高中数学联赛几何专题

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高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。

这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。

在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。

同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。

这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。

考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。

为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。

同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。

考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

1.研究证明角平分在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。

2.研究证明四点共圆在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。

这个问题也是几何学中的基础问题之一。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。

3.研究证明角的倍数关系在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。

这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

4.证明线与圆相切在这一部分中，我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。

5.证明垂直在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。

个人精心整理高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲

1、数学竞赛考纲二试1、平面几何根本要求：驾驭高中数学竞赛大纲所确定的全部内容。

补充要求：面积与面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点间隔之与最小的点--费马点。

到三角形三顶点间隔的平方与最小的点--重心。

三角形内到三边间隔之积最大的点--重心。

几何不等式。

简洁的等周问题。

理解下述定理：在周长肯定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

在周长肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积肯定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

在面积肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

2、代数在一试大纲的根底上另外要求的内容：周期函数与周期，带肯定值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简洁的恒等式，三角不等式。

第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求n次迭代，简洁的函数方程。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合，简洁的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简洁的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

3、立体几何多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的根本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、外表绽开图。

4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线与法线。

圆的幂与根轴。

5、其它抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

集合的划分。

覆盖。

梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。

赛瓦定理及其逆定理。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题8 立体几何(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题8 立体几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·四川·高三竞赛）在三棱锥P ABC -中，三条棱PA PB PC 、、两两垂直，且122PA PB PC ===、、.若点Q 为三棱锥P ABC -的外接球球面上任意一点，则Q 到面ABC距离的最大值为______.【答案】32 【解析】【详解】三棱锥P ABC -的外接球就是以PA PB PC 、、为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为2 3.R ==又1cos 5BAC ∠=，从而sin BAC ∠=于是，ABC ∆的外接圆半径为2sin BC r BAC ==∠故球心O 到ABC =从而，点Q 到面ABC 距离的最大值是32+故答案为322．（2018·辽宁·高三竞赛）四面体ABCD 中，已知2AB =，1119,8,22AD BC CD ===，则异面直线AC 与BD 所成角的正弦值是_____. 【答案】1 【解析】【详解】因为2222222219118210622BC AB CD AD ⎛⎫⎛⎫-=-=⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故AC BD ⊥，因此异面直线AC 与BD 所成角的正弦值是1. 故答案为13．（2018·湖南·高三竞赛）四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为__________. 【答案】23a = 【解析】【详解】设正方体的棱长为a ，上底为正方形ABCD ，中心为O ，则OA =.由对称性知，球心1O 在面ABCD 上的射影M 应在直线AC 或BD 上，且球1O 与邻球的切点P 在面ABCD 上的射影N 在过点O 且平行AB 的直线上.于是.OM OA AM ==+又11O M a =-，则AM =，从而整理得23840a a -+=，解得23a =，或2a =（舍去）.故23a =. 故答案为23a =4．（2018·湖南·高三竞赛）在半径为R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.【答案】2(1R π 【解析】【详解】设内接圆柱底面半径为sin R α，则高位2cos R α，那么全面积为()22sin 2sin 2cos R R R παπαα+⨯ ()222sin sin2R παα=+()2122sin2R cos παα=-+()(22121R R παϕπ⎡⎤=-≤⎣⎦. 其中1tan 2ϕ=，等号成立的条件是22παϕ=+.故最大值为(21R π.故答案为(21R π5．（2018·湖南·高三竞赛）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点.异面直线EF 与1AC 所成角的余弦值是_____. 【答案】223【解析】【详解】设正方体棱长为1，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，则 ()()1111,,0,0,1,,1,0,1,0,1,122E F A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故有()1111,,,1,1,122EF AC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以11·223·EF AC cos EF AC θ==. 故答案为2236．（2020·江苏·高三竞赛）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，122BC CC ==，M 是1BC 的中点，N 是1MC 的中点．若异面直线AN 与CM 所成的角为θ，距离为d ，则2020sin d θ=__________．【答案】1616 【解析】【详解】因为1CM BC ⊥，故90θ=︒．过点M 作ME AN ⊥于点E ，则ME CM ⊥，故d ME =．因为4AB =，3BN =，所以5AN =，则4sin 5d ME MN ANB ==∠=，从而可得2020sin1616dθ=．故答案为：1616.7．（2021·全国·高三竞赛）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的有__________面数．【答案】7个【解析】【详解】计算可得正四面体的两个相邻的半平面的二面角的余弦值为13，正八面体的两个相邻的半平面（两个四棱锥共底面的边的两个半平面）的二面角的余弦值为13-，故所得多面体的有7个面，故答案为：7.8．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝4，PC＝3，∠APB＝∠APC＝60°，∠BPC＝90°.则三棱锥P-ABC的体积为_______.【答案】42【解析】【详解】如图，过点A 作AH ⊥面PBC 于点H ，过H 作HD ⊥PB 于点D 、HE ⊥PC 于点E 由∠APB ＝∠APC ＝60°及PA ＝4，知 PD ＝PE ＝2.从而，PH 为∠BPC 的平分线，即 ∠DPH ＝45°则，222PH PD == 2222AH PA PH =-=故三棱锥P-ABC 的体积为 1423BPC AH S ∆⋅=9．（2018·全国·高三竞赛）已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为1、2、3，P 为平面1A BD 内的一点，则AP 长的最小值为_________. 【答案】67【解析】【详解】注意到，AP 长最小当且仅当1AP A BD ⊥面. 此时，由1111ABDA A BD A ABD A BDA A S V V AP S 三棱锥三棱锥∆--∆⋅=⇒=.由勾股定理得15A D 110A B =13BD =则11272cos sin BA D BA D ∠=∠=从而，172A BDS ∆=故min 67AP =. 10．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥A BCD -的三个侧面及底面的面积分别为5、12、13、15，且侧面的斜高相等，则三棱锥的体积为___________．【答案】56 【解析】【分析】【详解】设斜高为h ，则102426,,BC CD DB h h h===．从而BCD △为直角三角形，故11024152BCDS h h==⋅⋅，得22h =．设三棱锥的高为AH ，由斜高相等知H 为BCD △的内心．由于内切圆半径22BCDS r BC CD BD==++，故高226AH h r =-=，体积为1615563⋅⋅=．故答案为：56.11．（2020·浙江·高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从P 点匀速朝P '移动；乙从Q 点匀速出发朝Q '移动，到达Q '后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当甲到达P '时，乙恰好在到达Q '后折返到Q ，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为__________.66【解析】【详解】设甲、乙的速度分别为1v 、2v ，在此过程中，1232v v =，即1223v v =. 不妨设13v =、22v =，则总的时间为1.设在时间为0t 末，甲、乙之间的距离最短，即此时P 、Q 分别达到M 、N 点. 分两种情况讨论：路程前半程与路程后半程.（1）路程前半程：010,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02QN t =，03PM t =，0MH t =，02PH t =，220122QH t t =+-，进而有2220001223213333MN t t t ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故63MN ≥（当且仅当013t =时取等号）. （2）路程后半程：01,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()021QN t =-，03PM t =，0MH t =，02PH t =，220122QH t t =+-，进而有2220007661114511111111MN t t t ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故6611MN ≥（当且仅当0711t =时取等号）. 因为666311>，所以在此过程中，甲、乙两点的最近距离为6611.6612．（2021·全国·高三竞赛）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -上，点P 为AB 中点，从点P 发出的光线经侧面11BCC B 内部（不含边界）一点Q 反射后投射到侧面11DCC D 内部（不含边界），则满足条件的点Q 所组成区域的面积为___________. 【答案】4【解析】【详解】设点P 关于B 的对称点为1P ，以1P 为顶点，以11DCC D 为底面，作四棱锥111P DCC D -，该四棱锥与侧面11BCC B 的截面即为满足条件的区域. 该梯形的面积为4. 故答案为：4.13．（2021·全国·高三竞赛）已知正三棱锥P ABC -高为2，底面边长为3，现在将三棱锥切去一部分，得到一个顶点为P ，底面在ABC 内的正四棱锥，则该四棱锥的体积最大为___________.【答案】8-【解析】【详解】作图可知该四棱锥底边边长最大为3从而可得相应的体积为8-故答案为：8-14．（2021·全国·高三竞赛）正四面体ABCD 中，点G 为面ABC 的中心，点M 在线段DG 上，且tan AMB ∠=DM DG =___________. 【答案】78【解析】【详解】解析；设,1AM BM x AB ===，由余弦定理得22x =，且3AG GB ==，则226GM AM AG =-=而6DG =66732486DM DG ==. 故答案为：78.15．（2021·全国·高三竞赛）A B C D 、、、是半径为1的球面上的4个点，若1AB CD ==，则四面体ABCD 体积的最大值是__． 3【解析】【详解】设AB 与CD 间的距离为d ，夹角为θ．取AB 中点M 和CD 中点N ，则3d MN OM ON ≤≤+=故四面体体积13sin 6V AB CD d θ=⋅⋅⋅⋅≤AB CD ⊥且其中点连线过球心时等号成立．316．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC △的垂心，二面角H AB C --的大小为30，且2SA =，则此三棱锥的体积为_________．【答案】34【解析】【分析】【详解】由点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC △的垂心，知三棱锥S ABC -的三组对棱互相垂直，从而点S 在底面ABC 上的射影也是ABC 的垂心Q ．又ABC 为正三角形，所以垂心Q 为ABC 的中心，则三棱锥S ABC -是正三棱锥．延长BH 交SC 于点E ，则二面角E AB C --的大小为30．又SAC SBC ≌，得AE BE =，取AB 的中点D ，则易证EDC ∠为二面角E AB C --的平面角，EC ED ⊥（SC ⊥平面AHB ）．设BC a =，则2212CD CE BC BE ==-，2344a a =，3a =，从而三棱锥S ABC -的体积为34．故答案为：34.17．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为空间一点，且满足1111,A P AB APB ADB ⊥∠=∠，则1D P 的最小值为_______．316【解析】【分析】【详解】先不看条件11A P AB ⊥，只关注11APB ADB ∠=∠，即1APB ∠为定角．若Р点在平面11AB C D 上，则如图2所示，此时有11APB ADB ∠=∠可知，P 在以1AC 为直径的圆弧1ADB 上．那么在任意一个过直线1AB 的平面上，P 点均为类似地一段圆弧．故P 点的轨迹即圆弧1ADB 绕1AB 旋转形成的一个曲面Γ（苹果曲面）．再由11A P AB ⊥知，P 在过1A 且垂直于1AB 的垂面，即平面11A BCD 上．故P 为平面11A BCD 截曲面Γ所得的曲线，即图3所示的圆O ，故易知1D P 的最小值为1OP OD -316 316.18．（2021·全国·高三竞赛）四面体ABCD 中，,,,1CD BC AB BC CD AC AB BC ⊥⊥===，平面BCD 与平面ABC 成45︒的二面角，则点B 到平面ACD 的距离为___________． 3【解析】【分析】【详解】2DC AC ==DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，连结CE 、AE ，由三垂线逆定理，EC BC ⊥，所以45DCE ∠=︒，故2111,36ABCD ABCCE DE V DE S ====⋅=．又因ABCE 为正方形，1AE =，则2AD = 因此正三角形ACD 3 设B 到平面ACD 的距离为h ，由1136ACDh S⋅=，得33h ．19．（2021·全国·高三竞赛）已知正三棱锥P ABC -，M 是侧棱PC 的中点，PB AM ⊥．若N 是AM 的中点，则异面直线BN 与PA 所成角的余弦值为________．【解析】【分析】【详解】易证PA 、PB 、PC 互相垂直．以P 为坐标原点，分别以PB 、PC 、PA 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．设1PA PB PC ===，则111(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),0,,0,0,,242A C B M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以111,,,(0,0,1)42BN PA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故1||||1BNPA BN PA ⋅==⋅⨯20．（2021·全国·高三竞赛）正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段11A C 上一点，平面PAB 与底面ABCD 的夹角为α，平面PBC 与底面ABCD 的夹角为β，则tan()αβ+的最小值为________．【答案】43-【解析】【分析】【详解】过P 作1PP ⊥平面ABCD ，垂足为1P ；过1P 作1PM AB ⊥，垂足为M ，作1P N BC ⊥，垂足为N ．易知11,PMP PNP αβ=∠=∠，设正方体的棱长为1，11,PM x PN y ==，则111,tan ,tan x y x yαβ+===， 2tan tan 4tan()1tan tan 1312x y x y xy x y αβαβαβ++++==≥=---+⎛⎫- ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，所以tan()αβ+的最小值为43-．故答案为：43-.21．（2021·全国·高三竞赛）在三棱锥P ABC -中，7,8,9AP BC BP CA CP AB ======，则这个三棱锥的体积为________. 【答案】1611【解析】【分析】【详解】可以把这个三棱锥嵌人到一个长宽高分别为33,43使其六条棱分别为长方体六个面的面对角线，于是三棱锥的体积恰为长方体的13，即14334316113⨯故答案为：161122．（2021·全国·高三竞赛）在三棱锥P ABC -中，6,8,10BC CA AB ===．若三侧面与顶面所成二面角均为45︒，则三棱锥P ABC -的体积为__________．【答案】16 【解析】【分析】作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，作,,OD BC OE CA OF AB ⊥⊥⊥，垂足分别为D E F 、、．设OP h =，则45,cot 45PDO PEO PFO OD OE OF h h ∠=∠=∠=︒===︒=．在ABC 中，有6810248ABCOD OE OF S++==，解得2h =．故112241633ABCV hS==⨯⨯=．故答案为：16.23．（2021·全国·高三竞赛）已知正方形,ABCD E 是边AB 的中点．将DAE △和CBE △分别沿DE 和CE 折起，使得AE 与BE 重合．记A 与B 重合后的点为P ，则平面PCD 与平面ECD 所成的二面角的大小为__________．【答案】30 【解析】【分析】【详解】PCD 中，PC PD CD ==，故60PCD ∠=︒．PCE中，cos PCE ∠=CDE △中，cos DCE ∠=设二面角P CD E --大小为θ．对三面角C PDE -应用三面角余弦定理，得：cos cos cos cos sin sin PCE PCD ECD PCD ECD θ∠-∠∠===∠∠即30θ=︒．故答案为：30.24．（2021·全国·高三竞赛）在菱形ABCD中，60,A AB ∠=︒=ABD △折起到PBD △的位置，若三棱锥–P BCD，则二面角P BD C --的正弦值为__________.【解析】【分析】由外接球的体积为776π，则该球的半径72R =，设球心O 在平面PBD 和平面BCD 上的射影分别为12O O 、，则12O O 、为正PBD △和正BCD △的中心，取BD 的中点E ，连结12O E O E 、，则12,O E BD O E BD ⊥⊥，则12O EO ∠是二面角P BD C --的平面角，在2Rt OO C 中，273,123OC R O C AB ====，则232OO =，又在直角2OO E 中，23162O E AB ==，则21260,120O EO O EO ∠=∠=︒︒，则二面角P BD C --的正弦值为32. 故答案为：32. 25．（2021·全国·高三竞赛）如图，棱长为1的正四面体S ABC -的底面在平面α上，现将正四面体绕棱BC 逆时针旋转，当直线SA 与平面α第一次成30角时，点A 到平面α的距离为_______．61- 【解析】【分析】【详解】取BC 的中点D ，折叠后A 在平面α内的射影为E ，则 30ADE SAD ∠=∠-︒，()sin sin 30ADE SAD ∠=∠-︒ 323sin cos30cos sin 30SAD SAD -=∠︒-∠︒=所以332361sin 264AE AD ADE --=⨯∠=⨯=．故答案为：614-. 26．（2019·江西·高三竞赛）P 是正四棱锥V －ABCD 的高VH 的中点若点P 到侧面的距离为3，到底面的距离为5，则该正四棱锥的体积为____________ . 【答案】750 【解析】【详解】如图所示，PF ⊥面VBC ，5,10VP VH ==，2222534VF VP PF =-=-=.而PHMF 共圆，VP •VH =VF •VM ，所以252VM =，22152HM VM VH =-=，则AB =15.所以正四棱锥的体积217503V VH AB =⋅⋅=.故答案为：750．27．（2019·吉林·高三竞赛）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ､F 分别是AC ､BC 的中点，60EPF ︒∠=，则球O 的表面积为____________ . 【答案】6π 【解析】【详解】由于P -ABC 为正三棱锥，故EP FP =，从而△EPF 为等边三角形，且边长EF =1.由此可知侧面P AC 的高PE =1，故棱长2PA =. 还原成棱长为2的正方体可知，P -ABC 的外接球的直径长恰为正方体的体对角线长6，从而表面积为6π. 故答案为：6π．28．（2019·上海·高三竞赛）边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为________.165【解析】【详解】设围成的正四棱锥为P ABCD -，PO 为四棱锥的高作OE ⊥BC ，垂足为E ，连结PE .令OE =x ，则p =1－x ，12PO x =-于是正四棱锥P －ABCD 的体积为21(2)123V x x =⋅-所以2416(12)9V x x =-44162(12)92x x ⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭512256222295x x x x x ⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭525695=⨯，故165375V，当25x =165165 29．（2018·甘肃·高三竞赛）已知空间四点,,,A B C D 满足,,AB AC AB AD AC AD ⊥⊥⊥，且1,AB AC AD Q ===是三棱锥A BCD -的外接球上的一个动点，则点Q 到平面BCD 的最大距离是______．【解析】【详解】将三棱锥A BCD -补全为正方体，则两者的外接球相同．球心就是正方体的中心，记为O ，在正方体里，可求得点O 到平面BCD Q 到平面BCD 的最大距离是=30．（2018·天津·高三竞赛）半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是________ 【答案】14 【解析】【详解】设四个球的球心分别为A 、B 、C 、D ，则AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13，即A 、B 、C 、D 两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X ，半径为r.，则由对称性可知DX ⊥平面ABC. 也就是说，X 在平面ABC 上的射影是正三角形ABC 的中心O.易知OA =11OD =.设OX=x ，则AX =由于球A 内切于球X ，所以AX=r-66r =- ①又DX=OD-OX=11-x ，且由球D 内切于球X 可知DX=r-7 于是 117x r -=- ② 从①②两式可解得4x =，14r = 即大球的半径为14. 故答案为1431．（2018·河南·高三竞赛）一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______．【答案】2 【解析】【详解】因为小正四面体可以在纸盒内任意转动，所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体．记大正四面体的外接球半径为R ，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为r ，易知13r R =，故小正四面体棱长的最大值为1623⨯=． 