线性回归的方差分析和回归系数的t检验

简单线性回归分析2

)
lXY lXX
a Y bX
03:56
24
b＝0.1584，a＝-0.1353
Yˆ 0.1353 0.1584X
03:56
25
回归直线的有关性质
(1) 直线通过均点 ( X ,Y )
(2) 各点到该回归线纵向距离平方和较到其它任何直线小。
(Y Yˆ)2 [Yˆ a bX ]2
03:56
残差 0.0282 22 0.0013
总变异 0.0812 23
R2=SS回归/SS总=0.0530/0.0812=0.6527 说明在空气中NO浓度总变异的65.27%与车流量有关。
03:56
48
二、简单线性回归模型
两变量关系的定量描述统计推断统计应用
统计预测
Y 的均值的区间估计：总体回归线的95%置信带（相应X 取值水平下，）；
回归模型 (regression model)：
描述变量之间的依存关系的函数。
简单线性回归(simple linear regression)：
模型中只包含两个有“依存关系”的变量，一个变量随另外一个变量的变化而变化，且呈直线变化趋势，称之为简单线性回归。
03:56
9
例如，舒张压和血清胆固醇的依存性
统计推断通过假设检验推断NO平均浓度是否随着车流量变化而变化；
统计应用利用模型进行统计预测或控制。
03:56
13
两变量关系的定量描述
散点图简单线性回归方程回归系数的计算——回归系数的最小二乘估计线性回归分析的前提条件
03:56
14
1. 散点图
0.25
0.2
NO浓度/×10-6
正态 (normal)假定是指线性模型的误差项服从正态分布。

第12章-多重线性回归分析

8
6 因变量总变异的分解
P
(X,Y)

Y
（Y Y）（Y Y）

（Y Y）
Y X

Y
Y
9
Y的总变异分解
Y Y Yˆ Y Y Yˆ
Y Y 2 Yˆ Y 2 Y Yˆ 2
总变异 SS总
回归平方和剩余平方和
SS回
SS剩
10
Y的总变异分解
病程 (X2)
10.0 3.0 15.0 3.0 4.0 6.0 2.9 9.0 5.0 2.0 8.0 20.0
表 12-1 脂联素水平与相关因素的测量数据
空腹
回归模空型腹？
瘦素
脂联 BMI 病程瘦素
脂联
(X3)

血糖 (X4)
素(Y)
(X1)
(X2)
(X3)
血糖素(Y) (X4)
5.75 13.6 29.36 21.11 9.0 4.90 6.0 17.28
H 0： 1 2 3 4 0 ，即总体中各偏回归系数均为0； H 1：总体中各偏回归系数不为0或不全为0；
= 0.05。
2 计算检验统计量： 3 确定P值，作出推断结论。
拒绝H0，说明从整体上而言，用这四个自变量构成的回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的变化是有统计学意义的。
的平方和 (Y Yˆ)2为最小。
只有一个自变量
两个自变量
例12-1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因素，某医师测定30例患者的BMI、病程、瘦素、空腹血糖，数据如表12-1所示。
BMI (X1)
24.22 24.22 19.03 23.39 19.49 24.38 19.03 21.11 23.32 24.34 23.82 22.86

线性回归精确分析讲课文档

– 利用满足一定条件的样本数据进行回归分析
(6)指定作图时各数据点的标志变量(case labels)
11
第十一页，共76页。
一元线性回归分析操作
(二) statistics选项 (1)基本统计量输出
– Estimates:默认.显示回归系数相关统计量.
– confidence intervals:每个非标准化的回归系数95%的置信
起的因变量y的平均变动
(二)多元线性回归分析的主要问题
– 回归方程的检验
– 自变量筛选 – 多重共线性问题
18
第Hale Waihona Puke 八页，共76页。多元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(1)判定系数R2:
– R是y和xi的复相关系数(或观察值与预测值的相关系数),测定了因变量 y与所有自变量全体之间线性相关程度
第二十三页，共76页。
23
多元线性回归分析中的自变量筛选
(二)自变量向前筛选法(forward): • 即:自变量不断进入回归方程的过程. • 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程,
并进行各种检验;
• 其次,在剩余的自变量中寻找偏相关系数最高的变量进入回归方程,并进行检验;
– 默认:回归系数检验的概率值小于PIN(0.05)才可以进入方程.
6
第六页，共76页。
一元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(3)统计量：判定系数
– R2=SSR/SST=1-SSE/SST. – R2体现了回归方程所能解释的因变量变差的比例;1-R2则体现
了因变量总变差中，回归方程所无法解释的比例。
– R2越接近于1，则说明回归平方和占了因变量总变差平方和的绝大

统计学第八章练习题

第八章相关与回归分析一、填空题8.1.1 客观现象之间的数量联系可以归纳为两种不同的类型，一种是，另一种是。

8.1.2 回归分析中对相互联系的两个或多个变量区分为和。

8.1.3 是指变量之间存在的严格确定的依存关系。

8.1.4 变量之间客观存在的非严格确定的依存关系，称为。

8.1.5 按的多少不同，相关关系可分为单相关、复相关和偏相关。

8.1.6 两个现象的相关，即一个变量对另一个变量的相关关系，称为。

8.1.7 在某一现象与多个现象相关的场合，当假定其他变量不变时，其中两个变量的相关关系称为。

8.1.8 按变量之间相关关系的不同，可分为完全相关、不完全相关和不相关。

8.1.9 按相关关系的不同可分为线性相关和非线性相关。

8.1.10 线性相关中按可分为正相关和负相关。

8.1.11 研究一个变量与另一个变量或另一组变量之间相关方向和相关密切程度的统计分析方法，称为。

8.1.12 当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量也相应由小变大，这种相关称为。

8.1.13 当一个现象的数量由小变大，而另一个现象的数量相反地由大变小，这种相关称为。

8.1.14 当两种现象之间的相关只是表面存在，实质上并没有内在的联系时，称之为。

8.1.15根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型来近似地表达变量间平均变化关系的统计分析方法，称为。

