三角形等高模型练习题
五年级上册第13讲 等高模型
五年级奥数班
重要规律：
【知识点拨】
①等底等高的两个三角形面积相等；
如果：BD= DC
如果：AB平行于 CE
那么：S△ABD = S△ADC
那么：S△ABC = S△ABD= S△ABE
重要规律：
【知识点拨】
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
【课堂精练】
6. 在长方形ABCD中，长方形的面积是72cm2，CD=3CF，BE=CE，求 △CEF的面积。
A
B
E D C
72÷2=36cm2 36÷3=12cm2 12÷2=6cm2
F
S△BDC： S△BFC： S△EFC：
答： △ EFC的面积是6平方厘米。
15
【课堂精练】
7. 梯形ABCD的下底AB是上底CD的2倍，△ABC的面积是12cm2，求梯形的面积。
D
C
96÷2=48cm2 48÷4×3=36cm2
答：阴影部分的面积是96平方厘米。
12
【课堂精练】
4. 如图，三角形ABC的面积是24m2，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。 求三角形DEF的面积。 A
E
F B
D
C
S△ADC： S△ADE： S△DEF：
24÷2=12cm2 12÷2=6cm2 6÷2=3cm2
5
【典型例题】
例2：BD=2CD，AE=CE， 已知三角形ABC的面积是24平方厘米，求阴影部分 的面积。 A
E
2份 1份
B
S△ADC： S△AED：
D
C
24÷（2+1）=8cm2
8÷2=4cm2
小学奥数-三角形等高模型与鸟头模型.题库学生版
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．例题精讲三角形等高模型与鸟头模型（学生版）⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．F E CBA【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BA【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．CDBAE D GCB【例 5】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【例 6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．【例 7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12AD=厘米，3DE=厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC 面积的几倍？ED CBA【例 8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【巩固】如图，在ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？EDC BA【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODBA【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE的面积是多少？【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．A【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．F E GDC BA【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？DD【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【例 13】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．DCBA【例 16】图中AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积． O CB DA【例 17】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．D BA【例 18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【例 19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CH【例 21】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．BA【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．BA【例 22】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？DC【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．A BCDEFG【例 24】如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFEB A【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？A BGC E F D【例 25】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．HGF EDCBA【例 26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．AEBFCD【巩固】如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1ADE S =△，求BEF △的面积．A BCD EF【例 27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【解析】4428⨯÷=．【例 28】如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KEBA【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．A【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．F【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【巩固】(人大附中考题)已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．GAB【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F ED CB A【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．BC【例 31】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F DCA【例 32】如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．B【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【例 34】 如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ∆的面积比AOD ∆的面积小10平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．OAB CDE【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛初赛)如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与DC 平行，AE与BD 相交于O 点．已知三角形BOE 的面积比三角形AOD 的面积大4平方米，并且25EC BC =．求梯形ABCD 的面积．OA B CDE【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？BE【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【例 37】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？DC【例 38】(2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC=,且2AD DE=．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．FEDC BAFEDC BAGFEDC BA【例 39】(2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC=，21AC=，ABC∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK+=．KJIHGFEDCBA【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且OAB∆、ABC∆、BCD∆、CDE∆、DEF∆的面积都等于1，则DCF∆的面积等于．O【例 40】E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若5AD=，7BC=，5AE=，3EB=．求阴影部分的面积．QB CE【例 41】(2007年人大附中分班考试题)已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【例 42】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BA【巩固】(第四届希望杯)如图，点D 、E 、F 在线段CG 上，已知2CD =厘米，8DE =厘米，20EF =厘米，4FG =厘米，AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG 的面积是多少平方厘米？ABCD EFGGFED CBA【例 43】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 ．AB【巩固】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形EFGH 的面积是 ．AB【例 44】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．BA【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【巩固】如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】(2008年清华附中考题)如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．B【例 45】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？【例 46】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ．【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？【巩固】已知正方形的边长为10，3EC =，2BF =，则ABCD S =四边形 ．FE DBA【例 47】如图，三角形AEF 的面积是17，DE 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．