第九章 空间异质性

e
R
1
eR eU 1eU / 2 2 K
2

其中 e 是 ML 残差， 是无约束模型误差方差的 ML 估计， 用一致估计代替。 当误差项是一个空间自回归过程，混合的方差矩阵是
I W I W
相对应的检验统计量变为：
名的结构稳定性的 Chow 检验结果无效。 空间依赖性这些问题的模拟已基本上被忽视。因此，在这一节，在一些著名的异方差 和结构稳定性检验的范围内我将更详细讨论这些影响。 我也提出了一些考虑了空间误差自相 关的替代形式。 9.2.1. 存在空间依赖性的异质性检 当误差项不独立时，异方差的一些参数检验的分布性质不再是有效的。更确切地说， 这是由于独立正常变量的二次型的特点的使用作为产生大多数检验统计量的渐进分布的基 础。因此，不存在独立性时将不会出现这些结果。 在有限样本中， 没有一个分析结果是有效的， 并且各种检验的估计需要基于 Monte Carlo 实验。 Anselin(1987b)介绍了在误差项的空间自相关对 Glejser,Breusch-Pagan 和 White 检验的 偏差和力量影响下的一些模拟结果。 该空间依赖性是在一个简单的普通网格结构的标准邻接 矩阵的一阶自回归形式中，其样本大小为 25，50 和 75。与序列自相关的结论类似，检验效 果受到严重影响。 模拟结果说明了如何在不存在异方差的原假设下，当空间自相关存在时，Glejser 和 Breusch-Pagan 检验的经验拒绝频率超过了名义显著性水平。 尤其是对较大的正空间自相关， 这种结果是明显的，拒绝频率是名义显著性水平的 2 到 3 倍。Breusch-Pagan 检验对此尤其 敏感。对于 White 检验，结果不是那么明显，而且似乎是相反的，即当存在空间自相关是有 较低的拒绝频率。 检验的力量也受到影响。存在较大的自相关是检验的力量会降低，尤其是对自回归参 数取正值。然而，三种检验的相对排序对空间自相关似乎并不敏感。一般来说，Glejser 检 验的力量最强，White 检验的结果较差。虽然这些结果大多数被实验范围所限制，但是他们 清楚地表明了在解释存在空间自相关误差项的异方差检验时要十分小心。 正如刚才指出，6.2 节出现的一般模型包含了潜在空间影响的两种类型。基于这种一般 模型在空间条件下的极大似然估计结果， 提出了两种检验策略。 其中一种将包括一套检验顺 序，首先是空间异方差和自相关联合的可能性，其次分别他们中的一个或全部检验。联合检 验时 6.3.4 节讨论过的拉格朗日乘数法的特殊情况，并且由一个 Breusch-Pagan 统计量和一 个应对空间残差相关的 LM 检验组合而成：
LM (1/ 4 4 ) f ZI 1Z f
其中 f 和 Z 和以前一样，但是在空间权重 ML 表达的残差 e B ( y X ) ,方差为 。 对于元素 ，逆项涉及信息矩阵的有关分块。由于这个矩阵对元素 ， 和 不是分 块对角矩阵，因此没有一个简单的表达式可用。然而，在原假设下，发现 和 的子矩阵 的逆的相关表达式可作为系数的估计方差。 的子矩阵的和 的 2 2 阶子矩阵和 的分 块逆矩阵产生了下列表达式：
1
e I W I W e e I W I W e /
R R U U 2
2
2 K
其中 代表空间参数的 ML 估计， 或是约束模型的误差方差估计（LM 检验） ，或 是无约束模型的误差方差估计 （W 检验） ， 或是两者的混合模型的误差方差估计 （LR 检验） 。 严格地说，该方法只是渐进有效，并且检验的另一种形式的解释有可能与有限样本矛盾，如
如 8.1.4.节，从下列模型中出发：
1/2 B( y X ) v
其中
E[vv] I B ( I W )
体现了异方差的一种形式，该异方差由矩阵 Z 中每个具体变量的函数表示。相对于 8.1.4.
