三角形等高模型 例题+巩固+答案

三角形的等高模型

例题精讲

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =

b

a

S 2S 1 D

C B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例题1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．

【解析】⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：

C

E

D

B

A

F

C D

B A G D

B A

⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

⑸

⑷⑶⑵⑴

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

【例题2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．

⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？

C

D

B

A

【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，

它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等． 于是：三角形ABD 的面积=12高÷2=6×高 三角形ABC 的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC 的面积=4×高÷2=2×高

所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4/3倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．

【例题3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．

【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，

即4×3÷2=6(平方厘米)．

【巩固1】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．

【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于

平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于 平行四边形面积的一半，为50÷2=25平方厘米．

【巩固2】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它

内部阴影部分的面积是 ．

F E C

B

A

【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，

为20×12÷120．

【例题4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．

E B

A

E B

A

【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．

连接BH 、CH ．

∵AE=EB ， ∴S △AEH =S △BEH

同理，S △BFH =S △CFH ，S △CGH =S △DGH ，

∴S 阴影=S 长ABCD ÷2=56÷2=28(平方厘米)．

【巩固3】图中的EFG 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积

是 ．

E D G

C

F

B

B

F C

G E

【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．

把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状 各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们 的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，

右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个 三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．

因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此

全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．

【例题5】长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

E

【解析】寻找可利用的条件， 连接BH 、HC ，如下图：

E

可得：12EHB AHB S S ∆∆=

、12FHB CHB S S ∆∆=、1

2

DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11

()361822

EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；

而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111

()()36 4.522228

EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．

所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影

【巩固4】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，