A B CDEF【例 48】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD 中，67AB =，30BC =．E 、F 分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是 ．ABC D E F【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．【例 50】 如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比．【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，FG 与FH交于点O ，1S 、2S 、3S 及4S 分别表示四个小四边形的面积．试比较13S S +与24S S +的大小．OS 4S 3S 2S 1H GFEDC BA【例 51】 如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积= ．HG F EDCBA【拓展】如图，对于任意四边形ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH ，求四边形EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几？K JPON M HG ABCDEF【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =．这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．A BCN M QR P L XY Z【例 53】如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积．CDNFEM BA【例 54】 如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ∆∆=，224cm BEF S ∆=，求AOF ∆的面积．O FDECBA【例 55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果ASM ∆、MTB ∆与DSN ∆的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．MNTSDC BA板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 56】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBA【例 57】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【例 58】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【例 59】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FEDCBA【例 60】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDDC EB A【例 61】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【例 62】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【例 63】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【例 64】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A【例 65】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD EF GH【例 66】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？ABC DE F【例 67】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．S GFE D CB A【例 68】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？A BC DEFG【例 69】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ． BDC EA。
等底等高模型小学奥数
等高（等底）模型【知识点分析】1 基础知识：三角形面积=底.K高昇斯哄：三角形面枳的丸小，取决于三角瞪底和高的乘积.若底不变，高越大（小），面积越大a卜）；若高不变，底越丸（小儿面积越大（小）；2. 模型结论：①两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；女！■图S] * —a * b②两个三角形底相等，面积比等于它们的髙之比：特殊:等底等高的两个三角形面积相等；（注意平行线）其他常用蛀论：（1）夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图$*=£*；反之，如果则可知宜线曲平行于CD.（2）等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；（3）三甫形罰积等于与它等底等高的平行四边珈圍积妁一半；（4）两个平行四边形高相等*面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.3、拓展结论：拓展1:图（1）:四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，贝US阴二扌S正证明：连接BH、CH,根据等高等底知：S©=S②，S云S空S⑥三S⑥，所以正图（2）：四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边三等分点，H是是AD上任意一点、,则S阴气S正（证明方法同上）图（3）:四边形ABCD为长方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，则S十丄S长（证明方法同上）2拓展2：图（2）: S赵S小正，证明同上（辅助线如图）图（3）: S阴二大正，证明同上（辅助线如图）图⑷：$阴=gs中正，证明：辅助线如图，根据平行s，、RE=S住阳,所以,S阴冷S中【典型例题】W 1：如右因，E在AD上.AD至直BC・ylD = 12 ^耒，DE = 3圧米.求三角形ABC的和积是三角形EBC面积的几倍？例2:长方形ABCD的面积为36, E> F. G为各边中点，H为AD边上任意一点, 问阴影部分面积是多少？例3:（第6届走美杯5年级决春第8題）央如图，A. B、C都是正方形边的中A, ACOD比AAOB大15平方厘米。
三角形等高模型 例题+巩固+答案
三角形的等高模型例题精讲在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例题1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【解析】⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFC DB A G DB A⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例题2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？CDBA【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等． 于是：三角形ABD 的面积=12高÷2=6×高 三角形ABC 的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC 的面积=4×高÷2=2×高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4/3倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【例题3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4×3÷2=6(平方厘米)．【巩固1】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于 平行四边形面积的一半，为50÷2=25平方厘米．【巩固2】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．F E CBA【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为20×12÷120．【例题4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ．∵AE=EB ， ∴S △AEH =S △BEH同理，S △BFH =S △CFH ，S △CGH =S △DGH ，∴S 阴影=S 长ABCD ÷2=56÷2=28(平方厘米)．【巩固3】图中的EFG 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E D GCFBBF CG E【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状 各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们 的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个 三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【例题5】长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】寻找可利用的条件， 连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影【巩固4】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,△求阴影部分面积．【解析】连接PA 、PC ．由于△PAD 与△PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1/4，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1/6，所以阴影部分的面积为6×6×(1/4+1/6)=15平方厘米．【例题6】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，AD=12厘米，DE=3厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？EDCBA【解析】因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC 的高，ED 是三角形EBC 的高， 于是：三角形ABC 的面积=BC×12÷2=BC×6 三角形EBC 的面积=BC×3÷2=BC×1.5所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【巩固5】如图，在三角形ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与三角形ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ED C BA【解析】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【例题7】如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与三角形BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【解析】△AEC 、△AFC 、△ABF ．