a小学数学奥赛4-3-1 三角形等高模型与鸟头模型(一).学生版

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生

变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1

3

，则三角形面积与原来的一

样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =

b

a

S 2S 1

D

C B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；

⑶6个面积相等的三角形．

【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．

⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？

例题精讲

4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型

D

C

B

A

【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的

面积是 平方厘米．

E

D C

A

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是

平方厘米．

【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则

它内部阴影部分的面积是 ．

C

D

E

【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为

AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．

E B

A

E B

A

【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部

分的面积是 ．

E D G

C

B

B

C

G E

【例 5】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是

多少？

E

D

E

E

D

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，

分别与P 点连接,求阴影部分面积．

【例 6】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形

EBC 面积的几倍？

E

D

C

B

A

【例 7】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC 等积的三角形

一共有哪几个三角形？

F D

E

C

B

A

【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一

共有哪几个三角形？

E

D

C

B

A

【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？

O

D

C

B

A

【例 8】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？

A

B E

C D

D

C E

B A

【例 9】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平

方厘米．

A

A

【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF

长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？

C

B

【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求

三角形ZCY 的面积．