32．（2018·河北·高三竞赛）1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱体积的最大值为_____. 【答案】2π 【解析】【详解】由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况.由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在1AB 、AC 、1AD 上.设线段1AB 上的切点为E ，圆柱上底面中心为1O ，半径1O E r =.由1111B AO E A C ∽得1AO =，则圆柱的高为1323AO -=-，()23V r π=-，由导数法或均值不等式得max 2V π=.33．（2018·河北·高二竞赛）若123A A A △的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD 的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________. 【答案】772π【解析】【详解】由已知，四面体A-BCD 的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，外接球半径为R ，则222222222456x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，得()22227722R x y z =++=,故2778R =，所以772S π=. 34．（2018·江西·高三竞赛）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个顶角为60︒的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60︒，棱锥内有一点M 到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为______．【答案】83 【解析】【详解】设菱形两对角线AC 、BD 的交点为H ，则PH 既是线段AC 的中垂线，又是BD 的中垂线，故是四棱锥的高，且点M 在PH 上，于是平面PBD 与底面ABCD 垂直，同理平面PAC 与与底面ABCD 垂直，平面PBD 将四棱锥分成两个等积的四面体．只需考虑四面体P ABD -．如图，设点M 在面PAD 上的投影为E ，平面MEH 过点P ，且交AD 于F ，因90MHF MEF ∠=︒=∠，则M 、E 、F 、H 四点共圆．由于ME ⊥面PAD ，得ME AD ⊥，由MH ⊥面ABD ，得MH AD ⊥，所以AD ⊥面MEH ，故AD PF ⊥．FH 是PF 在面ABD 内的射影，则AD FH ⊥，即二面角的平面角60EFH ∠=︒，于是120EMH ∠=︒．据1ME MH ==，得3EH =MEF 与MHF 中，EF HF =．因60EFH ∠=︒，所以EFH 是正三角形，即3FH EF EH === 在直角AFH 中，30HAF ∠=︒，则223AH FH == 故正ABD 的边长为4，于是43ABDS=．在直线PFH 中，tan603PH FH =︒=，1433P ABD ABDV PH S-=⋅=从而283P ABCD P ABD V V --==．故答案为8335．（2018·福建·高三竞赛）如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △、ABC 都是边长为6的等边三角形．若二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球的面积为______．【答案】84π 【解析】【详解】如图，取AC 的中点D ，连结DP 、DB ，则由PAC 、ABC 都是边长为6的等边三角形，得PD AC ⊥，BD AC ⊥，PDB ∠为二面角P AC B --的平面角，120PDB ∠=︒．设O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，1O 、2O 分别为ABC 、PAC 的中心．则1OO ⊥面ABC ，2OO ⊥面PAC ，且2113633O D O D ⎫===⎪⎪⎝⎭21OO OO =．易知O 、2O 、D 、1O 四点共面，连结OD ，则160ODO ∠=︒，1133OO DO =．所以三棱锥P ABC -的外接球半径()22221132321R OB OO O B ==++所以三棱锥P ABC -的外接球的面积为24π84πR =．36．（2018·全国·高三竞赛）在正方体1111ABCD A B C D -中，已知棱长为1，点E 在11A D 上，点F 在CD 上，112A E ED =，2DF FC =.则三棱锥1B FEC -的体积为__________．【答案】527【解析】【详解】如图，过点F 作111FF C D ⊥，联结11B F ，与1EC 交于点K.易知，111B F EC ⊥，1EC BFK ⊥面.因为BF 与1EC 异面垂直，且距离为1，BF=1EC 10, 所以，1113BFK B FEC V EC S ∆-=⋅三棱锥 2110153227=⨯=⎝⎭. 37．（2019·全国·高三竞赛）已知四面体ABCD 的四个面DBC DCA DAB ABC ∆∆∆∆、、、的面积分别为12、21、28、37，顶点D 到面ABC ∆的距离为h.则h=__________． 5042【解析】【详解】注意到，222212212837++=. 因此，四面体ABCD 为直角四面体. 故332442565042ABC DA DB DC h S ∆⋅⋅⨯⨯===38．（2018·全国·高三竞赛）在四面体ABCD 中，已知3ADB BDC CDA π∠=∠=∠=，△ADB 、△BDC 、△CDA2、1．则此四面体体积为________．【解析】【详解】设DA 、DB 、DC 分别为x 、y 、z.则333=21222xysinyzsin xzsin，，πππ==.三式相乘得xyz =设DC 与面ABD 所成角为a ，点C 到面ABD 的距离为h.则h=zsina.由图形的对称性知coscos ?cos cos sin 36a a a ππ=⇒⇒.故所求四面体体积为113·sin 332ABD xysinS h z a π∆⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 39．（2018·全国·高三竞赛）在金属丝制作的3×4×7的长方体框架中放置一个球，则该球的半径的最大值为________．【答案】52【解析】【详解】显然，球的直径不能超过3×45=，故该球半径的最大值为52.40．（2018·安徽·高三竞赛）在边长为1的长方体1111ABCD A B C D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值=___________.【解析】【详解】当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点1D 的三个面相切.以1D 为原点，11DC 、11D A 、1D D 分别为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系.设A （0，1，1），1C （1，0，0），小球圆心P （r ，r ，r ），则P 到1AC 的距离112123AP AC r r AC ⨯=-=. 再由12r <，得465r -=. 故答案为465- 41．（2021·全国·高三竞赛）把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为___________．【答案】612+ 【解析】【详解】4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以大球半径为336661121144342h a +=⨯⋅+=⨯+=+．（其中h 表示正四面体的高，a 表示正四面体的棱长．）故答案为：612+. 42．（2019·浙江·高三竞赛）如图，在△ABC 中，∠ABC =120°，AB =BC =2.在AC 边上取一点D (不含A 、C )，将△ABD 沿线段BD 折起，得到△PBD .当平面PBD 垂直平面ABC 时，则P 到平面ABC 距离的最大值为____________.【答案】2 【解析】【详解】在△ABC 中，因为AB =BC =2，∠ABC =120°，所以30BAD BCA ︒∠=∠=. 由余弦定理可得23AC =设AD =x ，则03,3x DC x <<=.在△ABD中，由余弦定理可得BD =在△PBD 中，PD =AD =x ，PB =BA =2，∠BPD =30°. 设P 到平面ABC 的距离为d ，则11sin 22PBDSBD d PD PB BPD =⨯=⋅∠，解得d由0x <<max 2d =. 故答案为：2．43．（2019·贵州·高三竞赛）若半径2R =的空心球内部装有四个半径为r 的实心球，则r 所能取得的最大值为____________cm . 【答案】2 【解析】【详解】当半径为r 的四个实心球“最紧凑”时，即此四个球两两相切且内切于空心球时，r 取得最大值.此时，小球的四个球心连线构成棱长为2r 的正四面体，显然，此四面体外接球的球心即为实心球球心.在棱长为2r 的正四面体中，求得外接球半径.r +，2r +=r =2. 故答案为：2．44．（2019·四川·高三竞赛）已知正四棱锥Γ的高为3，侧面与底面所成角为3π，先在Γ内放入一个内切球O 1，然后依次放入球234,,,O O O ，使得后放入的各球均与前一个球及Γ的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为_____ . 【答案】1813π 【解析】【详解】设侧面与底面所成角为θ.记球Oi 的半径为ri ，体积为Vi ，i =1，2，3，…. 因为1cos 2θ=，故1113cos r h r r θ=+=，即1113r h ==. 定义12n n s r r r =+++，由于132(2)n n r h s n -=-，所以()132n n n r r r +-=，即113n n r r +=，所以113n n r -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故333111441333i nnni i i i i V r ππ-===⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑，所以118lim 13ni n i V π→∞==∑. 故答案为：1813π． 45．（2019·山东·高三竞赛）空间有4个点A 、B 、C 、D ，满足AB BC CD ==.若∠ABC =∠BCD =∠CDA =36°，那么直线AC 与直线BD 所成角的大小是______ . 【答案】90°或36° 【解析】【详解】如果△ABC 与△CDA 全等，那么AC ⊥BD ，此时直线AC 与直线BD 所成的角为90°；如果△ABC 与△CDA 不全等，则易知A 、B 、C 、D 四点共面，且点D 在∠ACB 的内部，由于△ABC ≌△DCB ，且他们均是等腰三角形，故直线AC 与直线BD 所成的角是36°. 故答案为：90°或36°．46．（2019·重庆·高三竞赛）已知正四面体可容纳10个半径为1的小球则正四面体棱长的最小值为_______ .【答案】4+ 【解析】【详解】当正四面体棱长最小时，设棱长为a ，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球，且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为1：3，所以正四面体的高3221h ==+，得4a =+故答案为：426+．二、解答题47．（2019·甘肃·高三竞赛）已知三棱锥P －ABC 的平面展开图中，四边形ABCD 为边长等于22的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P －ABC 中：（1）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（2）若点M 为棱P A 上一点且12PM MA =，求二面角P －BC －M 的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）223【解析】【详解】（1）如图①，设AC 的中点为O ，连结,BO PO .由题意，得22PA PB PC ===PO =2，2AO BO CO ===. 因为在△P AC 中，P A =PC ，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC.又因为在△POB 中，PO =2，OB =2，PB =22222PO OB PB +=，所以PO ⊥OB. 因为AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊆平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC. 又因为PO ⊆平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面ABC .（2）由PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，所以,PO OB PO OC ⊥⊥.于是以OC 、OB 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O C B ，24(2,0,0),(0,0,2),,0,33A P M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(2,2,0),(2,0,2)BC PC =-=-，84,0,33MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面MBC 的法向量为()111,,m x y z =，则由00m BC m MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111020x y x z -=⎧⎨-=⎩，令11x =，则111,2y z ==，即(1,1,2)m =. 设平面PBC 的法向量为()222,,n x y z =，由00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220x y x z -=⎧⎨-=⎩，令x 2=1，则221,1y z ==，即(1,1,1)n =.422cos ,||||318m n n m m n ⋅〈〉===⋅. 由图可知，二面角P －BC －M 的余弦值为223. 48．（2018·广东·高三竞赛）如图①，已知矩形ABCD 满足AB=5，34AC =，沿平行于AD 的线段EF 向上翻折（点E 在线段AB 上运动，点F 在线段CD 上运动），得到如图②所示的三棱柱ABE DCF -.⑴若图②中△ABG 是直角三角形，这里G 是线段EF 上的点，试求线段EG 的长度x 的取值范围；⑵若⑴中EG 的长度为取值范围内的最大整数，且线段AB 的长度取得最小值，求二面角C EF D --的值；⑶在⑴与⑵的条件都满足的情况下，求三棱锥A-BFG 的体积.【答案】（1）[)0,2.5（2）8arccos 25AEB π∠=-（3【解析】【详解】⑴由题设条件可知△AEG 、△BEG 均为直角三角形，因此222AG AE x =+，222BG BE x =+.由余弦定理2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅∠.于是22222222cos x AE BE AB AE BE AE BE AEB ++==+-⋅∠.()222cos 55 2.5x AE BE AEB AE BE t t t t =-⋅∠<⋅=-=-+≤.所以，[)0,2.5x ∈.又对任意[)0,2.5k ∈， 2.5AE EB ==，22arccos 2.5k AEB π∠=-.则x k =，故x 的取值范围为[)0,2.5.⑵因为AE ⊥EF ，BE ⊥EF ，所以∠AEB 就是二面角C-EF-D 的平面角又由⑴知EG 的长度x 为[)0,2.5的最大整数，因此x=2. 于是()22225421029AB t t t t =+-+=-+，t ∈（0,5）. 因此t=2.5时，线段AB 的长度取得最小值. 由此得252cos 4AEB =-∠，8arccos 25AEB π∠=-.⑶由⑴、⑵知8arccos25AEB π∠=-，52AE EB ==，AG BG ==2EG =且3EF ===. 因为AE ⊥EF ，BE ⊥EF ，AE BE E ⋂=. 所以EF ⊥平面EAB ，故()13A BFG A BEF A BEG AEB AGB V V V S EF S EG ---∆∆=-=⋅-⋅ 22111sin 322AE AEB EF BG EG ⎡⎤⎛⎫=∠- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1413264⎫=-⨯=⎪⎪⎭. 49．（2021·全国·高三竞赛）空间中的n 个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数互不相同的m 组()3n m >≥，且,2m n m ，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形，要使这种三角形的总数最大，各组的点数应是多少【答案】答案见解析【解析】【分析】【详解】把这n 个点分成m 组，设当每组点数分别为12,,,m a a a ，这里120m a a a <<<<，顶点分别在三个组的三角形的总数为：1i j k i j k mS a a a ≤<<≤=∑①取得最大值．（1）先证明：12,1,2,,1i i a a i m +-=-．若不然，设有0i 使0013i i a a +-≥，不妨设01i =，我们将①式改写为()1212333mi j k i j k i j k mi j k mS a a a a a a a a a a =≤<≤≤<<≤=+++∑∑∑． ②令11221,1a a a a ''=+=-，则1212a a a a ''+=+，()1212211212131a a a a a a a a a a ''=+--≥+->，当用12a a ''、代替12、a a ，其余值保持不变时S 值变大，矛盾．（2）证明使12i i a a +-=的i 值不多于1个，若有0011i j m ≤<≤-，使0000112,2i i j j a a a a ++-=-=，则当用0000111,1i i j j a a a a ''++=+=-代替001,i j a a +而其余k a 不变时，000011i j i j a a a a ''++>，但000011i j i j a a a a ''+++=+，类似②式可知S 也变大，这是不可能的．（3）证明：使12i i a a +-=的值恰有一个．若对所有11i m ≤≤-，均有11i i a a +-=，则m 组的点数分别为,1,,(1)s s s m ++-，于是有：(1)(1)((1))2m m s s s m ms n -+++++-=+=． ③ 由题设2m 及③式，得mn ∣，而题设m n ，故矛盾．（4）设第0i 个差0012i i a a +-=，而其余的差均为1，于是可令01,1,2,,j a s j j i =+-=；0,1,,j a s j j i m =+=+，所以0011(1)()i m j j i s j s j n ==++-++=∑∑，得0(1)2m m ms i n ++-=． ④ 又011i m ≤≤-，由④式得222222 22n m m n m m s m m--+-+-≤≤． ⑤ 故符合题意的对应各组的点数由④、⑤两式确定正整数s 与0i ．50．（2021·全国·高三竞赛）证明：如下构造的空间曲线Γ的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线Γ的构造：作周长为l 的圆O ，在圆O 上取AmB 使15l AmB <的长度25l <，并以AB 为轴将AmB 旋转180︒得弧Am B '，在圆O 上取BnC ，使AmB 的长度BnC +的长度25l <，并以BC 为轴将BnC 旋转θ度()0180θ︒<<︒得弧Bn C '，这样，由弧Am B BnC CrA ''、、组成的曲线便是空间曲线．（如图所示）【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】设12345A A A A A 、、、、是曲线Γ的任一五等分点组．由曲线Γ的构造知，曲线Γ的长度为,l AmB 的长度1,5CrA >的长度35l >，那么至少有一个分点不妨设为1A ，落在弧Am B '内（不包括端点），同时至少有三个分点，不妨设为234A A A 、、，落在CrA 内（不包括端点）.又由曲线Γ的构造知Am B '与弧CrA 在同一平面内，从而1234A A A A 、、、四点在同一平面内．由平面几何知识知，234A A A 、、三点只能确定唯一的圆O ，而1A 不在圆O 上，所以1234A A A A 、、、四点不共圆．于是1234A A A A 、、、四点必不共球面，否则过1234A A A A 、、、的平面与1234A A A A 、、、所在的球的截面是圆，即1234A A A A 、、、四点共圆，矛盾．故12345A A A A A 、、、、不可能共球面，即曲线Γ的任意五等分点组都不在同一球面上．【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题8 立体几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·四川·高三竞赛）在三棱锥P ABC -中，三条棱PA PB PC 、、两两垂直，且122PA PB PC ===、、.若点Q 为三棱锥P ABC -的外接球球面上任意一点，则Q 到面ABC 距离的最大值为______.2．（2018·辽宁·高三竞赛）四面体ABCD 中，已知2AB =，1119,8,22AD BC CD ===，则异面直线AC 与BD 所成角的正弦值是_____.3．（2018·湖南·高三竞赛）四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为__________.4．（2018·湖南·高三竞赛）在半径为R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.5．（2018·湖南·高三竞赛）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点.异面直线EF 与1AC 所成角的余弦值是_____.6．（2020·江苏·高三竞赛）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，122BC CC ==，M 是1BC 的中点，N 是1MC 的中点．若异面直线AN 与CM 所成的角为θ，距离为d ，则2020sin d θ=__________．7．（2021·全国·高三竞赛）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的有__________面数．8．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥P-ABC 中，PA ＝PB ＝4，PC ＝3，∠APB ＝∠APC ＝60°，∠BPC ＝90°.则三棱锥P-ABC 的体积为_______.9．（2018·全国·高三竞赛）已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为1、2、3，P 为平面1A BD 内的一点，则AP 长的最小值为_________.10．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥A BCD -的三个侧面及底面的面积分别为5、12、13、15，且侧面的斜高相等，则三棱锥的体积为___________．11．（2020·浙江·高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从P 点匀速朝P '移动；乙从Q 点匀速出发朝Q '移动，到达Q '后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当甲到达P '时，乙恰好在到达Q '后折返到Q ，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为__________.12．（2021·全国·高三竞赛）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -上，点P 为AB 中点，从点P 发出的光线经侧面11BCC B 内部（不含边界）一点Q 反射后投射到侧面11DCC D 内部（不含边界），则满足条件的点Q 所组成区域的面积为___________.13．（2021·全国·高三竞赛）已知正三棱锥P ABC -高为2，底面边长为3，现在将三棱锥切去一部分，得到一个顶点为P ，底面在ABC 内的正四棱锥，则该四棱锥的体积最大为___________.14．（2021·全国·高三竞赛）正四面体ABCD 中，点G 为面ABC 的中心，点M 在线段DG 上，且351tan AMB ∠=DM DG =___________. 15．（2021·全国·高三竞赛）A B C D 、、、是半径为1的球面上的4个点，若1AB CD ==，则四面体ABCD 体积的最大值是__．16．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC △的垂心，二面角H AB C --的大小为30，且2SA =，则此三棱锥的体积为_________．17．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为空间一点，且满足1111,A P AB APB ADB ⊥∠=∠，则1D P 的最小值为_______．。

历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编

历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编1、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是（ C ）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。

4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（）【答案】B6、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（） (A)163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点yxO Ox yO xyyx O A. B. C.D.在y=pk =43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．8、方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C9、设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是212rrc+和||221rrc-的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

全国高中数学联赛二试平面几何赛题精选

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总1 （类似九点圆）如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。