8.1.16 反映变量之间相关关系及关系密切程度的统计分析指标是。

8.1.17 就是寻找参数01ββ和的估计值01ββ和，使因变量实际值与估计值的残差平方和达到最小。

8.1.18 正如标准差可以说明平均数代表性大小一样，则可以说明回归线代表性的大小。

8.1.19 回归分析中的显著性检验包括两方面的内容，一是对的显著性检验；二是对的显著性检验。

8.1.20 对各回归系数的显著性检验，通常采用；对整个回归方程的显著性检验，通常采用。

第四章计量经济学答案

第四章一元线性回归第一部分学习目的和要求本章主要介绍一元线性回归模型、回归系数的确定和回归方程的有效性检验方法。

回归方程的有效性检验方法包括方差分析法、t检验方法和相关性系数检验方法。

本章还介绍了如何应用线性模型来建立预测和控制。

需要掌握和理解以下问题：1 一元线性回归模型2 最小二乘方法3 一元线性回归的假设条件4 方差分析方法5 t检验方法6 相关系数检验方法7 参数的区间估计8 应用线性回归方程控制与预测9 线性回归方程的经济解释第二部分练习题一、术语解释1 解释变量2 被解释变量3 线性回归模型4 最小二乘法5 方差分析6 参数估计7 控制8 预测二、填空ξ，目的在于使模型更1 在经济计量模型中引入反映（）因素影响的随机扰动项t符合（）活动。

2 在经济计量模型中引入随机扰动项的理由可以归纳为如下几条：（1）因为人的行为的（）、社会环境与自然环境的（）决定了经济变量本身的（）；（２）建立模型时其他被省略的经济因素的影响都归入了（）中；（３）在模型估计时，（）与归并误差也归入随机扰动项中；（4）由于我们认识的不足，错误的设定了（）与（）之间的数学形式，例如将非线性的函数形式设定为线性的函数形式，由此产生的误差也包含在随机扰动项中了。

3 （）是因变量离差平方和，它度量因变量的总变动。

就因变量总变动的变异来源看，它由两部分因素所组成。

一个是自变量，另一个是除自变量以外的其他因素。

（）是拟合值的离散程度的度量。

它是由自变量的变化引起的因变量的变化，或称自变量对因变量变化的贡献。

（）是度量实际值与拟合值之间的差异，它是由自变量以外的其他因素所致，它又叫残差或剩余。

4 回归方程中的回归系数是自变量对因变量的（）。

某自变量回归系数β的意义，指的是该自变量变化一个单位引起因变量平均变化（）个单位。

5 模型线性的含义，就变量而言，指的是回归模型中变量的（）；就参数而言，指的是回归模型中的参数的（）；通常线性回归模型的线性含义是就（）而言的。

线性回归分析ppt课件

21
多元回归分析中的其他问题 u变量筛选问题 Ø向前筛选策略
解释变量不断进入回归方程的过程，首先选择与被解释变量具有最高线性相关系数的变量进入方程，并进行各种检验；其次在剩余的变量中挑选与解释变量偏相关系数最高并通过检验的变量进入回归方程。 Ø向后筛选策略
变量不断剔除出回归方程的过程，首先所有变量全部引入回归方程并检验，然后在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中，剔除t检验值最小的变量。 Ø逐步筛选策略
合准则。
最小二乘法将偏差距离定义为离差平方和，即
n
Q( 0, 1, p) ( yi E( yi ))2
i 1
最小二乘估计就是寻找参数β0
、β1、…
βp的估计
值β̂0 、β ̂1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过
求极值原理（偏导为零）和解方程组，可求得估计值，
SPSS将自动完成。
每个解释变量进入方程后引起的判定系数的变化量和F值的变化量（偏F统计量）
输出个解释变量和被解释变量的均值、标准差、相关系数矩阵及单侧检验概率值
输出判定系数、调整的判定系数、回归方程的标准误、回归方程显著性检验的方差分析表
输出方程中各解释变量与被解释变量之间的简单相关、偏相关系数和部分相关
30
n回归分析的其他操作
Ø选项
DW值
输出标准化残差绝对值大于等于 3（默认）的样本数据的相关信息
多重共线性分析：输出各解释变量的容忍度、方差膨胀因子、
特征值、条件指标、方差比例等
31
n回归分析的其他操作
Ø选项
•标准化预测值 •标准化残差 •剔除残差 •调整的预测值 •学生化残差 •剔除学生化残差

卫生统计学习题集三

（）2.只适用于小样本，不适用于大样本。（）3.相关系数 r 与回归系数 b 均无单位。（）4.欲研究某种药物治疗糖尿病的疗效，某医师收集了 2003 年乌市某医院所有就诊并服用该药的糖尿病病人的疗效，此研究是一个总体研究。（）5.在偏态总体中抽样，样本均数的分布必然服从正态分布。（）6.样本量增大，极差会增大。（）7.调查某小学 40 名小学生中患龋齿的学生有 30 人，其中男生 14 名，女生 16 名，可认为女生比男生更易患龋齿。（）8.若两样本均数比较的假设检验 P 远远小于 0.01,则说明两总体均数差异非常大。（）9.同一批计量数据的标准差必定比标准误小。（）10.要评价某市一名 8 岁女孩的身高是否偏高或偏矮，应选用的方法是用该市 8 岁女孩身高的 95％或 99％的可信区间来评
A.P＞0.05 B.P＜0.01 C.0.05＞P＞0.02 D.0.02＞P ＞0.01
E.0.1＞P＞0.05 27．完全随机设计资料的方差分析中，必然有Ａ．ＳＳ总＝ＳＳ组间+ＳＳ组内Ｂ．ＳＳ总＝ＳＳ组间+ ＳＳ组内+ＳＳ误差Ｃ．ν组间>ν组内Ｄ．ＭＳ总＝ＭＳ组间+ＭＳ组内Ｅ．ＳＳ组间>ＳＳ组内 28.某地对 100 名儿童作蛔虫感染情况粪检，发现蛔虫卵阳性者 50 名，估计其 95％的可信区间为 A.35～60％ B.37～63％ C.30～70％ D.45～65％ E. 40～60％ 29.当一组计量资料呈明显偏态分布时，选用下列指标来描述其集中趋势和离散趋势。 A.均数、标准差 B.中位数、标准差 C.中位数、四分位数间距 D.均数、四分位数间距 E.几何均数、标准差 30．配对设计的秩和检验，确定 P 值的方法为
出率.
o 试判断两种检验结果有无差别（） 3.某医院用某新药与常规药物治疗婴幼儿贫血，将 20 名贫血患儿随机分为两组，分别接受两种药物治疗，测得血红蛋白增加量（g/l）如下，问新药与常规药物的疗效有无差别？

