小学思维数学讲义：平面五大模型之三角形等高模型与鸟头模型(二)-带详解

三角形等高模型与鸟头模型（二）

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生

变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1

3

，则三角形面积与原来的一

样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =

s 2s 1b

a

D

C

B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

板块二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△

E

D

C

B

A

D

E

C

B

A

图⑴ 图⑵

【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平

方厘米，求ABC △的面积．

例题精讲

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，

::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，

则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的

面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

【答案】70

【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那

么三角形ABC 的面积是多少？

E D

C B A A

B C D

E

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．

∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =

∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．

【答案】15

【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面

积是甲部分面积的几倍？

乙

甲

E D C

B

A

A B

C

D

E

甲

乙

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．

∵3BE =，6AE =

∴3AB BE =，3ABD BDE S S =

又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =，∴6ABC

BDE

S

S

=，5S S =乙甲．

【答案】5

【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，

:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

E

D C

B

A E

D

C

B

A

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△

[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，

所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘

米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到

一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【答案】50

【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的

面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2

倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．

【答案】48

【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．

F

E

D C

B

A

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答

【解析】

:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△

设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7

平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米

【答案】24

【例 5】 如图16-4，已知．AE=

15AC ，CD=1

4

BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?