1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。

求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。

证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。

因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。

又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。

同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。

于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。

因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。

充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。

ABDCEFP1O 2O因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得：（∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ，即∠ABP =∠ACP 。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9平面几何(50题竞赛真题强化训练)原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与圆C ：()()2227365x y -+-=交于A ，B ，则OA OB ⋅=__________．3．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，ABC ∠所对的旁切圆与边AC 相切于点D ，ACB ∠所对的旁切圆与边AB 相切于点E ．若||1,||2AB AC ==，则ADE 面积的最大值为_______．4．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，AB AC BC >>，在M ，N 为AB 上两点，且AN AC =，BM BC =，点P 为ABC 的内心.若75MPN ∠=°，则ACB =∠______. 5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列，且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形，则a 的最小可能值为________.6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC 中，AB =30，AC =20，S △ABC =210，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，△BAC 的平分线分别与DE 、BC 交于点F 、G ，则四边形BGFD 的面积为________.7．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x y a b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____.9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒，P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且,BPA DPC AQB DQC ∠=∠∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=_________．10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC 中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .二、解答题11．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足60A ∠=︒，E 、F 分别为AB AC 、延长线上的点，且,BE CF BC ACE ==的外接圆与EF 交于不同于E 的点K ．证明：点K 在BAC ∠的角平分线上．12．（2021·全国·高三竞赛）如图，在平行四边形ABCD 中，1A ､1C 分别是边AB BC 、上的点，线段1AC ､1CA 交于点P ，1AA P 和1CC P △的外接圆的第二个交点Q 位于ACD △的内部.证明：PDA QBA ∠=∠.13．（2021·全国·高三竞赛）如图，设O 、H 分别为ABC 的外心与垂心，M 、N 分别为BH 、CH 的中点．BB '是ABC 的外接圆的一条直径，如果HONM 是一个圆的内接四边形，证明：12B N AC '=． 14．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知锐角ABC 的外接圆为Γ，过B 、C 分别作圆Γ的切线交于点P ，P 在直线BC 、AC 、AB 上的投影分别为D 、E 、F ，DEF 的外接圆与BC 交于点N （不同于点D ），A 在BC 上的投影为M ．求证：BN CM =． 15．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点．D 为线段BM 上一点，E 、F 分别为AC AB 、上的点，且四边形AEDF 为平行四边形.BO 交DE 于点P ，CO 的延长线交DF 的延长线于点Q ，ABC 的外接圆O 交ADM △的外接圆于A 、K 两点．求证：K 、Q 、P 、O 四点共圆．16．（2021·全国·高三竞赛）如图，AE 、AF 为圆的两切线，ABC 为圆的一条割线，EF 为切点连线，D 为过C 、B 关于圆的切线的交点，证明：D 、E 、F 共线． 17．（2021·全国·高三竞赛）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，G 为重心，P 为射线AG 上一点，满足CPA CAB ∠=∠，Q 为射线BG 上一点，满足CQB ABC ∠=∠，证明：AQG 、BPG 的外接圆的另一个交点在AB 上．18．（2021·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P ，并且DA 与CB 交于Q ．若PQ AC ⊥，且E 是AB 的中点．求证：PE BC ⊥． 19．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，BC 最短，D 、E 分别在AB AC 、上满足BD CE BC ==，设I 是ABC 内心，O 是ADE 外心，求证：OI BC ⊥. 20．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 中，D 为边BC 中点，ABD △内切圆与边AB 切一点,E ACD 的内切圆与边AC 切于点F ，若四边形EDFG 为平行四边形，求证：G 在BAC ∠的平分线上.21．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知圆O 是ABC 的外接圆，切线、BP CP 交于点P ，D 是BC 的中点，K 、L 分别在线段AB AC 、上，且满足KD LD ⊥，连结KP LP 、，求证：2BPC KPL ∠=∠．22．（2021·全国·高三竞赛）点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，过P 作椭圆两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，点M 、N 分别为PA 、AB 中点，连结MN 并延长交椭圆于点C ，连结PC 交椭圆于另一点D ，连结ND 并延长交PB 于Q ，证明：Q 为PB 的中点．23．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，AB AC >，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，ADE 的外接圆与BCE 的外接圆交于点P （异于E ），ADE 的外接圆与BCD △的外接圆交于点Q （异于D ），证明：AP AQ =．24．（2019·江西·高三竞赛）如图所示，BE 、CF 分别是锐角三角形△ABC 的两条高，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点P 、Q .证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆.25．（2019·山东·高三竞赛）已知：正方形ABCD 的边长为1点M 是边AD 的中点以M 为圆心AD 为直径作圆，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆相切.求△CBE 的面积. 26．（2018·江西·高三竞赛）如图，ABC 的内心为I ，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，证明：直线DI 平分DEF 的周长．27．（2018·福建·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，E 、E 是边BC 上的点，ABC 、ABD △、ADC 的外心分别为O 、P 、Q ．证明：（1）APQ △ABC ；（2）若EO PQ ⊥，则QO PE ⊥．28．（2019·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，设△C=90°，CD AB ⊥，垂足为D ，P 、Q 分别为ADC ∆、BDC ∆的内心，PQ 与CD 交于点K ，记ABC ∆的面积为S.证明：22111CK CD S-=. 29．（2018·全国·高三竞赛）如图，1O 与2O 的半径相等，交于X 、Y 两点. ABC ∆内接于1O ，且其垂心H 在2O 上，点Z 使得四边形CXZY 为平行四边形.证明：AB 、XY 、HZ 三线共点.30．（2021·全国·高三竞赛）如图，以AB 为直径的圆上有C 、D 两点，AC 、BD 两点的中点为E 、F ，直线EF 与直线AD 、BC 分别交于G 、H ，求证：以FG 为直径的圆和以EH 为直径的圆有一交点在CD 上．31．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，在等腰ABC 中，AB AC =，设点D 是边AC 上一点，点E 是线段BD 的中点，延长AE 与底边BC 交于点F ，证明：若BF EF =，求证：2AE AB AD =⋅.32．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，已知点D ､E ､F 分别是点A ､B ､C在边BC ､CA ､AB 上的投影，AEF ､BDF 的内心分别为1I ､2I ，1ACI ､2BCI 的外心分别为1O ､2O ，证明：1212//I I O O .33．（2021·全国·高三竞赛）如图，AB 是O 的一条弦，AB 的垂直平分线交O 于M N 、两点，交AB 于点D ．P 为O 内一点，DMP 外接圆交PN 于点,E ABE 的外接圆交MP 于点F ，且点M P E F 、、、在直线AB 同侧．证明：EF PN ⊥． 34．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 的外接圆为Γ，D 是A 在BC 上的射影，假设AD BC =，点M 为DC 中点，ADC ∠的角平分线与AC 交于点N ，Γ上一点P 满足//BP AC ．直线DN 与AM 交于点F ，直线PF 与圆Γ再交于点Q ．直线AC 与PNQ 的外接圆再交于点E ．证明：90DQE ∠=︒．35．（2021·浙江·高三竞赛）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是弧BC （不含A ）上一点，S 为弧BAC 的中点.P 为线段SD 上一点，过P 作DB 的平行线交AB 于点E ，过P 作DC 的平行线交AC 于点F ，过O 作SD 的平行线交弧BDC 于点T .已知O 上的点Q 满足QAP ∠被AT 平分.证明：QE QF =.36．（2021·全国·高三竞赛）在锐角ABC 中，D 为边BC 上一定点，P 为AD 边上一动点，直线CP 交AB 于点Q ，DQ 交BP 于点X ．BCX 、CAX 、ABX 的三个外接圆分别交DQ 于X 外的另三点1Y 、2Y 、3Y ，过1Y 、2Y 、3Y 分别作DQ 垂线1l 、2l 、3l ，证明：1l 、2l 、3l 均过定点．37．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，点P 、Q 、R 分别位于边BC 、CA 、AB 上，A ω、B ω、C ω分别是AQR 、BRP △、CPQ 的外接圆，线段AP 与A ω、B ω、C ω分别相交于点X 、Y 、Z .证明：YX BP XZ PC=． 38．（2021·全国·高三竞赛）点O 是ABC 的外接圆圆心，含点A 的BC 的中点为S ，点T 在不包含点A 的BC 上.点M 在圆O 上且//SM OT .点P 在线段SM 上.过点P 作MB 的平行线交AB 于点F ，过点P 作MC 的平行线交AC 于点E .点Q 在圆O 上，使得AT 是PAQ ∠的角平分线.证明：QE QF =.39．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，A B C ∠≥∠≥∠，且AD 为BC 边上的高，BE 为AC 边上的中线，CF 为C ∠的平分线，AD 与CF BE 、分别交于P R 、两点，BE 与CF 交于Q 点，令PQR ABC Sx S =．求证：16x <，且16是最好的界（即可以无限接近于16）． 40．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的内心为点I ，内切圆分别切BC CA AB 、、于D E F 、、．直线DF 与EI 交于点N ．连结并延长BN ，交AC 于点M ．求证：M 是AC 中点．41．（2021·全国·高三竞赛）已知O 上依次四点A ､B ､C ､D ，射线AB DC 、交于点P .射线AD BC 、交于点Q ，弦AC BD 、交于点R ，点M 为线段PQ 的中点.过点O 作MR 的垂线，分别PQ MR 、于点U ､V .过点U 作O 的切线UK ，与O 切于点K . 证明：（1）P ､Q ､V ､O 四点共圆；（2）K ､M ､R 三点共线.42．（2020·全国·高三竞赛）如图，在等腰ABC 中，AB BC =，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC =，PI 延长线上一点H 满足MH PH ⊥，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BH QH ⊥．43．（2020·全国·高三竞赛）如图，在锐角△ABC 中，M 是BC 边的中点点P 在△ABC 内，使得AP 平分△BAC .直线MP 与△ABP 、△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D 、E .证明：若DE =MP ，则BC =2BP .44．（2019·江苏·高三竞赛）如图所示，D 是△ABC 中，边BC 的中点，K 为AC 与△ABD 的外接圆O 的交点，EK 平行于AB 且与圆O 交于E ，若AD =DE ，求证：AB AK KC +=.45．（2019·广西·高三竞赛）如图所示，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB >AC ）的角平分线、高线，点M 是AD 的中点，△MDH 的外接圆交CM 于点E .求证：△AEB =90°. 46．（2019·福建·高三竞赛）如图，O ､H 分别为锐角△ABC 的外心垂心，AD △BC 于D ，G 为AH 的中点点K 在线段GH 上，且满足GK =HD ，连结KO 并延长交AB 于点E .（1）证明：//EK BC ；（2）证明：GE GC ⊥.47．（2019·全国·高三竞赛）如图，点A ､B ､C ､D ､E 在一条直线上顺次排列，满足BC =CD P 在该直线外，满足PB =PD .点K ､L 分别在线段PB ､PD 上，满足KC 平分△BKE ，LC 平分△ALD .证明：A ､K ､L ､E 四点共圆.48．（2021·全国·高三竞赛）如图，给定两个相交的圆1O 与2O ，A 、B 为1O 、2O 的交点，一动直线经过B 与1O 交于点C ，与2O 交于点D ，且B 在线段CD 内，过C的1O 的切线与过D 的2O 的切线相交于点M ，连结AM 交CD 于点E ，过点E 作DM 的平行线交AD 于点K ，求点K 的轨迹.（2021·全国·高三竞赛）ABC 的外接圆与内切圆分别为Γ、Ω，ΩA 为A -旁切圆． 49．证明：存在唯一圆1ω，1ω与Ω内切、与ΩA 外切，并且与Γ内切于点A ． 50．设圆1ω与ΩA 、Ω的切点分别为P 、Q ．如果BAQ CAP ∠=∠，求证：AB AC =．。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何

