或k≥6}．13．已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．解：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝1x2－1的定义域为{x∈R|x≠±1}．(2)函数f(x)＝1x2－1在(1，＋∞)上是减函数．证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1x21－1－1x22－1＝(x2－x1)(x1＋x2)(x21－1)(x22－1).因为x2>x1>1，所以x21－1>0，x22－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝1x2－1在(1，＋∞)上是减函数．尖子生题库14．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0，试判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．解：设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0.由x＞0时，函数f(x)＞0知，f(Δx)＝f(x2－x1)＞0，又由x2＝(x2－x1)＋x1，∴f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)．∵f(x2－x1)＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．。
(新人教版)【文库精品】度高中数学 第一章 1.3.1 第一课时 函数的单调性练习 新人教A版必修1【必做资料】
第一课时函数的单调性【选题明细表】1.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故选C.2.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.3.在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.4.函数f(x)=|x|-3的单调增区间是( B )(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)(C)(-∞,3) (D)(3,+∞)解析:根据题意,f(x)=|x|-3=其图象如图所示,则其单调增区间是(0,+∞).故选B.5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.6.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围是( D )(A)(,) (B)[,)(C)(,) (D)[,)解析:因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f(2x-1)<f(),所以0≤2x-1<,解得≤x<.故选D.7.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是.解析:当x≥1时,f(x)是增函数;当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1). 答案:(-∞,1)8.函数f(x)=x2-2mx-3在区间[1,2]上单调,则m的取值范围是.解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置,函数f(x)=x2-2mx-3的对称轴为x=m,函数在区间[1,2]上单调,则m≤1或m≥2.答案:(-∞,1]∪[2,+∞)9.已知f(x)=,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.解:f(x)=在[1,+∞)上是增函数.证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-==.因为1≤x1<x2,所以x2+x1>0,x2-x1>0,+>0.所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.10.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )(A)(-∞,3) (B)(0,3)(C)(3,+∞) (D)(3,9)解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.11.已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围是. 解析:由题意,得解得1≤x<,故满足条件的x的取值范围是1≤x<.答案:[1,)12.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f(x·y)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1);(2)证明f(x)在定义域上是增函数;(3)如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围.(1)解:令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.(2)证明:令y=,得f(1)=f(x)+f()=0,故f()=-f(x).任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().由于>1,故f()>0,从而f(x2)>f(x1).所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)解:由于f()=-1,而f()=-f(3),故f(3)=1.在f(x·y)=f(x)+f(y)中,令x=y=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2.故所给不等式可化为f(x)-f(x-2)≥f(9),所以f(x)≥f[9(x-2)],所以x≤.又所以2<x≤.所以x的取值范围是(2,].13.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是.解析:由题意得解得-3≤a≤-2.答案:[-3,-2]。
人教A版高中数学必修一课后同步课时作业：1-3-1-1函数的单调性
人教A 版高中数学必修一课后同步课时作业：1-3-1-1函数的单调性一、选择题1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝x x －1[答案] D[解析] y ＝1－x 2在(－∞，0)上为增函数，y ＝x 2＋x 在(－∞，0)上不单调，y ＝－－x 在(－∞，0)上为增函数，故选D.2．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫1x >f (1)的x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ∵f (x )在R 上单调递减且f (1x)>f (1)， ∴1x<1，∴x <0或x >1. 3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )A ．y ＝3－xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |[答案] B[解析] y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－|x |在(0,2)上都是减函数，y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数． 4．若y ＝f (x )是R 上的减函数，对于x 1＜0，x 2＞0，则( )A ．f (－x 1)＞f (－x 2)B ．f (－x 1)＜f (－x 2)C ．f (－x 1)＝f (－x 2)D ．无法确定[答案] B[解析] 由于x 1＜0，x 2＞0，所以x 1＜x 2，则－x 1＞－x 2，因为y ＝f (x )是R 上的减函数，所以f (－x 1)＜f (－x 2)，故选B.5．函数f (x )＝－x 2＋6x ＋7的单调增区间为( )A ．(－∞，3]B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．[3,7][答案] C [解析] 方程－x 2＋6x ＋7＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝7，又y ＝－x 2＋6x ＋7对称轴为x ＝3，如图知选C.6．函数y ＝1－1x －1( ) A ．在(－1，＋∞)内单调递增B ．在(－1，＋∞)内单调递减C ．在(1，＋∞)内单调递增D ．在(1，＋∞)内单调递减[答案] C[解析] 因为函数y ＝1－1x －1可视作函数y ＝－1x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，所以y ＝1－1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)内都是增函数，故选C. 7．