2018四年级奥数.几何.三角形等高模型和鸟头模型(C级).学生版
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知识框架
板块一三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积=底⨯高2
÷
从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.
如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);
如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);
这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同
时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3
倍,底变为原来的
1
3,则三角形面积与原来的一样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:
(1)等底等高的两个三角形面积相等;
(2)两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如左图12
::
S S a b
=
(3)夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图
ACD BCD
S S=
△△
;
反之,如果
ACD BCD
S S=
△△
,则可知直线AB平行于CD.
(4)等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
(5)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
(6)两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
三角形等高模型和鸟头模型
板块二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),则:():()
ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△
△例题精讲
【例1】如右图,E 在AD 上,AD 垂直BC,12AD =厘米,3DE =厘米.求三角形ABC 的面积是三角形
EBC 面积的几倍?
E
D
C
B
A
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【巩固】如图30-5,设正方形ABCD 的面积为1,E,F 分别为边AB,AD 的中点,FC=3GC,则阴影部分的面
积是多少?
【例2】ABCD 是边长为12的正方形,如图所示,P 是内部任意一点,4BL DM ==、5BK DN ==,
那么阴影部分的面积是.
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【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,
分别与P 点连接,求阴影部分面积.
【例3】已知正方形ABCD 边长为10,正方形BEFG 边长为6,求阴影部分的面积.
【巩固】如图,ABCD 与AEFG 均为正方形,三角形ABH 的面积为6平方厘米,图中阴影部分的面积
为
.
【例4】已知正方形的边长为10,3EC =,2BF =,则ABCD S =
四边形.
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F
E D
C
B
A
【巩固】如图,阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形,则阴影部分四边形的面积是多少平
方厘米?
【例5】如右图所示,在长方形内画出一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中
阴影部分的面积是多少?
【巩固】如图,正方形的边长为10,四边形EFGH 的面积为5,那么阴影部分的面积是
.
【例6】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米,D 是BC 的中点,AD 的长是AE 长的3倍,EF 的长
是BF 长的3
倍.那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米?
【巩固】如图,三角形ABC 中,2DC BD =,3CE AE =,三角形ADE 的面积是20平方厘米,三角形ABC
的面积是多少?
E
D
C
B
A
【例7】如下图,已知.AE=
15AC,CD=14BC,BF=1
6
AB,那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?
【巩固】如下图,在△ABC
中,BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC,求阴影部分面积占三角形面积的几分之几?
【例8】如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2CE BC =;
延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积.
F
E
D
C
B A 【巩固】如图,把四边形ABCD 的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘
米,则EFGH
的面积是多少平方厘米?
【例9】一个长方形分成4个不同的三角形,绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是
221cm .问:长方形的面积是多少平方厘米?