abaqus随机振动Rmises计算

一种在随机振动环境中计算米塞斯均方根

应力RMS的高效方法

一种在随机振动环境中计算米塞斯均方根

应力RMS的高效方法

1.介绍

提出了一种严谨高效的方法来计算稳态随机载荷下线性结构的米塞斯应力均方根值。均方根应力RMS值通过载荷的零时间间隔的协方差矩阵来表示，在大多数结构分析中，我们在频域中通过应力分量转换矩阵和所加激励载荷的互功率谱密度矩阵来计算激励载荷的协方差矩阵。在以前的文献中提出了关键的相关性，但是在之前这种相关性并没有被应用过。在一般的设计中所用的米塞斯均方根应力的准确确定方法可能是保守或不保守的。最终，由于准确计算米塞斯均方根应力RMS的高效率，分析工程师现在可以通过研究米塞斯应力来对工程设计的可靠性进行深入的探索研究。

我们越来越多的采用数值计算方法，尤其是有限元方法，来预测结构和构建的可靠性。数值计算工具先进性。多样性的数值计算能力及误差的降低推动了这种趋势的发展。在本专论中研究了经受一类随机激励载荷的结构可靠性的问题，失效总是与接近屈服强度的米塞斯应力值有关。这个问题本质比静态和动态问题的确定要困难的多，因为输入载荷仅具有统计学意义，并且响应本质上也是统计学意义上的。另外，由于冯米塞斯应力是应力分量的非线性函数，因此用于计算加速度、位移、应力分量随机响应的计算方法及理论不能直接用于计算冯米塞斯应力。线性系统非确定性响应的深入讨论可以参考文献【1】，关于这些问题的更多讨论可以参考文献【2】【3】。

从频率数据中计算冯米塞斯应力的最直接方法要求对线性应力分量的很长的时间序列进行计算。可以在每个时间步计算应力不变量并且通过时间积分来确定均方根。这种计算流程的代价使得这种方法在冯米塞斯应力的大量研究中显得不切实际。涉及近似值计算的简化计算方法，例如Miles关系【4】，可能不够保守【5】。

最终的方法就是找到冯米塞斯应力在施加的激励载荷的统计学性质上的概率分布。本专论将指出，怎样从输入的激励载荷的统计转换到冯米塞斯应力的概率分布。特别将给出频域内直接计算的冯米塞斯应力均方根值的显式表达式。这种新方法可以使分析工程师对冯米塞斯应力的研究常规化，通过考虑结构全频域的响应实现对工程设计可靠性的深入研究。

2问题

一个典型的随机振动试验，对一个结构施加一个单独的载荷源，例如一个振动器，受到了一个用输入的加速度功率谱密度来表征的振动载荷。将加速度计和应变计布置在测试试件上可以用来对有限元模态分析的准确度或精度进行校核。结构分析工程师所面临的问题就是

去评估在结构上产生的应力场是否达到失效。对于延性材料，冯米塞斯应力提供了这种度量，分析工程师需要一种工具将输入的激励载荷的统计学内容转换正所导致的冯米塞斯应力的某些统计学参量。

为了说明这个问题，我们采用壳单元创建了一个铝合金圆筒的有限元模型，这个模型在底部受到横向的随机振动。图1和图2分别显示了圆筒模型和施加在其底部的加速度功率谱密度（PSD ）。

当前的标准分析流程就是：选择一个单一的模态频率（这个模态频率是典型的一个，它与输入带宽内的最高阶模态等效质量相联系【6】）并且按照Miles 相关性在这个频率上用模态阻尼和加速度功率谱去计算一个“等效静态重力场”。执行一个静态应力分析，就好像是结构受到了一g 水平的重力。由其他结构频率所贡献的结构响应被忽略了并且没有用来形成任何模态形状。如果我们选择的模态在所有模态中起主导作用并且如果这个模态与静态变形相类似，这种方法就可以得出一个较合理的应力分布估计。对于确定整体的随机应力响应，上述方法通常都是不准确的。