已知函数y ＝f (x )的定义域是数集A ，若对于任意a ，b ∈A ，当a <b 时都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的实数根( )A ．有且只有一个B ．一个都没有C ．至多有一个D ．可能会有两个或两个以上[答案] C[解析] 由条件知f (x )在A 上单调增，故f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故选C.8．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t ，都有f (2＋t )＝f (2－t )，则( )A ．f (2)<f (1)<f (4)B ．f (1)<f (2)<f (4)C ．f (2)<f (4)<f (1)D ．f (4)<f (2)<f (1)[答案] A[解析] 由条件知，二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，其图象开口向上，∵2－1<4－2，∴f (4)>f (1)>f (2)．[点评] 当二次函数的图象开口向上时，与对称轴距离越远，对应的函数值越大；开口向下时恰好相反．9．(09·天津文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)[答案] A[解析] ∵f (1)＝3，∴当x ≥0时，由f (x )＞f (1)得x 2－4x ＋6>3，∴x ＞3或x ＜1.又x ≥0，∴x ∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x ＜0时，由f (x )＞f (1)得x ＋6＞3∴x ＞－3，∴x ∈(－3,0)．综上可得x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.10．设(c ，d )、(a ，b )都是函数y ＝f (x )的单调减区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 函数f (x )在区间D 和E 上都是减函数(或都是增函数)，但在D ∪E 上不一定单调减(或增)． 如图，f (x )在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．二、填空题11．考察单调性，填增或减函数y ＝1－x 在其定义域上为________函数；函数y ＝1x在其定义域上为________函数． [答案] 减 减12．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 x ≥0x ＋1 x ＜0，则f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________． [答案] 增区间为(－∞，0]、[1，＋∞)，减区间[0,1][解析] 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 (x ≥0)x ＋1 (x <0)的图象如图，可知f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.13．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.[答案] 21[解析] 由已知得－－m 2×4＝－2，解得m ＝－16 ∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21.三、解答题14．设f (x )在定义域内是减函数，且f (x )＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性(1)y ＝f (x )＋a(2)y ＝a －f (x )(3)y ＝[f (x )]2.[解析] (1)y ＝f (x )＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x )是增函数．证明从略．(3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f (x 2)＋f (x 1)][f (x 2)－f (x 1)]＜0，∴y ＝f 2(x )是减函数．15．画出函数y ＝|x 2－x －6|的图象，指出其单调区间．[解析] 函数解析式变形为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6(－2≤x ≤3)x 2－x －6(x ＜－2或x ＞3)画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，12]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12，3]． 16．讨论函数y ＝1－x 2在[－1,1]上的单调性．[解析] 设x 1、x 2∈[－1,1]且x 1<x 2，即－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝1－x 21－1－x 22 ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)1－x 21＋1－x 22当1>x 1≥0,1≥x 2>0，x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[0,1]上为减函数，当－1≤x 1<0，－1<x 2≤0，x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[－1,0]上为增函数．17．求证：函数f (x )＝x ＋a 2x(a ＞0)，在区间(0，a ]上是减函数． [解析] 设0＜x 1＜x 2≤a ，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋a 2x 2)－(x 1＋a 2x 1) ＝(x 2－x 1)＋a 2(x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x 2. ∵0＜x 1＜x 2≤a ，∴0＜x 1x 2＜a 2，∴(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x 2＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)， ∴f (x )＝x ＋a 2x(a >0)在(0，a ]上是减函数． 18．已知f (x )在R 上是增函数，且f (2)＝0，求使f (|x －2|)>0成立的x 的取值范围．[解析] 不等式f (|x －2|)>0化为f (|x －2|)>f (2)，∵f (x )在R 上是增函数，∴|x －2|>2，∴x >4或x <0.。
人教新课标版数学高一人教A数学必修1作业 1-1-3-1并集与交集
课时作业(四)并集与交集一、选择题1．已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝()A．{x|x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|－2≤x≤2} D．{x|－2≤x≤1}答案：D解析：A＝{x∈R||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x≤1}＝{x|－2≤x≤1}．故选D.2．若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，N＝{(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}，则有()A．M∪N＝M B．M∪N＝NC．M∩N＝M D．M∩N＝∅答案：A解析：集合M表示第二、四象限角的平分线，集合N表示坐标原点．3．若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是()A. {1,2}B. {x|x≤1}C. {－1,0,1}D. R答案：A解析：因为A∩B＝B，所以B⊆A，分析可知只有A适合．4．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是()A. {－1,2,3}B. {－1，－2,3}C. {1，－2,3}D. {1，－2，－3}答案：C解析：A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．5．已知集合M＝{a,0}，N＝{1,2}，且M∩N＝{2}，那么M∪N＝() A．{a,0,1,2} B．{1,0,1,2}C．{2,0,1,2} D．{0,1,2}答案：D解析：由于集合M＝{a,0}，N＝{1,2}，且M∩N＝{2}，所以a＝2，所以M∪N＝{0,1,2}．