电磁感应单双棒问题

t
电动式单棒
5．最终特征 匀速运动
6．两个极值
(1)最大加速度： v=0时,E反=0,电流、加速度最大
Im
E R
r
Fm BIml,
am
Fm
mg
m
(2)最大速度： 稳定时，速度最大，电流最小
I min
E Blvm Rr
,
mg
Fmin
BI min l
B
E Blvm Rr
l
vm
E Bl
mg(R r)
(1)c棒的最大加速度；
B
(2)c棒的最大速度。
N
M cb
解析：(1)刚开始运动时回路中的感应电流为：
I E Blv0 1 0.510 2.5A
Rb Rc Rb Rc
11
刚开始运动时C棒的加速度最大：
a
BIl mc
1 2.5 0.5 0.1
12.5 m s2
B
N M
c
b
(2)在磁场力的作用下，b棒做减速运动，当两棒速 度相等时，c棒达到最大速度。取两棒为研究对象， 根据动量守恒定律有：
基本模型 运动特点 最终特征
有外力
等距式
1
杆1做a渐大 F 的加速运动
2
的加速运动 I 恒定
有外力
F
不等距式
2
1
杆1做a渐小 的加速运动
杆2做a渐大 的加速运动
a1≠a2 a1、a2恒定
I 恒定
一、单棒问题：阻尼式单棒
1．电路特点
v0
导体棒相当于电源。
2．安培力的特点
素为μ＝0.1，整个装置处于竖直向上的匀强磁
场中，磁感应强度B＝1T，现在闭合开关，求：
（1）闭合开关瞬间，金属杆的加速度；（2）
金属杆所能达到的最大速度；（3）当其速度为
v=20m/s时杆的加速度为多大？（B忽略其它一
切电阻，g=10m/s2） M
E
N
P
F
Q
电 磁 单棒问题
感
应
牛顿定律
中 受力情况分析 动力学观点 平衡条件 的
电磁感应单棒、双棒问题
电 磁 单棒问题
感
应 中
受力情况分析
动力学观点
的
导 轨
运动情况分析
能量观点
问
题 双棒问题
牛顿定律 平衡条件
动能定理 能量守恒
一、单棒问题
基本模型 运动特点 最终特征
阻尼式 电动式
v0 a逐渐减小 静止 的减速运动 I=0
a逐渐减小 匀速 的加速运动 I=0 (或恒定)
发电式
导 轨
运动情况分析
能量观点
动能定理 能量守恒
问
题 双棒问题
二、双棒问题（等间距）
例1.无限长的平行金属轨道M、N，相距L=0.5m，且 水平放置；金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动， 两金属棒的质量mb=mc=0.1kg，电阻Rb=RC=1Ω，轨 道的电阻不计．整个装置放在磁感强度B=1T的匀强 磁场中，磁场方向与轨道平面垂直(如图)．若使b棒 以初速度V0=10m/s开始向右运动，求：
K Vm =8m/s V终 = 2m/s
F
a
若从金属导体ab从静止下落到接通电 键K的时间间隔为t,ab棒以后的运动 情况有几种可能？试用v-t图象描述。
b mg
解析： 因所为以导电体键棒K闭ab合自瞬由间下a落b的的速时度间无t没法有确确定定，，a
使得ab棒受到的瞬时安培力F与G大小无 法比较，因此存在以下可能： （1）若安培力F <G： 则ab棒先做变加速运动，再做匀速直线运动
B
C
(2)框内感应电流的方向怎样？
F
(3)金属杆下滑的最大速度是多少?
解: (1) 开始PQ受力为mg, 所以 a=g
P
Q
I
(2) PQ向下加速运动,产生顺时针方向感应电流,
受到向上的磁场力F作用。
A
mg D
(3) 当PQ向下运动时，磁场力F逐渐的增大，
加速度逐渐的减小，V仍然在增大，
当G=F时，V达到最大速度。
I E BLv
R
R
a gsinθ B2L2v mR
vm
mgRsinθ B 2L2
N
F
M
R a
b
BN θ
P b
θ
图2 mg
L
θ
Q
B
图1
若ab与导轨间存在 动摩擦因数为μ， 情况又怎样？
b
θ
图2
当 F+f=mgsinθ时 ab棒以最大速度V m 做匀速运动
F=BIL=B2 L2 Vm /R = mgsinθ- μ mgcosθ
b
B
a
R
F
b B
• 这类问题覆盖面广,题型也多种多样;但解决这类问题的关 键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态,如速 度、加速度取最大值或最小值的条件等.
