中考数学几何模型2：共顶点模型

中考数学几何模型2：共顶点模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：

（1）寻找公共的顶点

（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边

（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：

连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论：

（1）BCD ACE ≅△△

（2）AE BD =

（3）AFB DFE ∠=∠

（4）FC BFE ∠平分

典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC =∠DAE =90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ．

（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由；

（2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；

（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．

变式练习>>>

1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．

（1）求证：BD=AE．

（2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积．

例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在

△ADB内，求证：CD与EF互相平分.

变式练习>>>

2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF.

(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；

(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.

例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系；（不必证明）

【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；（不必证明）

线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；

【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．

例题5. 如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．

（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．

①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；

②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表

示）．

达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.

2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN 和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.

3.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：

AB2+DE2=AD2+BE2.

4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.

5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是．

【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．

【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC=60°，BC=15，AB=8，AD=CD，求BD的最大值．

6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．

（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF=CE﹣CF；

（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线

段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，则CF=．