三角形等高模型 例题+巩固+答案
(小学奥数)三角形等高模型与鸟头模型(二)
板塊一 三角形等高模型我們已經知道三角形面積的計算公式：三角形面積=底⨯高2÷從這個公式我們可以發現：三角形面積的大小，取決於三角形底和高的乘積． 如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說明當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發生變化．但是，當三角形的底和高同時發生變化時，三角形的面積不一定變化．比如當高變為原來的3倍，底變為原來的13，則三角形面積與原來的一樣．這就是說：一個三角形的面積變化與否取決於它的高和底的乘積，而不僅僅取決於高或底的變化．同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無數多個不同的形狀． 在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結論： ①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等於它們的底之比； 兩個三角形底相等，面積比等於它們的高之比； 如左圖12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，則可知直線AB 平行於CD ．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等於與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等於它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等於它們的高之比． 板塊二 鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形．例題精講4-3-2.三角形等高模型與鳥頭模型共角三角形的面積比等於對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比． 如圖在ABC △中，,D E 分別是,AB AC 上的點如圖 ⑴(或D 在BA 的延長線上，E 在AC 上)，則:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBADECBA圖⑴ 圖⑵【例 1】 如圖在ABC △中，,D E 分別是,AB AC 上的點，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方釐米，求ABC △的面積．EDCBAEDCBA【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 連接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，設8ADE S =△份，則35ABC S =△份，16ADE S =△平方釐米，所以1份是2平方釐米，35份就是70平方釐米，ABC △的面積是70平方釐米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等於對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比 ． 【答案】70【鞏固】如圖，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE的面積等於1，那麼三角形ABC 的面積是多少？EDCBA ABC D E【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 連接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==． 【答案】15【鞏固】如圖，三角形ABC 被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？乙甲E DCBAABCD E甲乙【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 連接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】如圖在ABC △中，D 在BA 的延長線上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方釐米，求ABC △的面積．EDCBA EDCBA【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答【解析】 連接BE，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△， 所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，設6ADE S =△份，則25ABC S =△份，12ADE S =△平方釐米，所以1份是2平方釐米，25份就是50平方釐米，ABC △的面積是50平方釐米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等於對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比 【答案】50【例 3】如圖所示，在平行四邊形ABCD 中，E 為AB 的中點，2AF CF =，三角形AFE (圖中陰影部分)的面積為8平方釐米．平行四邊形的面積是多少平方釐米？【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答【解析】 連接FB ．三角形AFB 面積是三角形CFB 面積的2倍，而三角形AFB 面積是三角形AEF 面積的2倍，所以三角形ABC 面積是三角形AEF 面積的3倍；又因為平行四邊形的面積是三角形ABC 面積的2倍，所以平行四邊形的面積是三角形AFE 面積的326⨯=（）倍．因此，平行四邊形的面積為8648⨯=(平方釐米)．【答案】48【例 4】已知DEF △的面積為7平方釐米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面積．FED CBA【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△設24ABC S =△份，則4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方釐米，所以24ABC S =△平方釐米 【答案】24【例 5】如圖16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那麼DEF ABC三角形的面积三角形的面积等於多少?【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵字】迎春杯，決賽，第一題，9題【解析】 如下圖，連接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面積比為底的比，則有ABE ABCSS=AEAC，所以ABE S=AEAC×ABC S =15ABCS同理有AEF S=AFABABE S ,即=AEF S=15×56ABC S =16ABCS .類似的還可以得到CDE S=14×45ABC S =15ABC S ，BDF S=16×13ABC S =18ABCS．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积為61120． 【答案】61120【例 6】如圖，三角形ABC 的面積為3平方釐米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面積是多少？AB EC DDC EB A【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由於180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，設2AB =份，3BC =份，則5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，設6ABC S =△份，恰好是3平方釐米，所以1份是0.5平方釐米，25份就是250.512.5⨯=平方釐米，三角形BDE 的面積是12.5平方釐米【答案】12.5【例 7】如圖所示，正方形ABCD 邊長為6釐米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面積為_______平方釐米．【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵字】走美杯，五年級，初賽 【解析】 由題意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根據”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方釐米)．【答案】10【例 8】如圖，已知三角形ABC 面積為1，延長AB 至D ，使BD AB =；延長BC 至E ，使2CE BC =；延長CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面積．FEDCB A ABCDEF【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答【解析】 (法1)本題是性質的反復使用．連接AE 、CD ． ∵11ABC DBCSS=，1ABCS =，∴S 1DBC =．同理可得其他，最後三角形DEF 的面積18=． (法2)用共角定理∵在ABC和CFE中，ACB ∠與FCE ∠互補，∴111428ABC FCES AC BC SFC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABC S =，所以8FCE S =． 同理可得6ADF S =，3BDE S =．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=． 【答案】18【例 9】如圖，把四邊形ABCD 的各邊都延長2倍，得到一個新四邊形EFGH 如果ABCD 的面積是5平方釐米，則EFGH 的面積是多少平方釐米?【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答【解析】 方法一：如下圖，連接BD ，ED ，BG ，有EAD 、ADB 同高，所以面積比為底的比，有2EADABDABDEA SS SAB==．同理36EAHEADEADABDAHSS SSAD===．類似的，還可得6FCG BCD S S =，有()66EAH FCG ABDBCDABCD S S SSS +=+==30平方釐米．連接AC ，AF ，HC ，還可得6EFBABCS S=，6DHGACDSS=，有()66EFB DHG ABCACDABCD S S SSS +=+==30平方釐米.有四邊形EFGH 的面積為EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD 的面積和，即為30+30+5=65(平方釐米.)方法二：連接BD ，有EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夾成兩角的邊EA 、AH ，AB 、AD 的乘積比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．類似的，還可得FCGS =6BCDS，有EAHS +FCGS=6（ABDS +BCDS)=6ABCD S =30平方釐米．連接AC ，還可得EFB S=6ABC S ，DHG S=6ACDS，有EFBS+DHGS=6（ABCS+ACDS）=6ABCD S =30平方釐米．有四邊形EFGH 的面積為△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面積和，即為30+30+5=65平方釐米． 【答案】65【例 10】 如圖，平行四邊形ABCD ，BE AB =，2CF CB=，3GD DC =，4HA AD =，平行四邊形ABCD 的面積是2， 求平行四邊形ABCD 與四邊形EFGH 的面積比．HGAB CD EFHGA B CDEF【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 連接AC 、BD ．根據共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠與FBE ∠互補，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==． 【答案】118【例 11】 如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四邊形ABCD 的面積．H GFED CB A A B CDEGH【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 連接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGFCDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形連接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如圖，將四邊形ABCD 的四條邊AB 、CB 、CD 、AD 分別延長兩倍至點E 、F 、G、H ，若四邊形ABCD 的面積為5，則四邊形EFGH 的面積是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 連接AC 、BD ．由於2BE AB =，2BF BC =，於是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 於是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由於3AE AB =，3AH AD =，於是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 於是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那麼491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==． 