本文中提出了一种方法可以准确的、高效的获得贯穿于整个结构的所有模态和所有关注频率上的冯米塞斯应力均方根。

3 冯米塞斯应力均方值

冯米塞斯应力()p t 是被定义成一个标量，因此它的平方式应力发二次函数：

()()()2T

p t t A t σσ= （1） 这里[,,,,,]T xx yy zz yz zx xy σσσσσσσ=是应力张量不重复的分量，并且，

11/21/21/211/21/21/21333A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2） 按照模态坐标来表示应力，

()()k k k t q t σσ=ψ∑ （3） 在这里k σψ是所关注位置的k 阶模态下的应力分量的列向量，()k q t 是那一时刻的第k 阶广义坐标（可能是主坐标或正则坐标）。公式中求和是对所有模态进行求和。将公式（3）带入公式（1），模态冯米塞斯应力的平方可以用模态坐标的方式表达：

()()()2T

i j i j i j p t q t q t A σσ=ψψ∑∑ （4）

按照模态坐标写出的冯米塞斯应力表达式是全新的。

通过对公式（4）两边取期望并且利用这种线性关系，我们可以得到冯米塞斯应力均方值的表达式：

()2,[]ij ij i j

E p t T =Γ∑ （5）

在这里 T ij i j T A σσ=ψψ （6）

并且，

()()[]ij i j E q t q t Γ= （7）

这时第i 阶和第j 阶模态坐标零时间间隔的相关函数。值得注意的是矩阵Γ式模态数量，然而T 在整个结构上变化。上边冯米塞斯应力均方值公式（5）也是全新的。

常规的数学方法是按照输入载荷去评估Γ，但是在结构分析中的应用还值得讨论。 上面的冯米塞斯均方值公式（5）适用于任何线性结构的稳态响应。对于结构动力学家，借助利用现成的工具，傅里叶方法促进了冯米塞斯应力均方的数值计算，这个方法仅限于载荷均值为零的情况。为简单起见，本文假设以后应用个的所有载荷均值均为零。载荷为稳定的但是均值非零的情况下的问题讨论可以参见附录A 。

模态坐标的傅里叶变换通过应用系统的复频响应函数以输入力的傅里叶变换来表示【8，p506】：

ˆˆ()()()i ij j

q H f ωωω= （8） 这里列向量ˆ()q ω是q 的傅里叶变换，ˆ()j

f ω是f 的傅里叶变换，()H ω是他们之间的传递矩阵。在应用载荷下产生互功率谱密度矩阵的标准形式为：

()()()()T qq ff S H S H ωωωω= （9）

这里()(),()()i j i j i i qq ij q q ff ij f f S R e d S R e d ωτωτωττωττ∞

∞

---∞-∞==⎰⎰，()xy R τ是列向量X,Y 产生的互相关函数矩阵。—表示共轭矩阵。所施加的载荷的互功率谱密度矩阵()ff S ω的形式通常由分析者来指定。

根据Plancherels 理论，我们已经完全清楚了依据谱密度来表示的方差的表达式【10p123】：

11()()()()22T qq ff S d H S H d ωωωωωωππ+∞+∞

-∞-∞Γ==⎰⎰ （10）

公式（5）（6）（10）针对冯米塞斯应力的均方值给出了显式表达式。这个表达式在一维情况下的应力分析中已经应用过了【5,11】，但是这里提到的方程式好像是第一次适用于全应力张量，因此可以全面应用于结构分析。

将公示（10）和（6）带入方程（5）会得到另一个表达式：

()21[][(())()]()2ff mn mn

m n E p t H AH S d σωωωωπ+∞

+-∞=∑∑⎰ （11） 这里()()ra kr

ka k H H σσωω=ψ∑是由于第a 个力产生的第r 个应力分量的复频响应函数并且（）