高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A ．B ．CD ．上述三个选项都不对3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C ，2C 是离心率都为e 的椭圆，点A ，B 是分别是2C 的右顶点和上顶点，过A ，B 两点分别作1C 的切线1l ，2l ．若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为（）A ．2eB ．21e -C ．21e -D ．21e 6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y +=的中心作两条互相垂直的弦AC 和BD ，顺次连接,,,A B C D 得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A ．10B ．12C ．14D ．167．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C 上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A ．最大值为4B ．最大值为4C ．最小值为4-D ．最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和l 为其对应的焦点及准线，过F 作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C 上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.28．（2022·新疆·高二竞赛）如图，已知ABC 内接于抛物线2:=E x y ，且边,AB AC 所在直线分别与抛物线2:4=M y x 相切，F 为抛物线M 的焦点．求证：(1)边BC 所在直线与抛物线M 相切；(2)A ，C ，B ，F 四点共圆．（2021·全国·高三竞赛）已知(2,1)S 为椭圆22Γ:182x y+=上的点，对椭圆Γ上的任意两点P 、Q ，用如下办法定义它们的“和”P Q +：过点S 作一条平行于PQ （若点P 与Q 重合，则直线PQ 表示椭圆Γ在P 处的切线）的直线l 与椭圆Γ交于不同于S 的另一点，记作P Q +（若l 与椭圆Γ相切，则规定S 为P Q +）.并规定n nP P P P=+++个.29．若点(0,P Q ，求P Q +、2P 以及100P 的坐标.30．在椭圆Γ上是否存在不同于S 的点P ，满足3P S =？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何答案一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对【答案】A【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.【详解】设圆224x y +=上一点为(2cos ,2sin )P θθ，则对应切点弦所在直线l 的方程为2cos 2sin 12xy θθ⋅+⋅=即cos 2sin 1x y θθ+=，1≥，故椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆2241x y +=围成的面积，其面积为1ππ122⨯⨯=.2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A．B．CD ．上述三个选项都不对【答案】D【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别求出22,OA OB ，再根据222AB OA OB =+，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出AB 的最大值和最小值，即可得解.【详解】解：由22149x y +=，得229436x y +=，化为极坐标方程为223645cos ρθ=+，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，则OA OB ⊥，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22123645cos OA ρθ==+，22222363645sin 45cos 2OB ρπθθ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以2221222363645cos 45sin AB ρρθθ=+=+++2223613361325162025sin cos 36sin 24θθθ⨯⨯==+++，当2sin 20θ=时，2AB 取得最大值，即AB所以菱形的周长的最大值为当2sin 21θ=时，2AB 取得最小值，即AB 的最小值为13，所以菱形的周长的最小值为13，所以内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是1313=.3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=【答案】C【分析】根据四边形OMPN 是平行四边形，得到2222PM PN OM ON +=+为定值，然后将取特殊位置(),0P a ，()0,P b 求解.，易知由四边形OMPN 是平行四边形，所以2222PM PN OM ON +=+为定值，取点(),0P a 时，由()1212y x a y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得24a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,24a a M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,24a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22258OM ON a +=，取点()0,P b 时，由1212y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x bb y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以,2b M b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,2b N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22252OM ON b +=，所以225582a b =，即2a b =，4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对【答案】B【分析】联立直线方程和椭圆方程后消元，利用公式可求面积的表达式，再利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】由22312516y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22241150254000x mx m ++-=，()22222500424125400160024116000m m m ∆=-⨯-=⨯->，故m而241241AB ==，故1122ABOS AB ==△2224120210241m m+-⨯==，当且仅当m=等号成立，故OAB面积的最大值为10，5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C，2C是离心率都为e的椭圆，点A，B是分别是2C的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作1C的切线1l，2l．若直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，则12k k的值为（）A．2e B．21e-C．21e-D．21e【答案】C【详解】不妨设22122:1x yCa b+=，222222:x yCa bλ+=(0,1)a bλ>>>，∴,(,0)(0,)A aB bλλ，11:()l y k x aλ=-代入1C的方程得：()2222322422211120b a k x a k x a k a bλλ+-+-=，()()()23222224222111Δ240a kb a k a k a bλλ=--+-=，化简得()221221bkaλ=-．22:l y k x bλ=+代入22221x ya b+=得()22222222222220b a k x a bk x a b a bλλ+-+-=．()()()222222222222Δ240a bkb a k a b a bλλ=-+-=．化简得()222221bkaλ-=．∴422124bk ka=，∴222212221b a ck k ea a-===-，6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y+=的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，顺次连接,,,A B C D得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B【分析】设()11,A x y,()22,B x y，设x轴正方向旋转到与向量OA 同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示,A B的坐标，代入椭圆方程，求得223636,OA OB关于α的函数表达式，进而得到223636OA OB关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ，设x 轴正方向旋转到与向量OA同向所转过的角为α，并根据题意不妨设OA 到OB 为逆时针旋转π2,则11cos ,sin .x OA y OA αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,22cos sin ,2sin cos .2x OB OB y OB OB πααπαα⎧⎛⎫=+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩22149x y +=，229436x y +=,2222369cos 4sin 5cos 4OA ααα=+=+, 22223694cos 5sin 4sin OBααα=+=+,2222236362516925cos sin 36sin 23636,44OA OBααα⎡⎤=+=+∈⎢⎥⎣⎦，∴36136,2OA OB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,1442,1213ABCD S OA OB ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,当4πα=时取到最小值14413，当0α=时取得最大值12.只有选项B 中的12在此范围内7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．,121⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．⎝⎭【答案】D【详解】由322c N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，得22229142c c a b +<，即222222924b c a c a b +<，从而422441590a a c c -+>，得到4291540e e -+>，因此()()2231340e e -->.因为0<e <1，所以3e 2－4<0，故3e 2<1，得到0e <<.又由112||MF MN F +<恒成立，即22||a MN MF +-<恒成立，等价于()2max2||a MN MF +-<，亦即22a NF +<，等价于2a ，即2a e >.e <<二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线【答案】ABC【详解】建立如图的直角坐标设(),P x y ，则(2,0)M x ，(0,2)N y ，0x >，0y >，对于A ，当Rt △AMN 面积为定值()20k k >时，12222x y k ⋅⋅=，∴(0)x y k k ⋅=>轨迹为双曲线一支，所以A 正确．对于B ，若2(0)MN d d =>，则222222444x y d x y d +=⋅+=，(0,0)x y >>是一圆弧，所以B 正确．对于C ，当2(0)AM AN t t +=>时，222(0,0)x y t x y +=>>，即(0,0)x y t x y +=>>为空端点线段，所以C 正确．对于D ，当Rt △AMN 的周长为定值2C 时，则222x y C ++，即(0,0)x y C x y +=>>，()C x y =-+，∴22222222x y C Cx Cy xy x y +=--+++，所以2(22)2x C y Cx C -=-，2222Cx C y x C-=-轨迹为双曲线一支，所以D 错误．9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值【答案】AC【分析】利用三角换元得到P 的坐标为2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用斜率公式可求,αβ与θ的关系，化简后可得,αβ的关系，故可判断AB 的正误，根据面积公式可求S （用θ表示），故可判断CD 的正误.【详解】不妨设2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan sin tan 22(1cos )(2)cos θθαθθ==+--，tan sin tan 22(1cos )2cos θθβθθ=-=---，1||tan 2tan 2S AB θθ=⋅⋅=，因此2114tan ,tan ,221t t S t t αβ==-=-，其中tan 2t θ=．对于选项A ，1tan tan 4αβ=-为定值．对于选项B ，由于22224tantan22tan tan 1tan tan tantan 2222αβαβαβαβ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，因此若tantan22αβ为定值，则tantan 22αβ+为定值，从而tan 2α和tan 2β是确定的值，矛盾，对于选项C ，D ，有()2112122tan()115122t t t t t tαβ--+==-+⋅，因此tan()S αβ⋅+是定值，cot()S αβ⋅+不是定值．10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A．最大值为4B．最大值为4C．最小值为4-D．最小值为4【答案】BD【分析】利用椭圆的定义可求||||PA PQ +的最值.【详解】注意到Q 为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为(1,0)Q '-，则()()||||||44||PA PQ PA PQ PA PQ +=+-=-''+，而||PA PQ -'的取值范围是,AQ AQ ''-⎡⎤⎣⎦，即[，因此所求最大值为4，最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F 和l 为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.【答案】⎫⎪⎪⎭【详解】由双曲线方程可知其焦准距为3，则椭圆Γ的焦准距23b c=（同侧焦点和准线），如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，设F ：()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB方程：)y x c =+，联立直线AB 和椭圆Γ可得：()222222223630b a x a cx a c a b +++-=，由韦达可得：212222212226+=-+33=+3a x x b a a c x x b a ⋅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由椭圆中心O 位于以AB 为直径的圆外，则有12120OA OB x x y y ⋅=+>，结合韦达定理可得：222242222422222233330333a c a b b a c a b b b a b a b a----+=>+++，所以422441030a a c c -+<，即423e 10e 40-+<，e 1<<，12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．【答案】2212016x y +=【详解】设()11,A x y ，()22,C x y ，由题意ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，整理得213x x c +=，21y y b +=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，得到212165y y x x -=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减并整理得()()()()2212122121635y y y y b b a x x x x c +---==⋅+-，整理得225a bc =．①本号资料全部来源于微信公#众号：数学第六感因为()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，所以有1165280x y --=，2265280x y --=．将123x x c +=，12y y b +=-代入得()635560c b ⨯---=，整理得18556c b +=．②联立①②，且注意到a 、b 为整数，解得2c =，4b =，220a =．故所求的椭圆方程为2212016x y +=．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．【答案】4【详解】令||,|3|,|3|=-=+=z a z b z c ，则27-=a bc ．由复数的几何意义知222218+=+b c a ．所以由前两式知2()32-=b c，即||-=b c ，故||3||3||6--+=<z z ．因此z6的双曲线，14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．【详解】因为12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，若曲线C 的方程为22221x y a b +=，则I 的轨迹方程为22221x y c bc c a +=⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故有22121.3bc c a c k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=-=-⋅可知::2:a b c =，所以3m =．设(2cos )P θθ为曲线C上一点，则有|2cos ||t θθ≥+恒成立，即t ≥15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.【答案】4【分析】由对称性，知O 为平行四边形的中心，设()00,A x y ，得()002,32B x y --，将点A 、B 的坐标代入双曲线方程，求得A 、B 的坐标，利用等面积法知4ABCD AOB S S = △，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O 为平行四边形的中心，由A 、B 、C 、D 四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A 、D 在左支上，B 、C 在右支上，如图：考虑A 、B 关于双曲线中心的对称点,A B ''，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知,A C B D =''=，所以ABCD Y 的对称中心为O .设()00,A x y ，由12AP PB =，得()002,32B x y --.将点A 、B 的坐标代入双曲线方程得()22002020*******y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得：00814x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或00814x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故242||21ABCDADB AOB A B S S S OP x x ===⋅-=⨯⨯YV V.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.【答案】(1)((22=149x x -+.(2)【详解】（1）如图所示,将椭圆C绕其左焦点()F 逆时针旋转90 ,得到椭圆'C,注意到在正方形FPAB 中,点B 可以看成也是由点P 绕点F 逆时针旋转90 而形成的,由于点P 在椭圆C 上运动,则点B 在椭圆'C 上运动.求B 的轨迹方程,也就是求椭圆'C 的方程.注意到椭圆'C的中心坐标为(,从而'C的方程为((22=149x x +.（2）如图所示,|||||PQ PFQF +≥当且仅当,,P F Q 三点共线,即P 运动到1P 位置时,等号成立.记椭圆C 的右焦点为)E,注意到()||||=||2||=||||6PQ PF PQ a PE PQ PE ++--+，显然有||||||=PQ PE QE -≤从而||||6PQ PF +≤+,当且仅当,,P E Q 三点共线,即P 运动到2P 位置时,等号成立.||||6PQ PF ≤+≤即PQ PF+的取值范围17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.【答案】((()()201520152014201411112411y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-【详解】易知抛物线焦点1,04P ⎛⎫⎪⎝⎭.设()1:1,2,4i i l y k x i ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，并与2y x =联立知点i A 、i B 的横坐标i A x 、i B x 满足关于x 的方程()2222120216i i i k k x k x -++=且i i A B x x ≠.则i ii i A B A B x =-=221i i k k +=.从而，当2i≥时，有1111i i k k -==+.记{}n F 满足121F F ==及递推关系21n n n F F F ++=+则{}n F 为斐波那契数列其通项公式为n nn F ⎡⎤⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦.下面证明：1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.由2111F k F ==，知i=1时结论成立.设i=t 时结论成立.则121111111t t t t t t t t t F F F F k k F F F +++++++=+=+==即i=t+1时结论也成立.由数学归纳法知1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.特别地，201520142014F k F =.从而，2014l的解析式为((()()201520152014201411112411y x +-⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-.【注】本题亦可用不动点方法求数列{}i k 的通项.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）()21y x =-【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ．由12F PF的垂心为53H ⎫-⎪⎪⎝⎭，得12F H PF ⊥．所以12531F H PF k k -⋅==-，224593c -=，解得21c =．由点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上，得2224119a b +=．结合2221a b c -==，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由（1）知()2,0A -，()21,0F ．若l 的斜率不存在，则由对称性，知120k k +=，不符合要求．若l 的存在，设为k ，则l 的方程为()1y k x =-．由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．①设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以()()1212121212112222k x k x y y k k x x x x --+=+=+++++()()()12121234331122222x x k k x x x x ⎡⎤++⎛⎫=-+-=⋅-⎢⎥⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()221222121222834344322412824244343k x x k k k k k x x x x k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎢⎥=⋅-=⋅-⎢⎥⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222222238161221122412161612k k k k k k k k k k ⎡⎤++⎛⎫+⎢⎥=⋅-=⋅-=- ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦．又1212k k +=-，因此2k =，直线l 的方程为()21y x =-．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．【答案】252064x y -=【详解】用a 、b 、c 分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度，则5a =，3b =，4c =，右焦点为()4,0F ，且准线方程为2a x c=，由21AFca a x c=-，22CF c a a x c=-，得1455AF x =-，2455CF x =-，根据等差性质，2AF CF BF +=，而95BF =，即12441855555x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以128x x +=．①设线段AC 的中点为D ，则其坐标为124,2y y D +⎛⎫ ⎪⎝⎭，又设点T 的坐标为()0,0T x ，则AC 的中垂线DT 的方程为()12121242y y x xy x y y +--=---．因()0,0T x 在此直线上，故有()1212012042y y x xx y y +--=---，即()221201242y y x x x --=-．②又根据A 、B 在椭圆上，得()221192525y x =-，()222292525y x =-，所以()()22121212925y y x x x x -=-+-，据①，即有()22121236225y y x x -=--．③再据②③得06425x =，即点T 的坐标为64,025T ⎛⎫⎪⎝⎭，于是直线BT 的方程为252064x y -=．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）()201y x x =≤<（2）11,132⎧⎫+⎪⎪⎛⎤-⎨⎬⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭ 【详解】(1).设()(),,1,P x y M t -，易知01x ≤<.因为OP 平分MON ∠，所以OM MP PN ON==，所以)11,x x +-①)0y t y -=-.②由①②可得21y t x =-，代入①得到11x x +=-E 的方程为()201y x x =≤<.(2).记()()1,1,1,1A B -，则11,3QA QB k k ==-.直线l 的方程为1122y k x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，与抛物线方程2y x =联立，消去x 得()21102ky y k -+-=当直线l 与抛物线2y x =相切于点T 时，()1210k k ∆=--=，解得1,2k =当1k k ==T y =T 在曲线E 上；当212k k ==时，T y =，切点T 不在曲线E 上.若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，则有QB QA k k k <≤或k =，故所求k的取值范围为1,13⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.【答案】（1）24()(0)y p x p y =-≠；（2）证明见解析.【详解】（1）抛物线22y px =的焦点为(,0)2p ，设l 的直线方程为()(0)2p y k x k =-≠.由得222y pxp y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得222221(2)04k x pk p x p k -++=.设M ､N 的横坐标分别为12x x 、，由21222pk p x x k ++=，得22122222,()2222P Px x pk p pk p p px y k k k k+++===-=，而PQ l ⊥，故PQ 的斜率为1k -，PQ 的方程为2212()2p pk py x k k k +-=--.代入0Q y =得222223222Q pk p pk px p k k ++=+=.设动点R 的坐标为(),x y ，则:21()21()22p Q P Qp x x x p k p y y y k ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，因此222()4(0)p p x p y y k-==≠，故PQ 中点R 的轨迹L 的方程为24()(0)y p x p y =-≠.（2）显然对任意非零整数t ，点2((41),)p t pt +都是L 上的整点，故L 上有无穷多个整点.反设L 上有一个整点(),x y 到原点的距离为整数()0m m ≥，不妨设0,0x y >>，则:22224()x y m y p x p ⎧+=⎨=-⎩①②，因为p 是奇质数，于是|p y ，从②可推出|p x ，再由①可推出|p m .令111,,x px y py m pm ===，则有22211121141x y m y x ⎧+=⎨=-⎩③④，由③，④得2211114x x m -+=，于是2211(81)(8)17x m +-=，即()()111181881817x m x m +++-=，于是111181817,8181x m x m ++=+-=，得111x m ==，故10y =，有10y py ==，但L 上的点满足0y ≠，矛盾!因此，L 上任意点到原点的距离不为整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ的方程；若不存在，请说明理由．【答案】存在，PQ的方程为(260x y +-+-=．【详解】假设这样的P 、Q 存在，且设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知(0,1),(1,0)M F ，所以直线()111:10MP y x x y x --+=．因为该直线与圆F 相切，则d r =r =，两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得()()()()22221111111210r x ryx y -+--+-=．因为()221121x y =-，消去1x 得()()()()()2222111112111210r y r yx y -⋅-+--+-=．因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111211120r y r y x -⋅++---=，整理得()()221121310x ryr -+-+-=，即点P 在直线()()2221310x r y r -+-+-=上．同理，点Q 也在直线()()2221310x r y r -+-+-=上，因此直线PQ 的方程为()()2221310x r y r -+-+-=．又因为直线PQ 圆Fr=，解得r =因此直线PQ 存在且直线PQ的方程为(260x y +-+-=．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．【详解】设()()()()11220000,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ''，则直线AP 的方程为()112y y x x =+，直线BP 的方程为()222y y x x =+，故有121242y y a y y b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，同理可得1010,22E D y y y yy y '++==，又因为PD AE =，所以1E D y y b y +=+，即002y y b +'=，故12121200424AB MN y y k k x x y y b y y '-=====-++，因此//AB MN ．直线AB 的方程为22by x a =+，直线MN 的方程为0000004y y y x y y y y '''=+++，即0022y y by x '=+，故两平行线间的距离d '，||AB ===||MN =所以00|4|1(||||))24MNABy y a S d AB MN '-=⋅+=⋅，其中0204a y y b ≤'≤，可令22004,b a A b y y X '-=-=，则：1(4MNAB S A X =-218=+3183⎛≤ ⎝⎭当22001(4)9b y y b a '-=-时取到最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出D 坐标，再结合直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求出2,3M ⎛ ⎝⎭再代入椭圆求出a ，进而求出离心率.【详解】不妨设椭圆1C 的半焦距1c =，则221b a =-，椭圆右焦点为(1,0)F ．设:1l x ky =+，将1x ky =+，代入22221x ya b+=消去x 化简整理得()()()222222222110a k k a y a ky a -++---=．显然，方程判别式Δ0>，设()(),,,A A B B A x y B x y ．由韦达定理知()2222221A B a k y y a k k a-+=--+，从而()()22222222222211122222A B D A B a k x x ax ky ky a k k a a k k a ⎛⎫-+==++=-+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，()2222211D D a k x y k a k k a--==--+，于是()22222222221,a k a D a k k a a k k a ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭．所以直线OD 的方程为()221a x y a k =--．设圆AMBN 的方程为222:0C x y Dx Ey F ++++=，直线l 直线MN 的方程为()232:(1)01a C x ky x y a k ⎛⎫--+= ⎪ ⎪-⎝⎭，由于3C 经过12C C 、的交点，且123C C C 、、均为二次曲线，则存在常数12λλ、，使得()()2222212222(1)11a x y x ky x y x y Dx Ey Fa b a k λλ⎛⎫⎛⎫--+=+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，比较方程两边xy 系数知()2201a k a k -+=-，即2221a k a =-，由对称性不妨设k =．代入点D 的坐标得1,22D a ⎛- ⎪ ⎪⎝⎭，又||8||3MN OD =，得点2,3M ⎛ ⎝⎭，而M 在1C上，故22222311a a ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+=-，解得a =于是1C的离心率为3c e a ==．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=．(2)设A 、B 、P 的坐标分别为()()()1122,,,,0,x y x y t ．由PA mAF = 知121m x m =+，11ty m=+．又点A 在椭圆C 上，则22211184m t m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得222840m m t +-+=．由PB nBF =，同理得到222840n n t +-+=．由于A 、B 不重合，即m n ≠，故m 、n 是二次方程222840x x t +-+=的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l 的方程为12x yt+=，即()22t y x =--，与椭圆C 的方程联立，消去y 并整理，得()2222244160t xt x t +-+-=，()()42221642416321280t t tt ∆=-+-=+>，所以221212224416,22t t x x x x t t -+=⋅=++，而1212122QAB S t x x t x x ∆=⋅⋅-=⋅-()()22222121212=4QAB S t x x t x x x x ∆⎡⎤=-+-⎣⎦()42222216166422t t tt t ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥++⎣⎦()2222321282t t t +=⋅+．()2243212t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥+⎣⎦由已知，点P 不在椭圆C 的内部，得2t ，即24t ，所以2QAB S ∆的最小值为82563299⨯=，故三角形QAB 面积的最小值为163．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．【答案】43t =【详解】设(),P x y 为圆O 上任意一点，则由题意知PA k PB=．即222PA k PB =，于是()()()()22222x m y n k x s y p ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，整理得()()()()22222222222222111k s m kp nmn k s p x y x y k k k --+-++--=---．因此点P 的轨迹是一个圆．因为(),P x y 为圆上任意一点，所以此圆与圆22:4O x y +=必为同一个圆，于是有()22201k s m k --=-，()22201k p nk --=-，()()22222241mn k s p k +-+=-，整理得20k s m -=，20k p n -=，所以()()()()()22222424222222222411m n k s p k sk p k s p ks p k k +-++-+==+=--．因为s ，*p N ∈，所以21s ≥，21p ≥，从而22242k s p =≤+．又因为1k >，所以1s p ==，22k =，2m n ==．因此将()2,2A ，()1,1B ，代入3y x t =-，得43t =．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.【答案】(1)2211612x y +=(2)0,2⎛ ⎝⎭【详解】（1）由椭圆C 的离心率为12，知12c a =，于是112BF a c OF ===，所以1=30F BO ∠︒，1=60BFO ∠︒，11=120BF A ∠︒，又AB ===，且11BA F ∆所以11==2sin sin1203AB BF A ∠⨯︒，解得=2c ，因此，=4a，b =所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为x ty m =+，由22=++=11612x ty m x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得()2223463480t y mty m +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634mt y y t -+=+，212234834m y y t -=+，由（1）知，()14,0A -，()24,0A ，所以122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ⋅=⋅=⋅===-+---，同理，123434OA QA k k k k ⋅=⋅=-，因为()142353k k k k +=+，所以()2323335443k k k k --=+，()2323233543k k k k k k +-⋅=+，由l 与x 不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即22920PA QA k k ⋅=-，所以121294420y y x x ⋅=---，()()1212209440y y ty m ty m ++-+-=，于是()()()()22121292094940t y y t m y y m ++-++-=，()()()222223486920949403434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++，整理得2340m m --=，解得1m =-或=4m ，因为P ､Q 在x 轴的两侧，所以2122348034m y y t -=<+，44m -<<，又1m =-时，直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，因此1m =-，直线l 恒过点()1,0D -，。

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中数学联赛难度几何题100道第一题：学习证明角平分 (4)第二题：学习证明四点共圆 (5)第三题：学习证明角的倍数关系 (6)第四题：证明线与圆相切 (7)第五题：证明垂直 (8)第六题：证明线段相等 (9)第七题：证明线段为比例中项 (10)第八题：证明垂直 (11)第九题：证明线段相等 (12)第十题：证明角平分 (13)第十一题：证明垂直 (14)第十二题：证明线段相等 (15)第十三题：证明角相等 (16)第十四题：证明中点 (17)第十五题：证明线段的二次等式 (18)第十六题：证明角平分 (19)第十七题：证明中点 (20)第十八题：证明角相等 (21)第十九题：证明中点 (22)第二十题：证明线段相等 (23)第二十一题：证明垂直 (24)第二十二题：证明角相等 (25)第二十三题：证明四点共圆 (26)第二十四题：证明两圆相切 (27)第二十五题：证明线段相等 (28)第二十六题：证明四条线段相等 (29)第二十七题：证明线段比例等式 (30)第二十八题：证明角的倍数关系 (31)第二十九题：证明三线共点 (32)第三十题：证明平行 (33)第三十一题：证明线段相等 (34)第三十二题：证明四点共圆 (35)第三十三题：证明三角形相似 (36)第三十四题：证明角相等 (37)第三十五题：证明内心 (38)第三十六题：证明角平分 (39)第三十七题：证明垂直 (40)第三十八题：证明面积等式 (41)第三十九题：证明角平分 (42)第四十题：证明角相等 (43)第四十二题：证明中点 (45)第四十三题：证明角相等 (46)第四十四题：证明垂直 (47)第四十五题：证明角相等 (48)第四十六题：证明垂直 (49)第四十七题：证明四点共圆 (50)第四十八题：证明四点共圆 (51)第四十九题：证明四点共圆 (52)第五十题：证明角平分 (53)第五十一题：证明线段相等 (54)第五十二题：证明两圆外切 (55)第五十三题：证明垂直 (56)第五十四题：证明垂直 (57)第五十五题：证明垂直 (58)第五十六题：证明垂直 (59)第五十七题：证中点 (60)第五十八题：证明角相等 (61)第五十九题：证明角相等 (62)第六十题：证明四点共圆 (63)第六十一题：证明四点共圆 (64)第六十二题：证明四点共圆 (65)第六十三题：证明角相等 (66)第六十四题：证明角的倍数关系 (67)第六十五题：证明中点 (68)第六十六题：伪旁切圆 (69)第六十七题：证明垂直 (70)第六十八题：证明平行 (71)第六十九题：证明圆心在某线上 (72)第七十题：证明三线共点 (73)第七十一题：证明垂直 (74)第七十二题：证明垂直 (75)第七十三题：证明中点 (76)第七十四题：证明垂直 (77)第七十五题：证明垂直 (78)第七十六题：证明三线共点 (79)第七十七题：证明平行 (80)第七十八题：证明平行 (81)第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (82)第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (83)第八十一题：证明角平分 (84)第八十二题：证明角相等 (85)第八十三题：证明三点共线 (86)第八十四题：证明四圆共点 (87)第八十六题：证明线段相等 (89)第八十七题：证明角相等 (90)第八十八题：证明线段相等 (91)第八十九题：证明线段相等 (92)第九十题：证明线段相等 (93)第九十一题：证明中点 (94)第九十二题：证明四点共圆 (95)第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 (96)第九十四题：证明线段的和差关系等式 (97)第九十五题：证明角相等 (98)第九十六题：证明托勒密定理及逆定理 (99)第九十七题：证明线段的和差关系等式 (100)第九十八题：证明角相等 (101)第九十九题：证明四点共圆 (102)第一百题：证明两三角形共内心 (103)第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。