【答案】60【例 13】 如圖，在ABC △中，延長AB 至D ，使BD AB =，延長BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中點，若ABC △的面積是2，則DEF △的面積是多少？A BCDEF【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠與FCE ∠互補，∴224111ABCFCES AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABC S =，所以0.5FCE S =． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△． 所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADFS S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如圖，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等於夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復運用，也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的3種情況．最後求得FGS S △的面積為4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如圖所示，正方形ABCD 邊長為8釐米，E 是AD 的中點，F 是CE 的中點，G是BF 的中點，三角形ABG 的面積是多少平方釐米？ABC DEF GABCDEF G【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答【解析】 連接AF 、EG ． 因為218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根據”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等於夾這個角的兩邊長度的乘積比”8AEF S =，8EFG S =，再根據”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等於夾這個角的兩邊長度的乘積比”，得到16BFC S =，32ABFE S =，24ABF S =，所以12ABG S =平方釐米．【答案】12【例 16】 四個面積為1的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積．【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答【解析】 如圖，將原圖擴展成一個大正三角形DEF ，則AGF ∆與CEH ∆都是正三角形．假設正六邊形的邊長為為a ，則AGF ∆與CEH ∆的邊長都是4a ，所以大正三角形DEF 的邊長為4217⨯-=，那麼它的面積為單位小正三角形面積的49倍．而一個正六邊形是由6個單位小正三角形組成的，所以一個單位小正三角形的面積為16，三角形DEF 的面積為496． 由於4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆與三角形DEF 的面積之比為43127749⨯=． 同理可知BDC ∆、AEC ∆與三角形DEF 的面積之比都為1249，所以ABC ∆的面積占三角形DEF 面積的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面積的面積為4913136496⨯=． 【答案】136【鞏固】已知圖中每個正六邊形的面積都是1，則圖中虛線圍成的五邊形ABCDE 的面積是 ．BDCEA【考點】三角形的鳥頭模型【難度】4星【題型】解答【解析】從圖中可以看出，虛線AB和虛線CD外的圖形都等於兩個正六邊形的一半，也就是都等於一個正六邊形的面積；虛線BC和虛線DE外的圖形都等於一個正六邊形的一半，那麼它們合起來等於一個正六邊形的面積；虛線AE外的圖形是兩個三角形，從右圖中可以看出，每個三角形都是一個正六邊形面積的16，所以虛線外圖形的面積等於11132363⨯+⨯=，所以五邊形的面積是12103633-=．【答案】263【例 17】僅用下圖這把刻度尺，最少測量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面積比。
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【考点】三角形的等高模型 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：例题精讲4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型CD BAABFCABDGC⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：（1）（2）（3）（4）（5）⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【答案】⑴答案不唯一：CD BAABF CABDGC⑵ 答案不唯一：（1）（2）（3）（4）（5）⑶答案不唯一：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高 三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高 三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【答案】43、3【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．ED CA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)． 【答案】6【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【答案】25【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．ACDE F【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202⨯⨯=．【答案】120【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【答案】28【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCBBCG E【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48． 【答案】48【例 5】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEE【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯=．（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图．可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．【答案】13.5【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【答案】15【例 6】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC的高，ED 是三角形EBC 的高，于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =⨯÷=⨯三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =⨯÷=⨯所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【答案】4【例 7】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 △AEC 、△AFC 、△ABF ． 【答案】△AEC 、△AFC 、△ABF ．【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ED C BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 3个，△AEC 、△BED 、△DEC ． 【解析】 【答案】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODC B A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 △ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ． 【答案】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO【例 8】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECD DCEB A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S =V V又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===V V V ．【答案】4【例 9】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．AA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008年，四中考题【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【答案】30【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ABD V ，ABC V 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==V V , 所以ABDS V =111809022ABC S ⨯=⨯=V (平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =⨯=⨯=V V (平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE =⨯=V V 3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米． 【答案】22.5【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积． ABC DZ Y【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．【答案】24【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=， 三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=． 【答案】3【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ∵F 是AC 的中点 ∴2ABC ABF S S =V V 同理2ABF BEF S S =V V∴486246BEF ABC S S =÷=⨯÷÷=V V (平方厘米)．【答案】6【例 10】 如图所示，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADECBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC BA AB CDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D C BAAB CDE 甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC=⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABCS S CE CF CB CA=⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABCS S AD AF AB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEFS=---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米【答案】24【例 5】如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有ABEABCSSVV=AEAC，所以ABES V=AEAC×ABCS V=15ABCS V同理有AEFS V=AFAB ABES V,即=AEFS V=15×56ABCS V=16ABCS V.类似的还可以得到CDES V=14×45ABCS V=15ABCS V，BDFS V=16×13ABCS V=18ABCS V．所以有DEFS V=ABCS V-(AEFS V+CDES V+BDFS V)=(1-16-15-18)ABCS V=61120ABCS V．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS=VV，1ABCS=V，∴S1DBC=V．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABCV和CFEV中，ACB∠与FCE∠互补，∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯VV．又1ABCS=V，所以8FCES=V．同理可得6ADFS=V，3BDES=V．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=V V V V V．【答案】18【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有V EAD、V ADB同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABDEAS S SAB==V V V．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===V V V V．类似的，还可得V6FCG BCDS S=V V，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=V V，6DHG ACDS S=V V，有()66EFB DHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为V EAH,V FCG,V EFB,V DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有V EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAH S V =6ABD S V ．类似的，还可得FCG S V =6BCD S V ，有EAH S V +FCG S V =6（ABD S V +BCD S V )=6ABCD S=30平方厘米．连接AC ，还可得EFB S V =6ABC S V ，DHG S V =6ACD S V ，有EFB S V +DHG S V =6（ABC S V +ACD S V ）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==． 【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米． 【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF∆与CEH∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FA a=，3FB a=，所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=，所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD 的面积比。
人教版 八年级数学 上册第11章 三角形 综合巩固训练(含答案)
人教版八年级数学第11章三角形综合巩固训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在△ABC中，AC边上的高是()图A．线段DA B．线段BAC．线段BC D．线段BD2. 在△ABC中，∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数是()A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，105. 在△ABC中，∠A，∠C与∠B处的外角的度数如图所示，则x的值是()A．80 B．70 C．65 D．606. 若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则它是()A．正九边形B．正十边形C．正十一边形D．正十二边形7. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是()A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形8. 若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为()A．180°×n B．180°×n－180°C．180°×n＋180°D．180°×n－360°9. (2019•大庆)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM 的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是A．15°B．30°C．45°D．60°10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为()A．70°B．108°C．110°D．125°二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，已知AB，CD相交于点O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，则∠D ＝________°.12. 如图所示，x的值为________．13. 如图，若A表示四边形，B表示正多边形，则阴影部分表示________．14. 若一个等腰三角形两边的长分别为2 cm，5 cm，则它的周长为________cm.15. 如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以说明一个几何定理．请你写出这个定理的内容：______________________.16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是D，E，F.若AC＝4，AD＝3，BE＝2，则BC＝________．17. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.18. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD 的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数;(2)求这个正多边形的边数.20. 如图，AE，BO，CO分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D. 求证：∠1＝∠2.21. 探究与证明如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？22. 已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN.(1)若多边形为四边形ABCD.①如图 (a )，∠A ＝50°，∠C ＝100°，BM 与DN 交于点P ，求∠BPD 的度数； ②如图(b )，猜测当∠A 和∠C 满足什么数量关系时，BM ∥DN ，并证明你的猜想． (2)如图(c )，若多边形是五边形ABCDG ，已知∠A ＝140°，∠G ＝100°，∠BCD ＝120°，BM 与DN 交于点P ，求∠BPD 的度数．人教版 八年级数学 第11章 三角形 综合巩固训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D2. 【答案】C【解析】根据三角形内角和为180°，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝45°.3. 【答案】B【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠ACD ＝40°，∵∠ACB ＝90°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.4. 【答案】C 【解析】若三条线段的长满足三角形的三边，则这三条线段长满足最小的两边之和大于地三边，由题意，A ，B ，D 都能构成三角形，C 中5＋6＝11<12，不能构成三角形．5. 【答案】B6. 【答案】A[解析] 由于正多边形的外角和为360°，且每一个外角都相等，因此边数＝360°40°＝9.7. 【答案】A[解析] 剪去一个角的方法有三种：经过两个顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．所以一个n 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n 边形或(n ＋1)边形或(n －1)边形．8. 【答案】D9. 【答案】B【解析】∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC=∠ECM–∠EBM=12×(∠ACM–∠ABC)=12∠A=30°，故选B．10. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠BCP＝∠1＋∠BCP＝∠ACB＝70°.∴∠BPC＝180°－∠2－∠BCP＝180°－70°＝110°.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】64[解析] 由三角形内角和定理可知∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∠B ＋∠C＋∠BOC＝180°.∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C.∴∠D＝64°.12. 【答案】55°[解析] 由多边形的外角和等于360°，得360°－105°－60°＋x＋2x＝360°，解得x＝55°.13. 【答案】正方形14. 【答案】12[解析] 分两种情况讨论：①当腰长为5 cm时，三边长分别为5 cm，5 cm，2 cm，满足三角形三边关系，周长＝5＋5＋2＝12(cm)．②当腰长为2 cm时，三边长分别为5 cm，2 cm，2 cm.∵2＋2＝4＜5，∴5 cm，2 cm，2 cm不满足三角形的三边关系．综上，它的周长为12 cm.15. 【答案】三角形三个内角的和等于180°16. 【答案】83 [解析] ∵S △ABC ＝12AC·BE ＝12BC·AD ，∴BC ＝AC·BE AD ＝4×23＝83.17. 【答案】114[解析] 因为AB ∥CD ，所以∠BAB′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC ＝12∠BAB′＝22°.在△ABC 中，∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠2)＝114°.18. 【答案】(m22020)三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x °，则与其相邻的外角度数是x °+12°. 由题意，得x+x+12=180，解得x=140. 即这个正多边形的一个内角的度数是140°.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是=9.20. 【答案】证明：∵AE ，BO ，CO 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∠ACB ， ∴∠ABO ＝12∠ABC ，∠BAE ＝12∠BAC ，∠OCD ＝12∠ACB. ∵∠1＝∠ABO ＋∠BAE ，∴∠1＝12∠ABC ＋12∠BAC ＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB. 又∵∠2＝90°－∠OCD ＝90°－12∠ACB ，∴∠1＝∠2.21. 【答案】解：(1)∠1＝∠2.理由如下： ∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形．∴∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°. ∴∠1＝∠2.(2)(1)中的结论仍然成立．理由如下： ∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠D ＝∠E ＝90°.∴∠2＋∠ABD ＝90°，∠1＋∠CBE ＝90°. 又∵∠ABD ＝∠CBE ， ∴∠1＝∠2.22. 【答案】解：(1)①∵∠A ＝50°，∠C ＝100°， ∴在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝360°－∠A －∠C ＝210°. ∴∠CBE ＋∠CDF ＝150°.∵外角∠CBE 和∠CDF 的平分线分别为BM ，DN ， ∴∠PBC ＋∠PDC ＝12∠CBE ＋12∠CDF ＝75°. ∴∠BPD ＝360°－50°－210°－75°＝25°. ②当∠A ＝∠C 时，BM ∥DN. 证明：如图(a)，连接BD.∵BM ∥DN ，∴∠BDN ＋∠DBM ＝180°.∴∠FDN ＋∠ADB ＋∠ABD ＋∠MBE ＝360°－180°＝180°， 即12(∠FDC ＋∠CBE)＋(∠ADB ＋∠ABD)＝180°. ∴12(360°－∠ADC －∠CBA)＋(180°－∠A)＝180°. ∴12(360°－360°＋∠A ＋∠C)＋(180°－∠A)＝180°. ∴∠A ＝∠C.(2)∵∠A ＝140°，∠G ＝100°，∠BCD ＝120°，∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDG＋∠G＝540°，∴∠ABC＋∠CDG＝180°.∴∠CBE＋∠CDF＝180°.∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，∴∠CBP＋∠CDP＝12(∠CBE＋∠CDF)＝90°.如图(b)，延长DC交BP于点Q.∵∠BCD＝∠CBP＋∠CQB，∠CQB＝∠QDP＋∠BPD，∴∠BCD＝∠CBP＋∠QDP＋∠BPD.∴∠BPD＝120°－90°＝30°.。
等高模型
例题讲解
练一练6：如图，三角形ABC中，D、E分别是BE、BC的中点 ，F是AC的三等分点 ，已知三角形 DEG的面积比三角形AGF的面积小1，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例7：如图，正方形ABCD中，E是AB的四等分点 ，F是BD的五等分点 ，已知正方形ABCD的面积 是10，求三角形CEF的面积.
巩固提升
作业3：如图，等腰三角形ABC被分成面积相等的5个小三角形，已知AB=AC=15厘米，求AD、AG 的长.