节中的公式表示，在 H 0 : 0 下，LM 检验的分块参数向量是：
1 1 f Z ( Z Z ) 1 Z f [eWe / 2 ]2 2 ( P 1) 2 T
和以前一样，
f i ( 1ei ) 2 1
Fra Baidu bibliotek
T tr[W W W 2 ]
e 是 OLS 残差 ei 的向量； 2 是基于 OLS 残差的 ML 方差； Z 是由常数项和导致异方差的
2 2 2 2
LM (1/ 2) f Z [ Z DZ ]1 Z f 2 ( P)
其中
D I (1 / 2 4 )dVd d [l 2 2 w]
l 是 N 1 维向量，每个元素为 1， w 是 WB 1 对角线元素组成的向量， V 是 2 和 的估计
第九章 空间异质性
研究区域科学的许多现象,以不同的反应函数或系统地改变参数的形式,导致了空间的结 构不稳定性。 此外， 由于使用特设空间单位的观测值得到的测量误差可能是非均匀的并可以 预期随地点，面积或空间单位其他特征而变化。 我们称与空间结构相关或是空间过程的结果的异质性为空间异质性。这包括如异方差， 随机变异系数和转换回归这些熟悉的计量经济学问题。 在这一章，我们将讨论在空间计量经济学中特别关心的一些异质性的问题。具体来说， 我将会处理空间的依赖作用的异质性标准检验， 而在文献中已经讨论过不同的空间参数变化 类型的异质性检验。 因为使用标准计量经济方法很容易考虑异质性的许多特征， 所以我将关 注于具有特殊空间特点方面，其他方面的讨论主要参考文献。 本章共分四节。第一节，简要概述与空间异质性有关的一些一般问题。第二节，具体 关注空间自相关对异方差性和结构不稳定性检验的影响。第三节，概述和评价了 Casetti 的 空间扩展方法，作为一个被建议在处理空间参数变化方法的例子。第四节，回顾已经提出的 考虑空间异质性的其他方法。 9.1. 空间异质性的一般方面 在区域科学的许多实证方法中都已经考虑了空间异质性，例如，Casetti(1972,1986)用空 间扩展方法解释了随地点的参数的系统变化，Kau 和 Lee(1977)，Johnson 和 Kau(1980)， Kau,Lee 和 Sirmans(1986) 在 城 市 密 度 研 究 中 分 析 了 在 空 间 数 据 中 随 机 变 异 参 数 。 Brueckner(1981,1985,1986),Kau,Lee 和 Chen(1983)用变换回归的形式表达了离散型的结构变 换。Greene 和 Barnbock(1978),Anselin 和 Can(1986)在城市分析中运用了异方差性。 一般来说，空间异质性有两个不同的方面。一个方面是结构不稳定性，表现为函数形 式变化或参数变化。 另一方面是异方差性， 由于缺失变量或误设其他形式的误差项是非常数 变量。忽视任一方面会有著名的估计模型的统计有效的后果：有偏的参数估计（不只是异方 差存在时） ，误导性的显著性水平和不理想的预测。 可以在一个模型中正式描述的空间异质的程度被附带发生的参数问题所限制，即，参 数个数增加直接随着观测值个数。 为了避免这种情况， 需要异质性在不同类别或参数条件下 被表达。 对于系数变化的模型， 这意味着变化应该是在额外变量个数少的函数中被系统地确 定（如在空间扩展法中） ，或在先验分布条件下随机确定（如在随机参数法中） 。在函数形式 的结构不稳定性情况下，可以被有效估计的不同的制度被自由度限制。 在许多情况下，空间模型中的异质性的特定形式的详细说明的基础可以从区域科学理 论中获得。 尤其是， 区域结构和城市形态的理论可以对很可能导致空间异质性的空间数据集 特征提供深刻的理解，同时提供了决定其形式的重要变量。 