全国高中数学联赛平面几何题

全国高中数学联赛平面几何题1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC 〔M 、N 是垂足〕，延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；(2) OH ⊥MN ．3.(2002)4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠P AC ．AB C DE F M N5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。

BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。

6.(2005)7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0⌒交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1⌒交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1⌒交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P 0'⌒，交AB 0的延长线于P 0'. 试证：⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒相内切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆．PB 1B 0C 1P 1P 0Q 1Q 0AC 08.(2007)如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

2023年高中数学竞赛平面几何定理

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边旳平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中旳一边和另一边在这边上旳射影乘积旳两倍． (2)钝角对边旳平方等于其他两边旳平方和，加上这两边中旳一边与另一边在这边上旳射影乘积旳两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 旳边BC 旳中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一种角旳平分线分对边所成旳两条线段与这个角旳两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长二分之一）． 6．正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8．张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间旳一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对旳圆周角相等，等于圆心角旳二分之一．（圆外角怎样转化？） 11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对旳圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线旳交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆旳幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O旳半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O旳幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则P A·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂旳点旳轨迹是与此二圆旳连心线垂直旳一条直线，假如此二圆相交，则该轨迹是此二圆旳公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆旳“根轴”．三个圆两两旳根轴假如不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆旳“根心”．三个圆旳根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两旳根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O旳弦，M是其中点，弦CD、EF通过点M，CF、DE交AB 于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点旳距离；不在等边三角形外接圆上旳点，到该三角形两顶点距离之和不小于到另一点旳距离．定理2三角形每一内角都不不小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张旳角都是120°，该点到三顶点距离和到达最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不不不小于120°时，此角旳顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC旳外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们旳外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一种等边三角形；△ABC 旳三条边分别向△ABC 旳内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们旳外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一种等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相似旳中心．19．九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线旳垂足，以及垂心与各顶点连线旳中点，这九个点在同一种圆上，九点圆具有许多有趣旳性质,例如:（1）三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;（2）九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;（3）三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler ）线：三角形旳外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形旳外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心旳距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形旳外接圆半径与内切圆半径旳和等于外心到各边距离旳和． 23．重心：三角形旳三条中线交于一点，并且各中线被这个点提成2：1旳两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 旳重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 旳中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 旳重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 旳重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 旳重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离旳平方和最小旳点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大旳点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 旳重心）．24．垂心：三角形旳三条高线旳交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心旳距离，等于外心到对边旳距离旳2倍；（2）垂心H 有关△ABC 旳三边旳对称点，均在△ABC 旳外接圆上；（3）△ABC 旳垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 旳外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 旳外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25．内心：三角形旳三条角分线旳交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 旳内心，则I 到△ABC 三边旳距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 旳内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆旳交点到另两顶点旳距离与到内心旳距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上旳点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 旳内心；（4）设I 为△ABC 旳内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a c b KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 旳内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上旳射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形旳三条中垂线旳交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 旳外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形旳外心到三边旳距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 旳三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切旳旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似旳式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 旳连线交△ABC 旳外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样旳结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 旳垂足三角形，且△I A I B I C 旳外接圆半径'R 等于△ABC 旳直径为2R ．28．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表达BC 边上旳高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径旳互相关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 旳三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不通过它们任一顶点旳直线旳交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RB AR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理旳应用定理1：设△ABC旳∠A旳外角平分线交边CA于Q，∠C旳平分线交边AB于R，∠B旳平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理旳应用定理2：过任意△ABC旳三个顶点A、B、C作它旳外接圆旳切线，分别和BC、CA、AB旳延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC旳边BC、CA、AB上旳一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点旳充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理旳应用定理：设平行于△ABC旳边BC旳直线与两边AB、AC旳交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC旳中点M．35．塞瓦定理旳逆定理：（略）36．塞瓦定理旳逆定理旳应用定理1：三角形旳三条中线交于一点，三角形旳三条高线交于一点，三角形旳三条角分线交于一点．37．塞瓦定理旳逆定理旳应用定理2：设△ABC旳内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC旳外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理旳逆定理：（略）40．有关西摩松线旳定理1：△ABC旳外接圆旳两个端点P、Q有关该三角形旳西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．有关西摩松线旳定理2（安宁定理）：在一种圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其他一点旳有关该三角形旳西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC旳垂心为H，其外接圆旳任意点P，这时有关△ABC旳点P 旳西摩松线通过线段PH旳中心．43．史坦纳定理旳应用定理：△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关边BC、CA、AB旳对称点和△ABC旳垂心H同在一条（与西摩松线平行旳）直线上．这条直线被叫做点P 有关△ABC旳镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边旳延长线旳交点所连线段旳中点和两条对角线旳中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形旳牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形旳两条对角线旳中点，及该圆旳圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们旳对应顶点（A和D、B和E、C和F）旳连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们旳对应顶点（A 和D、B和E、C和F）旳连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC旳外接圆上旳三点为P、Q、R，则P、Q、R有关△ABC 交于一点旳充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC旳外接圆上旳三点，若P、Q、R 有关△ABC旳西摩松线交于一点，则A、B、C三点有关△PQR旳旳西摩松线交于与前相似旳一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线旳交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作旳三角形旳垂心和其他三点所作旳三角形旳垂心旳连线段旳中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考察△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关△ABC旳西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆旳弦，则三点P、Q、R旳有关△ABC 旳西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC旳顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB旳中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一种圆上，这时L、M、N点有关有关△ABC旳西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC旳外接圆旳一点P，引与△ABC旳三边BC、CA、AB分别成同向旳等角旳直线PD、PE、PF，与三边旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC旳三个顶点引互相平行旳三条直线，设它们与△ABC旳外接圆旳交点分别是L、M、N，在△ABC旳外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC 旳三边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC旳外接圆旳异于A、B、C旳两点，P点旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为有关△ABC旳外接圆旳一对反点，点P旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W，这时，假如QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O旳半径OC和其延长线旳两点，假如OC2=OQ×OP则称P、Q两点有关圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点旳有关这4个三角形旳西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边旳中点，向这条边所对旳顶点处旳外接圆旳切线引垂线，这些垂线交于该三角形旳九点圆旳圆心．59．一种圆周上有n个点，从其中任意n－1个点旳重心，向该圆周旳在其他一点处旳切线所引旳垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一种圆周上有n个点，从其中任意n－2个点旳重心向余下两点旳连线所引旳垂线共点．61．康托尔定理2：一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点有关四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中旳每一种旳两条西摩松线旳交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点有关四边形ABCD旳康托尔线．62．康托尔定理3：一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、L、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、M、L 两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点有关四边形ABCD旳康托尔点．63．康托尔定理4：一种圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点有关四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中旳每一种康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点有关五边形A、B、C、D、E旳康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形旳九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形旳三个内角三等分，靠近某边旳两条三分角线相得到一种交点，则这样旳三个交点可以构成一种正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆旳六边形ABCDEF相对旳顶点A和D、B和E、C 和F，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对旳边AB和DE、BC和EF、CD和F A旳（或延长线旳）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B旳距离之比为定比m：n（值不为1）旳点P，位于将线段AB提成m：n旳内分点C和外分点D为直径两端点旳定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形旳九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形旳九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心旳圆叫做圆内接四边形旳九点圆．70．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形旳外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC旳内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉有关垂足三角形旳面积公式：O是三角形旳外心，M是三角形中旳任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成旳三角形旳面积，其公式：222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何旳意义就个人经验而言，我相信人旳智力懵懂旳大门获得开悟往往缘于某些不经意旳偶尔事件．罗素说过：“一种人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之因此这样说，是由于平面几何曾经救了他一命旳缘故．天懂得是什么缘故，这个养尊处优旳贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家旳孩子巴望一辈子都够不到旳幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发旳小子想到做最终一件事情，那就是理解一下平面几何究竟有多大迷人旳魅力．而这个魅力是之前他旳哥哥向他吹嘘旳．估计他旳哥哥将平面几何与人生旳意义搅和在一起向他做了推介，否则万念俱灰旳旳头脑怎么会在离开之前想到去做最终旳光顾？而罗素真旳一下被迷住了，厌世旳念头由于沉湎于平面几何而被淡化，最终竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我旳意义只是发掘了一种成绩本来不错旳中学生旳潜力，为我解开了智力上旳扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来旳伟大旳怀疑论者显露了执拗旳本性．他反对不加考察就接受平面几何旳公理，在与哥哥旳反复争论之后，只是他旳哥哥使他确信不也许用其他旳措施一步步由这样旳公理来构建庞大旳平面几何旳体系旳后来，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻旳亚历山大从马其顿麾师东进，短短旳时间就建立了一种从尼罗河到印度河旳庞大帝国．伴随他旳征服，希腊文明传播到了东方，开始了一种新旳文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明旳中心也从希腊本土转移到了东方，精确地说，是从雅典转移到了埃及旳亚历山大城．正是在这个都市，诞生了“希腊化时代”最为杰出旳科学成就，其中就包括欧几里德旳几何学．由于他旳成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比旳完美体系一直被视为演绎知识旳典范，哲学史家更乐意把它看作是古代希腊文化旳结晶．它由人类理性不可反驳旳几种极其简朴旳“自明性公理”出发，通过严密旳逻辑推理，演绎出一连串旳定理，这些在构造上紧密依存旳定理和作为基础旳几种公理一起构筑了一种庞大旳知识体系．世间事物旳简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出有关三角形旳一种有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一种历史名题，近几年仍有不少文献对此简介．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．尚有三角形用拿破仑这个名子来命名旳呢！拿破仑与我们旳几何图形三角形有什么关系？少年朋友懂得拿破仑是法国著名旳军事家、政治家、大革命旳领导者、法兰西共和国旳缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关旳几何等知识素有研究，却懂得得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值旳文献，包括欧几里德旳名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“怎样用圆规将圆周四等分”旳问题，被法国数学家曼彻罗尼所处理．听说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上旳真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一种规定：“将军，我们最终有个祈求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相称造诣旳数学爱好者吧！不少几何史上有名旳题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过旳三角形称为“拿破仑三角形”，并且还是一种很有趣旳三角形．在任意△ABC旳外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD 三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们旳外接圆⊙、⊙、⊙、旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一种等边三角形，如下图．△ABC旳三条边分别向△ABC旳内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们旳外接圆⊙、⊙、⊙旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一种等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相似旳中心．少年朋友，你与否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同步还是一位受异书籍、热爱知识旳数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质与否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边旳中点,三高旳垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段旳中点〕九点共圆〔一般称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上旳一种著名问题,最早提出九点圆旳是英国旳培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题刊登在1823年旳一本英国杂志上.第一种完全证明此定理旳是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1823年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先刊登旳.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他旳证明刊登在1823年旳《直边三角形旳某些特殊点旳性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆旳某些重要性质〔如下列旳性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣旳性质,例如:1.三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;2.九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;3.三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。

2022年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

2022年全国高中数学联赛几何专题（平面几何解析几何）数学竞赛中的平面几何一、引言1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：第一层次，中学几何问题．这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次，中学几何的拓展．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉．这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一．2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．高中竞赛大纲:几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．二、基本内容全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．定义1点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．定义2如果对点集A中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A 里，则集合A称为是凸的．定义3设M1,M2,,Mn是多边形，如果MM1M2Mn并且当ij时，Mi与Mj 没有公共的内点，则称多边形M剖分为多边形M1,M2,,Mn．定义4如果凸边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上，则称多边形N内接于多边性M．定理1两点之间直线距离最短．推论三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．定理2三角形的内角之等于180．凸n边形（n3）的n个内角和等于(n2)外角和为180180；（每一个顶点处只计算一个外角）．702022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用证明如图1，过C作CE//AB，则有ECAA，（两直线平行，内错角相等）得ABCACB（结合律）ECBB（等量代换）180．（两直线平行，同旁内角互补图1推论三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和．定理3三角形中大边对大角、小边对小角．证明（1）如图2，在ABC中，已知ABAC，可在AB上截取ADAC，则在等腰ACD中有12．（等腰三角形的性质定理）又在BCD中，2B，（外角定理）更有C12B．（传递性）说明由上面的证明知ABACBC,ABACBC,ABACBC,这样的分断式命题，其逆命题必定成立．证明如下：图2（2）反之，在ABC中，若CB，这时AB,AC有且只有三种关系ABAC，ABAC，ABAC．若ABAC，由上证得CB，与已知CB矛盾．若ABAC，由等腰三角形性质定理得CB，与已知CB矛盾．所以ABAC．定理4在ABC与A1B1C1中，若ABA1B1,ACAC11，则AA1BCB1C1．定理5凸四边形ABCD内接于圆的充分必要条件是：ABCCDA180（或BADDCB180）．证明当四边形ABCD内接于圆时，由圆周角定理有ABCCDA1111ADCABCADCABC180．2222同理可证BADDCB180．反之，当ABCCDA180时，首先过不共线的三点A,B,C作O，若点D不在O上，则有两种可能：（1）D在O的外部（如图3（1））．记AD与O相交于S，连CS，在CDS中有ASCCDA．又由上证，有ABCASC180，得180ABCCDAABCASC180，矛盾．712022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用图3（2）D在O的内部（如图3（2））．记AD的延长线与O相交于S，连CS，在CDS中有ASCCDA．又由上证，有ABCASC180，得180ABCCDAABCASC180，矛盾．定理6凸四边形ABCD外切于圆的充分必要条件是ABCDBCAD．证明当凸四边形ABCD外切于圆时，设各边的切点分别为P,Q,R,S （如图4），根据圆外一点到圆的两切线长相等，有APAS,PBBQ,CRQC,DRDS.相加APPBCRDRASBQQCDS，得ABCDBCAD．图4反之，若ABCDBCAD，我们引B,C的平分线，因为BC360，所以，两条角平分线必定相交于四边形内部一点，记为N，则N到三边AB,BC,CD的距离相等，可以以N为圆心作N与AB,BC,CD同时相切，这时AD与N的关系有且只有三种可能：相离、相切、相交．（1）若AD与N相离（如图5（1））．过A作切线与CD相交于D，在ADD中，有//DDADAD．①//但由上证，有ABCDBCAD，又由已知，有ABCDBCAD相减得CDCDADAD，////DD/ADAD/，与①矛盾．图5722022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用（2）若AD与N相交（如图5（2））．过A作切线与CD的延长线相交于D，在ADD中，有①//DDADAD．//但由上证，有ABCDBCAD，//又由已知，有ABCDBCAD相减得CDCDADAD，//即DDADAD，与①矛盾．综上得AD与N的相切，即凸四边形ABCD外切于圆．定理7（相交弦定理）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．定理8（切割线定理）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．定义5从一点A作O的割线交O于B,C，则点A到两交点B,C的线段长度之积ABAC称为点A对O的羃．对于两个已知圆有等羃的点的轨迹，称为两圆的根轴（或等羃轴）．定理9若两圆相交，其根轴在两圆公共弦所在的直线上；若两圆相切，其根轴在过两圆切点的公切线上；若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上．定理10（三角形面积公式）在ABC中，记a,b,c为三边长，p//1(abc)为半周长，R是2外接圆半径，r为内切圆半径，ha是边BC上的高，ra是与边BC及AB,AC的延长线相切的旁切圆的半径，则ABC的面积S为：(1)S111ahabhbchc；222111(2)SabinCacinBbcinA；222(3)Sp(pa)(pb)(pc)；(4)Sabc2R2inAinBinC；4R(5)Srp；1ra(bca)；21(7)SR2(in2Ain2Bin2C)．2定理11在RtABC中，有(6)S（1）abc，（勾股定理的逆定理也成立）（2）r2221c(abc),R．22732022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用定理12（角平分线定理）设AD是ABC中A的平分线，则．ABBD．ACDC此定理有10多种证法，下面是有辅助线与无辅助线的两种代表性证法．证明1（相似法）如图6，延长BA到E，使AEAC，连CE，则BAD1A（已知）21AECACE（外角定理）2AEC，（等腰三角形的两个底角相等）有AD//CE，BDABAB得．（平行线截割定理）图6DCAEAC11ABADinABCSABD2AB2证明2（面积法）．DCSACD1ACADin1AAC22定理13（正弦定理、余弦定理）在ABC中，有（1）abcoBccoC，bacoAccoC，cacoAbcoB．abC2R；（2）inAinBinC222（3）abc2bccoA，b2a2c22accoB，c2a2b22abcoC．（4）inAinBinC2inBinCcoA．222abC2R；inAinBinC证明1（1）当ABC为直角三角形时，命题显然成立．（2）当ABC为锐角三角形时，如图7（1），作ABC外接圆O，则圆心O在ABC的内部，（2）连BO交O于D，连结DC．因为BD是O的直径，所以BCD90，在直角BCD中有aabc2R，但AD，故得2R．同理可证2R,2R．inDinAinBinCabC2R．得inAinBinC（1）（2）图7（3）当ABC为钝角三角形时，记A为钝角，则圆心O在ABC的外部，过A作直径，仿上证74。

高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)

HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。（7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN

1 2
AM

AD sin

1 2
AD
AN sin(

)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE

AB

A'
F
=
1 2
s
in
A
EF

A
C

A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相交于一点。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：立体几何

