第八章 方差分析
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医学统计学 -第08章 方差分析
第一节 方差分析的基本思想
看一个例子
例8-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36 只肥胖模型大白鼠随机分为三组，每组12只，分别给 予高脂正常剂量钙(0.5%)、高脂高剂量钙(1.0%)和高 脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养9周，测其 喂养前后体重的差值。问三组不同喂养方式下大白鼠 体重改变是否不同？
• 三种喂养方式体重改变的平均值各不相同，这种变异 称为组间变异
•
是组内均值
X
与总均值
i
X
之差的平方和
360
340
组间变异反映了：
320
三种喂养方式的差异（影响）， 300
同时也包含了随机误差。
280
260
240
k ni
220
SS组间
(Xi X )2
200
i1 j
180
X甲
X
X乙
X丙
甲
乙
丙
3、组内变异(SS组内，variation within groups)
0.05
2、根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计 算过程省略)
变异来源 总变异 组间 组内（误差）
完全随机设计的方差分析表
平方和 SS 自由度
均方MS
47758.32
35
31291.67
2
15645.83
16466.65
33
498.99
F值
31.36
3、确定P值，作出判断
分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F 界值表（方差分析用）
表 8-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
正常钙(0.5%) 高剂量钙(1.0%) 高剂量钙(1.5%)
单向方差分析
1 10, 2 10
F 分布曲线
17
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度 υ2
•
分子旳自由度，υ1
1
2
3
4
5
6
161 200 216 225 230 234 1
4052 4999 5403 5625 5764 5859
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
t Yi Yh Se
Yi Yh
,
MS组内（
1 n1
1 n2
）
N a 组内
29
例四个均值旳Bonferroni法比较
设α＝α’/c＝0.1/6=0.0167,由此t旳临 界值为t（0.0167/2,20）=2.6117
18.5 28.0
t(A: B)
3.48 2.6117, 24 4 20
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。用于推断两 个或多种总体均数有 无差别 。
3
方差分析旳优点： 不受比较组数旳限制，可比较多组均数 可同步分析多种原因旳作用 可分析原因间旳交互作用
4
完全随机设计资料（单原因）方差分析 One-way analysis of variance 第一节 方差分析旳基本思想
deviations from mean，SS)反应变异旳大小
10
1. 总变异: 全部测量值之间总
旳变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
F 分布曲线
17
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度 υ2
•
分子旳自由度，υ1
1
2
3
4
5
6
161 200 216 225 230 234 1
4052 4999 5403 5625 5764 5859
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
t Yi Yh Se
Yi Yh
,
MS组内（
1 n1
1 n2
）
N a 组内
29
例四个均值旳Bonferroni法比较
设α＝α’/c＝0.1/6=0.0167,由此t旳临 界值为t（0.0167/2,20）=2.6117
18.5 28.0
t(A: B)
3.48 2.6117, 24 4 20
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。用于推断两 个或多种总体均数有 无差别 。
3
方差分析旳优点： 不受比较组数旳限制，可比较多组均数 可同步分析多种原因旳作用 可分析原因间旳交互作用
4
完全随机设计资料（单原因）方差分析 One-way analysis of variance 第一节 方差分析旳基本思想
deviations from mean，SS)反应变异旳大小
10
1. 总变异: 全部测量值之间总
旳变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
第八章：方差分析
SSE xij xi
k ni i 1 j 1
2
计算结果为： SSE = 2708
三个离差平方和的关系
总离差平方和(SST)、组内离差平方和(SSE) 、组间离差平方和 (SSA) 之间的关系：
x
k i 1 j 1
ni
ij
x ni xi x xij x
外包装底色对产品销量是否有显著影响？
市场 北京 上海 深圳 西安 成都 红色 36 35 27 29 38 橙色 28 26 31 30 24 紫色 30 32 28 26 35 蓝色 22 27 20 21 29
什么是方差分析?
【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会 在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消 费者对总共23家企业投诉的次数如下表：
2.
方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 （每个行业被投诉的次数必须服从正态分布） 2. 各个总体的方差相同 （ 4个行业被投诉次数的方差都相等） 3. 观测值是独立的 （每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立）
方差分析的基本假设
H 0 : m1 m2 mk H1 : m1 , m2 , , mk 不全相等
2.计算误差
计算全部观测值的均值以及各水平下的组均值 计算总误差 计算组内误差 计算组间误差
计算总误差（ SST）
1. 全部观察值 xij 与总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
SST xij x
k ni i 1 j 1 2
方差分析
差异源
组间 组内
SS
1456.609 2708
第08章+单因素方差分析
t检验判断两组数据平均数间的差异显著性；方差分 析可同时判断多组数据平均数间的差异显著性。
方差分析的基本原理
在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。 造成观测值不同的原因是多方面的，有的是处理不同引起 的，处理效应或条件变异，有的是试验过程中偶然性因素 的干扰和测量误差所致，既试验误差。方差分析的基本思 想是将测量数据的总变异按照变异原因不同分解为处理效 应和试验误差，并作出其数量估计。 通过方差比较以确 定各种原因在总变异中所占的重要程度，即用处理效应和 试验误差在一定意义下进行比较，如二者相差不大，说明 试验处理对指标影响不大，如二者相差较大，处理效应比 试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。 从而作为统计推断。
变差na来源5 5 平方和 自由度
均方每一个xij都F减去65
SST
处= 理a
误差i=1
n j =1
xi2j 13C1.7=4277 .28 4129 .96
25.58
20
=3124.794.32
0.78
42.23**
S*S*A
总1和 a = α=n0.i0=11
xi2.
