角形等高模型与鸟头模型：知识例题精讲

板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生
变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1
3
，则三角形面积与原来的一
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
b
a
S 2S 1 D
C B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶
6个面积相等的三角形．
【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．
⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？
⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？
【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，
例题精讲
三角形等高模型与鸟头模型
C
D B A
那么图中阴影部分的面积是平方厘米．
【例 4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．
E
B
A
【例 5】长方形ABCD的面积为362
cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
E
【例 6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
E
E
【例 7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12
AD=厘米，3
DE=厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC 面积的几倍？
E
D C
B
A
【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与V BEC 等积的三角形一
共有哪几个三角形？
F D
E
C
B
A
【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE
的面积是多少？
A B E C D
C E B A
【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC
∆的面积是 平方厘米．
A
【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36
个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．
F
E G
D
C B A
【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方
形组合而成．求阴影部分的面积．
【例 13】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，
三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？
E
D
C
B
A
【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、
三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．
【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形
BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．
D
C
B
A
【例 16】
图中V AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积． O C
B D
A
【解析】 在ABD V 中，因为215cm AOB S =V ，且3OB OD =，所以有235cm AOD AOB S S =÷=V V ．
因为ABD V 和ACD V 等底等高，所以有ABD ACD S S =V V ．
从而215cm OCD S =V ，在BCD V 中，2345cm BOC OCD S S ==V V ，所以梯形面积：2155154580cm +++=（）
．
【例 17】
如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．
D B
A
【例 18】
（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形
面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？
红
绿
黄红
【例 19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面
积是多少？
【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方
分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？
C
H
【例 21】
如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．
B
A
【例 22】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积
的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？
D
C
【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F
分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的
面积恰好是梯形ABCD 面积的7
20
，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．
A B
C
D
E
F
G
【例 24】
如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
G
F
E
B A
【例 25】
如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．
H
G
F E
D
C
B
A
【例 26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果V ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的
面积．
A
E
B
F
C
D
【例 27】
图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．
【例 28】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10
厘米，求阴影部分的面积．
K E
C B
A
【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH
等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．
H
G F E
D C
B A
【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的
点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．
B
C
【例 31】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么
三角形ABC 的面积是多少？
F E
D
C
A
【例 32】
如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．
B
【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E
是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．
E b
a
O
D C
B
A
【例 34】 如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ∆的面积比AOD ∆的面积小
10平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．
O
A B C
D
E
【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中
阴影部分的面积是多少？
【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边
上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？
【例 37】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是
多少平方厘米？
D C
【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大
伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．
F
E D
C
B
A
【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分
成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．
K
J
I
H G
F
E D
C B A
【例 40】 (2007年人大附中分班考试题)已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边
的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC
)
B
【例 41】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分
成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．
G
F
E D
C B
A
【例 42】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积
是 ．
A
B
【例 43】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，
15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．
B
A
【例 44】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的
面积是多少平方厘米？
【例 45】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为
10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ．
【例 46】
如图，三角形AEF 的面积是17，DE 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．
A B C
D
E
F
【例 47】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD 中，67AB =，
30BC =．E 、F 分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是 ．
A
B
C D E F
【例 48】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意
一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．
【例 49】 如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四
边形PQRS 的面积之比．
【例 50】 如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知
四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积= ．
H G F E
D C B
A
【例 51】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分
别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =． 这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．
A
B C N M Q R P
L
X
Y Z
【例 52】 如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的
23
，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积． C
D N
F
E
M
B
A
【例 53】 如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ∆∆=，224cm BEF S ∆=，求
AOF ∆的面积．
O
F D E
C B A
【例 54】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．
如果ASM ∆、MTB ∆与DSN ∆的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．
M
N T
S
D
C B
A
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C B
A
E
D
C B A
图⑴ 图⑵
【例 55】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16
ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B A
【例 56】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B A
【例 57】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)
的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
【例 58】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．
F
E D
C
B
A
【例 59】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的
面积是多少？
A B E C D
D C
E B
A
【例 60】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13
AE AC =，13
CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．
A
【例 61】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；
延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．
F
E
D C B
A
【例 62】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD
的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H G A
B C D
E
F
【例 63】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四
边形ABCD 的面积． H
G F
E D
C B A
【例 64】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若
四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．
A B
C D
E F
G H
【例 65】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？
A
B
C D
E F
【例 66】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．
S G
F
E D C
B A
【例 67】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，
三角形ABG 的面积是多少平方厘米？
A B
C D
E
F
G
【例 68】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．。