专题强化训练(六)

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专题强化训练(六)

计数原理、概率、随机变量及其分布

(60分钟90分)

1.(15分)(2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

日

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 期

天

晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴气

日

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 期

天

晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨气

(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率.

(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

【解析】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率是.

(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14对，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.

2.(15分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一场测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料.公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.

世纪金榜导学号93712522

(1)求X的分布列.

(2)求此员工月工资的数学期望.

【解析】(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

P(X=i)=(i=0，1，2，3，4)，则X的分布列为：

X 0 1 2 3 4

P

(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500，则P(Y=3500)=P(X=4)=，

P(Y=2800)=P(X=3)=，

P(Y=2100)=P(X≤2)=，

所以E(Y)=3500×+2800×+2100×=2280，

所以新录用员工月工资的数学期望为2280元.

3.(15分)(2017·嘉兴模拟)现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.

世纪金榜导学号93712523

(1)求C1恰被选中的概率.

(2)求A1和B1不全被选中的概率.

【解析】(1)用M表示“C1恰被选中”这一事件.

从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其所有可能的结果组成的12个基本事件为：

(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2).

C1恰被选中有6个基本事件：

(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，

因而P(M)==.

(2)用N表示“A 1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A1，B1全被选中”这一事件，由于={(A 1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以事件由两个基本事件组成，所以P()==，

由对立事件的概率公式得P(N)=1-P()=1-=.

4.(15分)(2017·丽水模拟)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是

0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.

世纪金榜导学号93712524

(1)求学生小张选修甲的概率.

(2)记“函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率.

(3)求ξ的分布列和数学期望.

【解析】(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，

依题意得

解得

所以学生小张选修甲的概率为0.4.

(2)若函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数，则ξ=0，

所以P(A)=P(ξ=0)

=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)

=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)

=0.24，

所以事件A的概率为0.24.

(3)依题意知ξ=0，2，则ξ的分布列为

ξ0 2

P 0.24 0.76

所以ξ的数学期望为E(ξ)=0×0.24+2×0.76=1.52.

5.(15分)为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1(单位：米).

世纪金榜导学号93712525

(1)若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率.

(2)若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a元.从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a的值.

【解析】(1)因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5米的可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5.

记“抽取的两根竹竿长度之差不超过0.5米”为事件A，则P()==，

所以P(A)=1-P()=1-=，

故所求的概率为.

(2)设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a，a+10，20，

其中P(ξ=2a)==，P(ξ=a+10)==，

P(ξ=20)==，

所以E(ξ)=2a×+(a+10)×+20×=.

令=18，得a=7.