1C47=.312308 5
计之前就要明确关于模型的基本假设。对于单因素方差分析 来说，两种模型无多大区别。
第八章 单因素方差分析
三、单因素方差分析的检验及例题验算
（得样一本固）的定方方效差式应分不模同型析，与的致随检使机验所效程得应结模序论型不方同差。分随析机的效程应序模完型全适一用样于，水但平由的于总获 体1，、而正固规定检效验应模程型序只适用于所选定的α个水平。也就是说，随机效应 模2型、Ⅰ可单推因方断素差总方齐体状差性况分检，析验而的固实定效战应检模验型程不序能推断总体状况。
方差分析的基本原理
在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。 造成观测值不同的原因是多方面的，有的是处理不同引起 的，处理效应或条件变异，有的是试验过程中偶然性因素 的干扰和测量误差所致，既试验误差。方差分析的基本思 想是将测量数据的总变异按照变异原因不同分解为处理效 应和试验误差，并作出其数量估计。 通过方差比较以确 定各种原因在总变异中所占的重要程度，即用处理效应和 试验误差在一定意义下进行比较，如二者相差不大，说明 试验处理对指标影响不大，如二者相差较大，处理效应比 试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。 从而作为统计推断。
变差na来源5 5 平方和 自由度
均方每一个xij都F减去65
SST
处= 理a
误差i=1
n j =1
xi2j 13C1.7=4277 .28 4129 .96
25.58
20
=3124.794.32
0.78
42.23**
S*S*A
总1和 a = α=n0.i0=11
xi2.
1C47=.312308 5
计之前就要明确关于模型的基本假设。对于单因素方差分析 来说，两种模型无多大区别。
第八章 单因素方差分析
三、单因素方差分析的检验及例题验算
（得样一本固）的定方方效差式应分不模同型析，与的致随检使机验所效程得应结模序论型不方同差。分随析机的效程应序模完型全适一用样于，水但平由的于总获 体1，、而正固规定检效验应模程型序只适用于所选定的α个水平。也就是说，随机效应 模2型、Ⅰ可单推因方断素差总方齐体状差性况分检，析验而的固实定效战应检模验型程不序能推断总体状况。
卫生统计学第八章正交试验方差分析
REPORTING
WENKU DESIGN
正交试验设计定义与原理
正交试验设计定义
正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根 据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验， 这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
正交试验设计原理
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种 设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析，了解全面试验的情况。
THANKS
感谢观看
REPORTINGΒιβλιοθήκη https://VS
正交表特点
每列中不同数字出现的次数相等；任意两 列中数字的排列方式齐全而且均衡。
正交试验设计步骤
挑因素，选水平
根据试验的目的和专业知识，挑选出与考察指标有关的因素。对选出的因素要分清主次，合理安排。 选取的水平数应根据实际情况而定，过少会导致结果不准确，过多则可能数据分布的规律性较差，代 表性差；
通过建立线性模型来描述各因素 与结果之间的关系，从而进行方 差分析和参数估计。
PART 03
正交试验方差分析步骤
REPORTING
WENKU DESIGN
数据整理与描述性统计
整理试验数据
按照试验因素和水平整理数据，列出试验指标的观察值。
计算总均值和总变异
计算所有观察值的总和、均值、离差平方和等描述性统计量。
选正交表，进行表头设计
根据确定的列数（C）与水平数（t）选择相应的正交表。选择的原则是首先满足列数，其次是水平数。若 有2个或2个以上正交表满足条件时则应选取行数最少的一个；
正交试验设计步骤
明确试验方案，进行试验；
WENKU DESIGN
正交试验设计定义与原理
正交试验设计定义
正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根 据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验， 这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