巩固提升
作业4：如图，正三角形ABC被分成面积相等的15个小三角形，已知正三角形ABC的边长是112， 求AD+BE+CF的长.
巩固提升
作业5：如图，正方形ABCD被分成面积相等的8个三角形，已知BI=5厘米，求正方形ABCD被的面 积.
例题讲解
练一练3：如图，三角形ABC中，D、E、F是各边的三等分点，已知三角形ABC的面积是1平方厘 米，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例4：如图，三角形ABC中，BC=3BD，AC=3CE，AF=FG，DF=FH=HE，已知三角形ABC的面积 是10，求三角形GHE的面积．
例题讲解
练一练4：如图，三角形ABC中，D、E、F、G是BC边的五等分点，H、I、J是AB边的四等分点， 已知三角形EFI的面积是1，求三角形ABC的面积．
SABD：SACD BD：CD SABD：SABC BD：BC SACD：SABC CD：BC
例题讲解
例题讲解
例1：如图，三角形ABC中，AE：CE=2:3，BD：CD=3:4，已知三角形ADE的面积是12平方厘米， 求三角形ABC的面积.
分析：图中涉及到多组等高模型，根据已知C被分成7块面积相等的小三角形，其中AC=90厘米，BC=84厘米，求线段 EF和GH的长度.
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【考点】三角形的等高模型 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：例题精讲4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型CD BAABFCABDGC⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：（1）（2）（3）（4）（5）⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【答案】⑴答案不唯一：CD BAABF CABDGC⑵ 答案不唯一：（1）（2）（3）（4）（5）⑶答案不唯一：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高 三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高 三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【答案】43、3【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．ED CA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)． 【答案】6【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【答案】25【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．ACDE F【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202⨯⨯=．【答案】120【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【答案】28【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCBBCG E【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48． 【答案】48【例 5】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEE【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯=．（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图．可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．【答案】13.5【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【答案】15【例 6】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC的高，ED 是三角形EBC 的高，于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =⨯÷=⨯三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =⨯÷=⨯所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【答案】4【例 7】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 △AEC 、△AFC 、△ABF ． 【答案】△AEC 、△AFC 、△ABF ．【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ED C BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 3个，△AEC 、△BED 、△DEC ． 【解析】 【答案】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODC B A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 △ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ． 【答案】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO【例 8】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECD DCEB A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S =V V又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===V V V ．【答案】4【例 9】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．AA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008年，四中考题【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【答案】30【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ABD V ，ABC V 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==V V , 所以ABDS V =111809022ABC S ⨯=⨯=V (平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =⨯=⨯=V V (平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE =⨯=V V 3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米． 【答案】22.5【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积． ABC DZ Y【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．【答案】24【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=， 三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=． 【答案】3【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ∵F 是AC 的中点 ∴2ABC ABF S S =V V 同理2ABF BEF S S =V V∴486246BEF ABC S S =÷=⨯÷÷=V V (平方厘米)．【答案】6【例 10】 如图所示，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。
小学奥数教程：三角形等高模型与鸟头模型 _全国通用(含答案)
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1bDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBADE CBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC B A AB C DE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D CBAA BCDE甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．ED CBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【答案】24【例 5】 如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题 【解析】 如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABCSS=AEAC，所以ABE S =AEAC×ABC S =15ABC S同理有AEF S=AFABABE S ,即=AEF S=15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120． 【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．EDC【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得， ():():()12:(33)2:9CEF ABCS S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES =．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=．【答案】18【例 9】 如图，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，有EAD 、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EADABDABD EASS SAB==．同理36EAHEAD EAD ABD AHSS S S AD===． 类似的，还可得6FCG BCD S S =，有()66EAH FCG ABDBCDABCD S SSSS +=+==30平方厘米．连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFBABCSS=，6DHGACDSS=，有()66EFBDHGABCACDABCD SSSSS +=+==30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为EAH,FCG ,EFB,DHG ,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD ，有EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．类似的，还可得FCGS =6BCDS，有EAHS+FCG S=6（ABDS +BCDS)=6ABCD S =30平方厘米．连接AC ，还可得EFBS=6ABC S，DHG S=6ACDS，有EFBS+DHG S=6（ABC S +ACDS）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CDEF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABC DEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS=，32ABFE S =，24ABF S =，所以12ABG S =平方厘米．【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】136【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】263【例 17】 仅用下图这把刻度尺，最少测量 次，就能得出三角形ABC 和三角形BCD 的面积比。
等高三角形练习题及答案
等高三角形练习题及答案等高三角形是初中数学中常见的几何图形，它有着独特的性质和特点。
本文将介绍一些关于等高三角形的练习题，并提供详细的答案解析，以帮助读者加深对等高三角形的理解和掌握。
练习题1. 在等高三角形ABC中，若AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，求角A的大小。
2. 在等高三角形DEF中，已知∠F = 40°，DF = 5 cm。
求EF的长度。
3. 在等高三角形PQR中，已知PR = 12 cm，QR = 9 cm。
求∠Q的大小。
4. 在等高三角形XYZ中，如果YZ = 5 cm，∠X = 60°，则XY的长度是多少？5. 在等高三角形LMN中，已知∠M = 90°，MN = 12 cm。
求LN的长度。
答案与解析1. 根据等高三角形的性质，等腰三角形的底角相等，即∠A = ∠C。
由此可知，角A的大小为60°。
2. 在等高三角形DEF中，由于∠D = ∠F，根据等高三角形的性质可知，∠E = 180° - ∠D -∠F = 180° - 40° - 40° = 100°。
由正弦定理可得：EF/DF = sin∠E/sin∠F。
代入已知条件可得：EF/5 = sin100°/sin40°。
解得EF ≈ 7.13 cm。
3. 在等高三角形PQR中，由于∠P = ∠R，根据等高三角形的性质可知，∠Q = 180° - ∠P -∠R = 180° - ∠P - ∠P = 180° - 2∠P。
由正弦定理可得：PR/sin∠Q = QR/sin∠P。
代入已知条件可得：12/sin∠Q = 9/sin∠P。
由此可得sin∠Q/sin∠P = 12/9 = 4/3。
根据正弦函数的性质，当正弦值相等时，角度相等。
因此，sin∠Q = 4/3，sin∠P = 3/4。