【巩固6】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODBA【解析】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ．【例题8】如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB ，BD=2BC ，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DC E B A【解析】连接CE ，∵AE=3AB ，∴BE=2AB ，S △BCE=2S △ACB 又∵BD=2BC ，∴S △BDE =2△BCE =4S △ABC =4．【巩固7】如右图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，三角形ABC 的面积是 平方厘米．AA【解析】连接CD ．根据题意可知，△DEF 的面积为△DAC 面积的1/3， △DAC 的面积为△ABC 面积的1/2，所以△DEF 的面积为△ABC面积的1/2×1/3=1/6．而△DEF 的面积为5平方厘米，所以△ABC 的面积为5÷1/6=30(平方厘米)．【例题9】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【解析】，△ABD,△ABC 等高，所以面积的比为底的比，有S △ABD :S △ABC =BD:BC=1:2, 所以S △ABD =S △ABC ÷2=180÷2=90(平方厘米)．同理有S △ABE =90 S △ABE =90×1/3=30(平方厘米)，S △AEF =30×3/4=22.5 (平方厘米)． 即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．【巩固8】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【解析】∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴ZY=1/2×1/2×DB，S △ZCY =S △DCB ÷4， 又∵ABCD 是长方形，∴S △ZCY =S △DCB ÷4=1/4×1/2×S 长BCD=24 (平方厘米)．【例题10】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【解析】三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24÷2=12， 三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半12÷2=6．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积6÷2=3．【巩固9】如图，在三角形ABC 中，BC=8厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【解析】∵F 是AC 的中点 ∴S △ABC=2S △ABF 同理S △ABF =2S △BEF∴S △BEF =S △ABC ÷4=8×6÷2÷4=6(平方厘米)．【例题11】如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．FE GD C B AFEGD C B A【解析】如右图分割后可得，S △EFG =S 长方形DEFG ÷2=S 长方形ABCD ÷4=36÷4=9（平方单位）．【巩固10】如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是QD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN=BN.那么，阴影部分的面积是多少？ANBDCCDBNA【解析】连接BM，因为M是中点所以△ABM的面积为1/4又因为2AN=BN，所以△BDC的面积为1/4×1/3=1/12，又因为△BDC面积为1/2，所以阴影部分的面积为：1-1/12-1/2=5/12.。
四秋 第6讲 等高模型
等高模型知识站点1、三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2；2、从公式中，我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的。
3、如果三角形的底不变，高越（），三角形面积也就越（）；如果三角形的高不变，底越（），三角形面积也就越（）。
4、这说明当三角形的面积变化时，它的底和高至少有1个要发生变化。
但是当三角形的底和高同时变化时，三角形的面积不一定变化。
这就是说：一个三角形面积变化与否取决于它的底和高的，而不仅仅取决于高或底的变化。
那么，同学们，你们知道一个三角形在面积不改变的情况下，有无数个不同的形状，这句话是否正确吗？（）结论1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积的倍数关系和底之间的倍数关系一样；3、两个三角形底相等，面积的倍数关系和高之间的倍数关系一样；例1 你有多少种方法将任意一个三角形分成：（1）3个面积相等的三角形；（2）4个面积相等的三角形；（3）6个面积相等的三角形。
例2 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
（1）求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？（2）求求三角形ABD的面积是三角形ADD面积的多少倍？例3 如图三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？例4 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD 边上的中点，点H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。
练一练1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是。
课后测试题1★如图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？2★如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，高是6厘米，E、F分别是AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？3★★如图，BC=2BE,AC=4DC,那么三角形ABC的面积是三角形DEC的多少倍？4★★★如图，在直角三角形ABC中，BC=厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB 和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？拓展5★★★★如图，甲的面积比乙的面积大平方厘米。
小学奥数 几何面积(1)等底等高模型 知识点+例题+练习 (分类全面)
教学过程课堂精讲一、知识梳理1、三角形的面积=底边长 高÷2;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。
2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。
3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。
4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；例1、如图，直角三角形ABC中AB=2,BC=2，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？拓展、如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？例2、如下图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为6平方厘米，ABC ∆的面积是多少平方厘米？FE DCBA拓展、如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，三角形ADE 面积为3，三角形BDE 、三角形ABC 面积分别是多少？拓展、如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．F E DCBA拓展、如图,一个长方形被分成4个不同颜色的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色三角形的面积是10平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?例5、图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？E D GCFBA拓展、正图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，E 、F 都是所在边的中点，三角形AEF 的面积是多少？例6、已知正方形ABCD的边长是10厘米，正方形EFGH的面积是多少？拓展、已知大正方形的边长是12厘米，中间最小正方形的面积是多少？拓展、如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？例7、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．拓展、右图是由大、小两个正方形组成的，大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．G4AB CDEF例8、四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积是7平方厘米。
等高模型
例题讲解
练一练6：如图，三角形ABC中，D、E分别是BE、BC的中点 ，F是AC的三等分点 ，已知三角形 DEG的面积比三角形AGF的面积小1，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例7：如图，正方形ABCD中，E是AB的四等分点 ，F是BD的五等分点 ，已知正方形ABCD的面积 是10，求三角形CEF的面积.
巩固提升
作业3：如图，等腰三角形ABC被分成面积相等的5个小三角形，已知AB=AC=15厘米，求AD、AG 的长.
巩固提升
作业4：如图，正三角形ABC被分成面积相等的15个小三角形，已知正三角形ABC的边长是112， 求AD+BE+CF的长.
巩固提升
作业5：如图，正方形ABCD被分成面积相等的8个三角形，已知BI=5厘米，求正方形ABCD被的面 积.
例题讲解
练一练3：如图，三角形ABC中，D、E、F是各边的三等分点，已知三角形ABC的面积是1平方厘 米，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例4：如图，三角形ABC中，BC=3BD，AC=3CE，AF=FG，DF=FH=HE，已知三角形ABC的面积 是10，求三角形GHE的面积．
例题讲解
练一练4：如图，三角形ABC中，D、E、F、G是BC边的五等分点，H、I、J是AB边的四等分点， 已知三角形EFI的面积是1，求三角形ABC的面积．
SABD：SACD BD：CD SABD：SABC BD：BC SACD：SABC CD：BC
例题讲解
例题讲解
例1：如图，三角形ABC中，AE：CE=2:3，BD：CD=3:4，已知三角形ADE的面积是12平方厘米， 求三角形ABC的面积.
分析：图中涉及到多组等高模型，根据已知C被分成7块面积相等的小三角形，其中AC=90厘米，BC=84厘米，求线段 EF和GH的长度.