正交试验设计原理
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种 设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析，了解全面试验的情况。
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正交表特点
每列中不同数字出现的次数相等；任意两 列中数字的排列方式齐全而且均衡。
正交试验设计步骤
挑因素，选水平
根据试验的目的和专业知识，挑选出与考察指标有关的因素。对选出的因素要分清主次，合理安排。 选取的水平数应根据实际情况而定，过少会导致结果不准确，过多则可能数据分布的规律性较差，代 表性差；
通过建立线性模型来描述各因素 与结果之间的关系，从而进行方 差分析和参数估计。
PART 03
正交试验方差分析步骤
REPORTING
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数据整理与描述性统计
整理试验数据
按照试验因素和水平整理数据，列出试验指标的观察值。
计算总均值和总变异
计算所有观察值的总和、均值、离差平方和等描述性统计量。
选正交表，进行表头设计
根据确定的列数（C）与水平数（t）选择相应的正交表。选择的原则是首先满足列数，其次是水平数。若 有2个或2个以上正交表满足条件时则应选取行数最少的一个；
正交试验设计步骤
明确试验方案，进行试验；
第八章 方差分析与相关分析
第八章方差分析与相关分析一．方差分析1．基本概念方差分析的概念：比较组间方差是否可以用组内方差来进行解释，从而判断若干组样本是否来自同一总体。
方差分析，又称为ANOVA（Analysis Of Variance）分析。
方差分析可以一次检验多组样本，避免了t检验一次只能比较两组的缺陷。
方差分析只能反映出各组样本中存在着差异，但具体是哪一组样本存在差异，无法进行判定。
考察下列例子：某厂使用四种不同颜色对产品进行包装，经过在五个城市的试销，获得销售数据如下（单观察数据的列平均值，列平均值的差异反映出不同颜色包装的销售业绩差异。
此时，需要判断这种差异与同一颜色包装在不同城市间的差异相比，是否显著。
如果不显著，则这种2．方差分析原理计算观察值的组间方差和组内方差，并计算两者的比值，如果该比值比较小，说明组间方差与组内方差比较接近，组间方差可以用组内方差来解释，从而说明组间差异不存在。
●●建立原假设“H0：各组平均数相等”●●构造统计量“F＝组间方差／组内方差”●●在计算组间方差时，使用自由度为（r-1），计算组内方差时，使用自由度为（n-r）。
●●F满足第一自由度为（r-1），第二自由度为（n-r）的F分布。
●●查表，若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在差异。
根据方差计算的原理，生成方差分析表如下：其中：组间离差平方和 SSA (Sum of Squares for factor A) ＝39.084误差项离差平方和 SSE (Sum of Squares for Error) ＝76.8455总离差平方和 SST (Sum of Squares for Total)＝115.9295P-value值为0.000466，小于0.05，所以拒绝原假设。
3．双因素方差分析观察下列销售数据，欲了解包装方式和销售地区是否对于销售业绩有影响，涉及到双因素的方差分析。
此时需分别计算SSA、SSB与SSE之间的比值是否超过临界值。
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。
第八章 方差分析
xij (i 1,2,, r , j 1,2,, s)
1 r s 1 s 记＝ ij 表示总平均值， i .＝ ij 表示因素A的第i个水平的平均值， . rs i 1 j 1 s j 1
1 r . j＝ ij 表示因素B的第j个水平的平均值 . r i 1
行业类型 计算机
3.94 2.76 8.95 3.23
每股净收益
3.04 4.69 1.52 5.05
医药
公用
2.89
-2.26
1.65
0.66
2.59
2.22
1.09
1.77
-1.07
-0.15
2.30
2.10
-3.10
2.89 1.12 -3.21 2.11
例8.3：某汽车销售商欲了解三种品牌的汽车X,Y,Z和四种标
ANOVA过程简介
ANOVA过程用于均衡数据的方差分析。
对非均衡数据的方差分析问题，SAS系统要求用GLM（一般 线性模型）来处理（单因素时也可以用ANOVA).
GLM过程也可以处理均衡数据的方差分析问题，但效率低于 ANOVA.