应用回归分析,第3章课后习题参考答案

第3章多元线性回归思考与练习参考答案3.2 讨论样本容量n 与自变量个数p 的关系，它们对模型的参数估计有何影响？答：在多元线性回归模型中，样本容量n 与自变量个数p 的关系是：n>>p 。

如果n<=p 对模型的参数估计会带来很严重的影响。

因为： 1. 在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。

2. 解释变量X 是确定性变量，要求()1rank p n =+<X ，表明设计矩阵X 中的自变量列之间不相关，即矩阵X 是一个满秩矩阵。

若()1rank p <+X ，则解释变量之间线性相关，1()X X -'是奇异阵，则β的估计不稳定。

3.3证明随机误差项ε的方差σ2的无偏估计。

证明:22122222111112221111ˆ(),111()()(1)(1)()(1)1ˆ()()1n i i n n nnnii ii iiii i i i i i ni i SSE e e e n p n p n p E e D e h h n h n p E E e n p σσσσσσσ======='===------∴==-=-=-=--∴==--∑∑∑∑∑∑∑3.4 一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R 2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？答：不能断定这个回归方程理想。

因为：1. 在样本容量较少，变量个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F 检验或者关于回归系数的t 检验，所建立的回归方()1ˆ2--=p n SSE σ程都没能通过。

2. 样本决定系数和复相关系数接近于1只能说明Y 与自变量X1,X2,…,Xp 整体上的线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量是显著的，还需进行F 检验和t 检验。

3. 在应用过程中发现，在样本容量一定的情况下，如果在模型中增加解释变量必定使得自由度减少，使得 R 2往往增大，因此增加解释变量（尤其是不显著的解释变量）个数引起的R 2的增大与拟合好坏无关。

多元线性回归模型

引子：中国汽车的保有量会超过1.4亿辆吗？中国经济的快速发展，居民收入不断增加，数以百万计的中国人开始得以实现拥有汽车的梦想，中国也成为世界上成长最快的汽车市场。

中国交通部副部长在“中国交通可持续发展论坛”上作出预测：“2020年，中国的民用汽车保有量将比2003年的数字增长6倍，达到1.4亿辆左右”。

（资料来源：人民网、新华网、中新网）是什么因素导致了中国汽车数量的快速增长？影响中国汽车行业发展的因素并不单一，经济增长、消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、道路发展、内外环境、相关政策……，都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。

怎样分析多种因素对汽车市场的影响？分析中国汽车业行业未来的趋势，应当具体分析这样一些问题：中国汽车市场发展的状况如何（用销售量观测）影响中国汽车销量的主要因素是什么？（如收入、价格、费用、道路状况、政策、环境等）各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负）各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？所得到的数量结论是否可靠？中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的产业政策？很明显，只用一个解释变量已经很难分析汽车产业的实际发展，而简单线性回归模型又不能解决多变量问题的分析，还需要寻求有多个解释变量的回归分析方法。

第三章多元线性回归模型本章讨论：如何将简单线性回归的研究方式推广到多元的情况：● 多元线性回归模型● 多元线性回归参数的估计及区间估计 ● 多元线性回归方程的拟合优度 ● 多元线性回归的显著性检验 ● 多元线性回归预测第一节多元线性回归模型及古典假定一、多元线性回归模型的定义一般形式：对于有1k -个解释变量的线性回归模型，可表示为与简单线性回归模型不同，模型中的(1,2,,)j j k β=是偏回归系数，样本容量为n 。

偏回归系数：控制其他解释量不变的条件下，第j 个解释变量的单位变动对被(1,2,,)k ki iX u i n β+++=解释变量平均值的影响。

第14章思考与练习

第十四章直线回归分析【思考与习题】一、思考题1．试述建立直线回归方程的步骤以及散点图的作用。

2．如何将方差分析运用于回归系数的假设检验简述其思想。

3．简述直线相关和直线回归的区别与联系。

4．对回归系数进行假设检验可以采用哪些方法二、案例辨析题某研究采用火箭电泳法对已知浓度的标准血清进行测量，其免疫球蛋白IgA 浓度(μg/ml)和火箭电泳高度(mm)如表14-1所示。

研究者据此数据建立直线回归方程，用于测定未知样品血清中的IgA 浓度，以上分析正确吗~表14-1 标准品的IgA 浓度(μg/ml)和火箭电泳高度(mm)】采用最小二乘法建立直线回归方程，得到ˆ 5.335 1.599yx =+，经假设检验得001.0<P ，故此回归方程可用于测定未知样品血清中的IgA 含量。

标准品的IgA 浓度 x火箭电泳高度 y…。

三、最佳选择题 |1. 对于一组服从双变量正态分布的资料，经直线相关分析得相关系数0r >，若对该资料拟合回归直线，其回归系数 A ．0b > B ．0b < C ．0b = D ．11b -<< E ．1>b2. 一组服从双变量正态分布的资料，经直线相关分析得相关系数1r =-，则有 A ．SS =残总SS B ．SS SS =残回 C ．SS SS =总回【D ．回残MS MS =E ．回总MS MS =3．直线回归中x 与y 的标准差相等时，则有 A ．b a = B ．b r =C ．1b =D ．1r =E ．1a =4．若直线回归系数0b =，则一定有 A ．截距等于0 @B ．截距等于yC ．SS 残等于0D ．SS 总等于0E ．SS 残等于SS 回5．两组服从双变量正态分布的资料，若两样本12b b =，12n n >，则有A ．12r r >B ．12b b t t =C ．12r r >D ．11b r t t =E ．12r r t t =]6．最小二乘法的原理是各观测点A ．距回归直线的纵向距离相等B ．距回归直线的纵向距离平方和最小C ．距回归直线的垂直距离相等D ．距回归直线的垂直距离平方和最小E ．距回归直线的纵向距离最小7．直线回归分析中，按直线方程ˆ0.0040.0588yx =+，代入两点绘制回归直线，以下选项中正确的是A ．所有实测点都应在回归直线上B ．所绘回归直线必过点(,)x yC ．回归直线必过原点-D ．x 的取值范围为[1,1]-E ．实测值与估计值之差的平方和必小于零8．同一资料进行直线回归与直线相关分析时，下列说法正确的是 A ．0ρ=时，则0r = B ．||0r >时，则0b >C ．0r <时，则0b >D ．0r <时，则0b <E ．||1b ≤四、综合分析题 ~1. 为了研究女大学生胸围(cm)与肺活量(L)的关系，随机抽取某高校一年级女生15名，测量其胸围与肺活量数据如表14-2所示。