高中数学竞赛与强基计划试题专题：立体几何一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）如图，设P 为单位立方体1111ABCD A B C D -的棱1AB 上的一点，则11PA PC +的最小值为（）AB C ．2D ．前三个答案都不对2．（2022·贵州·高二统考竞赛）平面α与长方体的六个面所成的角分别为(1,2,3,6)i i θ= ，则612sin i i θ=∑的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题3．（2019·全国·高三竞赛）已知P 是ABC 所在平面α外一点，则PA ⊥平面α，PB PC ==，3tan 2PBC ∠=．则点A 到平面PBC 的距离的最大值是______．4．（2019·全国·高三竞赛）在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，1160BAA CAA ＝＝∠∠︒.则异面直线1AB 与1BC 所成的角为_______.5．（2018·全国·高三竞赛）已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2.则三棱锥S-ABC 外接球表面积为__________．6．（2020·江苏·高三竞赛）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，1BC CC ==M 是1BC 的中点，N 是1MC 的中点．若异面直线AN 与CM 所成的角为θ，距离为d ，则2020sin d θ=__________．7．（2021·浙江·高二竞赛）在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，BC =P ，Q 分别在线段AB 和AC 上，1AP =，AQ =直线AD BC ⊥于D .现将三角形ABC 沿着AD 对折，当平面ADB 与平面ADC 的二面角为60︒时，则线段PQ 的长度为______.8．（2022·浙江·高二竞赛）在正四棱锥S ABCD -中，M 在棱SC 上且满足2SM MC =.过AM 作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为1V ，2V ，则21V V 的最大值为______.9．（2022·广西·高二统考竞赛）若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”，“完美长方体”的体积的最大值为______．10．（2022·福建·高二统考竞赛）如图，P 为长方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上一点，平面APC ∥平面11DA C ，若12AA AD =，则二面角P -AB -C 的正切值为___________.11．（2022·新疆·高二竞赛）已知二面角l αβ--的平面角为60︒，A ，D 为直线l 上的两点，射线DB 在平面α内，射线DC 在平面β内，已知=45,=30BDA CDA ∠∠︒︒，则cos ∠BDC 等于___________．12．（2022·江苏南京·高三强基计划）在棱长为6的正四面体ABCD 中，M 为面BCD 上一点，且5AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为___________.13．（2019·全国·高三竞赛）E 、F 分别是正四面体ABCD 的棱BD 、CD 的中点，则平面ABC 和平面AEF 所成二面角的余弦值是______.14．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC .若BPC BAC ∠=∠，且AB AC >，则BCA PBC ∠-∠=______.15．（2019·全国·高三竞赛）在空间四边形ABCD 中，AC a = ，BD b = ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，使得2012AE CF EB FD==.则EF =______（用a 、b 表示）.16．（2019·全国·高三竞赛）在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱1AA 、11C D 、BC 的中点．则四面体1B EFG 的体积为______．17．（2018·全国·高三竞赛）已知三棱锥-P ABC 的底面ABC ∆是边长为6的正三角形，PA ⊥平面ABC ，4PA =，若点Q 满足()12PQ PA PB PC =++ ，则三棱锥Q ABC -的体积为______．18．（2018·全国·高三竞赛）设正三棱柱ABC A B C '''-的体积为V ,点 P Q 、分别在棱 AA CC ''、上,满足AP C Q '=.则四面体BPQB '的体积为______.19．（2018·全国·高三竞赛）在正四棱锥P ABCD -中,已知11 A C 、,分别为 PA PC 、中点.则11A BC DP ABCD V V 三棱锥正四棱锥--=______.20．（2018·全国·高三竞赛）一个粮仓大致可看做一个圆台，其上底半径为3米，下底半径为6米，米．一只吃饱了的老鼠在锻炼身体，它打算从圆台下底圆周上的点A 出发，绕圆台侧面慢跑一周，再回到点A .为了使路程最短，这只老鼠至少要跑______米.21．（2019·全国·高三竞赛）在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 为矩形，且4AB =，3BC =，5PA PB PC PD ====，AC 与PD 交于点O ，M 为边PC 的中点.则OM 与平面PBC 所成的角为______.22．（2018·全国·高三竞赛）在正四棱锥P ABCD -中，已知3AB =，且侧面PAD 侧面CPD 所成二面角大小为3π2．该四棱锥外接球的体积为______．23．（2018·全国·高三竞赛）用一块边长为2的正方形纸片（顶点为A 、B 、C 、D ，中心为O ）折成一个正四棱锥O ABCD -．当该四棱锥体积最大时，二面角--A OB C 的平面角的大小为______．24．（2019·全国·高三竞赛）已知四面体ABCD 的四个面DBC DCA DAB ABC ∆∆∆∆、、、的面积分别为12、21、28、37，顶点D 到面ABC ∆的距离为h.则h=__________．25．（2020·浙江·高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从P 点匀速朝P '移动；乙从Q 点匀速出发朝Q '移动，到达Q '后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当甲到达P '时，乙恰好在到达Q '后折返到Q ，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为__________.26．（2018·河北·高二竞赛）若123A A A △的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD 的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.27．（2019·四川·高三校联考竞赛）已知正四棱锥Γ的高为3，侧面与底面所成角为3π，先在Γ内放入一个内切球O 1，然后依次放入球234,,,O O O ，使得后放入的各球均与前一个球及Γ的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为_____.三、解答题28．（2022·贵州·高二统考竞赛）甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选3条棱涂成红色，然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色，接着甲从余下的6条棱中任选3条涂成红色，最后乙将余下的3条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的4条边全都涂成红，甲就获胜，试问甲有必胜策略吗？说明理由．29．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥O ABC -中，已知OA OB OC ==AC =，2AB =，且OB AC ⊥.以O 为球心、1为半径作一个球.则三棱锥O ABC -不在球内部的部分体积为______.30．（2021·全国·高三竞赛）证明：如下构造的空间曲线Γ的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线Γ的构造：作周长为l 的圆O ，在圆O 上取 AmB 使 15l AmB <的长度25l <，并以AB 为轴将 AmB 旋转180︒得弧 Am B '，在圆O 上取 BnC ，使 AmB 的长度 BnC +的长度25l <，并以BC 为轴将 BnC 旋转θ度()0180θ︒<<︒得弧 Bn C'，这样，由弧 Am B Bn C CrA ''、、组成的曲线便是空间曲线．（如图所示）高中数学竞赛与强基计划试题专题：立体几何答案一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）如图，设P 为单位立方体1111ABCD A B C D -的棱1AB 上的一点，则11PA PC +的最小值为（）AB C ．22-D ．前三个答案都不对【答案】A 【分析】如图，将11A B A 和11C B A △翻折到同一平面后可求11PA PC +的最小值.【详解】如图，将11A B A 和11C B A △翻折到同一平面．可得所求最小值为11AC ==．2．（2022·贵州·高二统考竞赛）平面α与长方体的六个面所成的角分别为(1,2,3,6)i i θ= ，则612sin i i θ=∑的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【详解】解法1．取平面α与长方体的一个面平行或重合，则在(1,2,36)i i θ=⋯中有两个为0，四个为2π，所以612sin i i θ=∑=20+41=⨯⨯ 4.解法2．建立如图的空间坐标系D xyz -，取α的法向量为()000,,n x y z = ，长方体相邻三个面的法向量为1(1,0,0)= n ，2(0,1,0)n = ，3(0,0,1)n = ，∴612cos i i θ=∑2221231232n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22200022222222200000000022x y z x y z x y z x y z ⎛⎫=++= ⎪++++++⎝⎭，∴612sin i i θ=∑=6-612cos i i θ=∑624=-=．二、填空题3．（2019·全国·高三竞赛）已知P 是ABC 所在平面α外一点，则PA ⊥平面α，PB PC ==，3tan 2PBC ∠=．则点A 到平面PBC 的距离的最大值是______．【答案】2【详解】如图，作PD BC ⊥于点D ，联结AD ，作AF PD ⊥于点F．因为PA ⊥平面ABC ，BC PD ⊥，所以，BC AD BC ⊥⇒⊥平面PAD ⇒平面PAD ⊥平面PBC ．由AF PD ⊥，得AF ⊥平面PBC ．于是，AF 即为点A 到平面PBC 的距离．因为3tan 2PBC ∠=，所以，sin PBD ∠．又sin PD PB PBD =∠=在Rt PAD中，122AF PD ≤=．4．（2019·全国·高三竞赛）在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，1160BAA CAA ＝＝∠∠︒.则异面直线1AB 与1BC 所成的角为_______.【答案】arccos 6.【详解】在平面11BB C C 中，将1BC 平移至1DB ，则1AB D ∠即为所求的角设三棱柱底面边长和侧棱长均为1.在1AB D ∆中，11AB B D AD 22211111cos 2AB B D AD AB D AB B D +-∠=⋅=于是，1AB D ∠=.5．（2018·全国·高三竞赛）已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2.则三棱锥S-ABC 外接球表面积为__________．【答案】163π【详解】如图，设三棱锥S-ABC 外接球球心为O ，半径为R由SA=SB=SC=AB=2，知S 在平面ABC 内的投影为ABC ∆的外心，即AB 的中点H.由OA=OB=OC ，知O 在平面ABC 内的投影也为AB 的中点H.于是，S 、O 、H 三点共线.又由OA=OB=OS ，知O 为SAB ∆的外心.因此，22323R OA ==⨯⨯=.故所求为21643ππ⨯=⎝⎭.6．（2020·江苏·高三竞赛）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，1BC CC ==M 是1BC 的中点，N 是1MC 的中点．若异面直线AN 与CM 所成的角为θ，距离为d ，则2020sin d θ=__________．【答案】1616【详解】因为1CM BC ⊥，故90θ=︒．过点M 作ME AN ⊥于点E ，则ME CM ⊥，故d ME =．因为4AB =，3BN =，所以5AN =，则4sin 5d ME MN ANB ==∠=，从而可得2020sin 1616d θ=．故答案为：1616.7．（2021·浙江·高二竞赛）在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，BC =P ，Q 分别在线段AB 和AC 上，1AP =，AQ =直线AD BC ⊥于D .现将三角形ABC 沿着AD 对折，当平面ADB 与平面ADC 的二面角为60︒时，则线段PQ 的长度为______.【分析】先根据二面角的定义，得到△BCD 为等边三角形，得到BC 的长度，然后在折后的立体图形中，在△PAQ 和△BAC 中利用余弦定理即可求得线段PQ 的长度.【详解】因为折叠前后，AD 与DB ,CD 的垂直关系保持不变，∴∠BDC 为二面角B —AD —C 的平面角，依题意可知60BDC ∠=︒，在折叠前的图形中30B C ∠=∠=︒，BC =∴BD CD ==∴在折叠后，△ABC为等边三角形，∴BC =，所以222222cos 22AP AQ PQ AB AC BC PAQ AP AQ AB AC+-+-∠==⋅⋅，又∵AP=1,AQ =AD =1，AB =AC =2，258=，解得PQ =.8．（2022·浙江·高二竞赛）在正四棱锥S ABCD -中，M 在棱SC 上且满足2SM MC =.过AM 作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为1V ，2V ，则21V V 的最大值为______.【答案】78【详解】设过AM 的平面交SB,SD 于G,P ，将平面MGAP 延伸，交BC,CD 于E ，F ，则A ，E ，F 共线.设BG x SB =，21,211FC DP EC x FD PS EB x⋅⋅=⋅=- ，又FC CE CE CE FD DA BC CE BE ===-，而()2113,11221BE X DP BE x CE x PS CE x -⎛⎫=∴=⋅-= ⎪--⎝⎭，由于()1123ASM G ASC P ASC ASC B ASC S d d V SG SP V S d SB SD ---⋅+⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭()122143541335355535x x x x x ⎛⎫--⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，140,,5,333x y x ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，185,159V V ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，21111718V V V V V V V -∴==-≤.9．（2022·广西·高二统考竞赛）若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”，“完美长方体”的体积的最大值为______．【答案】120【详解】设长、宽、高分别为a 、b 、c ，且1a b c ≥≥≥，则()4++=a b c abc ，()4+=4b c a bc -，>4bc ，2>4b bc ≥．由a b ≥得()22844b b c b ≥-≥-，故()23,420,b b ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩从而38b ≤≤．因此，()(),,=10,3,2a b c ，()6,4,2，()24,5,1，()14,6,1，()9,8,1，所求最大值为2451=120⨯⨯．10．（2022·福建·高二统考竞赛）如图，P 为长方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上一点，平面APC ∥平面11DA C ，若12AA AD =，则二面角P -AB -C 的正切值为___________.【答案】2【详解】如图，设1O ､O 分别为长方体上､下底面矩形对角线的交点，因为平面APC ∥平面11DA C ，平面11D DBB ⋂平面APC OP =，平面11D DBB ⋂平面111DA C DO =，所以1OP DO ∥，又11OB DO ∥，所以O ､P ､1B 三点共线，设Q 为1DO 与1D B 的交点，则Q 为1D P 的中点，P 为QB 的中点，因此113BP BD =，作PH DB ⊥于H ，HR AB ⊥于R ，则PH ⊥平面ABCD ，PR AB ⊥，∠PRH 为二面角P -AB -C 的平面角，由12AA AD =，113BP BD =，可得11233PH DD AD ==，13RH AD =，所以tan 2PH PRH HR∠==，二面角P -AB -C 的正切值为2.11．（2022·新疆·高二竞赛）已知二面角l αβ--的平面角为60︒，A ，D 为直线l 上的两点，射线DB 在平面α内，射线DC 在平面β内，已知=45,=30BDA CDA ∠∠︒︒，则cos ∠BDC 等于___________．【答案】8【详解】在α平面中，过点A 作DA 的垂线，交射线DB 于点B ，交射线DC 于点C ，设1DA =，则1,33====AB DB AC DC ，则=60BAC ∠︒是二面角M l N --的平面角；在BDC 中，利用余弦定理得21033=-∠BC BDC ，同理在BAC 中，2=BC ，所以cos 8+∠=BDC .12．（2022·江苏南京·高三强基计划）在棱长为6的正四面体ABCD 中，M 为面BCD 上一点，且5AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为___________.【答案】15【详解】过A 作底面BCD 的垂线AH ，H 为垂足，则AH =由5AM =，可知AM 是以AH 为旋转轴的圆锥的母线，且M 所在的底面圆周半径=1r ，由最小角定理知，AM 与BC 所成角α的最小值为AM 与面BCD 所成线面角，即当α最小时，()max 1cos 5α=.13．（2019·全国·高三竞赛）E 、F 分别是正四面体ABCD 的棱BD 、CD 的中点，则平面ABC 和平面AEF 所成二面角的余弦值是______.【详解】设正四面体的棱长为1，平面ABC 与平面AEF 所成二面角的大小为θ，易知EF BC ，过点A 作BC 的平行线AP ，则EF BC AP ，且AP 就是平面ABC 和平面AEF 所成二面角的棱，易知，60PAC ACB ∠=∠=︒，30CAF ∠=︒，PAF AFE ∠=∠，AE AF ==1122EF BC ==，故cos AFE ∠=，由三面角余弦定理得cos cos cos CAF PAC PAF ∠=∠⋅∠+sin sin cos PAC PAF θ∠⋅∠⋅1222θ⇒=+cos 33θ⇒=.14．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC .若BPC BAC ∠=∠，且AB AC >，则BCA PBC ∠-∠=______.【答案】2π.【详解】如图，作AD BC ⊥于点D ，联结PD .显然，PD AD >.故可在线段PD 上取一点E ，使得DE DA =，联结BE 、CE .易证ABC EBC S S ∆∆≌.从而，BEC BAC BPC ∠=∠=∠.故P 、B 、C 、E 四点共圆.这表明，点E 在ABC ∆外.由AB AC >，知ACB ∠为钝角.从而，CED PBC ∠=∠.故22BCA PBC CAD CED ππ∠-∠=+∠-∠=.15．（2019·全国·高三竞赛）在空间四边形ABCD 中，AC a = ，BD b =，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，使得2012AE CFEB FD==.则EF =______（用a 、b 表示）.【答案】20122013a b+.【详解】如图，EF EB BC CF =++.记2012λ=.则1111AE EB EB AB EB AB λλλ=⇒=⇒=++，11CF CF CF CD FD CD λλλλλ=⇒=⇒=++.故11111111EF EB BC CF AB BC BC CD λλλλ=++=+++++++()()1111111AC BD AB BC BC CD AC BD λλλλλλλλ+=+++=+=+++++.将2012λ=，AC a = ，BD b =代入即得20122013a b EF +=.16．（2019·全国·高三竞赛）在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱1AA 、11C D 、BC 的中点．则四面体1B EFG 的体积为______．【答案】316【详解】如图，过点E 作1B G 的平行线，与11A D 交于点E '．则111111=3E FB B EFG B E FG GE FB V V V S BB '''∆==⋅四面体四面体四面体．由题设得114A E '=．在正方体底面上，有11511511911242242216E FB S ∆'⎛⎫=+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭．故1316B EFG V 四面体=．17．（2018·全国·高三竞赛）已知三棱锥-P ABC 的底面ABC ∆是边长为6的正三角形，PA ⊥平面ABC ，4PA =，若点Q 满足()12PQ PA PB PC =++，则三棱锥Q ABC -的体积为______．【答案】【详解】记ABC ∆的中心点为O ．则()()()()11302222OA OB OC PQ PA PB PC PO OA PO OB PO OC PO PO OQ ⎡⎤++=⇒=++=+++++=⇒=⎣⎦．故11111==22323ABC Q ABC P ABC V V S PA ∆--=⨯⋅⨯⨯三棱锥三棱锥18．（2018·全国·高三竞赛）设正三棱柱ABC A B C '''-的体积为V ,点 P Q 、分别在棱 AA CC ''、上,满足AP C Q '=.则四面体BPQB '的体积为______.【答案】13V【详解】1V V V V 3BPQB P BB Q A BB Q A BB C V -'--'''====四面体三棱锥三棱锥三棱锥.19．（2018·全国·高三竞赛）在正四棱锥P ABCD -中,已知11 A C 、,分别为 PA PC 、中点.则11A BC D P ABCDV V 三棱锥正四棱锥--=______.【答案】14【详解】注意到11124A ABD P ABD P ABCD V V V ---==三棱锥三棱锥正四棱锥.同理,114C ABD P ABCD V V --=三棱锥正四棱锥.又11111448B A C D B ACP P ABC P ABCDV V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥同理11C 18D A P P ABCD V --=三棱锥正四棱锥.故11111122484A BC D P ABCDV V --=-⨯-⨯=三棱锥正四棱锥.20．（2018·全国·高三竞赛）一个粮仓大致可看做一个圆台，其上底半径为3米，下底半径为6米，米．一只吃饱了的老鼠在锻炼身体，它打算从圆台下底圆周上的点A 出发，绕圆台侧面慢跑一周，再回到点A .为了使路程最短，这只老鼠至少要跑______米.【答案】103π+【详解】将此圆台的侧面展开，得到一个圆环的一部分，如图，在展开图中，弧 AD 和弧 EF分别对应圆台的下底和上底，点()A D 是老鼠的出发点.假设圆环的内半径为r ，外半径为R ，所对的圆心角为α，显然，23r απ=⨯，26R απ=⨯,()()22263R r -+=-.解得4r =，8R =，32πα=.作AB 与弧 EF切于点B ，DC 与弧 EF 切于点C .由图像，知A B C D →→→为最短路线，其中，B C →这一段路线在弧 EF上.计算得AB ==且易知3AOB COD π∠=∠=，56BOC AOB COD πα∠=-∠-∠=.故弧 BC的长为510463ππ⨯=.于是，最短路线长度为101033ππ+=+（米）.21．（2019·全国·高三竞赛）在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 为矩形，且4AB =，3BC =，5PA PB PC PD ====，AC 与PD 交于点O ，M 为边PC 的中点.则OM 与平面PBC 所成的角为______.【答案】【详解】取边BC 的中点E ，则OE BC ⊥，PE BC ⊥.从而，BC POE 平面⊥.过点O 作OF PE ⊥，则OF PBC ⊥平面.于是，OMF ∠为所求.因为OM 为Rt POC ∆斜边的中线，所以，52OM =.又OP OE OF PE ⋅==sin OF OMF OM ∠=故OM 与平面PBC 所成的角为22．（2018·全国·高三竞赛）在正四棱锥P ABCD -中，已知3AB =，且侧面PAD 侧面CPD 所成二面角大小为3π2．该四棱锥外接球的体积为______．【答案】243π16【详解】分别过点C 、A 作PD 的垂线，则垂线必交于PD 上一点Q ，且2π3AQC ∠=，AQ CD =．因为AC ==，所以sin180120sin1202AC AQ CQ ︒-︒==⋅=︒，DQ ==由222PQ PC CQ =-，得2PC =．设O 为正方形ABCD 的中心，则四棱锥外接球的球心O '必在直线PO 上，PO 与球交于另一点P '．又122CO AC ==，则32PO ==．由23CO P O PO='=，知()1924R PO P O =+='．故34243ππ316V R ==球．23．（2018·全国·高三竞赛）用一块边长为2的正方形纸片（顶点为A 、B 、C 、D ，中心为O ）折成一个正四棱锥O ABCD -．当该四棱锥体积最大时，二面角--A OB C 的平面角的大小为______．【答案】2π3【详解】如图，作AE OB ⊥于点E ，连接CE．则CE OB ⊥，AEC ∠为所求二面角的平面角．设H 为底面中心．则OH ⊥平面ABCD ．作HF AB ⊥，连接OF ．由三垂线定理得OF AB ⊥．设2AB x =．则BF x =，AH HC ==，OH =故O ABCDV -==≤=正四棱锥由均值不等式的等号成立条件，知当且仅当x =O ABCD V -正四棱锥取最大值．又3OF ==，OF AB AE OB ⋅=⋅，则43OF AB AE CE OB ⋅===．而AC ==，故由余弦定理得2221cos 22AE CE AC AEC AE EC +-∠==-⋅．因为0πAEC <∠<，所以，2π3AEC ∠=．24．（2019·全国·高三竞赛）已知四面体ABCD 的四个面DBC DCA DAB ABC ∆∆∆∆、、、的面积分别为12、21、28、37，顶点D 到面ABC ∆的距离为h.则h=__________．【答案】37【详解】注意到，222212212837++=.因此，四面体ABCD 为直角四面体.故3ABC DA DB DC h S ∆⋅⋅===25．（2020·浙江·高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从P 点匀速朝P '移动；乙从Q 点匀速出发朝Q '移动，到达Q '后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当甲到达P '时，乙恰好在到达Q '后折返到Q ，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为__________.6611【详解】设甲、乙的速度分别为1v 、2v ，在此过程中，1232v v =，即1223v v =.不妨设13v 、22v =，则总的时间为1.设在时间为0t 末，甲、乙之间的距离最短，即此时P 、Q 分别达到M 、N 点.分两种情况讨论：路程前半程与路程后半程.（1）路程前半程：010,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02QN t =，03PM t =，0MH t =，02PH t ，2200122QH t t =+-，进而有222001223213333MN t t t ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故63MN ≥013t =时取等号）.（2）路程后半程：01,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()021QN t =-，03PM t ，0MH t =，02PH t ，2200122QH t t =+-，进而有222007661114511111111MN t t t ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故66MN ≥0711t =时取等号）.666>6611.26．（2018·河北·高二竞赛）若123A A A △的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD 的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.【答案】772π【详解】由已知，四面体A-BCD 的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，外接球半径为R ，则222222222456x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，得()22227722R x y z =++=,故2778R =，所以772S π=.27．（2019·四川·高三校联考竞赛）已知正四棱锥Γ的高为3，侧面与底面所成角为3π，先在Γ内放入一个内切球O 1，然后依次放入球234,,,O O O ，使得后放入的各球均与前一个球及Γ的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为_____.【答案】1813π【详解】设侧面与底面所成角为θ.记球Oi 的半径为ri ，体积为Vi ，i =1，2，3，….因为1cos 2θ=，故1113cos r h r r θ=+=，即1113r h ==.定义12n n s r r r =+++ ，由于132(2)n n r h s n -=-，所以()132n n n r r r +-=，即113n n r r +=，所以113n n r -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故333111441333i nnni i i i i V r ππ-===⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑，所以118lim 13ni n i V π→∞==∑.三、解答题28．（2022·贵州·高二统考竞赛）甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选3条棱涂成红色，然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色，接着甲从余下的6条棱中任选3条涂成红色，最后乙将余下的3条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的4条边全都涂成红，甲就获胜，试问甲有必胜策略吗？说明理由．【答案】甲没有必胜策略，理由见解析【详解】将正方体的12条棱分成4组：{}{}112334223441,,,,,A B B B A A A B B B A A ，{}334112,,A B B B A A ，{}441223,,A B B B A A．当甲第一次涂红3条棱后，由抽屈原理知，上述4组棱中总有一组的3条棱均未被涂红．乙只要将这一组的3条棱涂绿，则正方体的6个面就各有一条绿边．可见，甲没有必胜策略．29．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥O ABC -中，已知OA OB OC ==AC =，2AB =，且OB AC ⊥.以O 为球心、1为半径作一个球.则三棱锥O ABC -不在球内部的部分体积为______.【答案】239π-.【详解】考虑棱长为的正方体将点O 置于正方体的中心，A 、B 、C 可置于正方体的三个顶点，该三个顶点在正方体的同一个面上.故球与三棱锥相交的部分是球体的112.从而，所求体积为321421212339ππ-⨯=-.30．（2021·全国·高三竞赛）证明：如下构造的空间曲线Γ的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线Γ的构造：作周长为l 的圆O ，在圆O 上取 AmB 使 15l AmB <的长度25l <，并以AB 为轴将 AmB 旋转180︒得弧Am B '，在圆O 上取 BnC ，使 AmB 的长度 BnC +的长度25l <，并以BC 为轴将 BnC 旋转θ度()0180θ︒<<︒得弧 Bn C'，这样，由弧 Am B Bn C CrA ''、、组成的曲线便是空间曲线．（如图所示）【详解】设12345A A A A A 、、、、是曲线Γ的任一五等分点组．#本号资*料全部来源于微信公众号：数学第六感由曲线Γ的构造知，曲线Γ的长度为 ,l AmB 的长度 1,5CrA>的长度35l >，那么至少有一个分点不妨设为1A ，落在弧 Am B '内（不包括端点），同时至少有三个分点，不妨设为234A A A 、、，落在 CrA内（不包括端点）.又由曲线Γ的构造知 Am B '与弧 CrA在同一平面内，从而1234A A A A 、、、四点在同一平面内．由平面几何知识知，234A A A 、、三点只能确定唯一的圆O ，而1A 不在圆O 上，所以1234A A A A 、、、四点不共圆．于是1234A A A A 、、、四点必不共球面，否则过1234A A A A 、、、的平面与1234A A A A 、、、所在的球的截面是圆，即1234A A A A 、、、四点共圆，矛盾．故12345A A A A A 、、、、不可能共球面，即曲线Γ的任意五等分点组都不在同一球面上．。

