《线段垂直平分线》经典练习题

《线段垂直平分线》中一道习题的变式

例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分

线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.

点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时，(如图2),对应的是△ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.

变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？

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点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.

变式2：

如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。

点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。

图 1 图 2 图3

[变式练习1]

如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =22.5°求：AC的长.

图4

例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1) 求∠EAN的度数.

(2) 求△AEN的周长.

(3) 判断△AEN的形状.

图5

[变式练习2]:如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1) 求△AEN的周长.

(2) 求∠EAN的度数.

(3) 判断△AEN的形状.

图6

[变式练习3]:如图7，在△ABC中， BC=12,∠BAC =100°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1) 求△AEN的周长.

(2) 求∠EAN的度数.

图7

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点评：例2和它的两道变式练习题中发现：三个图形由特殊到一般，从顶角是120°的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形，△AEN的形状也不断的变化，∠EAN的度数也变化，但△AEN的周长不变，因此得出结论：1）△AEN的周长=BC 长.2）△AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与△ABC的形状有关.3）∠EAN的度数与∠BAC的度数有关.因为∠EAN=180°-2∠B-2∠C=180°-2（∠B+∠C）=180°-2（180°-∠BAC）=2∠BAC -180°.从等式中也得出∠BAC必须大于90°.

[变式练习4]

如图8，△ABC中, ∠BAC =70°, BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.

求:∠EAN的度数.

点评:由上题的方法得出∠AEC+∠

BNA =2∠B+2∠C,由平角性质可得: ∠

AEB+∠CNA=360°-(2∠B+2∠C),由三角形

内角和定理得∠EAN=180°-2∠BAC

图8

总评：从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件变化，都和基本图形及由基本图形得出的结论有关.因此同学们在以后的学习或解题中，善于在复杂图形中找出基本图形，这样就会将图形简单化.应用由基本图形得出的相关结论，就会找出解题思路.