ANOVA过程简介
ANOVA过程的一般格式：
PROC ANOVA<options>; CLASS variables; MODEL dependents=effects</options>; BY variables; FREQ variable; MEANS effects</options>;
一、单因素方差分析模型
设因素X有k个水平，每个水平可视为一个小总体，分别用
X1 , X 2 ,, X k 来表示。记 j的总体均值为 j , X
第八章 方差分析
X ij = m j eij
2
SS t 总变异 df t = N 1
SS b 组间(处理)变异 df b = k 1
SS w 组内(误差)变异 df w = N k
均方
平方和 均方 = 自由度 SS e 组内(误差)均方 MS w = MS e = df e SS b 组间(处理)均方 MSb = MStr = df b
2 e 2 e
m =
j m
2
k 1
=
2 j
k 1
2
当H 0为真时，E MS error = E MStreatm ent 当H 0为假时，E MS error E MStreatm ent
平方和的分解 sum of squares
• 平方和的优越性在于其可加性
– 过程：包含27个词的表过3遍后要求被试写下 记住的词
因素“加工方式”有 5 个水平 j＝ 1 ,2 ,… ,k (k = 5 )
co unting i= 1 ,2 ,… ,n n= 1 0 9 8 6 8 10 4 6 5 7 7 To ta l(Tj) M e an SD V a ria nce 70 7 .0 0 1 .8 3 3 .3 3 rhy ming 7 9 6 6 6 11 6 3 8 7 69 6 .9 0 2 .1 3 4 .5 4 a dje ctiv e 11 13 8 6 14 11 13 13 10 11 110 1 1 .0 0 2 .4 9 6 .2 2 ima g e ry 12 11 16 11 9 23 12 10 19 11 134 1 3 .4 0 4 .5 0 2 0 .2 7 inte ntio na l 10 19 14 5 10 11 14 15 11 11 120 1 2 .0 0 3 .7 4 1 4 .0 0 503 =∑ X 1 0 .0 6 4 .0 1 1 6 .0 6 to ta l
第八讲-方差分析
x2 ij
j 1i 1
xij
N
k
2
SS B n j X j X t
i 1
2
k
j 1
nj
2
( xij)
i 1
nj
k nj
j 1i 1
xij
N
SSW SST SSB
2
nj
x k nj
x n j1 i1
k
2
ij j 1
ij i 1
j
3、确定自由度
df k 1 B
df N k W
二、（单因素）随机区组实验设计
1、模型
处理1
处理2 ……
区组1 被试1 x11 被试1 x21 ……
区组2 被试2 x12 被试2 x22 ……
处理k
被试1 xk1
被试2
xk
2
……… ……… ……
区组a 被试a x1a 被试a x2a ……
……
被试a xka
■注：每个区组内被试分配方式可以是以下 三种
T1
T2
8
39
20
26
12
31
14
45
10
40
T3
T4
17
32
工创问 具造题
21 20
23 28
教 程
丰 富 教
性 思 维
解 决 模
17
25
程教式 程教
20
29
程
T1: T2: T3: T4:CoRT
变异来源 自由度 平方和
处理 误差
总
3
1553.7
16 378.80
19 1932.55
均方
《医学统计学》医统-第八章方差分析
第八章 方差分析
编辑课件
公共卫生系 流行病与统计学教研室
祝晓明
例 8-1 在评价某药物耐受性及安全性的I 期临床试验中，对符合纳入标准的30名健 康自愿者随机分为3组每组10名，各组注 射剂量分别为0.5U、1U、2U，观察48小 时部分凝血活酶时间（s）试问不同剂量的 部分凝血活酶时间有无不同？
编辑课件
编辑课件
• 方差分析
F=3.55， F＞F0.05(2,18)，P<0.05，三组大鼠 MT 含量的总体均值不全相同。
编辑课件
第三节 多个样本均数的两两比较
证实性研究
探索性研究
证实性研究 与探索性研究
编辑课件
Dunnett-t 检验 LSD-t 检验
SNK-q检验 Tukey检验 Schéffe检验
两个均数的比较时，同一资料所得结果与t检验等
价，即有如下关系 t 2 。F
2.方差分析的基本思想：将全部观测值的总变异按 影响因素分解为相应的若干部分变异，在此基础 上，计算假设检验的统计量 F 值，实现对总体均 数是否有差别的推断。
编辑课件
3. 方差分析有多种设计类型，但基本思想和计算步骤 相同，只是分组变量的个数不同,使用统计软件很容 易实现。 4.多重比较有多种方法，如 Dunnett-t 检验、LSD-t检 验、SNK-q (Student-Newman-Keuls)法 、Tukey法、 Schéffe法、Bonferroni t 检验和 Sidak t 检验。学习 中注意各种方法的适用性。
k1
的
2 分布， 2
2 ,
，认为方差不齐。
编辑课件
例8-1 资料方差齐性检验 提出检验假设，确定检验水准 H0：σ12=σ22=σ32 H1：三组方差不全相等 α=0.05
编辑课件
公共卫生系 流行病与统计学教研室
祝晓明
例 8-1 在评价某药物耐受性及安全性的I 期临床试验中，对符合纳入标准的30名健 康自愿者随机分为3组每组10名，各组注 射剂量分别为0.5U、1U、2U，观察48小 时部分凝血活酶时间（s）试问不同剂量的 部分凝血活酶时间有无不同？
编辑课件
编辑课件
• 方差分析
F=3.55， F＞F0.05(2,18)，P<0.05，三组大鼠 MT 含量的总体均值不全相同。
编辑课件
第三节 多个样本均数的两两比较
证实性研究
探索性研究
证实性研究 与探索性研究
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Dunnett-t 检验 LSD-t 检验
SNK-q检验 Tukey检验 Schéffe检验
两个均数的比较时，同一资料所得结果与t检验等