2023年高中数学竞赛教案讲义立体几何

第十二章立体几何一、基础知识公理1 一条直线。

上假如有两个不一样旳点在平面。

内．则这条直线在这个平面内，记作：a a．公理2 两个平面假如有一种公共点，则有且只有一条通过这个点旳公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一旳直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上旳三个点有且只有一种平面。

即不共线旳三点确定一种平面．推论l 直线与直线外一点确定一种平面．推论2 两条相交直线确定一种平面．推论3 两条平行直线确定一种平面．公理4 在空间内，平行于同一直线旳两条直线平行．定义1 异面直线及成角：不一样在任何一种平面内旳两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线旳平行线，这两条直线所成旳角中，不超过900旳角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交旳直线叫做异面直线旳公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间旳线段长度叫做两条异面直线之间旳距离．定义2 直线与平面旳位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3 直线与平面垂直：假如直线与平面内旳每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 假如一条直线与平面内旳两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2 两条直线垂直于同一种平面，则这两条直线平行．定理3 若两条平行线中旳一条与一种平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4 平面外一点到平面旳垂线段旳长度叫做点到平面旳距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面旳距离都相等，这个距离叫做直线与平面旳距离．定义 5 一条直线与平面相交但不垂直旳直线叫做平面旳斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上旳射影．所有这样旳射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内旳射影．斜线与它旳射影所成旳锐角叫做斜线与平面所成旳角．结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小旳角．定理4 (三垂线定理)若d为平面。

高中联赛难度几何100题及其解答(修订版)

高中联赛难度几何 100 题及其解答解答人：文武光华数学工作室田开斌第一题、如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于 A 、B ，PCD 为⊙O 一条割线，CO 交⊙O 于另一点 E ，AC 、EB 交于点 F ，证明：CD 平分∠ADF。

F证明方法一：如图，延长 ED 交 CA 于 K ，根据条件知四边形 CADB 为调和四边形，故ED 、EC 、EA 、EB 构成一组调和线束，进而知 K 、C 、A 、F 构成一组调和点列。

而 KD⊥CD，故 CD 平分∠ADF 。

PF证明方法二：如图，连结 OA 、OB 、AB 、BC ，因为∠AFB = ∠ACE − ∠BEC =∠AOE−∠BOC=180°−∠AOC−∠BOC=∠APC，且PA = PB ，故点 P 为△ABF 的外心。

于是知222∠PFA = ∠PAC = ∠PDA ，所以 P 、A 、D 、F 四点共圆。

又PA = PF ，故 CD 平分∠ADF。

F第二题、如图，AB 为⊙O直径，C、D 为⊙O上两点，且在 AB 同侧，⊙O在C、D 两处的切线交于点 E，BC、AD 交于点 F，EF 交AB 于M，证明：E、C、M、D 四点共圆。

B证明：如图，延长 AC、BD 交于点 K，则BC⊥AK，AD⊥BK，从而知 F 为△KAB 的垂心。

又在圆内接六边形 CCADDB 中使用帕斯卡定理，知 K、E、F 三点共线，从而KM⊥AB于M。

于是知∠CMF = ∠CAF = ∠CDE，所以 E、C、M、D 四点共圆。

B第三题、如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上两点，且在 AB 同侧，⊙O 在 C 、D 两处的切线交于点 E ，BC 、AD 交于点 F ，EB 交⊙O 于点 G ，证明：∠CEF = 2∠AGF 。

B证明：如图，根据条件知∠CFD =AB +CD =(180°−A C )+(180°−BD ) = ∠CAB + ∠DBA =22∠ECF + ∠EDF ，且EC = ED ，故点 E 为△CFD 外心。

数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)