• 基本思路是:
I
E
Rr
确定电源（E，r）
F=BIL 感应电流
运动导体所 受的安培力
临界状态
运动状态的分析 v与a方向关系 a变化情况 F=ma 合外力
1．电路特点 导体为电动边，运动后产生反
电动势（等效于电机）。
2．安培力的特点 安培力为运动动力，并随速度减小而减小。
FB
BIl
B
(E E反）l Rr
3．加速度特点
＝B (E Blv）l Rr
v
加速度随速度增大而减小
vm
a FB mg = B (E Blv）l g
m
m(R r)
4．运动特点 a减小的加速运动 O
（2）若安培力F >G： 则ab棒先做变减速运动，再做匀速直线运动
（3）若安培力F =G： 则ab棒始终做匀速直线运动
K
F b
mg
例4.如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放
置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L, M、P两点间接 有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两 导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀
分析：ab 在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应 电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图：
a=(F-f)/m
v
E=BLv
I= E/R
f=BIL
最后，当f=F 时，a=0，速度达到最大，
F=f=BIL=B2 L2 Vm /R
a
Vm=FR / B2 L2
R f1
F
F
f2
f
F
Vm称为收尾速度.
B
F
(3) 导轨面变化（竖直或倾斜） (4)拉力变化
B
C
B
F
P
Q
A
D
竖直
倾斜
例2. 在磁感应强度为B的水平均强磁场中，竖直放置一个冂
形金属框ABCD，框面垂直于磁场，宽度BC＝L，质量m的金
属杆PQ用光滑金属套连接在框架AB和CD上如图.金属杆PQ电
阻为R，当杆自静止开始沿框架下滑时： (1)开始下滑的加速度为多少?
7．稳定后的能量转化规律
F
Fvm
(BLvm )2 Rr
mgvm
8．起动过程中的三个规律
(1)电量关系： Ft BLq mgt mvm 0
(2)能量关系：
Fs
QE
mgS
1 2
mvm2
(3)瞬时加速度：a
F
FB
mg
F m
B2l 2v m(R r)
g
0
m
9．几种变化 (1) 电路变化
F
(2)磁场方向变化
F a逐渐减小 匀速 的加速运动 I 恒定
二、无外力双棒问题
基本模型 运动特点 最终特征
无外力 等距式
1
杆1做a渐小 v0 的加速运动
v1=v2
2
杆2做a渐小 的减速运动
I＝0
无外力 不等距式
v0
2
1
杆1做a渐小 的减速运动
杆2做a渐小 的加速运动
a＝0 I＝0
L1v1=L2v2
三、有外力双棒问题
a BN θ
L
θ
Q
N
b
θ
M
R P
b B
图1
F
f
B
Vm= mg (sinθ- μ cosθ)R/ B2 L2
mg
例5：水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，问 距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放 一质量为m的金属杆（见左下图），金属杆与导轨的电 阻忽略不计；均匀磁场竖直向下.用与导轨平行的恒定拉 力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动.当改变拉力 的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v与F的关 系如右下图.（取重力加速度g=10m/s2） （1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？ （2）若m=0.5kg,L=0.5m,R=0.5Ω;磁感应强度B为多大？ （3）由v-F图线的截距可求得什么物理量?其值为多少?
