连续函数的概念与性质

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如，多项式函数在R上是连续的。
四则运算的连续性
定理1
若函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x) 则 f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ), ( g ( x0 ) 0 ) g( x ) 在点 x0处也连续.
1.跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x )的跳跃间断点.
x, 例4 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
第一类间断点:可去型,跳跃型. 间断点 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
思考题1
x2 x 1、 指出 y 在 x 0 是第__类间断点；在 2 x ( x 1)
解：（1）∵
1 x x 0
lim(1 x) e
1 x
(重要极限Ⅱ)
1 x
ln( 1 x) lim lim ln( 1 x) ln lim(1 x) x 0 x 0 x 0 x
( x)
a
x x0
lim ( x )
（2）当f(u)=logau 则 (3)当f(u)=
x x0
lim log a ( x) log a lim ( x)
x x0
u
(μ为实数)，则
x x0
lim [ ( x)] [ lim ( x)]
x x0
特别：
lim ( x) lim ( x)
x x0
第二章中的对数函数、幂函数、指数函数求导公式 的推导过程要用到下面几个极限
例11. 求下列极限
ln( 1 x) (1) lim x 0 x a x 1 （a＞0 a≠1） (2) lim x 0 x
( 为实常数）
(1 x) 1 (3) lim x 0 x
y
2 1
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在.
3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 , x 0, 例6 讨论函数 f ( x ) 在x 0处的连续性. x x , x 0, y
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
x 2 , x 0, 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0), 解 lim
D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义.
y x ( x 1) ,
2 3
D : x 0, 及x 1,
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间 [1,)上连续.
注意2 初等函数求极限的方法代入法.
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
求 lim sin e x 1.
x 0为第二类间断点 .
这种情况称为的振荡间 断点.
例8 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a ,
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
1 x
二、函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个 条件 :
(1) f ( x )在点x0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足, 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续 (或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
x 0 x 0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那么就称函数
f ( x )在点 x0 连续, x0 称为 f ( x )的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
在 x 1 是第__类间断点 . x 1 是第__类间断点；
2、若 f ( x ) 在 x0 连续，则| f ( x ) |、 f ( x )在 x0 是否
2
2 f 连续？又若| f ( x ) |、 ( x )在 x0 连续， f ( x ) 在 x0 是
否连续？
思考题1解答
1、一类；一类；二类。 2、 f ( x ) 在x0 连续， lim f ( x ) f ( x0 )
x 1
2
y2 x
1
f (1 0) 2,
1
o
x
lim f ( x ) 2 f (1),
x 1为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
如例5中, 令 f (1) 2,
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) x 1, 1 x , 在x 1处连续.
x x0 x x0 u a
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
2.变量代换( u ( x ))的理论依据 .
ln(1 x ) . 例3 求 lim x 0 x
解 原式 lim ln(1 x )
x 0 1 x
ln[lim ( 1 x ) ] ln e 1. x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
内容小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
0
义则称点 x0为函数 f ( x )的可去间断点 .
例5 讨论函数
2 x , 0 x 1, f ( x ) 1, x 1 x 1, 1 x , 在x 1处的连续性 .
y
2 1
y 1 x
y2 x
1
o
x
y
y 1 x
解
f (1) 1, f (1 0) 2,
x 1
( x0 定义区间 )
例9 解
原式 sin e 1 1 sin e 1.
1 x2 1 . 例10 求 lim x 0 x
( 1 x 2 1)( 1 x 2 1) 解 原式 lim x 0 x( 1 x 2 1) x 0 0. lim 2 x 0 1 x 1 2
1 证 lim x sin 0, x0 x
又 f (0) 0,
x 0, x 0,
在x 0
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续.
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
例如, sin x, cos x在(,)内连续,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
lim ( x ) a , 函数 f ( u)在点a连续, 定理2 设u ( x ), 若 x x
0
则有 lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f (a ) lim f ( u).
故| f ( x ) |、 f ( x ) 在x0 都连续.
2
三、初等函数的连续性
定理3 定理4 续的. 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意1 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其 定义域内不一定连续; 例如,
y cos x 1,
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点 .
这种情况称为无穷间 断点.
1 例7 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x 解 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
y sin 1 x
四. 连续性在求极限中的应用
利用函数y=f(u)在u=A点连续的定义，可以证明，如果
x x0
lim ( x) A，lim f ( ( x)) f ( A) f ( lim ( x))
x x0 x x0
特别：（1）当f(u)=au
则
x x0
lim a
x x0
第一章 函数与极限
第八-九节 连续函数的概念与性质
主要内容：
一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、初等函数的连续性
四、闭区间上连续函数的性质
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y
解
f (0 0) 0,
f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
o
x
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
但 lim f ( x ) A f ( x ), 或 f ( x ) 在点 x 处无定 0 0 x x
x x0
且 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
lim f 2 ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) f 2 ( x0 ) x x0 x x0 x x0
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
y
y f ( x)
y
y y
y f ( x)
0
x x0 x 0 x x
x
0 x 0 x
x0
x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 )内有定义,如 或 果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函 数的增量 y 也趋向于零,即 lim y 0
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如果
函数 f ( x ) 当 x x0 时的极限存在,且等于它在 点 x0 处的函数值 f ( x0 ),即 lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
那么就称函数 f ( x ) 在点 x0 连续.
1 x sin , 例1 试 证 函 数f ( x ) x 0, 处连续 .