回归分析与协方差分析

Y0的观测值y0的点预测是无偏的。
⑵ 当x＝x0时，用适合不等式P{Y0∈(G,H)}≥ 1-α的统计量G和H所确定的随机区间(G,H) 预测Y0的取值范围称为区间预测，而(G,H)称为Y0的1-α预测区间。若Y0与样本中的各Yi相互独立，则根据 Z＝Y0-(a+bx0)服从正态分布，E(Z)＝0， 2 1 ( x0 x ) 2 D( Z ) (1 ), n l xx SSE 及 2 ~ 2 ( n 2), Z与SSE相互独立，
r
l xy
,r
2
l
2 xy
,
当F≥F1-α(1,n-2)或|r|≥rα(n-2)时应该放弃原假设H0，式中的 F1 (1, n 2) r ( n 2) F1 (1, n 2) ( n 2)
可由r检验用表中查出。
r
2
因此，r常常用来表示x与Y的线性关系在x 与Y的全部关系中所占的百分比，又称为x 与Y的观测值的决定系数。
2 i
i
yi ;
(2)计算l xx , l xy , l yy ;
(3)计算b和a，写出一元线性回归方程。
与上述a和b相对应的Q的数值又记作SSE，称为剩余平方和。
ˆ和 Y ˆ 看作是统计量，将a、b和SSE以及 Y i 它们的表达式分别为 n
a Y bx , b
( x
i 1
i
2 ˆ ˆ i 之间的偏差 ( y i y i ) 是y i 与y i 1
n
通过回归已经达到了最小值，称为剩余平方和，记作SSE。
n i 1
2 ˆ 而 ( y i y ) 表示n个ˆ y i 与y之间的差异，
ˆ i 所造成的，是将x i 代入回归方程得到 y 称为回归平方和，记作SSR。

贾俊平第四版统计学-第十一章一元线性回归练习答案

第十一章一元线性回归练习题答案二．填空题 1. 不能；因为该相关系数为样本计算出的相关系数，它的大小受样本数据波动的影响，它是否显著尚需检验；t 检验;2.图1；不能；因为图1反映的是线性相关关系，图2反映的是非线性性相关关系，相关系数只能反映线性相关变量间的相关性的强弱，不能反映非线性相关性的强弱。

三．计算题1.（1） SSR 的自由度是1，SSE 的自由度是18。

（2）2418/6080220/1/==-=SSE SSR F(3)判定系数%14.57140802===SST SSR R 在y 的总变差中，由57.14％的变差是由于x 的变动说引起的。

(4)7559.05714.02-=-=-=R r相关系数为-0.7559。

(5)线性关系显著和：线性关系不显著和y x y x H 10H :因为414.424=>=αF F，所以拒绝原假设，x 与y 之间的线性关系显著。

2.（1）方差分析表df SS MS F Significance F回归分析 1 425 425 85 0.017 残差 15 75 5 －－总计16500－－－（2）判定系数%8585.05004252====SST SSR R表明在维护费用的变差中，有85％的变差可由使用年限来解释。

（3）9220.085.02===R r二者相关系数为0.9220，属于高度相关（4）x y248.1388.6ˆ+= 分布；显著。

的自由度为t n r n r t 2);12||2---=回归系数为1.248，表示每增加一个单位的产量，该行业的生产费用将平均增长1.248个单位。

（5）线性关系显著性检验：线性关系显著：生产费用和产量之间性关系不显著生产费用和产量之间线10:H H因为Significance F=0.017<05.0＝α,所以线性关系显著。

（6）348.3120248.1388.6248.1388.6ˆ＝＝⨯++=x y当产量为10时，生产费用为31.348万元。

线性回归分析与方差分析.ppt

下面说明这一检验的方法.
若假设Y=a+bx+ 符合实际，则b不应为零因为如果b=0，则Y=a+ 意味着Y与x无关
所以Y=a+bx是否合理，归结为对假设：
H0: b=0 H1 : b 0
进行检验
下面介绍检验假设H0的二种常用方法.
1．t检验法
若H0成立，即b=0，由定理7.1知，
bˆ
~ N (0,1)
yˆ0 aˆ bˆx0
作为y0的预测值.可以证明
T
y0 yˆ0
~ t(n 2)
n ˆ
n2
1 1 n
(x0 x)2
n
(xi x)2
i1
从而可得
P | T | t (n 2) 1
2
所以，给定置信概率 1 ，Y0的置信区间为
( y0 (x0 ), y0 (x0 ))
其中
第九章线性回归分析与方差分析
第一节一元线性回归分析第二节可线性化的非线性回归第三节多元线性回归简介第四节方差分析
第一节一元线性回归分析
在许多实际问题中，我们常常需要研究多个变量之间的相互关系。一般来说，变量之间的关系可分为两类：一类是确定性关系，确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达，例如电流I电压V电阻R之间有关系式V=IR。另一类是非确定性关系，有些变量之间的关系是非确定性的关系，这种关系无法用一个精确的函数式来表示。
直线附近.但各点不完全在一条直线上，这是由于Y
还受到其他一些随机因素的影响.
这样，Y可以看成是由两部分叠加而成，一部
分是x的线性函数a+bx，另一部分是随机因素引起的
误差，即
y
Y=a+bx+

从统计学看线性回归（2）——一元线性回归方程的显著性检验

从统计学看线性回归（2）——⼀元线性回归⽅程的显著性检验⽬录1. σ2 的估计2. 回归⽅程的显著性检验 t 检验（回归系数的检验） F 检验（回归⽅程的检验）相关系数的显著性检验样本决定系数三种检验的关系⼀、σ2 的估计因为假设检验以及构造与回归模型有关的区间估计都需要σ2的估计量，所以先对σ2作估计。

