人教版高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质的应用》教学素材

2.1.2指数函数及其性质
课外拓展
复合函数的概念及其性质
一、复合函数的概念
函数y=f（u)的定义域为集合B，函数u=g（x)的定义域为集合A，值域为集合D.如果D⊆B，那么对于A中每个x值，通过中间变量u，y都有唯一的值与之对应.这样，y是x的函数，记作y=f（g（x)).这个函数是由y=f（u)，u=g（x)复合而成的函数，我们把它叫做复合函数，其中y=f（u)叫做外层函数，u=g（x)叫做内层函数.
例如，函数是由函数，+2x+1复合而成的.其中，
是外层函数，+2x+1是内层函数.
注意：1.复合函数y=f（g（x))的第二种表示法是y=f（u)，u=g（x)；
2.复合函数y=f（g（x))的定义域是使y=f（u)和u=g（x)同时都有意义的x值组成的集合；
3.在复合函数y=f（g（x))中，外层函数的定义域就是内层函数的值域,因为外层函数y=f （u)中u的取值不仅要使y=f（u)有意义，而且必须是内层函数u=g（x)的函数值.
二、复合函数的定义域
例1已知函数f（x)的定义域为（1，2］，求函数y=f（x+1)的定义域.
分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只需将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求其定义域.
解：由1<x+1≤2，得0<x≤1.
所以函数y=f（x+1)的定义域是{x|0<x≤1}.
例2已知函数y=f（1-x)的定义域为（1，2］，求函数f（x)的定义域.
分析：由复合函数的定义域求原来函数的定义域，只要根据x的范围确定复合函数中间变量的范围即可.
解：设u=1-x，则由1<x≤2，得-2≤-x<-1，-1≤1-x<0，即-1≤u<0，
所以函数f（x)的定义域是［-1，0).
三、确定复合函数的值域
求解复合函数y=f（g（x))的值域，首先要在函数的定义域上求出函数u=g（x)的值域，以确定函数y=f（x)的定义域，再求出函数y=f（x)的值域（对于两重以上的复合函数仍按此法依次进行).
例3求函数的值域.
解：设-2x，则，
-1≥-1，
所以=，
所以函数的值域是 .
四、复合函数的单调性
设函数u=g（x)在区间M上有定义，又函数y=f（u)在区间N上有定义，且x∈M，g（x)∈N.
1.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是增函数，则y=f（g（x))在区间M上是增函数；
2.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x))在区间M上是减函数；
3.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u)在区间N上是增函数，则y=f（g（x))在区间M上是减函数；
4.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x))在区间M上是增函数.
规律：复合函数单调性依y=f（u)，u=g（x)的单调性决定.即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”.
判断复合函数的单调性的步骤如下：
（1)求复合函数的定义域；
（2)将复合函数分解为若干个常用函数（一次函数、二次函数、指数函数等)；
（3)判断每个常用函数的单调性；
（4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
（5)求出复合函数的单调性.
例4求函数的单调区间.
解：设，则，
函数在区间（-∞，0］上为增函数，在［0，+∞)上为减函数，
而函数在（-∞，+∞)上为减函数，
根据复合函数单调性的判断规律：同增异减，
可知，函数在区间（-∞，0］上为减函数，在［0，+∞)上为增函数.
指数式大小比较四法
一、单调性法
例1比较与的大小.
解：∵，，
又0.4<1.1，且函数在（-∞，+∞)上是增函数，∴，即< .
二、中间量法
例2比较与的大小.
解：∵=1，=1，
∴.
点评：中间量法是指利用性质不易比较时，运用0，1等中间量进行比较，从而使问题获解.
三、分类讨论法
例3比较与（a>0，且a≠1)的大小.
分析：解答此题既要讨论幂指数+1与+2的大小关系，又要讨论底数a与1的大小关系.
解：（1)令+2，得x>1或x<-1.
当a>1时，若+2，从而有；
当0<a<1时，则有.
（2)令+2，得x=±1，
则有.
（3)令+2，得-1<x<1.
当a>1时，若+2，从而有；
当0<a<1时，则有.
点评：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准.
四、比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若A-B>0⇔A>B,A-B<0⇔A<B,A-B=0⇔A=B；②在两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断
>1或<1即可.
例4若0<b<a<1，c>0，试比较与的大小.
解：∵ 0<b<a<1，∴>0，>0.
∴=.
又0<b<a<1，则，>0，
∴>= >1.
又c>0，∴>1，即.。