小学奥数 三角形等高模型与鸟头模型(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1bDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADE CBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA ABCDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =又∵5AB AD = ∴515ADEABEABCSSS=÷=÷，∴1515ABCADESS==．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABDBDES S=又∵4BD DC ==，∴2ABCABDSS=，∴6ABCBDESS=，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【答案】24【例 5】 如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题 【解析】 如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABCSS=AEAC，所以ABE S =AEAC×ABC S =15ABC S同理有AEF S=AFABABE S ,即=AEF S=15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120． 【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC E B A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ．∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S1DBC=．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【答案】18【例 9】 如图，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，有EAD 、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EADABDABD EASS SAB==．同理36EAHEAD EAD ABD AHSS S S AD===． 类似的，还可得6FCG BCD S S =，有()66EAH FCG ABDBCDABCD S SSSS +=+==30平方厘米．连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFBABCS S=，6DHGACDSS=，有()66EFBDHGABCACDABCD SSSSS +=+==30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为EAH,FCG ,EFB,DHG ,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD ，有EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．类似的，还可得FCGS =6BCDS，有EAHS+FCG S=6（ABDS +BCDS)=6ABCD S =30平方厘米．连接AC ，还可得EFBS=6ABC S，DHG S=6ACDS，有EFBS+DHG S=6（ABC S +ACDS）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米．【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CDEF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】136【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】263【例17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。
三角形等高模型训练(二)例题+巩固带答案
三角形等高模型例题精讲【例 1】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则AB=1/4，CD=1/3，所以MN=1/3-1/4=1/12，阴影部分面积为(12+24+36+48)×1/2×1/12=5(平方厘米)．【巩固1】如图，三角形ABC 中，DC=2BD ，CE=3AE ，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【解析】 ∵CE=3AE ，∴AC=4AE ，S △ADC =4S △ADE ；又∵DC=2BD ，∴BC=1.5DC ，S △ABC =1.5S △ADC =6S △ADE =120(平方厘米)．【例题2】如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【解析】根据题意可知，S △ADC =S △ADE +S △DCE =89+28=117，所以BD:AD=S △SDC :S △ADC =26:117=2:9， 那么S △DBE :S △ADE =BD:AD=2:9， 故S △DBE =89×2÷9=178/9．【巩固2】如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．DCBA【解析】如右图，作AB 的平行线DE ．三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等，三角形DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC 的高)是：2×10÷5=4(分米)，梯形面积是：15×4÷2=30(平方分米)．【例题3】图中三角形AOB 的面积为15平方厘米，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．OCBDA【解析】在△ABD 中，因为S △AOB=15平方厘米，且OB=3OD ， 所以有S △AOD =S △AOB ÷3=5平方厘米．因为△ABD 和△ACD 等底等高，所以有S △ABD =S △ACD ．从而S △OCD =15平方厘米，在△BCD 中，S △BOC =3S △OCD =45平方厘米， 所以梯形面积：15+5+15+45=80平方厘米．【巩固3】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．DBAA′ABCD【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A 移到CB 的延长线上的A′处，△A′BD 与 △ABD 面积相等，从而△A′DC 面积与原四边形ABCD 面积也相等．这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A′点． 具体做法：⑴ 连接BD ；⑵ 过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A′． ⑶ 连接A′D，则△A′CD 与四边形ABCD 等积．【例题4】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的59%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%-15%=35%．已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以长方形面积等于21÷35%=60（平方厘米）．【巩固4】O 是长方形ABCD 内一点，已知三角形OBC 的面积是5平方厘米，三角形OAB 的面积是2平方厘米，求三角形0BD 的面积是多少？【解析】由于ABCD 是长方形，所以S △AOD +S △BOC =长方形面积的一半，而S △ABD =长方形面积的一半，所以S △AOD +S △BOC =S △ABD ，则S △BOC =S △OAB +S △OBD ，所以S △OBD - S △OAB =5-2=3（平方厘米）．【例题5】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若三角形PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CHCH【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于S △BCP +S △ADP =S △ABP +S △BDP +S △ADP =平行四边形ABCD 面积的一半 ，所以S △BCP - S △ABP =S △BDP ．而S △BCP =平行四边形BCFE 面积的一半 S △ABP =平行四边形ABHG 的一半，所以S BCFE -S ABHG =2（S △BCP -S △ABP ）=2S △BDP =16（平方分米）【巩固5（1）】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形三角形BPC 的面积是15，求阴影三角形BPD 的面积．BAAB【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得PO//DC ，所以△DPO 与△CPO 面积相等(同底等高)，所以有：S △BPO +S △CPO =S △BPO +S △PDO =S △BPD ，因为S △BOC =正方形ABCD 面积÷4=5, 所以S △BPD =15-5=10．【巩固5（2）】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BOC 的面积是5，求阴影三角形BPD 的面积．BAAB D【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，可得PO//DC ，所以△DPO 与△CPO 面积相等(同底等高)，所以有:S △BPO +S △CPO =S △BPO +S △PDO =S △BPD因为S △BPC =正方形ABCD 面积÷4=3，所以S △BPD =5-3=2．【例题6】在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰三角形AOB 的面积为16，等腰三角形DOC 的面积占长方形面积的18%，那么阴影三角形AOC 的面积是多少？D【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去△DOC 的面积(长方形面积的18%)，再减去△AOD 的面积，即可求出△AOC 的面积．根据模型可知S △COD +S △AOB =长方形ABCD 面积的一半， 所以S ABCD =16÷(1/2-18%)=50，又△AOD 与△BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半， 所以△AOD 的面积等于长方形面积的1/4，所以S △AOC =S △ACD -S △AOD -S △COD =1/2S ABCD =25%S ABCD -18%ABCD =25-12.5-9=3.5【巩固6】如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知三角形ADG 的面积为15平方厘米，而三角形BCG 的面积恰好是梯形ABCD 面积的7/20，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米。
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【考点】三角形的等高模型 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：例题精讲4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型CD BAABFCABDGC⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：（1）（2）（3）（4）（5）⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【答案】⑴答案不唯一：CD BAABF CABDGC⑵ 答案不唯一：（1）（2）（3）（4）（5）⑶答案不唯一：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高 三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高 三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【答案】43、3【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．ED CA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)． 【答案】6【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【答案】25【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．ACDE F【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202⨯⨯=．【答案】120【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【答案】28【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCBBCG E【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48． 【答案】48【例 5】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEE【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯=．（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图．可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．【答案】13.5【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【答案】15【例 6】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC的高，ED 是三角形EBC 的高，于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =⨯÷=⨯三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =⨯÷=⨯所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【答案】4【例 7】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 △AEC 、△AFC 、△ABF ． 【答案】△AEC 、△AFC 、△ABF ．【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ED C BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 3个，△AEC 、△BED 、△DEC ． 【解析】 【答案】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODC B A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 △ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ． 【答案】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO【例 8】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECD DCEB A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S =V V又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===V V V ．【答案】4【例 9】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．AA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008年，四中考题【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【答案】30【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ABD V ，ABC V 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==V V , 所以ABDS V =111809022ABC S ⨯=⨯=V (平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =⨯=⨯=V V (平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE =⨯=V V 3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米． 【答案】22.5【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积． ABC DZ Y【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．【答案】24【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=， 三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=． 【答案】3【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ∵F 是AC 的中点 ∴2ABC ABF S S =V V 同理2ABF BEF S S =V V∴486246BEF ABC S S =÷=⨯÷÷=V V (平方厘米)．【答案】6【例 10】 如图所示，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。