通过残差平⽅和（误差平⽅和）（1）（⽤到和，其中）⼜∵（2）∴（3）其中为响应变量观测值的校正平⽅和。

残差平⽅和有n-2 个⾃由度，因为两个⾃由度与得到的估计值与相关。

（4）（公式（4）在《线性回归分析导论》附录C.3有证明）∴σ2的⽆偏估计量：（5）为残差均⽅，的平⽅根称为回归标准误差，与响应变量y 具有相同的单位。

因为σ2取决于残差平⽅和，所以任何对模型误差假设的违背或对模型形式的误设都可能严重破坏σ2的估计值的实⽤性。

因为由回归模型残差算得，称σ2的估计值是模型依赖的。

⼆、回归⽅程的显著性检验⽬的：检验是否真正描述了变量 y 与 x 之间的统计规律性。

假设：正态性假设（⽅便检验计算）1. t 检验⽤t 检验来检验回归系数的显著性。

采⽤的假设如下：原假设 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系）对⽴假设 H1：β1 ≠ 0 回归系数的显著性检验就是要检验⾃变量 x 对因变量 y 的影响程度是否显著。

下⾯我们分析接受和拒绝原假设的意义。

（1）接受 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系）此时有两种情况，⼀种是⽆论 x 取值如何， y 都在⼀条⽔平线上下波动，即，如下图1，另⼀种情况为， x 与 y 之间存在关系，但不是线性关系，如图2。

图 1图 2 （2）拒绝 H0：β1 = 0 （x 对解释 y 的⽅差是有⽤的）拒绝原假设也有两种情况，⼀种是直线模型就是合适的，如图 3，另⼀种情况为存在 x 对 y 的线性影响，也可通过 x 的⾼阶多项式得到更好的结果，如图 4。

回归分析方差分析

( yi b0 b1x1i b2 x2i bn xni )2 min
分别对b0,b1,…,bn求导,并令其一阶导数为0,可求出各个系数
二、回归方程得数学模型
估计标准误差就是估计y与对应观测值之间得离差平方和
SST Lyy ( yi yi )2
^
^
( yi yi )2 ( yi y)2
• ⑦“Influence Statistics” 统计量得影响。 “DfBeta(s)”删除一个特定得观测值所引起得回归系数得变化。 “Standardized DfBeta(s)”标准化得DfBeta值。 “DiFit” 删除一个特定得观测值所引起得预测值得变化。“Standardized DiFit”标准化得DiFit值。 “Covariance ratio”删除一个观测值后得协方差矩阵得行列式和带有全部观测值得协方差矩阵得行列式得比率。
Leverage values: 杠杆值。 • ③“Prediction Intervals”预测区间选项:
Mean: 区间得中心位置。 Individual: 观测量上限和下限得预测区间。
• ④“Save to New File”保存为新文件: 选中“Coefficient statistics”项将回归系数保存到指定得文件中。
Unstandardized 非标准化预测值。在当前数据文件中新添加一个以字符“PRE_”开头命名得变量,存放根据回归模型拟合得预测值。 Standardized 标准化预测值。 Adjusted 调整后预测值。S、E、 of mean predictions 预测值得标准误。
• ②“Distances”距离栏选项: • Mahalanobis: 距离。 Cook’s”: Cook距离。

简单回归分析

简单回归分析
Simple linear regression analysis
本章内容
第一节简单线性回归第二节线性回归的应用
第一节简单线性回归
双变量计量资料：每个个体有两个变量值
总体：无限或有限对变量值
样本：从总体随机抽取的n对变量值（X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn）目的：研究X和Y的数量关系方法：回归与相关
XY
46.02 33.11 27.81 14.88 33.60
232.61 76 23.87 / 8 764 762 / 8 5.8450 0.1392 42
X SX / n 76 / 8 9.5
20.48 Y SY / n 23.87 / 8 2.9838
线性回归的概念及其统计描述
直线回归的概念
目的：研究应变量Y对自变量X的数量依存关系。特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系，不同于一般数学上的X 和Y的函数关系
回归
回归描述的是通过自变量的数值反应因变量的平均水平。因此可以通过可测或易测的变量估计难测或不可测变量的状态。
例如：通过体重估计体表面积；通过身高、体重、肺活量估计心室血输出量、体循环总血量；本章只涉及一个自变量的回归问题
b
SXY SX SY / n l XY 2 l XX SX 2 SX / n
编号 1 2 3 4 5 6
年龄X 肌酐Y
13 11 9 6 8 10 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36
X2
169 121 81 36 64 100
Y2
12.53 9.06 9.55 6.15 6.55 11.29