在空间分析中一个复杂的因素是设定错误和测量误差，这些会导致异方差，如一个观 测空间单位的选择问题，也可能造成空间自相关。因此，考虑存在一个误设类型对其他估计 和检验的影响是重要的。 上一章讨论了存在异方差误差项的空间自相关检验， 本章考虑了其 他组合，即空间自相关对异方差性和结构稳定性检验的影响。我将在下面介绍。 9.2. 存在空间依赖性的异质性检 时间序列的误差自相关对异质性检验的影响在标准计量经济学文献中已经得到关注。 例如，在 Epps 和 Epps(1977)发现一阶在回归误差项影响 Glerjser 和 Goldfeld 和 Quandt 检验 的有效性。同样，在 Consigliere(1981)和 Corsi，Polloc 和 Prakken(1982)中，序列自相关使著
协方差。 相对于 Breusch-Pagan 检验结果，这个统计量对辅助回归的 R 2 没有直观解释，因为矩 阵 Z [ Z DZ ]1 Z 不是幂等矩阵。 总的来说， 这种表达式对传统统计量的空间自相关的影响有直观的了解。 因为矩阵 D 是
正定的， LM 统计量的值将要比忽视了空间效应时的值要小。 因此， 后者更容易拒绝原假设。 这一结论与前面提到的 Monte Carlo 模拟结果一致，尽管这种方法的具体小样本下的结论还 有待调查。12.2.4.节提供了一个实证说明。 9.2.2. 存在空间依赖性的结构稳定性检验 结构不稳定的一个简单模型是回归参数在样本子集中取不同的值的情形。在应用区域 科学中，这种情况时很容易发生的，例如，数据即用于新居住区又用于老城区，即用于城市 有用于农村， 或即用于中心城区有用于郊区人口调查区。 存在结构变化的一个著名的检验是 Chow 检验，它是基于有约束和无约束的残差平方和 F 检验。 正式的，原假设和备择假设可以表达为如下形式：
变量组成的 N ( P 1) 维矩阵。 联合原假设的显著拒绝可以被每种特殊情况的检验跟随。在执行这一顺序过程的过程 中，为了获得多重比较的正确评估，作为每种原假设拒绝基础的临界值应进行调整。例如， 这可以通过使用 Bonferroni 界限来得到，它将由比较个数除以所要求的显著性水平组成。 另一种检验策略是推导出存在空间自相关时异方差性的明确的检验。此外，这在渐进 框架下用拉格朗日乘数法很容易得到。
[ 2 ]
因此，在原假设下，误差是同方差并且误差协方差是 2 ( BB ) 1 的空间自相关的模型可 归为这种情况。 基于参数为 0 的极大似然估计的这种检验可以根据 8.2 和 12.1 节中的表达式 得到。 作为 6.3.4.节中一般情况的同样原理的应用，产生以下形式的检验统计量：
C
e e e e / K / e e / N 2K F K , N 2K
R R U U U U
如 Consigliere(1981)和 Corsi，Pollock 和 Prakken(1982)指出对于序列自相关，当误差项 不满足独立性假设时这个检验时无效的。空间自相关的误差项可以得到同样的结论。因此， 误差项存在空间依赖性时结构稳定性检验不能根据有限样本的 F 检验，而是要用如 Wald， 似然比和拉格朗日乘数统计量这样的渐进过程得到。 这些方法的主要不同点可以被计算， 因 为他们是渐进等价的。 其实，这种情形是在广义最小二乘框架下，误差协方差为 2 的参数线性约束检验的 一个特殊情况。检验可恰当的表述为：
H0 : y X Xi H1 : y 0 0 i X j j
其中 X i 是 N K i 阶矩阵， X j 为 N K j 阶矩阵，N 1 维向量 i 和 j 是混合回归解释变量 系数的观测子集合， 规定在每个子集中可获得足够多的观测值， 该检验基于在原假设下回归 的残差 eR （约束估计）和备择假设下回归的残差 eU （无约束估计） ，如：