价，即有如下关系 t 2 。F
2.方差分析的基本思想：将全部观测值的总变异按 影响因素分解为相应的若干部分变异，在此基础 上，计算假设检验的统计量 F 值，实现对总体均 数是否有差别的推断。
编辑课件
3. 方差分析有多种设计类型，但基本思想和计算步骤 相同，只是分组变量的个数不同,使用统计软件很容 易实现。 4.多重比较有多种方法，如 Dunnett-t 检验、LSD-t检 验、SNK-q (Student-Newman-Keuls)法 、Tukey法、 Schéffe法、Bonferroni t 检验和 Sidak t 检验。学习 中注意各种方法的适用性。
k1
的
2 分布， 2
2 ,
，认为方差不齐。
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例8-1 资料方差齐性检验 提出检验假设，确定检验水准 H0：σ12=σ22=σ32 H1：三组方差不全相等 α=0.05
医学统计学：04 方差分析
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
F 分布曲线
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10,2 10
2F
3
4
F 界值表
附表4 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度
υ2
1
161 1
4052
18.51 2
98.49
4.21 27
• 随机区组设计又称随机单位组设计、配伍组设计，也叫双因 素方差分析（two--way ANOVA）。是配对设计的扩展。
具体做法：
① 将受试对象按性质（如性别、年龄、病情等） （这些性质是
非处理因素，可能影响试验结果）相同或相近者组成m个单位 组（配伍组），每个单位组中有k个受试对象，分别随机地分 配到k个处理组。
2
7
33.4
18
2
8
38.3
19
2
9
38.4
20
2
10
39.8
21
3
1
32.9
22
3
2
37.9
23
3
3
30.5
24
3
4
31.1
25
3
5
34.7
26
3
6
37.6
27
3
7
40.2
28
3
8
38.1
29
3
9
32.4
30
3
10
35.6
35.51667
(Xij X )2
医学统计课件人卫6版第八章方差分析
总
组间＋组内
2024/11/10
西安医学院公共卫生系
01
假设μ1=μ2 即患者与健康人血磷值相同，
02
那么两者的组间变异应该等于组内变异。
03
此时，令F=MS组间 / MS组内 ，
04
则F值理论上应为1。
05
若μ1≠μ2，组间变异便会↑，F↑。
06
查F界值表（附表4），
07
得P值，下结论。
完全随机设计的方差分析
完全随机设
1 计方差分析 中变异的分 解：
组间变异：
4 包括随机误 差和处理因 素的影响
2 总变异分为 两部分
组内变异：
3 反映随机误 差
完全随机设 计的单因素
5 方差分析 （one-way ANOVA）
——成组设
6 计的多个样 本均数的比 较
2024/11/10
西安医学院公共卫生系
二．分析计算步骤：以P47例6.1为例
该设计是将受试对象先按配比条件配成配 伍组（如动物实验时，可按同窝别、同性 别、体重相近进行配伍），每个配伍组有 三个或三个以上受试对象，再按随机化原 则分别将各配伍组中的受试对象分配到各 个处理组。
同一受试对象不同时间（或部位）重复多次 测量所得到的资料称为重复测量数据 （repeated measurement data），对该 类资料不能应用随机区组设计的两因素方差 分析进行处理，需用重复测量数据的方差分 析。
01 例 1 . 某 克 山 病 区 测 得 1 1 例 克 山病患者与13名健康人的血 磷值（mmol/L）如下，问 该地急性克山病患者与健康 人的血磷值是否不同？
02 患 者 x 1 ： 0 . 8 4 ， 1 . 0 5 ， 1.20，1.20，1.39， 1.53，1.67，1.80， 1.87，2.07，2.11。
第八章 方差分析(1)
2.处理内误差(sum of squares for error)，记为SSE § 因素的同一水平下数据误差的平方和 比如，施用A种氮肥下水稻产量的误差平方和
§ 只包含随机误差
3.处理间误差(sum of squares for category)，记为SSC § 因素的不同水平之间数据误差的平方和 比如，不同氮肥下水稻产量之间的误差平方和
2.由误差平方和除以相应的自由度求得 3.三个平方和对应的自由度分别是
▪ SST 的自由度为nk-1，其中nk为全部观察值的个数 ▪ SSt的自由度为k-1，其中k为因素水平的个数 ▪ SSe 的自由度为k（n-1）
8 - 21
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
计算均方 MS
1.处理间均方：SSt的均方，记为MSt，计算公式为
▪SST=(242+302+…+212）-13833.8= 402.2
8 - 15
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
处理间误差SSt
2、各组平均值 与x总i 平(i均值1,2的,离差, k平) 方和
x
反映各总体的样本均值之间的差异程度
该平方和既包括随机误差，也包括系统误差
计算公式为
ni
k
k
xij x 2 ni xi x 2
ni
xij xi 2
i1 j1
i1
i1 j1
SST = SSC + SSE
▪ 前例的计算结果
402.2=301.2+101.0
8 - 20
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
均方(Mean square)
1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值 多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均 方，记为MS
§ 只包含随机误差
3.处理间误差(sum of squares for category)，记为SSC § 因素的不同水平之间数据误差的平方和 比如，不同氮肥下水稻产量之间的误差平方和