6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A. 0或 3B. 0或3C. 1或 3D. 1或3答案：B解析：解法一：∵A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝m.由m＝m，得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.解法二：排除法．∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项C，D.又当m＝3时，A＝{1,3， 3 }，B＝{1,3}，∴A∪B＝{1,3， 3 }＝A，故m＝3适合题意，故选B.二、填空题7．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a ＝________.答案：1解析：由已知得a＋2＝3，∴a＝1，而a2＋4＝3无解，综上，a＝1.8．设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|(x－1)(x－3)>0}，则集合{x|x∈A且x∉(A∩B)}＝________.答案：{x|1≤x≤3}解析：∵A＝{x|－4＜x＜4}，B＝{x|x＜1或x＞3}，A∩B＝{x|－4＜x＜1或3＜x＜4}，则{x|x∈A且x∉(A∩B)}＝{x|1≤x≤3}．9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.答案：－12解析：∵B∪C＝{x|－3<x≤4}，∴A(B∪C)．∴A∩(B ∪C)＝A，由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，∴a＝－1，b＝2.10．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．答案：{a|a>－1}解析：在数轴上表示出A，B，如图．利用数轴分析，可知a>－1.11．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.答案：{1,2,5}解析：∵A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，A∩B＝{2}，∴2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1.又2∈A，∴b＝2，∴A∪B＝{1,2,5}．12．若集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则a ＝________.答案：0,1，12 解析：B ＝{1,2}．∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B . 当a ＝0时，A ＝∅，符合题意；当a ≠0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，1a ＝1或1a ＝2，∴a ＝1或a ＝12.综上，a 的值是0,1，12.三、解答题13．集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； (2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．解：由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19，解得a ＝5. (2)由∅A ∩B ，知A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A ，得32－3a ＋a 2－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾；当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意．综上，知a ＝－2.14．集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x <a }．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．解：(1)如下图所示：A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∩B＝∅，∴数轴上点x＝a在x＝－1左侧，∴a≤－1.即a的取值范围为{a|a≤－1}．(2)如图所示：A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∪B＝{x|x<1}，∴数轴上点x＝a在x＝－1和x＝1之间．即a的范围为{a|－1<a≤1}．15．已知：A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若A∪B＝B，求a的值；(2)若A∩B＝B，求a的值．解：(1)A＝{－4,0}．若A∪B＝B，则B＝A＝{－4,0}，解得a＝1.(2)若A∩B＝B，则①若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，则a<－1；②若B为单元素集合，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8＝0，解得a＝－1，将a＝－1代入方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，解得x＝0，即B＝{0}，符合要求；③若B为双元素集合，即B＝A＝{－4,0}，则a＝1.综上所述，a的取值范围为{a|a≤－1或a＝1}．尖子生题库16．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．(1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)．解：(1)若A＝∅，则A∩B＝∅成立．此时2a＋1>3a－5，即a<6.若A≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，2a＋1≥－1，3a－5≤16，解得6≤a≤7.综上，实数a的取值范围是{a|a≤7}．(2)因为A⊆(A∩B)，且(A∩B)⊆A，所以A∩B＝A，即A⊆B.显然A＝∅满足条件，此时a<6.若A≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，3a －5<－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5<－1，解得a ∈∅； 由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16，解得a >152. 综上，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a <6或a >152.。
人教A版高中数学必修一课时作业1.3.1.1函数的单调性(含答案)
第一章 1.3 1.3.1 第一课时A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数在区间(0,1)上是增函数的是导学号 69174326( D ) A ．y ＝1－2x B ．y ＝1xC ．y ＝x －1D ．y ＝－x 2＋2x[解析] 作出y ＝1－2x ，y ＝1x 的图象易知在(0,1)上为减函数，而y ＝x －1的定义域为[1，＋∞)不合题意．故选D ．2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是导学号 69174327( C )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．如0＜5，但f (0)＞f (5)，故选C ．3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2，x <0的单调性为导学号 69174328( D )A ．在(0，＋∞)上为减函数B ．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数C ．不能判断单调性D ．在(－∞，＋∞)上是增函数[解析] 画出函数的图象，易知函数在(－∞，＋∞)上是增函数．4．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是导学号 69174329( D )A ．f (3)<f (－4)<f (－π)B ．f (－π)<f (－4)<f (3)C ．f (－4)<f (－π)<f (3)D ．f (3)<f (－π)<f (－4)[解析] ∵f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (3)<f (π)<f (4)，∴f (3)<f (－π)<f (－4)．5．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的单调递减区间是导学号 69174330( C ) A ．