小学数学 几何模型之 等高模型 PPT+详细答案
A
E
F
B
C
例题10 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中 点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面 积是多少个平方单位．
练习10 如图，长方形ABCD的面积是1，M是QD边的中点，N在AB边上 ，且2AN=BN.那么，阴影部分的面积是多少？
A
M
D
A
M
D
N
N
B
C
B
C
（3） 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
例题1 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三 角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考
：
练习1
如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
例题1 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三 角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．
⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案 不唯一：
例题1 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三 角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．
方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是
多少？
A
B
F
E
D
C
例题3
如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是 长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部 分的面积．
练习3
图中的EFG分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方 形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少．
《等高(等底)模型》课后作业
《等高（等底）模型》课后作业
1、如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？
2、如图，直角三角形ABC 中AB=2,BC=2，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？
3、如下图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为6平方厘米，
ABC ∆的面积是多少平方厘米？
F
E C
B
A D
A
4、图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的2倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？
5. 正图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，E 、F 都是所在边的中点，三角形AEF 的面积是多少？
6. 右图是由大、小两个正方形组成的，大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．
F E
D
C
B
A G
4A
B C
D
E
F
7、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
（1）求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ （2）求三角形ABC 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？
8、如图，在长方形ABCD 中，AB=8，AD=10，AE=4，BF=5，三角形DEF 面积是多少？
9、如图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．
G
A
B
C
D E F (H )。
三角形等高模型训练(二)例题+巩固带答案
三角形等高模型例题精讲【例 1】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则AB=1/4，CD=1/3，所以MN=1/3-1/4=1/12，阴影部分面积为(12+24+36+48)×1/2×1/12=5(平方厘米)．【巩固1】如图，三角形ABC 中，DC=2BD ，CE=3AE ，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【解析】 ∵CE=3AE ，∴AC=4AE ，S △ADC =4S △ADE ；又∵DC=2BD ，∴BC=1.5DC ，S △ABC =1.5S △ADC =6S △ADE =120(平方厘米)．【例题2】如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【解析】根据题意可知，S △ADC =S △ADE +S △DCE =89+28=117，所以BD:AD=S △SDC :S △ADC =26:117=2:9， 那么S △DBE :S △ADE =BD:AD=2:9， 故S △DBE =89×2÷9=178/9．【巩固2】如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．DCBA【解析】如右图，作AB 的平行线DE ．三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等，三角形DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC 的高)是：2×10÷5=4(分米)，梯形面积是：15×4÷2=30(平方分米)．【例题3】图中三角形AOB 的面积为15平方厘米，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．OCBDA【解析】在△ABD 中，因为S △AOB=15平方厘米，且OB=3OD ， 所以有S △AOD =S △AOB ÷3=5平方厘米．因为△ABD 和△ACD 等底等高，所以有S △ABD =S △ACD ．从而S △OCD =15平方厘米，在△BCD 中，S △BOC =3S △OCD =45平方厘米， 所以梯形面积：15+5+15+45=80平方厘米．【巩固3】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．DBAA′ABCD【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A 移到CB 的延长线上的A′处，△A′BD 与 △ABD 面积相等，从而△A′DC 面积与原四边形ABCD 面积也相等．这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A′点． 具体做法：⑴ 连接BD ；⑵ 过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A′． ⑶ 连接A′D，则△A′CD 与四边形ABCD 等积．【例题4】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的59%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%-15%=35%．已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以长方形面积等于21÷35%=60（平方厘米）．【巩固4】O 是长方形ABCD 内一点，已知三角形OBC 的面积是5平方厘米，三角形OAB 的面积是2平方厘米，求三角形0BD 的面积是多少？【解析】由于ABCD 是长方形，所以S △AOD +S △BOC =长方形面积的一半，而S △ABD =长方形面积的一半，所以S △AOD +S △BOC =S △ABD ，则S △BOC =S △OAB +S △OBD ，所以S △OBD - S △OAB =5-2=3（平方厘米）．【例题5】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若三角形PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CHCH【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于S △BCP +S △ADP =S △ABP +S △BDP +S △ADP =平行四边形ABCD 面积的一半 ，所以S △BCP - S △ABP =S △BDP ．而S △BCP =平行四边形BCFE 面积的一半 S △ABP =平行四边形ABHG 的一半，所以S BCFE -S ABHG =2（S △BCP -S △ABP ）=2S △BDP =16（平方分米）【巩固5（1）】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形三角形BPC 的面积是15，求阴影三角形BPD 的面积．BAAB【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得PO//DC ，所以△DPO 与△CPO 面积相等(同底等高)，所以有：S △BPO +S △CPO =S △BPO +S △PDO =S △BPD ，因为S △BOC =正方形ABCD 面积÷4=5, 所以S △BPD =15-5=10．【巩固5（2）】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BOC 的面积是5，求阴影三角形BPD 的面积．BAAB D【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，可得PO//DC ，所以△DPO 与△CPO 面积相等(同底等高)，所以有:S △BPO +S △CPO =S △BPO +S △PDO =S △BPD因为S △BPC =正方形ABCD 面积÷4=3，所以S △BPD =5-3=2．【例题6】在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰三角形AOB 的面积为16，等腰三角形DOC 的面积占长方形面积的18%，那么阴影三角形AOC 的面积是多少？D【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去△DOC 的面积(长方形面积的18%)，再减去△AOD 的面积，即可求出△AOC 的面积．根据模型可知S △COD +S △AOB =长方形ABCD 面积的一半， 所以S ABCD =16÷(1/2-18%)=50，又△AOD 与△BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半， 所以△AOD 的面积等于长方形面积的1/4，所以S △AOC =S △ACD -S △AOD -S △COD =1/2S ABCD =25%S ABCD -18%ABCD =25-12.5-9=3.5【巩固6】如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知三角形ADG 的面积为15平方厘米，而三角形BCG 的面积恰好是梯形ABCD 面积的7/20，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米。
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADECBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC BA AB CDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D C BAAB CDE 甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC=⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABCS S CE CF CB CA=⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABCS S AD AF AB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEFS=---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米【答案】24【例 5】如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有ABEABCSSVV=AEAC，所以ABES V=AEAC×ABCS V=15ABCS V同理有AEFS V=AFAB ABES V,即=AEFS V=15×56ABCS V=16ABCS V.类似的还可以得到CDES V=14×45ABCS V=15ABCS V，BDFS V=16×13ABCS V=18ABCS V．所以有DEFS V=ABCS V-(AEFS V+CDES V+BDFS V)=(1-16-15-18)ABCS V=61120ABCS V．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS=VV，1ABCS=V，∴S1DBC=V．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABCV和CFEV中，ACB∠与FCE∠互补，∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯VV．又1ABCS=V，所以8FCES=V．同理可得6ADFS=V，3BDES=V．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=V V V V V．【答案】18【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有V EAD、V ADB同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABDEAS S SAB==V V V．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===V V V V．类似的，还可得V6FCG BCDS S=V V，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=V V，6DHG ACDS S=V V，有()66EFB DHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为V EAH,V FCG,V EFB,V DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有V EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAH S V =6ABD S V ．类似的，还可得FCG S V =6BCD S V ，有EAH S V +FCG S V =6（ABD S V +BCD S V )=6ABCD S=30平方厘米．连接AC ，还可得EFB S V =6ABC S V ，DHG S V =6ACD S V ，有EFB S V +DHG S V =6（ABC S V +ACD S V ）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==． 【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米． 【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF∆与CEH∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FA a=，3FB a=，所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=，所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD 的面积比。