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【考点】三角形的等高模型 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：例题精讲4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型CD BAABFCABDGC⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：（1）（2）（3）（4）（5）⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【答案】⑴答案不唯一：CD BAABF CABDGC⑵ 答案不唯一：（1）（2）（3）（4）（5）⑶答案不唯一：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高 三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高 三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【答案】43、3【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．ED CA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)． 【答案】6【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【答案】25【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．ACDE F【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202⨯⨯=．【答案】120【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【答案】28【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCBBCG E【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48． 【答案】48【例 5】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEE【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯=．（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图．可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．【答案】13.5【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【答案】15【例 6】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC的高，ED 是三角形EBC 的高，于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =⨯÷=⨯三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =⨯÷=⨯所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【答案】4【例 7】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 △AEC 、△AFC 、△ABF ． 【答案】△AEC 、△AFC 、△ABF ．【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ED C BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 3个，△AEC 、△BED 、△DEC ． 【解析】 【答案】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODC B A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 △ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ． 【答案】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO【例 8】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECD DCEB A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S =V V又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===V V V ．【答案】4【例 9】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．AA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008年，四中考题【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【答案】30【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ABD V ，ABC V 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==V V , 所以ABDS V =111809022ABC S ⨯=⨯=V (平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =⨯=⨯=V V (平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE =⨯=V V 3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米． 【答案】22.5【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积． ABC DZ Y【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．【答案】24【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=， 三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=． 【答案】3【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ∵F 是AC 的中点 ∴2ABC ABF S S =V V 同理2ABF BEF S S =V V∴486246BEF ABC S S =÷=⨯÷÷=V V (平方厘米)．【答案】6【例 10】 如图所示，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。
第三章第七讲：三角形等高模型及鸟头模型例题精讲.doc
板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高 2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大( 小 ) ，三角形面积也就越大( 小) ；如果三角形的高不变，底越大( 小 ) ，三角形面积也就越大( 小) ；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1 ，则三角形面积与原来的一3样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 S1 : S2 a : bA BS1S2a b C D③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD S△BCD；反之，如果S△ACD S△BCD，则可知直线AB 平行于 CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ) ；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1 】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2 】如图，BD长 12 厘米，DC长 4 厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍⑵ 求三角形 ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍AB【例 3 】 如右图， ABFE 和 CDEF 都是矩形， AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3厘米，D C平方厘米．那么图中阴影部分的面积是AB EFDC【例 4 】如图，长方形ABCD 的面积是 56 平方厘米， 点 E 、 、 分别是长方形 ABCD 边上的中点， H 为ADF G 边上的任意一点，求阴影部分的面积．HA D EGBFC【例 5 】长方形 ABCD 的面积为 36 cm 2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少A H DE GBF C【例 6 】长方形 ABCD 的面积为36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少A H DEGBF C2三角形等高模型与鸟头模型题库page 2 of 18v1.0 可编辑可修改A (H)DEGBFC【例 7 】如右图，E 在 AD 上，AD 垂直，AD 12 厘米，DE 3 厘米．求三角形 的面积是三角形EBCBCABC面积的几倍AEBDC【例 8 】如图，在平行四边形 ABCD 中， EF 平行 AC ，连结 BE 、AE 、 CF 、 BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形AFDEBC【解析】 AEC 、 AFC 、 ABF ．【例 9 】 ( 第四届”迎春杯”试题 ) 如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 AE 3AB ， BD2BC ，三角形 BDE的面积是多少BEABEACCDD【例 10 】( 2008 年四中考题 ) 如右图，AD ，EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，ABCDB AE的面积是平方厘米．BDAEF C【例 11 】如图是一个长方形， 点 、 F 和 分别是它们所在边的中点． 如果长方形的面积是36 个平ABCDE Gv1.0可编辑可修改方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．GDC E FAB【例 12 】如图，大长方形由面积是12 平方厘米、 24 平方厘米、 36 平方厘米、 48 平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．12cm236cm248cm224cm2【例 13 】如图，三角形 ABC 中， DC 2BD ，CE 3AE ，三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米， 三角形 ABC的面积是多少AEBDC【例 14 】 ( 2009 年第七届” 希望杯”二试六年级 ) 如图，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE 、三角形 BCD 的面积分别是 89， 28， 26．