2.由误差平方和除以相应的自由度求得 3.三个平方和对应的自由度分别是
▪ SST 的自由度为nk-1，其中nk为全部观察值的个数 ▪ SSt的自由度为k-1，其中k为因素水平的个数 ▪ SSe 的自由度为k（n-1）
8 - 21
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
计算均方 MS
1.处理间均方：SSt的均方，记为MSt，计算公式为
▪SST=(242+302+…+212）-13833.8= 402.2
8 - 15
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
处理间误差SSt
2、各组平均值 与x总i 平(i均值1,2的,离差, k平) 方和
x
反映各总体的样本均值之间的差异程度
该平方和既包括随机误差，也包括系统误差
计算公式为
ni
k
k
xij x 2 ni xi x 2
ni
xij xi 2
i1 j1
i1
i1 j1
SST = SSC + SSE
▪ 前例的计算结果
402.2=301.2+101.0
8 - 20
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
均方(Mean square)
1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值 多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均 方，记为MS
概率论与数理统计教程 第8章
fe=nr
MSe= Se/fe
总和
ST
fT=n1
对给定的，可作如下判断：
若F F1 (fA ,fe) ，则说明因子A不显著。 该检验的p值也可利用统计软件求出，若 以Y记服从F(fA ,fe)的随机变量，则检验的 p 值为 p=P(YF)。
如果 F >F1 (fA ,fe)，则认为因子A显著；
由定理8.1.2，若H0成立，则检验统计量F服从自由度为fA和fe的F分布，因此拒绝域为W={FF1 (fA ,fe)}，通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析表。
表8.1.3 单因子方差分析表
来源
平方和
自由度
均方和
F比
因子
SA
fA=r1
MSA= SA/fA
F＝ MSA/ MSe
误差
Se
第八章 方差分析与回归分析
§8.1 方差分析 §8.2 多重比较 §8.3 方差齐性分析 §8.4 一元线性回归 §8.5 一元非线性回归
§8.1 方差分析
8.1.1 问题的提出 实际工作中我们经常碰到多个正态总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法。
例8.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：
模型（8.1.3）可以改写为 (8.1.8) 假设（8.1.1）可改写为 H0 ：a1 =a2 =…=ar =0 （8.1.9）
8.1.5 参数估计
在检验结果为显著时，我们可进一步求出总均值 、各主效应ai和误差方差 2的估计。
MSe= Se/fe
总和
ST
fT=n1
对给定的，可作如下判断：
若F F1 (fA ,fe) ，则说明因子A不显著。 该检验的p值也可利用统计软件求出，若 以Y记服从F(fA ,fe)的随机变量，则检验的 p 值为 p=P(YF)。
如果 F >F1 (fA ,fe)，则认为因子A显著；
由定理8.1.2，若H0成立，则检验统计量F服从自由度为fA和fe的F分布，因此拒绝域为W={FF1 (fA ,fe)}，通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析表。
表8.1.3 单因子方差分析表
来源
平方和
自由度
均方和
F比
因子
SA
fA=r1
MSA= SA/fA
F＝ MSA/ MSe
误差
Se
第八章 方差分析与回归分析
§8.1 方差分析 §8.2 多重比较 §8.3 方差齐性分析 §8.4 一元线性回归 §8.5 一元非线性回归
§8.1 方差分析
8.1.1 问题的提出 实际工作中我们经常碰到多个正态总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法。
例8.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：
模型（8.1.3）可以改写为 (8.1.8) 假设（8.1.1）可改写为 H0 ：a1 =a2 =…=ar =0 （8.1.9）
8.1.5 参数估计
在检验结果为显著时，我们可进一步求出总均值 、各主效应ai和误差方差 2的估计。
第8方差分析ppt文档
H 0 ： 12 k
H 1： 1， 2， ， k 不全相等
原假设表示在不同的下的各个总体均值相等，即不同的水平对总体均 值没有显著影响；备择假设表示在不同的下的各个总体均值不全相等， 至少有一个总体均值与其它总体均值不等，即该因素的不同的水平对总 体均值存在显著影响。
2021年3月31日/*
《统计学教程》
第8章 方差分析
8.2 单因素方差分析
2．计算均值 （1）水平均值
水平均值（Level Mean）是指根据具体水平下的观察值的均值。一般 将第j项水平的水平均值记为，有计算公式为
x j
1 nj
nj
xij
i 1
（8.1）
（2）总均值
总均值（Total Mean）是指全部观察值的均值，也为水平均值的均值。
《统计学教程》
第8章 方差分析
8.1方差分析的一般问题
例8.1 某企业为了分析研究成品车间的产品质量控制问题，对该车间 的5个班组的产品优等品率进行了一次抽查，在每个班组独立地抽取了5 个优等品率数据构成了随机样本。
表8.1 某企业成品车间5个班组优等品率抽查情况
观察值 1组
班组
2组
3组
4组
81
83
《统计学教程》
第8章 方差分析
8.2 单因素方差分析
3．计算离差平方和
（1）总离差平方和
