极化恒等式在向量问题中的应用

极化恒等式在向量问题中的应用

目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 阅读以下材料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）

()

222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2） （1）（2）两式相加得：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？

b a ⋅＝()()

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式 几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？

因为AM AC 2=，所以2241DB AM b a -=⋅（三角形模式） 目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值

例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：2241BC AM AC AB -=⋅=9-1004

1⨯= -16 【小结】运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测

.______1)132012(的值为边上的动点，则是点，

的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ⋅

目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围

.

________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅

解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC

的重心，O 在CD 上，且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB

又由极化恒等式得：34

1222

-=-=⋅PD AB PD PB PA 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD

所以]6,2[-∈⋅PB PA

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。

M

图1 A B C M

目标检测

1、矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，点,M N 分别为边,BC CD 上的动点，且2MN =，则AM AN ⋅的最小值是( )

A ．13

B ．15

C ．17

D ．19 2、已知,,A B C 是圆221x y +=上互不相同的三个点，且AB AC =，则AB AC ⋅的最小值是 3、已知ABC ∆,7,8,9AB AC BC ===, P 为平面ABC 内一点，满足7PA PC ⋅=-，则||PB 的取值范围是 .

目标2-3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题

例3.（2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =

， 且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。则( )

A . 90ABC ∠=

B . 90BA

C ∠= C . AB AC =

D . AC BC =

目标检测

`1、22

.2.2.1.)

(,0)()(2,)92008(D C B A c c b c a c b a 的最大值是则满足

，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-⋅-

2、[2016年江苏]如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，

4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 .

3、[2014年江苏]如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，

3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .

课后检测

1.在ABC ∆中,60BAC ∠=若2AB =,3BC =,D 在线段AC 上运动，DA DB ⋅的最小值为

2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()

PA PB PC +⋅的最小值为（ ） A. 14- B. 13- C. 12- D. 1- 3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ⋅的最大值为

4．在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则)(PB PA PC +⋅的最小值是 .

5.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的取值范围是（ ）

A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21

B ．[)1,1-

C ．⎪⎭

⎫⎢⎣⎡-0,43 D ．[)0,1- 6. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（ ）

A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23

B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23

C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21

D. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-21,21 7．在锐角ABC ∆中，已知3B π

=，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围是 ．

8、正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为