医学设计研究的数据管理和分析选择题

1. 医学统计学研究的对象是A. 医学中的小概率事件B. 各种类型的数据C. 动物和人的本质D. 疾病的预防与治疗E．有变异的医学事件2. 用样本推论总体，具有代表性的样本指的是A．总体中最容易获得的部分个体 B．在总体中随意抽取任意个体C．挑选总体中的有代表性的部分个体 D．用配对方法抽取的部分个体E．依照随机原则抽取总体中的部分个体3. 下列观测结果属于等级资料的是A．收缩压测量值 B．脉搏数C．住院天数 D．病情程度E．四种血型4. 随机误差指的是A. 测量不准引起的误差B. 由操作失误引起的误差C. 选择样本不当引起的误差D. 选择总体不当引起的误差E. 由偶然因素引起的误差5. 收集资料不可避免的误差是A. 随机误差B. 系统误差C. 过失误差D. 记录误差E．仪器故障误差答案: E E D E A1. 某医学资料数据大的一端没有确定数值，描述其集中趋势适用的统计指标是A. 中位数B. 几何均数P百分位数C. 均数D. 95E. 频数分布2. 算术均数与中位数相比，其特点是A．不易受极端值的影响 B．能充分利用数据的信息C．抽样误差较大 D．更适用于偏态分布资料E．更适用于分布不明确资料3. 一组原始数据呈正偏态分布，其数据的特点是A. 数值离散度较小B. 数值离散度较大C. 数值分布偏向较大一侧D. 数值分布偏向较小一侧E. 数值分布不均匀4. 将一组计量资料整理成频数表的主要目的是A．化为计数资料 B. 便于计算C. 形象描述数据的特点D. 为了能够更精确地检验E. 提供数据和描述数据的分布特征5. 6人接种流感疫苗一个月后测定抗体滴度为 1：20、1：40、1：80、1：80、1：160、1：320，求平均滴度应选用的指标是A. 均数B. 几何均数C. 中位数D. 百分位数E. 倒数的均数答案: A B D E B1. 变异系数主要用于A．比较不同计量指标的变异程度 B. 衡量正态分布的变异程度C. 衡量测量的准确度D. 衡量偏态分布的变异程度E. 衡量样本抽样误差的大小2. 对于近似正态分布的资料，描述其变异程度应选用的指标是A. 变异系数B. 离均差平方和C. 极差D. 四分位数间距E. 标准差3. 某项指标95%医学参考值范围表示的是A. 检测指标在此范围，判断“异常”正确的概率大于或等于95%B. 检测指标在此范围，判断“正常”正确的概率大于或等于95%C. 在“异常”总体中有95%的人在此范围之外D. 在“正常”总体中有95%的人在此范围E. 检测指标若超出此范围，则有95%的把握说明诊断对象为“异常”4．应用百分位数法估计参考值范围的条件是A．数据服从正态分布 B．数据服从偏态分布C ．有大样本数据D ．数据服从对称分布E ．数据变异不能太大5．已知动脉硬化患者载脂蛋白B 的含量(mg/dl)呈明显偏态分布，描述其个体差异的统计指标应使用A ．全距B ．标准差C ．变异系数D ．方差E ．四分位数间距答案：A E D B E1. 样本均数的标准误越小说明A. 观察个体的变异越小B. 观察个体的变异越大C. 抽样误差越大D. 由样本均数估计总体均数的可靠性越小E. 由样本均数估计总体均数的可靠性越大2. 抽样误差产生的原因是A. 样本不是随机抽取B. 测量不准确C. 资料不是正态分布D. 个体差异E. 统计指标选择不当3. 对于正偏态分布的的总体, 当样本含量足够大时, 样本均数的分布近似为A. 正偏态分布B. 负偏态分布C. 正态分布D. t 分布E. 标准正态分布4. 假设检验的目的是A. 检验参数估计的准确度B. 检验样本统计量是否不同C. 检验样本统计量与总体参数是否不同D. 检验总体参数是否不同E. 检验样本的P 值是否为小概率5. 根据样本资料算得健康成人白细胞计数的95%可信区间为7.2×109/L ～9.1×109/L ，其含义是A. 估计总体中有95%的观察值在此范围内B. 总体均数在该区间的概率为95%C. 样本中有95%的观察值在此范围内D. 该区间包含样本均数的可能性为95%E. 该区间包含总体均数的可能性为95%答案：E D C D E1. 两样本均数比较,检验结果05.0 P 说明A. 两总体均数的差别较小B. 两总体均数的差别较大C. 支持两总体无差别的结论D. 不支持两总体有差别的结论E. 可以确认两总体无差别2. 由两样本均数的差别推断两总体均数的差别, 其差别有统计学意义是指A. 两样本均数的差别具有实际意义B. 两总体均数的差别具有实际意义C. 两样本和两总体均数的差别都具有实际意义D. 有理由认为两样本均数有差别E. 有理由认为两总体均数有差别3. 两样本均数比较,差别具有统计学意义时,P 值越小说明A. 两样本均数差别越大B. 两总体均数差别越大C. 越有理由认为两样本均数不同D. 越有理由认为两总体均数不同E. 越有理由认为两样本均数相同4. 减少假设检验的Ⅱ类误差，应该使用的方法是A. 减少Ⅰ类错误B. 减少测量的系统误差C. 减少测量的随机误差D. 提高检验界值E. 增加样本含量5．两样本均数比较的t 检验和u 检验的主要差别是A. t 检验只能用于小样本资料B. u 检验要求大样本资料C. t 检验要求数据方差相同D. t 检验的检验效能更高E. u 检验能用于两大样本均数比较答案：D E D E B1. 方差分析的基本思想和要点是A ．组间均方大于组内均方B ．组内均方大于组间均方C ．不同来源的方差必须相等D ．两方差之比服从F 分布E ．总变异及其自由度可按不同来源分解2. 方差分析的应用条件之一是方差齐性,它是指A. 各比较组相应的样本方差相等B. 各比较组相应的总体方差相等C. 组内方差=组间方差D. 总方差=各组方差之和E. 总方差=组内方差 + 组间方差3. 完全随机设计方差分析中的组间均方反映的是A. 随机测量误差大小B. 某因素效应大小C. 处理因素效应与随机误差综合结果D. 全部数据的离散度E. 各组方差的平均水平4. 对于两组资料的比较，方差分析与t 检验的关系是A. t 检验结果更准确B. 方差分析结果更准确C. t 检验对数据的要求更为严格D. 近似等价E. 完全等价5．多组均数比较的方差分析，如果0.05P <，则应该进一步做的是A ．两均数的t 检验B ．区组方差分析C ．方差齐性检验D ．q 检验E ．确定单独效应答案：E B C E D1. 如果一种新的治疗方法能够使不能治愈的疾病得到缓解并延长生命,则应发生的情况是A. 该病患病率增加B. 该病患病率减少C. 该病的发病率增加D. 该病的发病率减少E. 该疾病的死因构成比增加2. 计算乙肝疫苗接种后血清学检查的阳转率，分母为A. 乙肝易感人数B. 平均人口数C. 乙肝疫苗接种人数D. 乙肝患者人数E. 乙肝疫苗接种后的阳转人数3. 计算标准化死亡率的目的是A. 减少死亡率估计的偏倚B. 减少死亡率估计的抽样误差C. 便于进行不同地区死亡率的比较D. 消除各地区内部构成不同的影响E. 便于进行不同时间死亡率的比较4. 影响总体率估计的抽样误差大小的因素是A. 总体率估计的容许误差B. 样本率估计的容许误差C. 检验水准和样本含量D. 检验的把握度和样本含量E. 总体率和样本含量5. 研究某种新药的降压效果,对100人进行试验,其显效率的95%可信区间为0.862～0.926,表示A. 样本显效率在0.862～0.926之间的概率是95%B. 有95%的把握说总体显效率在此范围内波动C. 有95%的患者显效率在此范围D. 样本率估计的抽样误差有95%的可能在此范围E. 该区间包括总体显效率的可能性为95%答案：A C D E E1. 利用2χ检验公式不适合解决的实际问题是A. 比较两种药物的有效率B. 检验某种疾病与基因多态性的关系C. 两组有序试验结果的药物疗效D. 药物三种不同剂量显效率有无差别E. 两组病情“轻、中、重”的构成比例2．欲比较两组阳性反应率, 在样本量非常小的情况下(如1210,10n n <<), 应采用 A. 四格表2χ检验 B. 校正四格表2χ检验C. Fisher 确切概率法D. 配对2χ检验E. 校正配对2χ检验3．进行四组样本率比较的2χ检验，如220.01,3χχ>，可认为 A. 四组样本率均不相同 B. 四组总体率均不相同C. 四组样本率相差较大D. 