总离差平方和（Sum of Squares for Total, SST）是指全部观察值与 总均值的离差的平方和，反映了全部观察值离散程度的总规模。有
k nj
SST
xij x 2
j1 i1
（8.3）
按照式（8.3），由表8.2的数据可以计算出例8.1的总离差平方和SST为 286.96。
H 1： 1， 2， ， k 不全相等
原假设表示在不同的下的各个总体均值相等，即不同的水平对总体均 值没有显著影响；备择假设表示在不同的下的各个总体均值不全相等， 至少有一个总体均值与其它总体均值不等，即该因素的不同的水平对总 体均值存在显著影响。
2021年3月31日/*
《统计学教程》
第8章 方差分析
8.2 单因素方差分析
2．计算均值 （1）水平均值
水平均值（Level Mean）是指根据具体水平下的观察值的均值。一般 将第j项水平的水平均值记为，有计算公式为
x j
1 nj
nj
xij
i 1
（8.1）
（2）总均值
总均值（Total Mean）是指全部观察值的均值，也为水平均值的均值。
《统计学教程》
第8章 方差分析
8.1方差分析的一般问题
例8.1 某企业为了分析研究成品车间的产品质量控制问题，对该车间 的5个班组的产品优等品率进行了一次抽查，在每个班组独立地抽取了5 个优等品率数据构成了随机样本。
表8.1 某企业成品车间5个班组优等品率抽查情况
观察值 1组
班组
2组
3组
4组
81
83
《统计学教程》
第8章 方差分析
8.2 单因素方差分析
3．计算离差平方和
（1）总离差平方和
总离差平方和（Sum of Squares for Total, SST）是指全部观察值与 总均值的离差的平方和，反映了全部观察值离散程度的总规模。有
k nj
SST
xij x 2
j1 i1
（8.3）
按照式（8.3），由表8.2的数据可以计算出例8.1的总离差平方和SST为 286.96。
《第八章方差分析》PPT课件
si2
Ⅰ 122 2500 20.33 3.88
Ⅱ 106 1902 17.67 5.86
k 5 n6
C 6072 6 5 12281.63
Ⅲ 150 3770 25.00 4.00
Ⅳ 137 3165 22.83 7.34
Ⅴ 92 1426 15.33 3.06 T 607 xi2j 12763
第五页，共47页。
因此此时再用t-test法进行检验就不恰当了
如何对 k 3个样本进行假设检验？ 这就是本章所要讨论的方差分析
什么叫方差？
方差是对数据（或称资料）变异的度量
方差的公式：
总一般体总：体 2方 差称xN方2差样，本样：本s方2 差n称x1均x 2 方
x2
n
x
n 1
2
能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将其称为变
如果这许多样本都只和对照组相比，我们仍然可以使用t-
test或u-test进行，但如果需要样本之间两两相比较的
话，就不能使用t-test或u-test进行了 其理由有以下几个：
第三页，共47页。
1、当有k个样本所属总体的平均值相互两两比较，就需
作
1 k次k比1较 ，即作
2
次1 k假k 设1 检验
2
验结束后每一组内的数据资料相等，这就是组内样 本容量相等的情况
（一）数据结构和数学模型
方差分析是建立在一定的线性数学模型基础上的，所谓线性 模型就是指每一个观测值都可以分割成若干个线性部分， 这是方差分析中平方和、自由度剖分的理论依据
第十三页，共47页。
设从一个 N , 2 中随机抽取一个样本，容量为 ，n这
能充分使用试验中所有的信息量，这是十分可惜的
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同水平，
记A 为 1,A2,,Ar,B有 s个不同水B平 1,B2,， ,B记 s. 为
记在因素A的第 i个水平和因素B的第 j 个水平下的试验结果为：
x i(ji 1 ,2 , ,r,j 1 ,2 , ,s)
记 ＝ 1r s rsi1j1
i表 j 示总i平 .＝ 1 sj s均 1 i表 j 值示 ， A 的 因 i个 第 素水平.的
xijk＝＋ai＋bj abij ijk
r
i1
ai
0,
s
bj
j1
0
r
s
i1
(a
b)ij
0,
(a
j1
b)ij
0
i（ jk i 1,2,,r, j 1,2,,s,k1,2,,n)是相互独立，N且 (0,服2)从
其中 xij表 k，示 A 的 因i个 第 素水平 B 的 和 j个 第 因 水 素 k 平 次下 重 试验的n为 观重 测复 值试 ，验的次数。
(3)两因素之间的 可效 加应 的是 ，不 即因 在素 交之 互间 效存 应。
288 1092 278
113
816 149
--
例2：一名证券经纪人，收集了某年三个行业不同上市公司
的股票每股净收益资料，如下表.试比较这三种行业的公司的 每股净收益是否有显著的差异？如有差异，哪个行业每股净 收益最大？
表8.2 不同行业上市公司的每股净收益
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
行业类型
每股净收益
计算机
3.94 2.76 8.95 3.23 3.04 4.69 1.52 5.05
--
单因素方差分析中的一般假设: （1）随机变X量 j ~ N(j,2),j 1,2,k;
(2)各随机变量相互独立； （3）xij(i 1,2,,nj)是从Xj中抽取的简单随。 机样本 记ij xij j,称为随机误差。
故有 xi＝ j j＋i， j 此为单因素方差分析中的一般线性模型。
又可j将 分解为对因素 和 的对 总单 效个 应水a平 j，的效
医药
2.89 1.65 2.59 1.09 -1.07 2.30 -3.10
公用
-2.26 0.66 2.22 1.77 -0.15 2.10 2.89 1.12 -3.21 2.11
--
例8.3：某汽车销售商欲了解三种品牌的汽车X,Y,Z和四种标
号（A,B,C,D)的汽油对汽油消耗量的影响情况。在三种品牌 的汽车中随机抽出三辆，分别使用四种标号的汽油在同样的 公路上行使1小时，然后测量各自的消耗量，结果如下表。试 分析汽车的品牌和汽油的标号对汽油的消耗量有无显著影响？
即j＝＋aj。因xi此 ＝ j ＋ aj＋ -- ij.