[－12，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－12]D ．(－∞，＋∞)[解析] y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34，其对称轴为x ＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴x ≤－12时单调递减． 6．(2016～2017黄冈中学月考)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是导学号 69174331( C )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[解析] 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C ．二、填空题7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是__ [17，13)__.导学号 69174332[解析] 要使f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件；①g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1)上为减函数； ②h (x )＝－x ＋1在[1，＋∞)上为减函数；③g (1)≥h (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，a －＋4a ≥－1＋1.∴17≤a <13. 8．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是__(－∞，40]∪[64，＋∞)__.导学号 69174333[解析] 对称轴为x ＝k 8，则k 8≤5或k8≥8，得k ≤40或k ≥64.三、解答题9．(2016～2017·东营高一检测)证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数.导学号 69174334[证明] 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧b －x ＋b －1，x ＞0－x 2＋－b x ，x ≤0在R 上为增函数，求实数b 的取值范围.导学号 69174335[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞02－b ≥0b －1≥0，解得1≤b ≤2.B 级 素养提升一、选择题1．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (2x )>f (1)的实数x 的取值范围是导学号 69174336( D )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(12，＋∞)D ．(－∞，12)[解析] ∵f (x )在R 上为减函数且f (2x )>f (1)． ∴2x <1，∴x <12.2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是导学号 69174337( D )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定3．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是导学号 69174338( A )A ．减函数且f (0)＜0B ．增函数且f (0)＜0C ．减函数且f (0)＞0D ．增函数且f (0)＞0[解析] ∵y ＝ax 和y ＝－bx 在(0，＋∞)都是减函数，∴a ＜0，b ＜0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a ＜0，故选A ．4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是导学号 69174339( C ) A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数[解析] ∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定． 例如f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝12x ＋2为增函数；当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数，∴不能确定．二、填空题5．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为__ [0，32]__.导学号 69174340[解析] y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x ＞，x 2－3x x ，作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．6．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为__f (a 2－a ＋1)≤f (34)__.导学号 69174341[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34)．三、解答题7．(2016～2017·临汾高一检测)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a－1)，求a 的取值范围.导学号 69174342[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23.即所求a 的取值范围是(0，23)．C 级 能力拔高1．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.导学号 69174343(1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≥3.[解析] (1)f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1， 又f (4)＝5，∴f (2)＝3.(2)f (m －2)≥f (2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤2m －2＞0，∴2＜m ≤4.∴m 的范围为(2,4]．2．(1)写出函数y ＝x 2－2x 的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？导学号 69174344(2)写出函数y ＝|x |的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4,8]上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，y ＝f (x )的部分图象如图所示，请补全函数y ＝f (x )的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)[解析] (1)函数y ＝x 2－2x 的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；其图象的对称轴是直线x ＝1；区间(－∞，1]和区间[1，＋∞)关于直线x ＝1对称，函数y ＝x 2－2x在对称轴两侧的单调性相反．(2)函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)，图象关于直线x＝0对称，在其两侧单调性相反．(3)函数y＝f(x)，x∈[－4,8]的图象如图所示．函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称．区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，函数y ＝f(x)在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反．(4)发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称区间内的单调性相反．。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业4：3.1.1 函数的概念练习题