那么三角形 DBE 的面积是．BDA E C【例 15 】( 第四届《小数报》 数学竞赛 ) 如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分． 三角形 BDC的面积比三角形ABD 的面积大 10 平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15 分米，它们的差是 5 分米．求梯形ABCD 的面积．A DBCv1.0可编辑可修改【例 16 】图中AOB的面积为15cm2，线段 OB的长度为 OD的3倍，求梯形ABCD的面积．A DOB C【例 17 】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．DACB【例 18 】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米黄红红绿【例 19 】O 是长方形 ABCD 内一点，已知OBC 的面积是5cm2，OAB 的面积是2cm2，求OBD 的面积是多少A DOPB C【例 20 】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、 GH ，若PBD 的面积为8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米A G DE PFB H Cv1.0可编辑可修改【例 21 】如右图，正方形ABCD 的面积是 20，正三角形BPC 的面积是 15，求阴影BPD 的面积．A DPB C【例 22 】在长方形ABCD内部有一点O ，形成等腰AOB 的面积为16，等腰DOC 的面积占长方形面积的 18% ，那么阴影AOC 的面积是多少DCOA B【例 23 】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中， E 、 F 分别是其两腰AB 、 CD 的中点， G 是 EF 上的任意一点，已知ADG的面积为15cm2，而BCG 的面积恰好是梯形ABCD 面积的7 ，则梯形ABCD的面积是cm2．20A DE FGB C【例 24 】如图所示，四边形ABCD与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．FA BGD E C【例 25 】如图，正方形ABCD的边长为6，AE，CF2．长方形EFGH的面积为．HA D EBG F C【例 26 】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为 4 平方厘米．求三角形CDF的面积．D CFA E B【例 27 】图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例 28 】如图，有三个正方形的顶点 D 、 G 、 K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10 厘米，求阴影部分的面积．D CG F POQH KA B E【例 29 】( 2008 年”华杯赛” 决赛 ) 右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG 和 CF 相交于 H ，已知 CH 等于 CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．F EA DHB C G【例 30 】( 第八届小数报数学竞赛决赛试题) 如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点， DF FC ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是 32 平方厘米．求图中阴影部分的面积．A D乙F甲丙B E C【例 31 】如图，已知长方形ADEF 的面积 16 ，三角形 ADB 的面积是 3 ，三角形 ACF 的面积是 4 ，那么三角形 ABC 的面积是多少A FCD B E【例 32 】如图，在平行四边形ABCD 中， BE EC ， CF 2FD ．求阴影面积与空白面积的比．A DH FGB CE【例 33 】( 第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛) 如图所示，三角形ABC 中， D 是 AB 边的中点， E 是 AC 边上的一点，且 AE 3EC ，O 为 DC 与 BE 的交点．若CEO的面积为a平方厘米，BDO 的面积为 b 平方厘米．且 b a 是 2.5 平方厘米，那么三角形ABC 的面积是平方厘米．A Db OaEB C【例 34 】如图，在梯形 ABCD 中， AD : BE 4:3 ， BE : EC 2:3 ，且BOE 的面积比AOD 的面积小10 平方厘米．梯形ABCD 的面积是平方厘米．A DOB E C【例 35 】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13 ， 35 ， 49．那么图中阴影部分的面积是多少A D49 35E13B C【例 36 】图中是一个各条边分别为 5 厘米、 12 厘米、 13 厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分( 即未被盖住的部分) 的面积是多少平方厘米【例 37 】如图，长方形ABCD 的面积是 2 平方厘米，EC 2DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米A DF EBGC【例 38 】( 2007 年六年级希望杯二试试题) 如图，三角形田地中有两条小路AE 和 CF ，交叉处为 D ，张v1.0 可编辑可修改大伯常走这两条小路，他知道 DF DC ,且 AD 2DE ．则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是_________ ．C EB DFA【例 39 】( 2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图， BC 45 ， AC 21， ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么DI FK ．BDEH IGJAK CF【解析】由题意可知， BD : BC S BAD : S ABC 2 :9 ，所以 BD 2， CD BC BD 35 ；又BC 109DI : DC S DIF : S DFC 2 :5 ，所以 DI 2，同样分析可得FK 10 ，所以DC 145DI FK 14 10 24 ．【例 40 】 E 、 M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP、ME彼此平行，若AD 5 ， BC7 ，AE 5 ， EB 3 ．求阴影部分的面积．ADQ MEB CP【例 41 】( 2007 年人大附中分班考试题) 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．( 丙是三角形HBC )v1.0可编辑可修改A甲乙D I J FM NH 丙B E C【例 42 】( 2009 年四中入学测试题) 如图，已知CD 5 ， DE 7 ， EF 15 ， FG 6 ，线段 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．A AC D E F C D E FG GBB【例 43 】( 2008 年仁华考题 ) 如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是．A DHGEB F C【例 44 】( 2008 年走美六年级初赛) 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB 8 ，AD 15 ，四边形 EFGO 的面积为．A DOGEB F C【例 45 】( 清华附中分班考试题) 如图，如果长方形ABCD 的面积是 56 平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米v1.0可编辑可修改D Q 3 C2M 5PA N 6 B【例 46 】( 2008 年日本第12 届小学算术奥林匹克大赛初赛) 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是cm 2 ．4cm1cm【例 47 】如图，三角形AEF 的面积是 17， DE 、 BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．A BFD E C【例 48 】( 2008 年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛) 如图，长方形ABCD 中， AB 67 ，BC 30 ． E 、 F 分别是 AB、BC 边上的两点， BE BF 49 ．那么，三角形 DEF 面积的最小值是．D CFA E B【例 49 】(2007 首届全国资优生思维能力测试) ABCD是边长为12 的正方形，如图所示，P 是内部任意一点， BL DM 4、 BK DN 5 ，那么阴影部分的面积是．v1.0 可编辑可修改A LB A(P) LBP K KN ND M C DM C【例 50 】如图所示，在四边形ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别是 ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形 PQRS 的面积之比．HDAPE SG QRB F C【例 51 】如图，四边形ABCD 中， DE : EF : FC 3: 2:1 ， BG : GH : AH 3: 2:1 ， AD : BC 1: 2 ，已知四边形 ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG的面积．E FCDA H G B【拓展】如图，对于任意四边形ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH ，求四边形EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几BMNAKEFJH GD O P C【例 52 】( 2008 年日本小学算数奥林匹克大赛决赛) 有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分v1.0 可编辑可修改别取点 L 、 M 、 N ，在边 AL 、 BM 、CN 上分别取点 P 、Q 、 R ，使 LP MQ NR ，当 PM 和 RL 、PM 和 QN 、 QN 和 RL 的相交点分别是 X 、 Y 、 Z 时，使 XY XL ．这时，三角形 XYZ 的面积是三角形 ABC 的面积的几分之几请写出思考过程．A PLNZXY RBQMC【例 53 】如图：已知在梯形 ABCD 中，上底是下底的2，其中 F 是 BC 边上任意一点，三角形AME 、三3角形 BMF 、三角形 NFC 的面积分别为14 、 20、 12 ． 求三角形 NDE 的面积 ．A BMEFNDC【例 54 】如图，已知 ABCD 是梯形， AD ∥ BC ， AD : BC 1: 2 ， S AOF : S DOE 1:3 ， S BEF24cm 2 ，求AOF 的面积 ．ADFO EBC【例 55 】（ 2009 年迎春杯决赛高年级组） 如图，ABCD 是一个四边形， M 、 N 分别是 、 的中点．