至少有两组样本率不相同E. 至少有两组总体率不相同4. 从甲、乙两文中，查到同类研究的两个率比较的2χ检验，甲文220.01,1χχ>，乙文220.05,1χχ>，可认为A. 两文结果有矛盾B. 两文结果完全相同C. 甲文结果更为可信D. 乙文结果更为可信E. 甲文说明总体的差异较大5. 两组有效率比较检验功效的相关因素是A. 检验水准和样本率B. 总体率差别和样本含量C. 样本含量和样本率D. 总体率差别和理论频数E. 容许误差和检验水准答案：C C E C B1．对医学计量资料成组比较, 相对参数检验来说，非参数秩和检验的优点是A. 适用范围广B. 检验效能高C．检验结果更准确 D. 充分利用资料信息E. 不易出现假阴性错误2. 对于计量资料的比较,在满足参数法条件下用非参方法分析,可能产生的结果是A. 增加Ⅰ类错误B. 增加Ⅱ类错误C. 减少Ⅰ类错误D. 减少Ⅱ类错误E. 两类错误都增加3. 两样本比较的秩和检验,如果样本含量一定,两组秩和的差别越大说明A. 两总体的差别越大B. 两总体的差别越小C. 两样本的差别可能越大D. 越有理由说明两总体有差别E. 越有理由说明两总体无差别4. 多个计量资料的比较，当分布类型不清时，应选择的统计方法是A. 方差分析B.Wilcoxon T检验C. Kruskal－Wallis H检验D. u检验E. 2χ检验5．在一项临床试验研究中，疗效分为“痊愈、显效、有效、无效”四个等级，现欲比较试验组与对照组治疗效果有无差别，宜采用的统计方法是A. Wilcoxon秩和检验B. 24⨯列联表2χ检验C. 四格表2χ检验 D. Fisher确切概率法E. 计算标准化率答案：A B D C A1. 回归系数的最小二乘估计使其平方和最小的是A. 各点到X均数直线的横向距离B. 各点到X轴的横向距离C. 各点到回归直线的垂直距离D. 各点到Y均数直线的垂直距离E. 各点到Y轴的垂直距离2. 两数值变量相关关系越强，表示A. 相关系数越大B. 相关系数的绝对值越大B. 回归系数越大C. 回归系数的绝对值越大E. 相关系数检验统计量的t值越大3. 回归分析的决定系数2R越接近于1，说明A. 相关系数越大B. 回归方程的显著程度越高C. 应变量的变异越大D. 应变量的变异越小E.自变量对应变量的影响越大4. 两组资料作回归分析，直线回归系数b较大的一组，表示A．两变量关系密切的可能性较大 B．检验显著的可能性较大C．决定系数2R较大 D．决定系数2R可能大也可能小E．数量依存关系更密切5. 1—7岁儿童可以用年龄（岁）估计体重（市斤），回归方程为ˆ144Y X=+，若将体重换成国际单位kg，则此方程A．常数项改变 B．回归系数改变C．常数项和回归系数都改变 D．常数项和回归系数都不改变E．决定系数改变答案：D B E D C1. 在疾病发生危险因素的研究中，采用多变量回归分析的主要目的是A．节省样本 B．提高分析效率C．克服共线影响 D．减少异常值的影响E．减少混杂的影响2. 多元线性回归分析中，反映回归平方和在应变量Y的总离均差平方和中所占比重的统计量是A. 简单相关系数 B .复相关系数C. 偏回归系数D. 回归均方E. 决定系数2R3. 对同一资料作多变量线性回归分析，若对两个具有不同个数自变量的回归方程进行比较，应选用的指标是A ．决定系数 B. 相关系数C. 偏回归平方和D. 校正决定系数E. 复相关系数4. 多元线性回归分析，对回归方程作方差分析，检验统计量F 值反映的是A ．所有自变量与应变量间是否存在线性回归关系B ．部分自变量与应变量间是否存在线性回归关系C ．自变量与应变量间存在的线性回归关系是否较强D ．自变量之间是否存在共线E. 回归方程的拟合优度 5. 在多元回归分析中，若对某个自变量的值都乘以一个常数c （0c ），则A. 偏回归系数不变、标准回归系数改变B. 偏回归系数改变、标准回归系数不变C ．偏回归系数与标准回归系数均不改变D ．偏回归系数与标准回归系数均改变E ．偏回归系数和决定系数均改变答案：E E D A B1．统计表的主要作用是A. 便于形象描述和表达结果B. 客观表达实验的原始数据C. 减少论文篇幅D. 容易进行统计描述和推断E. 代替冗长的文字叙述和便于分析对比2．描述某疾病患者年龄（岁）的分布，应采用的统计图是A ．线图B ．条图C ．百分条图D ．直方图E ．箱式图3．高血压临床试验分为试验组和对照组，分析考虑治疗0周、2周、4周、6周、8周血压的动态变化和改善情况，为了直观显示出两组血压平均变动情况，宜选用的统计图是A ．半对数图B ．线图C ．条图D ．直方图E ．百分条图4．研究三种不同麻醉剂在麻醉后的镇痛效果，采用计量评分法，分数呈偏态分布，比较终点时分数的平均水平及个体的变异程度，应使用的图形是A. 复式条图B. 复式线图C. 散点图D. 直方图E. 箱式图5. 研究血清低密度脂蛋白LDL 与载脂蛋白B-100的数量依存关系，应绘制的图形是A. 直方图B. 箱式图C. 线图D. 散点图E. 条图答案：E D B E D1. 实验研究随机化分组的目的是A ．减少抽样误差B ．减少实验例数C ．保证客观D ．提高检验准确度E ．保持各组的非处理因素均衡一致2. 关于实验指标的准确度和精密度，正确的说法是A ．精密度较准确度更重要B ．准确度较精密度更重要C ．精密度主要受随机误差的影响D ．准确度主要受随机误差的影响E ．精密度包含准确度3. 在临床试验设计选择对照时，最可靠的对照形式是A. 历史对照B. 空白对照C. 标准对照D. 安慰对照E. 自身对照4. 两名医生分别阅读同一组CT 片诊断某种疾病，Kappa 值越大说明A. 观察个体的变异越大B. 观察个体的变异越小C. 观察一致性越大D. 机遇一致性越大E. 实际一致性越大5. 下列叙述正确的有A. 特异度高说明测量的稳定性好B. 灵敏度必须大于特异度才有实际意义C. 增大样本含量可以同时提高灵敏度和特异度D. 特异度高说明假阳性率低E. 阳性预测值高说明患病的概率大答案：E C D C C1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制（ B ）A 条图B 百分条图或圆图 C线图 D直方图2、均数和标准差可全面描述 D 资料的特征A 所有分布形式Ｂ负偏态分布Ｃ正偏态分布Ｄ正态分布和近似正态分布3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮，其统计方法是（ A ）A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价B 用身高差别的假设检验来评价C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价D 不能作评价4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用（ A ）A 变异系数B 方差C 标准差D 四分位间距5、产生均数有抽样误差的根本原因是（ A ）A.个体差异B. 群体差异C. 样本均数不同D. 总体均数不同6. 男性吸烟率是女性的10倍，该指标为（ A ）（A）相对比（B）构成比（C）定基比（D）率7、统计推断的内容为（ D ）A.用样本指标估计相应的总体指标B.检验统计上的“检验假设”C. A和B均不是D. A和B均是8、两样本均数比较用t检验，其目的是检验（ C ）A两样本均数是否不同 B两总体均数是否不同C两个总体均数是否相同 D两个样本均数是否相同9、有两个独立随机的样本，样本含量分别为n1和n2，在进行成组设计资料的t检验时，自由度是（ D ）（A） n1+ n2（B） n1+ n2–1（C） n1+ n2 +1（D） n1+ n2 -210、标准误反映（ A ）A 抽样误差的大小 B总体参数的波动大小C 重复实验准确度的高低D 数据的离散程度11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的 (C)Ａ垂直距离的平方和最小Ｂ垂直距离最小Ｃ纵向距离的平方和最小Ｄ纵向距离最小12、对含有两个随机变量的同一批资料,既作直线回归分析,又作直线相关分析。