第三章函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念基础达标练1．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果集合B ＝{1}，那么集合A 不可能是( ) A ．{1}B ．{－1}C ．{－1,1}D ．{－1,0}2．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )3．下列各组函数表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z4．若『a, 3a －1』为一确定区间，则a 的取值范围是________． 5．设f (x )＝11－x ，则f (f (a ))＝________.6．函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域为_________．(用区间表示)7．已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值.8．若f (x )＝ax 2－2，且f (f (2))＝－2，求a 的值．素养提升练1．某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是( )A ．y 是x 的函数B ．z 是y 的函数C ．w 是z 的函数D ．x 是z 的函数2．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝100x ＋2C ．y ＝16xD ．y ＝x 2＋x ＋13．(多选题)给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个结论，其中正确的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－12＝12B ．f (3.4)＝－0.4C ．f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14D ．y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎡⎦⎤－12， 12 4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，则从A 到B 的函数f (x )有________个． 5．若函数f (x )＝3x －1mx 2＋x ＋3的定义域为R ，求m 的取值范围．6．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 020)＋f ⎝⎛⎭⎫12 020的值．——★ 参*考*答*案 ★——基础达标练1．D『『解 析』』若集合A ＝{－1,0}，则0∈A ，但02＝0∉B . 2．A『『解 析』』当x 取值时，有很多y 值与x 对应，不满足函数的定义． 3．C『『解 析』』选项A ，B 及D 中对应关系都不同，故都不是相等函数． 4．⎝⎛⎭⎫12，＋∞『『解 析』』若『a, 3a －1』为一确定区间，则a <3a －1，解得a >12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 5．a －1a (a ≠0，且a ≠1)『『解 析』』f (f (a ))＝11－11－a ＝11－a －11－a ＝a －1a (a ≠0，且a ≠1)． 6．⎣⎡⎭⎫－2， 52∪⎝⎛⎦⎤52，3 『『解 析』』要使函数『解 析』式有意义，需满足⎩⎨⎧x ＋2≥0，6－2x ≥0，6－2x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≤3，x ≠52⇒－2≤x ≤3，且x ≠52.∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－2， 52∪⎝⎛⎦⎤52，3. 7．解 (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.8．解 因为f (2)＝a (2)2－2＝2a －2，所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－ 2.于是a (2a －2)2＝0，即2a －2＝0或a ＝0.所以a ＝22或a ＝0. 素养提升练1．B『『解 析』』姓名不是数集，故A ，D 不成立，成绩w 可能与多个身高z 对应，不能构成函数. 学号集合到身高集合的对应是数集间的对应，且任一个学号都对应唯一一个身高，因此z 是y 的函数． 2．B『『解 析』』A 中y ＝x 的值域为『0，＋∞)；C 中y ＝16x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；D中y ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞；B 中函数的值域为(0，＋∞)． 3．AC『『解 析』』由题意得f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12－(－1)＝12，A 正确；f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，B 错误；f ⎝⎛⎭⎫－14＝⎪⎪⎪⎪－14－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝⎪⎪⎪⎪－14－0＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪14－0＝14，∴f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14，C 正确；y ＝f (x )的定义域为R ，值域为⎣⎡⎦⎤0， 12，D 错误． 4．8『『解 析』』抓住函数的“取元任意性，取值唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.由表可知，这样的函数有8个．5．解 要使函数f (x )有意义，必须mx 2＋x ＋3≠0. 又因为函数的定义域为R ，故mx 2＋x ＋3≠0对一切实数x 恒成立． 当m ＝0时，x ＋3≠0，即x ≠－3， 与f (x )定义域为R 矛盾， 所以m ＝0不合题意．当m ≠0时，有Δ＝12－12m <0，得m >112.综上可知m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m ＞112.6．(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1. f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)解 由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 020)＋f ⎝⎛⎭⎫12 020＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 020)＋f ⎝⎛⎭⎫12 020＝2 019.。
人教A版数学必修1练习：第一章 1.3 1.3.1 第1课时 函数的单调性 Word版含解析
[课时作业][A 组 基础巩固]1．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性答案：D2．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，5]D ．[3，＋∞)解析：二次函数开口向上，对称轴为x ＝－2(a －1)2＝1－a ，要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a ≥4，即a ≤－3.答案：B3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( )A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减解析：y ＝|x ＋2|的图象是由y ＝|x |图象向左平移2个单位得来，由图可知y ＝|x ＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增．答案：C4．函数f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上( )A ．递增B ．递减C ．先增再减D ．先减再增解析：∵y ＝x 在(0，＋∞)上递增，y ＝－1x 在(0，＋∞)上也递增，∴f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上递增．答案：A5．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( ) A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x 2－4x ＋3 解析：∵x 1，x 2∈(0，＋∞)时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)是增函数．答案：C6．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m 4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.答案：－37．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0). 