如AB CD果 ASM 、 MTB 与 DSN 的面积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为．14三角形等高模型与鸟头模型题库page 14 of 18DASM NTBC板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比．如图在△ ABC 中，D , E分别是AB , AC上的点如图⑴ ( 或D在BA的延长线上， E 在 AC 上)，则 S△ABC : S△ADE ( AB AC ) : ( AD AE )DAADEEB CB C图⑴图⑵【例 56 】如图在△ABC中，D, E分别是AB, AC上的点，且AD : AB 2:5 ， AE : AC 4:7 ，S△ADE16 平方厘米，求△ ABC的面积．AADDE EBC B C【例 57 】如图在△ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 AB : AD 5: 2 ，AE : EC 3: 2 ，S△ADE12平方厘米，求△ ABC 的面积．D DA AEEB C B C【例 58 】如图所示，在平行四边形ABCD中， E为 AB的中点， AF 2CF ，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为 8 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米D CFA E B【例 59 】已知△DEF的面积为7平方厘米，B E CE, AD 2BD ,CF 3AF ，求△ABC的面积．AFDBEC【例 60 】如图，三角形ABC 的面积为 3 平方厘米，其中AB : BE 2:5 ， BC : CD 3: 2 ，三角形 BDE 的面积是多少B BA E A EC CD D【例 61 】( 2007 年”走美”五年级初赛试题) 如图所示，正方形ABCD 边长为 6 厘米， AE 1AC ，3CF 1BC ．三角形DEF的面积为 _______平方厘米．3A DEBv1.0可编辑可修改【例 62 】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长 AB 至 D ，使 BD AB ；延长 BC 至 E ，使 CE2BC ；延长 CA 至 F ，使 AF 3AC ，求三角形DEF 的面积．FACEBD【例 63 】如图，平行四边形ABCD ， BE AB ， CF 2CB ， GD 3DC ， HA 4AD ，平行四边形ABCD 的面积是 2 ，求平行四边形ABCD 与四边形 EFGH 的面积比．HA BEG CDF【例 64 】如图，四边形EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB ， CB BF ， DC CG ， HD DA ，求四边形 ABCD 的面积．HC GDA BFE【例 65 】如图，将四边形ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ，若四边形 ABCD 的面积为5，则四边形EFGH的面积是．FEB AC GDHv1.0 可编辑可修改【例 66 】如图，在△ ABC 中，延长 AB 至 D ，使 BD AB ，延长 BC 至 E ，使CE 1BC ，F是AC的2中点，若△ABC 的面积是 2 ，则△DEF 的面积是多少AFB CED【例 67 】如图，S△ABC1 ，BC5BD ， AC 4EC ， DG GS SE ， AF FG ．求S FGS．AFEGSB CD【例 68 】如图所示，正方形ABCD边长为 8 厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点， G 是 BF 的中点，三角形 ABG的面积是多少平方厘米EA DFGB C【例 69 】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．FH AEBG CD。
小学奥数知识点拨 精讲试题 题库 三角形等高模型与鸟头模型(一).学生版
4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高=⨯2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一13样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b=baS2S1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；ACD BCDS S=△△反之，如果，则可知直线平行于．ACD BCDS S=△△AB CD④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？DCBA【例 3】如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的ABFE CDEF AB 4BC 3面积是平方厘米．【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】如下图，长方形和长方形拼成了长方形，长方形的长是20，宽是12，则AFEB FDCE ABCD ABCD 它内部阴影部分的面积是．【例 4】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为ABCD 56E F G ABCD H 边上的任意一点，求阴影部分的面积．ADE F G ABCD12【巩固】图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是．ABCD E F G H AD【例 5】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，ABCD PP分别与点连接,求阴影部分面积．【例 6】如右图，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC12AD=3DE=面积的几倍？EDCBA【例 7】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形△一共有哪几个三角形？F DECBA【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一△△共有哪几个三角形？ED CBA【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODBA【例 8】如图，三角形的面积为1，其中，，三角形 的面积是多少？ABC 3AE AB =2BD BC =BDE A B E C DDC E B A【例 9】如右图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是AD DB =AE EF FC ==ABC ∆平方厘米．【巩固】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是ABCD BC AD AE EF 长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？BF AEF 【巩固】如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求ABCD Y BD Z DY 24AB =8BC =三角形的面积．ZCY ABC DZ Y【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【巩固】如图，在三角形ABC 中，厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF8BC 的面积是多少平方厘米？FE CBA 【例 10】如图所示，、、都是正方形边的中点，△比△大平方厘米。
第三章第七讲：三角形等高模型与鸟头模型例题精讲
精心整理板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．如左图1:S 高之比．【例 1】 【例 2】 【例 3】 【例 4】 【例 5】 【例 6】 面积是多少？【例 7】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？【解析】 AEC 、AFC 、ABF ．【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是平方厘米．【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【例13】如图，三角形ABC中，2=，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角CE AE=，3DC BD形ABC的面积是多少？【例14】(2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是．【例15】(第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．【例16】图中AOB的面积为215cm，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．【例17】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积【例19】OBD∆的【例20】8【例21】的面积．【例22】【例23】ABCD中，215cm，【例24】【例25】【例26】CDF【例27】【例28】的边长【例29】H，的面【例30】和腰CD 上的点，DF FC=，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．【例31】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？【例32】如图，在平行四边形ABCD中，BE EC=．求阴影面积与空白面积的比．CF FD=，2【例33】(第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且3=，O为DC与BE的交点．若CEO∆的面积为a平方厘AE EC米，BDO-是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘∆的面积为b平方厘米．且b a米．【例34】如图，在梯形ABCD中，:4:3∆的面积∆的面积比AODBE EC=，且BOEAD BE=，:2:3小10平方厘米．梯形ABCD的面积是平方厘米．【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【例 37】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK +=．【解析】 由题意可知，::2:9B A D A B C B D B C S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又，所以【例 40】，7BC =，【例 41】、F 分别HBC )【例 42】AB 将图【例 43】【例 44】70，【例 45】【例 46】【例 47】的面积．【例 48】67AB =，【例 49】P 是内【例 50】 如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比．【例 51】 如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积=．【拓展】如图，对于任意四边形ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH ，求四边形EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几？【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =． 这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．【例 53】 如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积．【例 54】 如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ∆∆=，224cm BEF S ∆=，求AOF ∆的面积．【例 55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果ASM ∆、MTB ∆与DSN ∆的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为．板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴图⑵【例 56】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△【例 57】【例 58】图中阴影【例 59】【例 60】BDE【例 61】13AC =，【例 62】2BC =；【例 63】ABCD【例 64】DA =，求【例 65】G 、H ，【例 66】F 是AC 【例 67】FGS S ．【例 68】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？【例 69】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【例 70】。