从而单因素方差分析可归结为以下假设检验问题：
H0:a1a2ak 0,即因素对研究 著对 影象 响 H1:a1,a2,,ak不全0， 为即因素对研 显究 著对 影象
--
二、双因素方差分析模型
1.双因素无交互作用的方差分析模型及其假设条件
设某一研究对象受到两个因素A和B的影响，其中A有r 个不
(3)两因素之间的 加效 的应 ，是 即可 因素 在之 交间 互不 效存 应。
从而双因素无交互效应的方差分析可归结为以下假 设检验问题：
H0A:a1a2ar 0,即因A对 素研究对象无显 H0B:b1b2bs 0，即因 B对素 研究对象无 。显
--
2. 双因素有交互作用的方差分析模型及其假设：
模型可表示为：
好的商品随机地分配到四个条件相当的商店进行销售。1个月 后，各商店销售量如下表，试比较不同形式的包装对销售量 是否有显著影响？那一种包装效果最好？
表8.1 不同包装条件下商品销售量情况
包装 A
商店
Ⅰ
325
Ⅱ
154
Ⅲ
367
Ⅳ
144
B
617 331 819 407
C
D
E
229
856 319
181
553 167
第八章
方差分析与ANOVA过程
--
一.方差分析概述
➢方差分析所要解决的问题： 方差分析主要用于解决当影响变量为定性变量，而 分析变量或称因变量为定量变量时，两个以上总体 均值相等的假设检验问题； 如果均值不完全相等，进一步比较各均值的大小。
--
例1：某公司为了研究五种形式的包装哪种更有效，把包装
涉及的因素为两个或两个以上的方差分析，统称为多因 素方差分析。
--
一、单因素方差分析模型
设因素X有k个水平，每个水平可视为一个小总体，分别用
X1,X2,,Xk来表示 Xj的 。总 记体均 j, 值为
则单因素方差分析即为如下假设检验问题：
H 0:12k,H 1:1,2,,k不全相等
设{xij}是从总 Xj中 体随机抽取的 为nj一 的个 样容 本量 ， xij表示j个 第水平i次 下观 第测i值 1,2, （ ,nj,j1,2,k)
--
该模型的一般假设:
（ 1 ） xij(i1,2,,r,j1,2,,s)可看作 A的 从 i个 第 因水 素平 B的 与 第 j个水平对 Xi中 j 应抽 的取 总 1的 体独 容立 量随 为机样
（ 2） r个 s 总体是相 且 Xij互 ~N(独 ij,2)立 i(1,的 2,,r， ,j1,2,,s);
(ab)ij表示因 A的 素第 i个水平 B的 ， -- 第 j个水平的共同效应。
该模型的一般假设:
（ 1） xij可 k 看作A的 从i个 第 因水 素平B的 与j个 第 因水 素平对 Xij应 中抽取的 n的容 独量 立为 随机样本；
（ 2） r个 s 总体是相 且 Xij互 ~N(独 ij,2)立 i(1,的 2,,r， ,j1,2,,s);
.j＝1r ir1ij表示因 B的 素第 j个水平的.平均值
--
双因素方差分析模型可表示为：
xij＝＋ai＋bj ij
r
s
ai 0, bj 0
i1
j1
ij是相互独立，且服N从(0, 2)
其中ai， ui. ,表示因 A的 素第 i个水平的效应； bj u.j ,表示因 B的 素第 j个水平的 . 效应
汽油 A
汽车
X
21.8
Y
31.3
Z
23.1
B
C
D
22.4 20.6 23.1 34.2 30.6 33. 7 27.3 26.1 28.6
--
➢方差分析模型及其假设条件
方差分析中，试验中要考察的指标称为试验指标， 影响试验指标的条件统称为因素或因子，而把因素 的取值称为处理或水平。
当涉及的因素只有一个时，称为单因素方差分析； 涉及的因素有两个时，称为双因素或两因素方差分析；