作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )在[1,2]上单调递减可得a ≤1；由g (x )在[1,2]上单调递减可得a ＞0 ∴a ∈(0,1]．答案：(0,1]9．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)， 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.(1)求f (2)的值；(2)解不等式f (m －2)≤3.解析：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)．∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数．∴⎩⎨⎧m －2≥2，m －2>0解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．10．求函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|的单调区间．解析：先作出y ＝x 2－6x ＋8的图象，然后x 轴上方的不变，x轴下方的部分关于x 轴对称翻折，得到如图f (x )＝|x 2－6x ＋8|的图象，由图象可知f (x )的增区间为[2,3]，[4，＋∞]；减区间为(－∞，2]，[3,4]．[B 组 能力提升]1．已知f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，则f (－2)，f (2)，f (3)的大小关系为( )A ．f (－2)<f (2)<f (3)B ．f (－2)>f (2)>f (3)C ．f (2)<f (－2)<f (3)D ．f (2)<f (3)<f (－2) 解析：∵f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )图象开口向上且关于x ＝1对称，∴f (x )在[1，＋∞)上递增，而f (－2)＝f (1－3)＝f (1＋3)＝f (4)，∴f (2)<f (3)<f (4)＝f (－2)．答案：D2．已知，a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)，∴二次函数图象关于直线x ＝2对称，又f (0)>f (1)，∴f (x )在(－∞，2]上递减，∴二次函数图象开口向上，即a >0.答案：A3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是 [3，＋∞)，则a ＝________.解析：利用函数图象确定单调区间．f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ≥－a 2，－2x －a ，x ＜－a 2.作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为[－a 2，＋∞)，∴－a 2＝3，∴a ＝－6.答案：－64．函数f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ，x ≤1ax ，x >1在R 上是增函数，则a 的取值范围为________． 解析：⎩⎨⎧ 2－a >0，a >0，2－a ≤a ，解得1≤a ＜2. 答案：[1,2)5．若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解析：f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1. 设x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝(a －a ＋1x 1＋1)－(a －a ＋1x 2＋1)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 2＋1)(x 1＋1). 又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，所以f (x 1)－f (x 2) >0.由于x 1<x 2<－1，所以x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0，所以a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)．6．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)f (2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数．如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围．解析：∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)．又f (2)＝1，∴f (4)＝2.∵f (2)＋f (x －3)＝f (2(x －3))＝f (2x －6)，∴f (2x －6)≤2＝f (4)，即f (2x －6)≤f (4)．∵f (x )在(0，＋∞)上递增，∴⎩⎨⎧x －3＞0，2x －6≤4解得3＜x ≤5.故x 的取值范围为(3,5]．。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业1：3.1.1 函数的概念练习题
3．1 函数的概念及其表示3．1.1函数的概念1．下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值『答案』 A『解析』按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义．只有选项A符合函数定义．2．函数f(x)＝1＋x＋x1－x的定义域是()A．『－1，＋∞) B．(－∞，－1』C．R D．『－1,1)∪(1，＋∞) 『答案』 D『解 析』 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≠0，解得⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠1.故定义域为『－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.3．设函数f (x )＝3x 2－1，则f (a )－f (－a )的值是( ) A ．0 B ．3a 2－1 C ．6a 2－2 D ．6a 2『答 案』 A『解 析』 f (a )－f (－a )＝3a 2－1－『3(－a )2－1』＝0. 4．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2『答 案』 D『解 析』 A 中的函数定义域不同； B 中的函数定义域不同；C 中两函数的对应关系不同，故选D.5．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )『答 案』 B『解 析』 A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．6．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________.『答 案』 12或2『解 析』 f (a )＝5aa 2＋1＝2，所以2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝2或12.7．下列对应关系是函数的为________．(填序号) (1)x →x 2，x ∈R ；(2)x →y ，其中y 2＝x ，x ∈(0，＋∞)，y ∈R ； (3)t →s ，其中s ＝t 2＋1t －1，t ≠1，t ∈R .『答 案』 (1)(3) 8．函数y ＝6－x|x |－4的定义域用区间表示为________． 『答 案』 (－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6』『解 析』 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧6－x ≥0，|x |－4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，x ≠±4，∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6』． 9．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23的值；(3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值． 