等高模型经典例题
等高模型经典例题1. 设等腰直角三角形ABC，其中AB=BC=5cm，AC为斜边。
已知AC=√50 cm^2。
求∠ABC的度数。
解法：由勾股定理得AC^2 = AB^2 + BC^2，即(√50)^2 = 5^2 + 5^2，解得50 = 25 + 25，即方程成立。
由于ABC是等腰直角三角形，所以∠ABC = ∠BCA。
设∠ABC = x，则∠BCA = x。
又∠ABC + ∠ACB + ∠BCA = 180°，代入x的值，得 x + 90° + x = 180°，化简得 2x + 90° = 180°，即 2x = 90°，解得x = 45°。
2. 设等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB=CD=10cm，AD=BC=6cm。
连接AC。
求∠ACD的度数。
解法：由题目可知，∠ABD = ∠BCA = ∠CDA，∠ABC =∠BDC。
由等腰梯形特性可知，∠BAC = ∠CDA，所以∠BAC = ∠ABD。
设∠BAC = x，则∠ABD = x。
由∠ABC + ∠BCA + ∠ACB = 180°得 x + x + ∠ACB = 180°，化简得 2x + ∠ACB = 180°，再由∠ACB + ∠ACD = 180°得∠ACB + ∠ACD = 180°。
将2x + ∠ACB = 180°代入∠ACB + ∠ACD = 180°中，得 2x + (2x + ∠ACB) = 180°，化简得 4x + ∠ACB = 180°，即 4x =180°- ∠ACB。
由于梯形的对角线互相垂直，所以∠CAB = ∠ACD。
设∠CAB = y，由∠CAB + ∠ACD = 180°得 y + ∠ACD = 180°，化简得∠ACD = 180° - y。
小学奥数 三角形等高模型与鸟头模型(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1bDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADE CBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA ABCDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =又∵5AB AD = ∴515ADEABEABCSSS=÷=÷，∴1515ABCADESS==．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABDBDES S=又∵4BD DC ==，∴2ABCABDSS=，∴6ABCBDESS=，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【答案】24【例 5】 如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题 【解析】 如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABCSS=AEAC，所以ABE S =AEAC×ABC S =15ABC S同理有AEF S=AFABABE S ,即=AEF S=15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120． 【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC E B A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ．∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S1DBC=．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【答案】18【例 9】 如图，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，有EAD 、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EADABDABD EASS SAB==．同理36EAHEAD EAD ABD AHSS S S AD===． 类似的，还可得6FCG BCD S S =，有()66EAH FCG ABDBCDABCD S SSSS +=+==30平方厘米．连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFBABCS S=，6DHGACDSS=，有()66EFBDHGABCACDABCD SSSSS +=+==30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为EAH,FCG ,EFB,DHG ,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD ，有EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．类似的，还可得FCGS =6BCDS，有EAHS+FCG S=6（ABDS +BCDS)=6ABCD S =30平方厘米．连接AC ，还可得EFBS=6ABC S，DHG S=6ACDS，有EFBS+DHG S=6（ABC S +ACDS）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米．【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CDEF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】136【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】263【例17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。
三角形等高模型训练(二)例题+巩固带答案
三角形等高模型例题精讲【例 1】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则AB=1/4，CD=1/3，所以MN=1/3-1/4=1/12，阴影部分面积为(12+24+36+48)×1/2×1/12=5(平方厘米)．【巩固1】如图，三角形ABC 中，DC=2BD ，CE=3AE ，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【解析】 ∵CE=3AE ，∴AC=4AE ，S △ADC =4S △ADE ；又∵DC=2BD ，∴BC=1.5DC ，S △ABC =1.5S △ADC =6S △ADE =120(平方厘米)．【例题2】如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【解析】根据题意可知，S △ADC =S △ADE +S △DCE =89+28=117，所以BD:AD=S △SDC :S △ADC =26:117=2:9， 那么S △DBE :S △ADE =BD:AD=2:9， 故S △DBE =89×2÷9=178/9．【巩固2】如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．DCBA【解析】如右图，作AB 的平行线DE ．三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等，三角形DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC 的高)是：2×10÷5=4(分米)，梯形面积是：15×4÷2=30(平方分米)．【例题3】图中三角形AOB 的面积为15平方厘米，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．OCBDA【解析】在△ABD 中，因为S △AOB=15平方厘米，且OB=3OD ， 所以有S △AOD =S △AOB ÷3=5平方厘米．因为△ABD 和△ACD 等底等高，所以有S △ABD =S △ACD ．从而S △OCD =15平方厘米，在△BCD 中，S △BOC =3S △OCD =45平方厘米， 所以梯形面积：15+5+15+45=80平方厘米．【巩固3】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．DBAA′ABCD【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A 移到CB 的延长线上的A′处，△A′BD 与 △ABD 面积相等，从而△A′DC 面积与原四边形ABCD 面积也相等．这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A′点． 具体做法：⑴ 连接BD ；⑵ 过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A′． ⑶ 连接A′D，则△A′CD 与四边形ABCD 等积．【例题4】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的59%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%-15%=35%．已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以长方形面积等于21÷35%=60（平方厘米）．【巩固4】O 是长方形ABCD 内一点，已知三角形OBC 的面积是5平方厘米，三角形OAB 的面积是2平方厘米，求三角形0BD 的面积是多少？【解析】由于ABCD 是长方形，所以S △AOD +S △BOC =长方形面积的一半，而S △ABD =长方形面积的一半，所以S △AOD +S △BOC =S △ABD ，则S △BOC =S △OAB +S △OBD ，所以S △OBD - S △OAB =5-2=3（平方厘米）．