小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析 (1)

三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。

重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）DC BAb梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ① S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2 模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。

(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。

hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2 模型五：燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC ；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；【重点难点解析】1.模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2.在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级※）如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级※）如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【例3】（难度等级※）如图，在三角形ABC中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级※※※）如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。

FED CBAFAB CDE如右图BE=BC ，CD=AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几？【例6】（难度等级 ※）如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【例7】（难度等级 ※）如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY 的面积．【例8】（难度等级 ※※）如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，EF 和BC 平行， ECH 的面积是7平方厘米，求EG 的长。

【例10】（难度等级 ※※）如图已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【例11】（难度等级 ※※）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【例12】（难度等级 ※※※）如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。

求平行四边形ABCD 的面积。

【例13】（难度等级 ※※※）如右图，正方形ABCD 的边长为6厘米，△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF 的面积.【例14】（难度等级 ※※※）如图，三角形ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？GFE D CB AYZDCBAHGF ED CBA 123223dcb a xABCDEFFEDCBA某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例16】（难度等级※※）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【作业】1. 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？2. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米， 求三角形ABC 的面积。

4. 如图，平行四边形ABCD ，BE=AB ，CF=2CB ，GD=3DC ，HA=4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.5. 如图，在△ABC 中，延长BD=AB ，CE=12BC ，F 是AC 的中点，若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【分析与解】如右图，连接BH 、HC ，由E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 三边的中点有AE =EB 、BF =FC 、CG =CD .因此S 1=S 2，S 3=S 4，S 5=S 6,而阴影部分面积=S 2+S 3+S 6，空白部分面积=S 1+S 4+S 5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为28.【例2】（难度等级 ※）如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米． 【分析与解】上排4个阴影三角形的高都等于BF ，底边之和恰好为AB ，他们的面积之和为12BF AB ⨯；下排4个三角形的高都等于CF ，底边之和恰好为CD ，他们的面积EDCBAHGFED CB AFEDCB A之和为1122CF CD CF AB ⨯=⨯.所以阴影部分面积为: 11113462222BF AB CF AB BC AB ⨯+⨯=⨯=⨯⨯=(平方厘米). 【例3】（难度等级 ※）如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？ 【分析与解】首先，1242ABC S BC AD ∆=⨯=平方厘米，而F 是AC 中点，所以12ABF ABC S S ∆∆=.又E 是AB 中点，所以11624EBF ABF ABC S S S ∆∆∆===平方厘米.【例4】（难度等级 ※※※）如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。

【分析与解】连接DE,于是三角形AEF 的面积=三角形EFD 的面积，所求被转化为三角形EDC 的面积。

因为F 是AD 中点，所以三角形AEC 的面积和三角形EDC 的面积相等，设S ∆BDE 为1份,则S ∆AEC=S ∆EDC 为3份 因此S ∆ABC 一共7份， 每份面积为17 所以S ∆EDC 占3份为37。

【例5】（难度等级 ※※）如右图，，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几？【分析与解】上图中，三角形AEC 与三角形ABC 的高相等，而，于是，23AEC ABC S S = 又由于三角形AED 与三角形AEC 的高相等，而CD=41AC,于是AD=43AC,34AED AEC S S =所以，三角形AED 的面积=43×三角形AEC 的面积=43×23×三角形ABC 的面积 =12×三角形ABC 的面积FE DCB AD ECBAD ECBAABCED【例6】（难度等级 ※）如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等． 【分析与解】 连接BE 显然有12ABE ABCD S S ∆=，12ABE AEGF S S ∆= 所以ABCD AEGF S S =【例7】（难度等级 ※）如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY 的面积． 【分析与解】192ABCD S AB BC =⨯=平方厘米因为Y 是BD 中点，Z 是DY 中点，所以【例8】（难度等级 ※※）如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，EF 和BC 平行， ECH 的面积是7平方厘米，求EG 的长。

【分析与解】12×EG ×AE +12×EG ×EB = 7平方厘米 即12×EG ×AB=7平方厘米；EG=厘米 【例10】（难度等级 ※※）如图已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】 连接CF由ABCD 和CEFG 都是正方形有45BDC DCF ∠=∠=︒ 所以BD CF P .YZ DCBAHGFED CBA由平行线间距离相等知三角形BDF 和三角形BDC 同底等高所以1502BFD BCD ABCD S S S ∆∆=== 【例11】（难度等级 ※※）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【分析与解】 如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b 所以 x=23+32+12x=67.【例12】（难度等级 ※※※）如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。

求平行四边形ABCD 的面积。

【分析与解】BC ×14=CD ×16，BC ：CD=16：14， BC+CD=752，BC=752×161614+=20 ABCD 面积=14×20=280（平方厘米）【例13】（难度等级 ※※※）如右图，正方形ABCD 的边长为6厘米，△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF 的面积. 【分析与解】因为△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，所以四边形AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是：在△ABE 中，因为AB ＝6.所以BE ＝4，同理DF ＝4，因此CE ＝CF ＝2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2＝2．所以=122=10AEF F S S S =--△△EC 四边形AECF （平方厘米）．ABCDEFFEDCBA【例14】（难度等级 ※※※）如图，三角形ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？ 【分析与解】由BD DC =BD=DC 有12BD BC =；由3BE =，6AE =，有13BE AB =.由鸟头定理有111326ABC ABC S S S ∆∆=⨯⨯=甲，56ABC ABC S S S S ∆∆=-=乙甲，故15S S =乙甲.【例15】（难度等级 ※）某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有AOB COD AOD BOC S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯ 所以132 1.5AOD S ∆=⨯÷=平方千米，故公园总面积为132 1.57.5+++=平方千米，人工湖面积为7.5 6.920.58-=平方千米【例16】（难度等级 ※※）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米? 【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG ． 设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF的面积为3x ，120101002ABF S ∆=⨯⨯=即1003x =，那么正方形内空白部分的面积为40043x =.所以原题中阴影部分面积为400800202033⨯-=(平方厘米)．【作业】1. 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？ 【答案】1202. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】973. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米， 求三角形ABC 的面积。