全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考数列真题归类分析（含答案）

（10小3大，解析版）

一、等差、等比数列的基本运算（8小1大）

1.（2016年1卷3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97

【解析】由已知,1193627

,98

a d a d +=⎧⎨

+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=选C.

2．（2017年1卷4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【解析】：()

166********a a S a a +=

=⇒+=，

451824a a a a +=+=，

作差86824a a d d -==⇒=，

故而选C.

3．（2017年3卷9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则

{}n a 前6项的和为（）

A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2

3

26a a a =⋅，即()

()()2

11125a d a d a d +=++，又∵11a =，代入上式可得220d d +=，又∵0d ≠，则2d =-

∴()616565

61622422

S a d ⨯⨯=+

=⨯+⨯-=-，故选A.

4.（2017年2卷15）等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则

11

n

k k

S ==∑ ．

【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123

43

4102

a d a d +=⎧⎪

⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n n n n a n S +==

，那么()121

1211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭

，那么 11111111221......21223111n

k k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢

⎥+++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ .

5.（2016年2卷17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．

【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴41

13

a a d -=

=， ∴1(1)n a a n d n =+-=．∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，

[][]101101101lg lg 2b a ===．

⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．

当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；

当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．

∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．

6.（2017年2卷3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由

()71238112

x -=-可得3x =，故选B.

7.（2015年2卷4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )

（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84

【解析】选B.设等比数列的公比为q,则a 1+a 1q 2+a 1q 4=21, 又因为a 1=3,所以q 4+q 2-6=0,解得q 2=2,a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=42.

8．（2017年3卷14）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．

【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即112

11

13a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②

①

得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，

()3

341128a a q ∴==⨯-=-．

9.（2016年1卷15）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．

【解析】：设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得,2

12

1(1)10

(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得1812

a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)

1712(1)

222

121

18()2

2n n n n n n n

n a a a a q

--++++-==⨯=,于是当3n =或4时,12n a a a 取得最

大值6264=.

二、其他数列（可转化为等差等比，2小2大）

10.（2015年2卷16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则

n S =________．

【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得

1111n n

S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨

⎬

⎩⎭

是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则1

1(1)n S n n =---=-，所以1

n S n

=-．

11．（2015年1卷17）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2

n

n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1

1

n n n b a a += ,求数列{n b }的前n 项和.