(2)电量关系： BIl t 0 mv0
q mv0 Bl
q n Bl s
Rr Rr
(3)瞬时加速度： a FB B2l2v
m m(R r)
7．变化
(1)有摩擦 (2)磁场方向不沿竖直方向
练习：AB杆受一冲量作用后以初速度 v0=4m/s， 沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而 停止。AB的质量为m=5g，导轨宽为L=0.4m， 电阻为R=2Ω，其余的电阻不计，磁感强度 B=0.5T，棒和导轨间的动摩擦因数为μ=0.4，
特点分析：
r
1．电路特点 导体棒相当于电源，当速度
FB R
为v时，电动势E＝Blv
f
2．安培力的特点
FB
BIl
B Blv l Rr
＝ B2l2v Rr
v
安培力为阻力，并随速度增大而增大
3．加速度特点
v
a F FB mg F B2l 2v g vm
m
m m(R r)
加速度随速度增大而减小
即：F=BIL=B2 L2 Vm /R =mg ∴Vm=mgR / B2 L2
例3.如图所示，竖直平面内的平行导轨，间距l=20cm，金属
导体ab可以在导轨上无摩檫的向下滑动，金属导体ab的质量 为0.2 g，电阻为0.4Ω，导轨电阻不计，水平方向的匀强磁场 的磁感应强度为0.1T，当金属导体ab从静止自由下落0.8s时， 突然接通电键K。（设导轨足够长，g取10m/s2）求： （1）电键K接通前后，金属导体ab的运动情况 （2）金属导体ab棒的最大速度和最终速度的大小。
mbv0 (mb mc )v
解得c棒的最大速度为：
v
mb mb mc
v0
1 2
v0
5ms
B
N M
c
b
等距双棒特点分析
1．电路特点
v0
棒2相当于电源;棒1受安培力而加 速起动,运动后产生反电动势.
安培力为阻力，并随速 度减小而减小。
3．加速度特点
FB
BIl
B2l 2v Rr
加速度随速度减小而减小
v
a FB B2l 2v m m(R r)
v0
4．运动特点 a减小的减速运动
5．最终状态 静止
O
t
一、单棒问题：阻尼式单棒
6．三个规律 (1)能量关系：
1 2
mv02
0
Q
v0
QR Qr R r
v(m/s)
20
F
16
12
8
4
F(N)
0 2 4 6 8 10 12
解：（1）加速度减小的加速运动。 （2）由图线可知金属杆受拉力、安培力和阻力作用，
匀速时合力为零。
F F安 f
感应电动势 E BLv 1
F
感应电流 I=E/R （2）
安培力 F安 BIL B2L2v/R 3 v(m/s)
B2l 2
电动式单棒
7．稳定后的能量转化规律
Imin
E
Imin
E反
I2 min
(R
r)
mgvm
8．起动过程中的三个规律
(1)动量关系： BLq mgt mvm 0
(2)能量关系：
qE
QE
mgS
1 2
mvm2
(3)瞬时加速度：a FB mg = B (E Blv）l g
m
m(R r)
q n Bl s
Rr Rr
还成立吗？
电动式单棒
9．几种变化 (1)导轨不光滑
(3) 有初速度
v0
(2)倾斜导轨
B
(4)磁场方向变化
B
练习：如图所示，水平放置的足够长平行导轨
MN、PQ的间距为L=0.1m，电源的电动势E＝
10V，内阻r=0.1Ω，金属杆EF的质量为m=1kg，
其有效电阻为R=0.4Ω，其与导轨间的动摩擦因
v R (F f) k ( F f ) B2L2
20 16 12
由图线可以得到直线的斜率 k=2， 8
4
F(N)
B R/kL2 1T
0 2 4 6 8 10 12
(3)由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f，f=2N
若金属杆受到的阻力仅为滑动摩擦力，由截距可求
得动摩擦因数 μ=0.4
电动式单棒
强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可
忽略。让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良 好，不计它们之间的摩擦。
（1）由b向a方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时 ab杆中的电流及其加速度的大小； （3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。
4．运动特点 a减小的加速运动
O
F
t
5．最终特征: 匀速直线运动(a=0)
6．两个极值
FB R
(1) 最大加速度：
当v=0时：
am
F
mg
m
f
(2) 最大速度：
r
F
当a=0时：a F FB mg F B2l 2v g 0
m
m m(R r)
vm
(F
mg )( R
B2l2
r)
发电式单棒
测得杆从运动到停止的过程中通过导线的电量 q=10－2C，求：上述过程中 (g取10m/s2)
(1)AB杆运动的距离；
A
(2)AB杆运动的时间；
(3)当杆速度为2m/s时其
加速度为多大？
B
v0
R
B
一、单棒问题：发电式单棒
例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根长为L的 导体棒ab，用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总 电阻为R，试分析ab 的运动情况，并求ab棒的最大速度。