【例题5】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若三角形PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CHCH【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于S △BCP +S △ADP =S △ABP +S △BDP +S △ADP =平行四边形ABCD 面积的一半 ，所以S △BCP - S △ABP =S △BDP ．而S △BCP =平行四边形BCFE 面积的一半 S △ABP =平行四边形ABHG 的一半，所以S BCFE -S ABHG =2（S △BCP -S △ABP ）=2S △BDP =16（平方分米）【巩固5（1）】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形三角形BPC 的面积是15，求阴影三角形BPD 的面积．BAAB【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得PO//DC ，所以△DPO 与△CPO 面积相等(同底等高)，所以有：S △BPO +S △CPO =S △BPO +S △PDO =S △BPD ，因为S △BOC =正方形ABCD 面积÷4=5, 所以S △BPD =15-5=10．【巩固5（2）】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BOC 的面积是5，求阴影三角形BPD 的面积．BAAB D【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，可得PO//DC ，所以△DPO 与△CPO 面积相等(同底等高)，所以有:S △BPO +S △CPO =S △BPO +S △PDO =S △BPD因为S △BPC =正方形ABCD 面积÷4=3，所以S △BPD =5-3=2．【例题6】在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰三角形AOB 的面积为16，等腰三角形DOC 的面积占长方形面积的18%，那么阴影三角形AOC 的面积是多少？D【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去△DOC 的面积(长方形面积的18%)，再减去△AOD 的面积，即可求出△AOC 的面积．根据模型可知S △COD +S △AOB =长方形ABCD 面积的一半， 所以S ABCD =16÷(1/2-18%)=50，又△AOD 与△BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半， 所以△AOD 的面积等于长方形面积的1/4，所以S △AOC =S △ACD -S △AOD -S △COD =1/2S ABCD =25%S ABCD -18%ABCD =25-12.5-9=3.5【巩固6】如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知三角形ADG 的面积为15平方厘米，而三角形BCG 的面积恰好是梯形ABCD 面积的7/20，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米。
2024年 三角形中的重要模型等积模型(含答案)
专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、V V ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．V【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:QCG GF=【答案】14.4【分析】连接BF , 12BDC ABC S S =V V ；根据示为2BDC S V 和3S V∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =， S \V 2ABC BDC S S \==V V(1)如图2，延长ABC V 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA （用含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；Q 延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE \12ACD AED ECD S S S D D D ==，ACD ABC S D ，22ECD ABC S S a D D \==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S D D ==同理：22EFA ABC S S a D D ==，2ECD BFD S a D D =，3ECD EFA S S S S D D \=++∵点E 是线段AD 的中点，12BCE ABC S =V ．∥，连接，若过C作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
小学数学竞赛试题 三角形等高模型与鸟头模型(二).教师版与学生版都有
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBADE CBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16S =△平例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC B A AB C DE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D CBAA BCDE甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．ED CBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【答案】24【例 5】 如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题 【解析】 如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABCSS=AEAC，所以ABE S =AEAC×ABC S =15ABC S同理有AEF S=AFABABE S ,即=AEF S=15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120． 【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．EDC3【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】由题意知13AE AC=、13CF BC=，可得23CE AC=．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABCS S CF CE CB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABCS=⨯÷=△；所以4CEFS=△；同理得，:2:3CDE ACDS S=△△;，183212CDES=÷⨯=△，6CDFS=△故412610DEF CEF DEC DFCS S S S=+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD AB=；延长BC至E，使2CE BC=；延长CA至F，使3AF AC=，求三角形DEF的面积．FEDCBA ABCDEF【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS=，1ABCS=，∴S1DBC=．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC和CFE中，ACB∠与FCE∠互补，∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS=，3BDES=．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=．【答案】18【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABDEAS S SAB==．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===．类似的，还可得6FCG BCDS S=，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+==30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=，6DHG ACDS S=，有()66EFBDHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+==30平方厘米.有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD，有EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．类似的，还可得FCGS=6BCDS，有EAHS+FCGS=6（ABDS+BCDS)=6ABCDS=30平方厘米．连接AC，还可得EFBS=6ABCS，DHGS=6ACDS，有EFBS+DHGS=6（ABCS+ACDS）=6ABCDS=30平方厘米．有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．【答案】65【例 10】如图，平行四边形ABCD，BE AB=，2CF CB=，3GD DC=，4HA AD=，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HGA BCDEFHGA BCDEF【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接AC、BD．根据共角定理∵在ABC△和BFE△中，ABC∠与FBE∠互补，∴111133ABCFBES AB BCS BE BF⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABCS=△，所以3FBES=△．同理可得8GCFS=△，15DHGS=△，8AEHS=△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCDS S S S S S=++++=++=△△△△．所以213618ABCDEFGHSS==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CDEF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABC DEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS=，32ABFE S =，24ABF S =，所以12ABG S =平方厘米．【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．H GFEDCB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】136【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】263【例 17】 仅用下图这把刻度尺，最少测量 次，就能得出三角形ABC 和三角形BCD 的面积比。