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADECBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC BA AB CDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D C BAAB CDE 甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC=⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABCS S CE CF CB CA=⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABCS S AD AF AB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEFS=---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米【答案】24【例 5】如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有ABEABCSSVV=AEAC，所以ABES V=AEAC×ABCS V=15ABCS V同理有AEFS V=AFAB ABES V,即=AEFS V=15×56ABCS V=16ABCS V.类似的还可以得到CDES V=14×45ABCS V=15ABCS V，BDFS V=16×13ABCS V=18ABCS V．所以有DEFS V=ABCS V-(AEFS V+CDES V+BDFS V)=(1-16-15-18)ABCS V=61120ABCS V．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS=VV，1ABCS=V，∴S1DBC=V．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABCV和CFEV中，ACB∠与FCE∠互补，∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯VV．又1ABCS=V，所以8FCES=V．同理可得6ADFS=V，3BDES=V．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=V V V V V．【答案】18【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有V EAD、V ADB同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABDEAS S SAB==V V V．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===V V V V．类似的，还可得V6FCG BCDS S=V V，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=V V，6DHG ACDS S=V V，有()66EFB DHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为V EAH,V FCG,V EFB,V DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有V EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAH S V =6ABD S V ．类似的，还可得FCG S V =6BCD S V ，有EAH S V +FCG S V =6（ABD S V +BCD S V )=6ABCD S=30平方厘米．连接AC ，还可得EFB S V =6ABC S V ，DHG S V =6ACD S V ，有EFB S V +DHG S V =6（ABC S V +ACD S V ）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==． 【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米． 【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF∆与CEH∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FA a=，3FB a=，所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=，所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD 的面积比。
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADECBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC BA AB CDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D C BAAB CDE 甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC=⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABCS S CE CF CB CA=⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABCS S AD AF AB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEFS=---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米【答案】24【例 5】如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有ABEABCSSVV=AEAC，所以ABES V=AEAC×ABCS V=15ABCS V同理有AEFS V=AFAB ABES V,即=AEFS V=15×56ABCS V=16ABCS V.类似的还可以得到CDES V=14×45ABCS V=15ABCS V，BDFS V=16×13ABCS V=18ABCS V．所以有DEFS V=ABCS V-(AEFS V+CDES V+BDFS V)=(1-16-15-18)ABCS V=61120ABCS V．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS=VV，1ABCS=V，∴S1DBC=V．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABCV和CFEV中，ACB∠与FCE∠互补，∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯VV．又1ABCS=V，所以8FCES=V．同理可得6ADFS=V，3BDES=V．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=V V V V V．【答案】18【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有V EAD、V ADB同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABDEAS S SAB==V V V．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===V V V V．类似的，还可得V6FCG BCDS S=V V，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=V V，6DHG ACDS S=V V，有()66EFB DHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为V EAH,V FCG,V EFB,V DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有V EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAH S V =6ABD S V ．类似的，还可得FCG S V =6BCD S V ，有EAH S V +FCG S V =6（ABD S V +BCD S V )=6ABCD S=30平方厘米．连接AC ，还可得EFB S V =6ABC S V ，DHG S V =6ACD S V ，有EFB S V +DHG S V =6（ABC S V +ACD S V ）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==． 【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米． 【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF∆与CEH∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FA a=，3FB a=，所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=，所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD 的面积比。
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADECBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC BA AB CDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D C BAAB CDE 甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC=⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABCS S CE CF CB CA=⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABCS S AD AF AB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEFS=---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米【答案】24【例 5】如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有ABEABCSSVV=AEAC，所以ABES V=AEAC×ABCS V=15ABCS V同理有AEFS V=AFAB ABES V,即=AEFS V=15×56ABCS V=16ABCS V.类似的还可以得到CDES V=14×45ABCS V=15ABCS V，BDFS V=16×13ABCS V=18ABCS V．所以有DEFS V=ABCS V-(AEFS V+CDES V+BDFS V)=(1-16-15-18)ABCS V=61120ABCS V．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS=VV，1ABCS=V，∴S1DBC=V．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABCV和CFEV中，ACB∠与FCE∠互补，∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯VV．又1ABCS=V，所以8FCES=V．同理可得6ADFS=V，3BDES=V．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=V V V V V．【答案】18【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有V EAD、V ADB同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABDEAS S SAB==V V V．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===V V V V．类似的，还可得V6FCG BCDS S=V V，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=V V，6DHG ACDS S=V V，有()66EFB DHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为V EAH,V FCG,V EFB,V DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有V EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAH S V =6ABD S V ．类似的，还可得FCG S V =6BCD S V ，有EAH S V +FCG S V =6（ABD S V +BCD S V )=6ABCD S=30平方厘米．连接AC ，还可得EFB S V =6ABC S V ，DHG S V =6ACD S V ，有EFB S V +DHG S V =6（ABC S V +ACD S V ）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==． 【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米． 【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF∆与CEH∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FA a=，3FB a=，所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=，所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD 的面积比。