解 (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}， 所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f ⎝⎛⎭⎫23＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a >0，故f (a )，f (a －1)有意义． f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1(a －1)＋2＝a ＋2＋1a ＋1. 10．求函数y ＝－x 2＋4x ＋56－2x －1的定义域，并用区间表示．解 要使函数有意义，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋5≥0，6－2x ≥0，6－2x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x ≤3，x ≠52.所以－1≤x ≤3且x ≠52，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤3且x ≠52， 用区间表示为⎣⎡⎭⎫－1，52∪⎝⎛⎦⎤52，3.11．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1B ．0C ．－1D ．2 『答 案』 A『解 析』 ∵f (x )＝ax 2－1， ∴f (－1)＝a －1，f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. ∴a (a －1)2＝0. 又∵a 为正数，∴a ＝1.12．若函数y ＝f (x )的定义域是『0,2』，则函数g (x )＝f (2x )的定义域是( )A ．『0,2』B ．『0,1』C ．『0,4』D ．(0,1)『答 案』 B『解 析』 ∵y ＝f (x )的定义域是『0,2』， ∴要使g (x )＝f (2x )有意义， 需0≤2x ≤2，即0≤x ≤1.13．已知f (2x ＋1)＝4x 2＋4x ＋3，则f (1)＝________. 『答 案』 3『解 析』 f (1)＝f (2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.14．若对任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________，f (－1)＝________. 『答 案』 2 0『解 析』 对∀x ∈R ，有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1， 令x ＝1，则2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，则2f (－1)－f (1)＝－2.② 由①②解得f (1)＝2，f (－1)＝0.15．已知f (x )＝1－x 1＋x (x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2－1(x ∈R )，则f (g (x ))＝________.『答 案』 2－x 2x 2(x ≠0)『解 析』 f (g (x ))＝1－g (x )1＋g (x )＝1－(x 2－1)1＋(x 2－1)＝2－x 2x2(x ≠0)．16．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)与f ⎝⎛⎭⎫13； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 有什么关系？证明你的发现； (3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019的值．解 (1)由f (x )＝x 21＋x 2＝1－1x 2＋1，所以f (2)＝1－122＋1＝45，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－114＋1＝15.f (3)＝1－132＋1＝910，f ⎝⎛⎭⎫13＝1－119＋1＝110.(2)由(1)中求得的结果发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1. 证明如下：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝2018.。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第3章 函数的概念与性质 第1课时 函数的表示法
3.1.2 函数的表示法第1课时函数的表示法A级必备知识基础练1.[探究点二]已知f(x)是反比例函数,且f(-3)=-1,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=-3x B.f(x)=3xC.f(x)=3xD.f(x)=-3x2.[探究点一]已知函数f(x)由下表给出,则满足f(f(x))>f(3)的x的值为( )A.1或3B.1或2C.2D.33.[探究点一]某同学到长城旅游,他租自行车由宾馆骑行前往长城,前进了a km,觉得有点累,休息后沿原路返回b km(b<a).想起“不到长城非好汉”,便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为( )4.[探究点二]已知f(1-x1+x)=x,则f(x)=( )A.x+1x-1B.1-x1+xC.1+x1-x D.2xx+15.[探究点二]已知f(x)是一次函数,且2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=( )A.3x+2B.3x-2C.2x+3D.2x-36.[探究点二]已知f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)的解析式为.7.[探究点一]已知函数f(x)的图象是如图所示的一段曲线OAB,其中O(0,0),A(1,2),B(3,1),则f(1f(3))= ,函数g(x)=f(x)-32的图象与x轴交点的个数为.8.[探究点二]已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f(x)的解析式.9.[探究点一·北师大版教材习题]写出下列函数的定义域、值域:(1)f(x)=3x+5;(2)f(x)的图象如右图;(3)f(x)与x的对应关系如下表:10.[探究点三]作出下列函数的图象,并指出其值域:(1)y=x2+x(-1≤x≤1);(2)y=2x(-2≤x ≤1,且x≠0).B 级 关键能力提升练11.(多选题)设f(x)=1+x 21-x 2,则下列结论正确的有( )A.f(-x)=-f(x)B.f(1x )=-f(x)C.f(-1x)=f(x)D.f(-x)=f(x)12.若函数y=f(x)对任意x ∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),则下列函数中可以为y=f(x)解析式的是( ) A.f(x)=x+1 B.f(x)=2x-1 C.f(x)=2xD.f(x)=x 2+x13.(多选题)已知f(2x-1)=4x 2,则下列结论正确的是( ) A.f(3)=9 B.f(-3)=4 C.f(x)=x 2D.f(x)=(x+1)214.已知f(√x +1)=1x,则f(x)= ,其定义域为 . 15.已知函数f(x)=x 21+x 2.(1)求f(2)与f(12),f(3)与f(13).(2)由(1)中求得结果,你能发现f(x)与f(1x)有什么关系?并证明你的发现.C 级 学科素养创新练16.(1)已知f(1+2x)=1+x 2x 2,求f(x)的解析式.(2)已知g(x)-3g (1x )=x+2,求g(x)的解析式.答案：1.B 设f(x)=kx (k≠0),∵f(-3)=k -3=-1,∴k=3,∴f(x)=3x.故选B.2.A 由表知f(3)=1,若f(f(x))>f(3)=1,则f(x)=1或f(x)=2,所以x=3或,得图象是一段上升的直线,又休息了一段时间,图象是一段平行于t 轴的直线,原路返回时,图象是一段下降的直线,调转车头继续前进时图象是一段上升的直线.故选C. 4.B 令1-x 1+x=t,则t≠-1,x=1-t1+t,故f(t)=1-t1+t,即f(x)=1-x1+x.5.B 设f(x)=kx+b(k≠0), 由题意可知{2(2k +b )-3(k +b )=5,2b -(-k +b )=1,∴{k -b =5,b +k =1,∴{k =3,b =-2,∴f(x)=3x-2.故选B. 6.f(x)=2x+83或f(x)=-2x-8 由题意可设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a 2x+ab+b=4x+8.∴{a 2=4,ab +b =8,解得{a =2,b =83或{a =-2,b =-8.∴f(x)=2x+83或f(x)=-2x-8.7.2 2 由题得f(3)=1,所以f(1f (3))=f(1)=2.令g(x)=f(x)-32=0,所以f(x)=32,观察函数f(x)的图象可以得到f(x)=32有两个解,所以g(x)=f(x)-32的图象与x 轴交点的个数为2.8.