线性回归分析方法在税收收入预测中的应用

线性回归分析方法在税收收入预测中的应用郭东颖税收收入预测是根据历史数据信息和现实客观条件，运用科学的方法和逻辑推理手段，对未来收入状况进行分析、估计、推断。

税收收入预测的结果虽然含有主观成份，但并不是毫无科学根据的主观臆测。

构建地方税收入预测模型，对于地税机关科学编制税收计划，提高税收征管质量，发现税收管理的科学规律，具有十分重要的参考价值。

一、基本理论影响地方税收入的决定因素主要包括三个方面，一是经济发展水平，表现为经济总量、增长趋势、产业和行业结构布局；二是税收政策，表现为国家税制及局部性、区域性的税收优惠政策；三是税收征管力度。

实证分析表明，税收收入增长与上述三个方面因素有着基本对应的量化关系。

税收收入预测的基本思路就是“鉴往知来”，依托这种量化关系，对宏观税源及征管效能进行测算，进而预知未来税收收入数量。

考虑其他影响因素后，即可建立如下地方税收入的线性预测模型：y=f（经济发展水平，税收制度，征管力度，其他随机因素……）二、指标与变量为使上述关系式模型能够实际计算，必须确定各项要素与税收收入的关联指标。

经济发展水平是核心因素，总体上决定可能的税收收入规模；一般认为，宏观经济税源用GDP代表。

各税种收入均可用与其计税依据相关的指标进行测算，但受指标体系自身和调查统计手段的限制，目前尚不能取得各项指标的精确数据，仅能指出一些与之密切相关的代表性指标，如：地方税收入总量与国内生产总值（GDP）、营业税与第三产业及建筑业营业额、企业所得税与利润总额、个人所得税与城乡居民可支配收入、土地增值税与房地产开发业销售额等。

征管力度因素难以具体量化，并且作用机理依附于经济发展水平，实践中可用回归分析的方法予以确定。

在国家税制没有发生根本性变革的情况下，局部性、区域性的优惠税收政策效应在各税种收入之间存在互补关系，对税收总量的影响不大，在较长时期（大于一个年度）内税收政策因素可作为一个常量对待。

据此，将税收收入的线性预测模型转化为：y=a＋bx＋µ其中：x是自变量，表示预测期间的经济税源数量；y是因变量，表示预测期间税收收入的估计值；µ表示影响地方税收入的随机变量。

医学统计学：双变量回归与相关

样本
Y
Y
总体
YX
(Y的条件均数)
根据 t 分布原理：
1 (XX)2
Yt/2,n2sYt/2,n2sY.X Y
n
(XX)2
X=12时，求Y X 的95%可信区间
s X =9.5，lXX=42， Y . X =0.1970
当X=12
时，
Y
=1.6617+0.1392 12＝3.3321
SYˆ
相关分析的任务：
两变量间有无相关关系？
两变量间如有相关关系，相关的方向？相关的程度？
相关分析时，两数值变量之间出现如下情况：当一个变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为负相关(negative correlation)。 ——相关的方向
相关系数的计算
r XXYY lXY XX2YY2 lXXlYY
相关系数
相关的方向：
r>0：正相关 r<0：负相关 r=0：零相关相关的密切程度：
样本含量n足够大时，r绝对值越接近1。相关越密切。
0
1
0.4
0.7
低度相关中度相关高度相关
三、相关系数的统计推断
（一）相关系数的假设检验
（二）总体回归系数的可信区间
总体 YX X
样本
Yˆ abX
总体
β
根据 t 分布原理估计可信区间：
bt/2,n2sb 样本
b
总体回归系数的可信区间

线性回归的方差分析和回归系数的t检验

线性回归的方差分析和回归系数的t检验对同一资料作总体回归系数β是否为零的假设检验时，方差分析和t
检验是等价的并且有tβ2= F。

但并不是可以用t检验来取代回归检验的方差分析，对一元多变量的回归来说，方差分析只能代表总体回归β不等于零，即β1、β2…、βn 至少存在一个不为零，如果要检验具体的哪一个β不为零，即确定回归线的具体模型，此时就必须用争对该β的t检验。

对于一元单变量回归线,方差分析与t检验完全等价.
具体检验方法和公式在很多资料上都有提供，随便一百度就有。