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADECBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC BA AB CDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D C BAAB CDE 甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC=⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABCS S CE CF CB CA=⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABCS S AD AF AB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEFS=---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米【答案】24【例 5】如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有ABEABCSSVV=AEAC，所以ABES V=AEAC×ABCS V=15ABCS V同理有AEFS V=AFAB ABES V,即=AEFS V=15×56ABCS V=16ABCS V.类似的还可以得到CDES V=14×45ABCS V=15ABCS V，BDFS V=16×13ABCS V=18ABCS V．所以有DEFS V=ABCS V-(AEFS V+CDES V+BDFS V)=(1-16-15-18)ABCS V=61120ABCS V．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS=VV，1ABCS=V，∴S1DBC=V．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABCV和CFEV中，ACB∠与FCE∠互补，∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯VV．又1ABCS=V，所以8FCES=V．同理可得6ADFS=V，3BDES=V．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=V V V V V．【答案】18【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有V EAD、V ADB同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABDEAS S SAB==V V V．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===V V V V．类似的，还可得V6FCG BCDS S=V V，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=V V，6DHG ACDS S=V V，有()66EFB DHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为V EAH,V FCG,V EFB,V DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有V EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAH S V =6ABD S V ．类似的，还可得FCG S V =6BCD S V ，有EAH S V +FCG S V =6（ABD S V +BCD S V )=6ABCD S=30平方厘米．连接AC ，还可得EFB S V =6ABC S V ，DHG S V =6ACD S V ，有EFB S V +DHG S V =6（ABC S V +ACD S V ）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==． 【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米． 【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF∆与CEH∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FA a=，3FB a=，所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=，所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD 的面积比。
等高模型答案解析
4 如图是由大、小两个正方形组成的，它们的边长分别是 厘米和 厘米，求三角形
积是
．
的面
答案
解析 如图连结 ，可以看出，
，
考点
几何 四边形
一半模型 等积变形
5 如图，正方形 厘米，则正方形
和正方形 的面积为
中， 在同一条直线上，且阴影三角形面积为 平方 ？
答案 16
解析 连结 ，那么 平行 ，所以，阴影面积 三角形
考点
几何 三角形 等高模型 等高模型综合
2 已知三角形 的面积是
的面积是 平方厘米， 的长为 厘米， 的长为 厘米，则三角形 平方厘米．
答案
解析 因为三角形 和三角形 的高相等，所以面积之比等于底边边长之比， 是 的 倍，则三角形 的面积是三角形 面积的 倍，因此三角形 的面积为 （平方厘米）
考点
几何 三角形 等高模型 等高模型综合
3 已知三角形 的面积是
的面积是 平方厘米， 平方厘米．
的长为 厘米，
的长为 厘米，则三角形
答案
解析 因为三角形 和三角形 的高相等，所以面积之比等于底边边长之比， 是 的 倍，则三角形 的面积是三角形 面积的 倍，因此三角形 的面积为
平方厘米．
考点
几何 三角形 等高模型 等高模型综合
大练兵-等高模型
1 如图， 长 厘米， 长 厘米， 、 和 在同一条直线上．
求三角形 的面积是三角形 面积的
倍．
答案
解析 因为三角形 、三角形 和三角形 在分别以 、 和 为底时，它们的高
都是从 点向 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．
于是：三角形 的面积
高
高，
三角形 的面积 高
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三角形的等高模型例题精讲在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例题1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【解析】⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFC DB A G DB A⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例题2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？CDBA【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等． 于是：三角形ABD 的面积=12高÷2=6×高 三角形ABC 的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC 的面积=4×高÷2=2×高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4/3倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【例题3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4×3÷2=6(平方厘米)．【巩固1】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于 平行四边形面积的一半，为50÷2=25平方厘米．【巩固2】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．F E CBA【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为20×12÷120．【例题4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ．∵AE=EB ， ∴S △AEH =S △BEH同理，S △BFH =S △CFH ，S △CGH =S △DGH ，∴S 阴影=S 长ABCD ÷2=56÷2=28(平方厘米)．【巩固3】图中的EFG 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E D GCFBBF CG E【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状 各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们 的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个 三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【例题5】长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】寻找可利用的条件， 连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影【巩固4】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,△求阴影部分面积．【解析】连接PA 、PC ．由于△PAD 与△PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1/4，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1/6，所以阴影部分的面积为6×6×(1/4+1/6)=15平方厘米．【例题6】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，AD=12厘米，DE=3厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？EDCBA【解析】因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC 的高，ED 是三角形EBC 的高， 于是：三角形ABC 的面积=BC×12÷2=BC×6 三角形EBC 的面积=BC×3÷2=BC×1.5所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【巩固5】如图，在三角形ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与三角形ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ED C BA【解析】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【例题7】如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与三角形BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【解析】△AEC 、△AFC 、△ABF ．【巩固6】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODBA【解析】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ．【例题8】如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB ，BD=2BC ，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DC E B A【解析】连接CE ，∵AE=3AB ，∴BE=2AB ，S △BCE=2S △ACB 又∵BD=2BC ，∴S △BDE =2△BCE =4S △ABC =4．【巩固7】如右图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，三角形ABC 的面积是 平方厘米．AA【解析】连接CD ．根据题意可知，△DEF 的面积为△DAC 面积的1/3， △DAC 的面积为△ABC 面积的1/2，所以△DEF 的面积为△ABC面积的1/2×1/3=1/6．而△DEF 的面积为5平方厘米，所以△ABC 的面积为5÷1/6=30(平方厘米)．【例题9】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【解析】，△ABD,△ABC 等高，所以面积的比为底的比，有S △ABD :S △ABC =BD:BC=1:2, 所以S △ABD =S △ABC ÷2=180÷2=90(平方厘米)．同理有S △ABE =90 S △ABE =90×1/3=30(平方厘米)，S △AEF =30×3/4=22.5 (平方厘米)． 即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．【巩固8】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【解析】∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴ZY=1/2×1/2×DB，S △ZCY =S △DCB ÷4， 又∵ABCD 是长方形，∴S △ZCY =S △DCB ÷4=1/4×1/2×S 长BCD=24 (平方厘米)．【例题10】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【解析】三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24÷2=12， 三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半12÷2=6．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积6÷2=3．【巩固9】如图，在三角形ABC 中，BC=8厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【解析】∵F 是AC 的中点 ∴S △ABC=2S △ABF 同理S △ABF =2S △BEF∴S △BEF =S △ABC ÷4=8×6÷2÷4=6(平方厘米)．【例题11】如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．FE GD C B AFEGD C B A【解析】如右图分割后可得，S △EFG =S 长方形DEFG ÷2=S 长方形ABCD ÷4=36÷4=9（平方单位）．【巩固10】如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是QD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN=BN.那么，阴影部分的面积是多少？ANBDCCDBNA【解析】连接BM，因为M是中点所以△ABM的面积为1/4又因为2AN=BN，所以△BDC的面积为1/4×1/3=1/12，又因为△BDC面积为1/2，所以阴影部分的面积为：1-1/12-1/2=5/12.。