解由于函数图象的顶点坐标为(1,3),且f(x)为二次函数,则设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0).∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0,∴a=-3. 故f(x)=-3(x-1)2+3.9.解(1)f(x)=3x+5的定义域为R,值域为R. (2)f(x)的定义域为[a 1,a 2]∪[a 3,a 4],值域为[b 4,b 3]. (3)f(x)的定义域为{1,2,3,4,5,6,7,8},值域为{1,8,27,64,125,216,343,512}.10.解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图所示.由图可知y=x 2+x(-1≤x ≤1)的值域为[-14,2].(2)用描点法可以作出函数的图象如图所示.由图可知y=2x (-2≤x ≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).11.BD 因为f(x)=1+x 21-x 2,所以f(-x)=1+(-x )21-(-x )2=f(x)≠-f(x),f(1x )=1+(1x ) 21-(1x)2=x 2+1x 2-1=-f(x),f(-1x)=1+(-1x ) 21-(-1x)2=x 2+1x 2-1=-f(x).故选BD.12.C 若f(x)=2x,则f(x+y)=2(x+y),f(x)+f(y)=2x+2y=2(x+y),其他选项都不符合,故选C. 13.BD 令t=2x-1,则x=t+12,∴原函数化为f(t)=4(t+12)2=(t+1)2.∴f(3)=16,f(-3)=4,f(x)=(x+1)2.14.1(x -1)2(x>1) (1,+∞) 令√x +1=t,由题意可知x>0,则t>1,x=(t-1)2,故f(t)=1(t -1)2. 故f(x)=1(x -1)2(x>1).因此函数f(x)的定义域是(1,+∞). 15.解(1)∵f(x)=x 21+x 2,∴f(2)=221+22=45,f(12)=(12)21+(12)2=15,f(3)=321+32=910,f(13)=(13)21+(13)2=110.(2)由(1)发现f(x)+f(1x)=1.证明: f(x)+f(1x )=x 21+x2+(1x)21+(1x)2=x 21+x2+11+x 2=1.16.解(1)由题意得,f(1+2x)的定义域为{x|x≠0}. 设t=1+2x(t≠1),则x=t -12,∴f(t)=1+(t -12)2(t -12)2=t 2-2t+5(t -1)2(t≠1),∴f(x)=x 2-2x+5(x -1)2(x≠1).(2)由g(x)-3g (1x )=x+2,①得g (1x )-3g(x)=1x+2,②①②联立消去g (1x )得,g(x)=-x8−38x -1(x≠0).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．3 函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性
基础达标
1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)－f(b)
a－b
>0，则
必有
()．A．函数f(x)先增后减
B．f(x)是R上的增函数
C．函数f(x)先减后增
D．函数f(x)是R上的减函数
解析由f(a)－f(b)
a－b
>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b)，所以函
数f(x)是R上的增函数．
答案 B
2．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是
()．A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m ＋9，即m>3.
答案 C
3．(2013·天津高一检测)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是
()．
A ．y ＝1
x B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝－2x ＋1
解析 函数y ＝1
x 在(0，＋∞)上是减函数；y ＝|x |＋1在(0，＋∞)上是增函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－2x ＋1在(0，＋∞)上是减函数． 答案 B
4．(2013·盐城高一检测)已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．
解析 ∵f (x )的对称轴方程为x ＝m ，
∴要使f (x )在(－∞，－1]上是减函数，只需m ≥－1. 答案 [－1，＋∞)
5．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12的实数x 的取值范围
为________．
解析
由题设得⎩⎨⎧
－1≤x ≤1，
x <1
2，
即－1≤x <1
2.
答案 －1≤x <1
2
6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________． 解析 y ＝－(x －3)|x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0)，
作出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.
答案 ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，32
7．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；
(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． (1)解 ∵f (1)＝0，f (3)＝0，
∴⎩⎨⎧
1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明 由(1)知f (x )＝x 2－4x ＋3， 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，
由f (x 1)－f (x 2)＝(x 2
1－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，
∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∴x 1＋x 2－4＞0.
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．
能力提升
8．下列说法中正确的有
( )．
①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1
x 在定义域上是增函数； ④y ＝1
x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
解析 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1
x 在整个定义域内不是单调递增函数；④y ＝1
x 的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． 答案 A
9．(易错题)函数f(x)＝
1
x＋1
在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
解析f(x)＝
1
x＋1
的单调减区间为(－1，＋∞)与(－∞，－1)，
又f(x)在(a，＋∞)上是减函数，∴a≥－1. 答案[－1，＋∞)
10．讨论函数f(x)＝ax＋1
x＋2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a≠
1
2在(－2，＋∞)上的单调性．
解f(x)＝ax＋1
x＋2
＝a＋
1－2a
x＋2
，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1－2a
x1＋2
－
1－2a
x2＋2
＝(1－2a)x2－x1
(x2＋2)(x1＋2)
，
∵－2＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，又(x2＋2)(x1＋2)＞0.
(1)若a＜1
2时，1－2a＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．
(2)若a＞1
2，则1－2a＜0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．
综上，当a＜1
2时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；
当a＞1
2时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．。