数学竞赛中的立体几何问题立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容．解法灵活而备受人们的青睐，竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算．解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法．一、求角度这类题常以多面体或旋转体为依托,考查立体几何中的异面直线所成角、直线与平面所成角或二面角的大小解决这类题的关键是 ,根据已知条件准确地找出或作出要求的角．立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种．其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是[]0,90︒︒；二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面相交；②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；③根据三垂线定理或逆定理．另外还可以根据面积射影定理cos S S θ'=⋅得到．式中S '表示射影多边形的面积，S 表示原多边形的面积，θ即为所求二面角．例１直线OA 和平面α斜交于一点O ，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 点的任一直线，设,,.AOC AOB BOC αβγ∠=∠=∠=，求证：cos cos cos αβγ=⋅．分析：如图，设射线OA 任意一点A ，过A 作AB α⊥于点B ，又作BC OC ⊥于点C ，连接AC ．有：cos ,cos ,cos ;OC OB OCOA OA OBαβγ=== 所以，cos cos cos αβγ=⋅．评注：①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用．过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线，如果斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上．利用全等三角形即可证明结论成立．②从上述等式的三项可以看出cos α值最小，于是可得结论：平面的一条斜线和平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小．例、（1997年全国联赛一试）如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上， F 在棱CD 上，使得：()0AE CFEB FDλλ==<<∞，记()f λλλαβ=+， αOC BAF EDCBAG其中λα表示EF 与AC 所成的角，其中λβ表示EF 与BD 所成的角，则：（A ）()f λ在()0,+∞单调增加；（B ）()f λ在()0,+∞单调减少；（C ）()fλ在()0,1单调增加；在()1,+∞单调减少；（D ）()f λ在()0,+∞为常数．` 分析：根据题意可首先找到与,λλαβ对应的角．作EG ∥AC ，交BC 于G ，连FG ．显然 FG ∥BD ，∠GEF=λα，∠GFE=λβ．∵AC ⊥BD ，∴EG ⊥FG ∴90λλαβ+=︒例五、（1994年全国联赛一试）已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α= ．分析：正方体的12条棱可分为三组，一个平面与12条棱的夹角都等于α只需该平面与正方体的过同一个顶点的三条棱所成的角都等于α即可．如图所示的平面A BD '就是合乎要求的平面，于是：sin 3α=二、求体积这类题常是求几何体的体积或要求解决与体积有关的问题解决这类题的关键是 ,根据已知条件选择合适的面作为底面并求出这个底面上的高例十五、（2003年全国联赛一试）在四面体ABCD 中，设1,AB CD ==直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于 ()()()(11 ; ; 23A B C D 分析：根据锥体的体积公式我们知道：1V=3S h ⋅⋅．从题目所给条件看，已知长度的两条线段分别位于两条异面直线上，而已知距离是两条异面直线之间的距离而非点线距．显然需要进行转化．作BE ∥CD,且BE=CD ，连接DE 、AE ，显然，三棱锥A —BCD 与三棱锥A —BDE 底面积和高都相等，故它们有相等的体积．于是有：111sin 362A BCD A BDE D ABE BDE V V V S h AB BE ABE h ---∆====⋅⋅∠⋅=例十六、（2002年全国联赛一试）由曲线224,4,4,4x y x y x x ==-==-围成的图形绕y 轴旋转一周所ODCBAD 'C 'B ' A 'EDCBA得旋转体的体积为V 1，满足()()22222216,24,24x y x y x y +≤+-≥++≥的点(),x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则：（A ）V 1=12V 2；（B ）V 1=23V 2；（C ）V 1=V 2；（D ）V 1=2V 2；分析：我国古代数学家祖暅在对于两个几何体体积的比较方面作出了卓越的贡献，祖暅原理告诉我们：对于两个底面积相同，高相等的几何体，任做一个平行于底面的截面，若每一个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖原理的思想我们可以将不规则的几何体的体积计算转化为规则几何体的体积计算．如计算球的体积时我们可以将半球转化为圆柱与圆锥的组合体．显然，本题中的两个几何体符合祖暅原理的条件，比较其截面面积如下：取()44y a a =-≤≤，则：()21162164S aa ππππ=-⋅⋅=-当0a <时：()()()22221642164S aa a ππππ=⋅--⋅-+=+ 当0a >时：()()()22221642164S a a a ππππ=⋅--⋅--=-显然，12S S =，于是有：12V V =．例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是．分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：22r a =∴3343424V a a π⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭练习：同样可用体积法求出棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的半径．分析可知，正四面体的内切球与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正四面体的高度即可．又：3h a ===，所以，,412R a r ==．ROEDC APr例十九、（1998年全国联赛一试）ABC ∆中，90,30,2C B AC ∠=︒∠=︒=，M 是AB 的中点．将ACM ∆沿CM 折起，使A 、B 两点间的距离为22A —BCM 的体积等于．分析：关于折叠问题，弄清折叠前后线段之间的变与不变的关系往往是我们解决问题的关键，问题中经常会涉及折叠图形形成二面角，在折叠前作一条直线与折叠线垂直相交，于交点的两侧各取一点形成一个角，于是在折叠过程中，此角始终能代表图形折叠所形成的二面角的大小．此外，通过分析可知解决本例的另一个关键是需要得到棱锥的高，其实只要能找到二面角，高也就能迎刃而解了．如图，作BD ⊥CM 的延长线相交于D ，AF ⊥CM 于F ，并延长到E ，使EF=BD ，连BE ．显然，AF=EF=BD=3EB=DF=2,所以： A E 2=AB 2-EB 2=8-4=4三棱锥A —BCM 的高即点A 到平面BCM 的距离也就是等腰∆AEF 中点A 到边EF 的距离．根据面积相等FF M ME E D D BB C C A A可求得：h ==∴11132V =⋅⋅=例二十、（1995年全国联赛一试）设O 是正三棱锥P —ABC 底面△ABC 的中心，过O 的动平面与P —ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q 、R 、S ，则和式111PQ PR PS++ （A ）有最大值而无最小值；（B ）有最小值而无最大值；（C ）既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等；（D ）是一个与平面QRS 位置无关的常量．分析：借助于分割思想，将三棱锥P —QRS 划分成三个以O 为顶点，以三个侧面为底面的三棱锥O —PQR ，O —PRS ，O —PSQ ．显然三个三棱锥的高相等，设为h ，又设QPR ∠=RPS SPQ α∠=∠=，于是有：()13P QRS O PQR O PRS O PSQ PQR PRS PSQ V V V V S S S h ----∆∆∆=++=++⋅ ()1sin 6PQ PR PR PS PS PQ h α=⋅+⋅+⋅⋅⋅ 又：1sin sin 6P QRS Q PRS V V PQ PR PS αθ--==⋅⋅⋅⋅，其中θ为PQ 与平面PRS 所成的角．()sin sin sin PQ PR PR PS PS PQ h PQ PR PS ααθ∴⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅于是得：111PQ PR PS ++sin hθ= 例二十一、（1993年全国联赛一试）三棱锥S —ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：（1）DP 与SM 相交；OSRQCBAP（2）设DP 与SM 的交点为D '，则D 为三棱锥S —ABC 的外接球的球心．分析：根据题中三棱锥的特点，可将三棱锥补形成为一个如图所示的长方体，因为 C 、M 、D 三点共线，显然，点C 、S 、D 、M 在同一平面内．于是有DP 与SM 相交．又因为：12DD DM SC MC '==，而点D 为长方体的底面SAEB 的中心，故必有点D '为对角线SF 的中点，即为长方体的也是三棱锥的外接球的球心．例二十二、（1992年全国联赛一试）从正方体的棱和各个面的面对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是．分析：本题可以采用构造法求解．考查图中的四条线段：A 1D 、AC 、BC 1、B 1D 1，显然其中任意两条都是异面直线．另一方面，如果满足题目要求的线段多于4条，若有5条线段满足要求，因为5条线段中任意两条均为异面直线，所以其中任意两条没有公共点，于是产生这些线段的端点几何体的顶点的个数必定大于或等于10个，这与题中的正方体相矛盾．故：4k =．例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P —ABC 的高为PO ，M 为PO 的中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积比．分析：取BC 的中点D ，连接PD 交AM 于G ，设所作的平行于BC 的平面交平面PBC 于EF ，由直线与平面平行的性质定理得：EF ∥BC ，连接AE ，AF ，则平面AEF 为合乎要求的截面．GFMED 'DCBA SH A 1DCBA D 1C 1B 1F E OM D CBAPHG作OH ∥PG ，交AG 于点H ，则：OH=PG ．51112BCPD PG GDGD GD AD EF PG PG PG OH AO +===+=+=+=；故：2425A PEF PEF A PBC PBC V S EF V S BC -∆-∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭；于是：421A PEF A EFBC V V --=．三、求面积这类题常设计为求几何体中某一特殊位置的截面面积解决这类题的关键是 ,封断出截面的形状及截面和已知中相关图形的关系四、求距离这类题常是以几何体为依托 ,求其中的某些点、线、面之间的距离解决这类题的关键在于 ,根据已知条件判断出或作出符合题意的线段 ,其长度就是符合题意的距离4、（1996年全国联赛一试）已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a ，侧棱为b ．取CD 中点G ，则AG ⊥CD ，EG ⊥CD ，故∠AGE 是二面角A —CD —E 的平面角．由BD ⊥AC ，作平面BDF ⊥棱AC 交AC 于F ，则∠BFD 为二面角B —AC —D 的平面角．AG=EG=b 2－a 2，BF=DF=2a b 2－a 2b，AE=2b 2－(233a )2=2b 2－43a 2．由cos ∠AGE=cos ∠BFD ，得2AG 2－AE 22AG 2=2BF 2－BD 22BF 2．∴ 4(b 2－432a 2)b 2－a 2=4a 2b 24a 2(b 2－a 2)⇒9b2=16a 2，⇒b=43a ，从而b=2，2a=3．AE=2．即最远的两个顶点距离为3．分析：设正三棱锥的底面边长为a ，侧棱长为b ，则：2222223244a a b a aa b b -=⋅--即：2223b a b =-化简得： 32ba =所以，3,2a b ==．于是可求得线段PP '的长：2432pp '=-=．于是有最远距离为底边长3．2ababbGEFBCDAACBD EFOP 'P五、求元素个数这类题常以长方体或三棱锥等几何体为背景,通过计算符合题意的元素个数,来考查学生对计数问题的理解程度解决这类题的关键是计数时要有规律的数,作到不重复、不遗漏8、如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有(A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条解：在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A 'D '，作一个平行六面体ABCD —A 'B 'C 'D '，在c 上取线段A 'D '上一点P ，过a 、P 作一个平面，与DD '交于Q 、与CC '交于R ，则QR ∥a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．9、给定平面上的5个点A 、B 、C 、D 、E ，任意三点不共线. 由这些点连成4条线，每点至少是一条线段的端点，不同的连结方式有种.解：图中，4种连结方式都满足题目要求.（图中仅表示点、线间连结形式，不考虑点的位置) .情况（1），根据中心点的选择，有5种其连结方式；情况（2），可视为5个点A 、B 、C 、D 、E 的排列，但一种排列与其逆序排列是同一的，且两者是一一对应的，则有连结方式5!602=种；情况（3），首先是分歧点的选择有5种，其次是分叉的两点的选择有246C =种，最后是余下并连两点的顺序有别，有2!种，共计56260⨯⨯=种；情况（4），选择3点构造三角形，有3510C =种. 共有5606010135+++=种连结方式.B‘C’D’A‘CDASQ PR acb（1）（2）（3）（4）3. 设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α( )(A) 不存在 (B)只有1个 (C) 恰有4个 (D)有无数多个例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（A ）4；（B ）8；（C ）12；（D ）24．分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线．考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现112224C =次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为2483=个．例二、（1995年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是．分析：就四棱锥P —ABCD 而言，显然顶点P 的颜色必定不同于A 、B 、C 、D 四点，于是分三种情况考虑：① 若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：3560A =（种） ② 若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：1425240C A ⋅=（种）③ 若使用五种颜色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为：55120A =（种）故不同染色方法种数是：420种．六、特殊四面体1．四面体由于四面体是三角形在空间中的推广，因此三角形的许多性质也可以推广到四面体：（1）连接四面体的棱中点的线段交于一点，且在这里平分这些线段；（2）连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点，且这点将线段分成的比为3：1，G 称为四面体的重心．（3）每个四面体都有外接球，球心是各条棱的中垂面的交点．（4）每个四面体都有内切球，球心是四面体的各个二面角的平分面的交点．例10（1983年全国）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论．2．特殊四面体（i ）等腰四面体：三组对棱分别相等的四面体．性质（1）等腰四面体各面积相等，且为全等的锐角三角形；（2）体积是伴随长方体的13．（ii ）直角四面体从一个顶点出发的三条棱相互垂直的四面体．性质（1）直角四面体中，不含直角的面是锐角三角形（称该面为底面）；（2）任一侧面面积是它在底面投影的面积和地面面积的比例中项，且侧面面积的平方和是底面面积的平方；（3）三个侧面与底面所成三个二面角的余弦的平方和是1．3．正四面体每个面都是全等的等边三角形的四面体．性质（1）若正四面体的棱长为a ，则四面体的全面积S ＝3a 2，体积V ＝212a 3；（2）正四面体对棱中点的连线长d ＝22a ；（3）正四面体外接球的半径64a ，内切球的半径为612a ．七、“ 多球” 问题在解决立体几何问题时，常会遇到若干个球按照一定的法则“ 叠加” 的问题，我们将这类问题简称为“ 多球” 问题．对于“ 多球” 问题，我们往往可以从多球中提炼出球心所组成的立体图形，将问题简化，然后通过解决这简化的问题，获得原问题的待求结论，这是解决“ 多球” 问题的一个常用方法．5、将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．解：如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45 而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．6、底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形．所以注水高为1＋22．故应注水π(1＋22)－4×43π(12)3＝(13＋22)π．例 1在桌面上放着四个两两相切、半径均为r 的球，试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径．例 2 制作一个底圆直径为4 c m的圆柱形容器，要内装直径为2 c m的钢珠2 6 只，那么这容器至少要多高?( 上海市1 9 8 6 年竞赛试题)例 3 在正四面体内装入半径相同的球，使相邻的球彼此相切，且外层的球又和正四面体的面都相切，如此装法，当球的个数无穷大时，求所装球的体积与正四面体体积之比的极限．( 第八届希望杯高二数学培训题)八、体积法及其应用体积法是处理立体几何问题的重要方法．在高中数学竞赛中，利用体积法解题形式简洁、构思容易，内涵深刻，应用广泛，备受青睐．几何体的体积包括基本几何体的体积计算、等积变换等方法，同时有以下常用方法和技巧：( 1 ) 转移法：利用祖咂原理或等积变换，把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积．( 2 ) 分割求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积．( 3 ) 补形求差法：通过补形化归为基本几何体的体积．( 4 ) 四面体体积变换法．( 5 ) 算两次法：对同一几何体的体积，从两种方法计算，建立出未知元素的等量关系，从而使问题求解．利用这种方法求点到平面的距离，可以回避作出表示距离的垂线段．另外，体积法中对四面体的体积变换涉及较多应用广泛．关于四面体的体积有如下常用性质：( 1 ) 底面积相同的两个三棱锥体积之比等于对应高之比；( 2 ) 高相同的两个三棱锥的体积比等于其底面积之比；( 3 ) 用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方；九、立体几何中的截面问题截面问题涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质及截面图形的最值．本文介绍此类问题的求解方法．1 判断截面图形的形状2 截面面积和周长的计算3 计算截面图形的个数4 确定截面图形的性质5 求截面图形的最值九、综合问题7、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且P A=4，C 为P A 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，⇒PB ⊥AB ，⇒AB ⊥面POB ，⇒面P AB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，⇒OH ⊥面P AB ，⇒OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，⇒PC ⊥面OCH ．⇒PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而∆OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30︒，OB=PO tan30︒=263．解2：连线如图，由C 为P A 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，而V O －PHC ∶V O －PBC =PHPB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=α，则V P —AOB =16R 3sin αcos α=112R 3sin2α，A BP OH CV B －PCO =124R 3sin2α．PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2α=11+cos 2α=23+cos2α．⇒V O －PHC=sin2α3+cos2α⨯112R 3．∴ 令y=sin2α3+cos2α，y '=2cos2α(3+cos2α)－(－2sin2α)sin2α(3+cos2α)2=0，得cos2α=－13，⇒cos α=33，∴ OB=263，选D ．例19把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .例20已知l αβ--是大小为45的二面角，C 为二面角内一定点，且到半平面α和β和6，A ，B 分别是半平面α，β内的动点，则ABC ∆周长的最小值为_____．例21如图所示，等腰ABC △的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．例六、设锐角,,αβγ满足：222cos cos cos 1αβγ++=．求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥分析：构造长方体模型．构造如图所示的长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1，连接AC 1、A 1C 1、BC 1、DC 1．过同一个顶点的三条棱AD 、AB 、AA 1与对角线AC 1所成的角为锐角,,αβγ，满足：222cos cos cos 1αβγ++=不妨设长方体过同一个顶点的三条棱AD 、AB 、AA 1的长分别为,,a bc ．则：tan tan tan aa b b c cαβγ=≥=≥=≥ 以上三式相乘即可．证明二：因为,,αβγ为锐角，故：2222sin 1cos cos cos 2cos cos ααβγβγ=-=+≥⋅，sin α∴≥同理：sin βγP ED F BCAD 1C 1B 1 A 1DC BA例22已知三棱锥ABC P -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面PAB 、PBC 、PCA 与底面ABC 所成的二面角的平面角的大小分别为1θ、2θ、3θ，底面ABC 的面积为34. (1)证明:22tan tan tan 321≥⋅⋅θθθ；(2)若23tan tan tan 321=++θθθ，求该三棱锥的体积ABC P V -. 练习题例七、（1994年全国联赛一试）在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（A ） 2,n n ππ-⎛⎫⎪⎝⎭；（B ） 1,n n ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ） 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（D ） 21,n n n n ππ--⎛⎫⎪⎝⎭．分析：根据正n 棱锥的结构特征，相邻两侧面所成的二面角应大于底面正n 边形的内角，同时小于π，于是得到（A ）．例八、（1992年全国联赛一试）设四面体四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，它们的最大值为S ，记1234S S S S Sλ+++=，则λ一定满足（A ） 24λ<≤；（B ） 34λ<<；（C ） 2.5 4.5λ<≤；（D ） 3.5 5.5λ<<．分析：因为 i S S ≤ ()1,2,3,4i =所以12344S S S SS+++≤．特别的，当四面体为正四面体时取等号．另一方面，构造一个侧面与底面所成角均为45︒的三棱锥，设底面面积为S 4，则：()()1231231234123cos 451 2.5cos 45S S S S S S S S S S S S S S λ+++++⋅︒+++===+++⋅︒，若从极端情形加以考虑，当三棱锥的顶点落在底面上时，一方面不能构成三棱锥，另外此时有1234S S S S ++=，也就是2λ=，于是必须2λ>．故选（A ）．。

高中数学竞赛平面几何

高中数学竞赛平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。

塞瓦定理设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BAB CBB CBC ACC AC A BAA 广义托勒密定理设ABCD 为任意凸四边形，则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。

高中数学联赛几何题

几何专题1.线段AB平行于两等圆的连心线并与两圆相交（交点都在AB内），分别过A,B作靠近自己的一圆的两切线，设这四条切线围成的四边形包含两圆．求证，这个四边形有内切圆．2.ABCV的内切圆与AB,AC边分别切于P,Q点，设RS是平行于AB的中位线，而T是直线PQ与RS的交点．求证，T在角B的平分线上．3.设K,L分别是ABCV的边AC,CB上的旁切圆切点．求证，线段KL,AB的中点连线：（1）平分ABCV的周长；（2）平行于ABCÐ的角平分线．4. 以O 为圆心的圆的两条弦AC 与BD 交于K 点，设M,N 分别是三角形AKB,CKD 的外心．求证：OM=KN ．5. ABC V 的三条高是,,AD BE CF ．求证：以三角形,,AEF BFD CDE 的垂心为顶点的三角形与DEF V 全等．6. 设AD,BE,CF 是锐角三角形ABC 的三条高，123,,O O O 分别是三角形AEF,BFD,CDE 的内心，而123,,T T T 分别是ABC V 的内切圆与三边BC,CA,AB 的切点．求证：六边形132132T O T OT O 的各边全都相等．B7. 等腰三角形ABC 的顶角120C? ，D ，E 为底边AB 上两点满足60DCE? （点D 靠近点A ，点E靠近点B ），F ，G 分别为边AC ，BC 上两点，满足,ADFCDB BEG CEA ?行= ．求证：ADF BEG CDE S S S +=V V V8. ABCD 是非等腰的梯形．1A 是BCD V 外接圆与直线AC 异于点C 的交点．类似定义111,,B CD 点．求证：1111A B C D 也是梯形．9. 圆内接四边形的两对角线交于P 点，四边的中点依次为K,L,M,N ．求证：三角形PKL ，PLM ，PMN ，PNK 的外接圆半径都相等．B爱数学高中2015年11. 锐角三角形ABC 的三边BC ，AC ，AB 上分别取点111,,A B C 使得射线111,,A A B B C C 为111A B C V 的三条内角平分线．试证：111,,AA BB CC 是三角形ABC 的三条高12. 锐角三角形ABC 的两边AB,BC 分别向外做两个矩形ABMN ，BCKL 满足MB BCAB BL=．求证：直线AL,CM,NK 共点．D13. 如图，1O e 过2O e 的圆心，由1O e 上的点C 作2O e 的两条切线，分别另交1O e 于A,B 两点．求证：直线AB 与两圆的连心线垂直．14. 如图，12,O O e e 相交于E ，F 两点，过平面上一点O 做1O e 的2条切线OA ，OB 与2O e 的两条切线OC ，OD ；若AOB COD ? ，证明：EOC FOB ? ．15. 12,O O e e 交于A,B 两点，一条公切线（靠近点B ）的切点为E ，F ，直线AB 与EF 交于M 点．在AM 的延长线上取点K 使得KM M A =，直线KE 与1O e 交于E ，C 两点，直线KF 与2O e 交于F ，D 两点．证明：CDA 共线．16. ABC V 中H 为垂心，I 为内心，O 为外心，K 是内切圆与BC 边的切点．若//IO BC ，求证：//AO HK ．17. O e 为斜边为AB 的直角三角形ABC 的外接圆，设K 是劣弧BC的中点，N 是线段AC 的中点，M 是射线KN 与O e 的交点，O e 在A,C 处的切线交于E 点．求证：EMK Ð为直角．18. 12,O O e e 交于AB 两点，过B 的直线分别另交12,O O e e 于K ，M 点．直线PQ 与1O e 切于Q 点并平行于AM ，直线PR 与2O e 切于R 点并平行于AK ，点P ，Q 位于直线KM 的不同侧．求证：（1）点A 在直线QR 上：（2）点P 在直线KM 上19. 正方形1111A B C D 在正方形ABCD 内，又2222,,,A B C D 分别是1111AA BB CC DD 、、、的中点．试证：2222A B C D 也是正方形．20. 设ABC V 的边AB 、AC 上分别有N 、K 两点，且N 、K 、C 、B共圆于O e ，若ABC V 与ANK V 的外接圆还交于异于点A 的点M ，求证：AM OM ^．C21. 设四边形ABCD 有内切圆O e ，求证：OAB V 、OBC V 、OCD V 、ODA V 的垂心共线．22. 如图，凸四边形ADPE 中，ADPAEP ? ，延长AD 至点B ，延长AE 至点C ，使得DPBEPC ? ，记ADE V 的外心为点1O ，ABC V 的外心为点2O ，且两外接圆不相切，求证：直线12O O 平分AP ．B23. 两圆12O O e e 、相交于P 、Q 两点，且离点P 近的公切线分别与12O O e e 、切于点A 、B ．过点P 作1O e 的切线，与2O e 交于点C ，又AP 延长之后与BC 交于点R ，证明：PQR V 的外接圆与直线BP 、BR 相切．24. 设O e 的内接四边形ABCD ，E 是对角线交点，P 是四边形内任意异于E 的一点，,,,PAB PBC PCD PDA V V V V 的外心分别是1233O O O O 、、、，设1324O O O O 、交于点Q ，求证：O E Q 、、共线25. 已知AD 是锐角ABC V 的一条高，P 是AD 上某一点，延长BP交AC 于点M ，延长CP 交AB 于点N ，又MN 与AP 交于点Q ，过Q 做任一直线交PN 于点E ，交AM 于点F ，求证：EDA FDA ? ．26. 证明斯坦纳定理：ABC V 外接圆上一点P 与ABC V 垂心H 的连线PH 被P 关于ABC V 的西姆松线平分延长PD 交外接圆于Q ，延长AH 交BC 于M 交外接圆于N 则HM=MN ，只需证明AQ 平行EF ，由AQPN 为等腰梯形推出结论B C27.证明牛顿线：四边形ABCD对边交点分别为E，F，对角线AC中点为M，BD中点为N，EF中点为O，则M，N，O三点共线28.六边形ABCDEF中各边中点分别为A’B’C’D’E’F’证明：A’D’,B’E’,C’F’交于一点的充要条件是三角形ACE面积等于三角形BDF面积29.四边形蝴蝶定理:四边形ABCD满足AB=AD，BC=CD，对角线AC，BD相交于O，过O做任俩直线分别交四边于P、Q、R、S，PQ、RS交BD于M、N，证明：OM=ON30. 如图，两个正方形（边长不一定相等）重叠，边之间的交点为12121212,,,,,,,A A B B C C D D ，证明：2222A C B D31. 证明：将三角形的各内角三等分，靠近某一边的两条三分角线相交得一交点则三交点构成正三角形．C求证：直线AT 关于BC ，BT 关于CA ，CT 关于AB 的对称线交于一点．33. ABC V 的角平分线1AA 上取点X ，设BX 交AC 于点1B ，直线CX 交AB 于1C ，线段11A B 与1CC 交于P 点，线段11AC 与1BB 交于Q 点．求证：PAC QAB ? ．34. 锐角ABC V 的内切圆I 切BC 于点K ，AD 为ABC V 的高，M 为AD 的中点，直线KM 交I e 于另一点N ，求证：NK 平分BNC Ð．CBC35.如图，非正三角形ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N ．求证：OH MN^．36.ABCV的内切圆BC于D，E在线段AD在圆内的部分上，设线段EB，CE分别与圆交于点F、G，求证：AD,BG,CF共点．B C。

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