小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析 (1)
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三角形五大模型
【专题知识点概述】
本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD
BCD S S =△△;
反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、等分点结论(“鸟头定理”)
如图,三角形AED 占三角形ABC 面积的
23×14=16
三、任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”) ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=(S 1+S 2)︰(S 4+S 3)
D
C B
A
b
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ① S 1︰S 3=a 2︰b 2
②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为(a+b )2 模型四:相似三角形性质
如何判断相似
(1)相似的基本概念:
两个三角形对应边城比例,对应角相等。 (2)判断相似的方法:
①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似;
②两个三角形若有两条边对应成比例,且这两组对应边所夹的角相等则两个
三角形相似。
h
h H c
b a C
B A
a
c b H
C B
A
①
a b c h
A B C H
=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2 模型五:燕尾定理
S△ABG:S△AGC=S△BGE:S△GEC=BE:EC ;
S△BGA:S△BGC=S△AGF:S△GFC=AF:FC;
S△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB;
【重点难点解析】
1.模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
2.在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”
【竞赛考点挖掘】
1. 三角形面积等高成比
2. “鸟头定理”
3. “蝴蝶定理”
【习题精讲】
【例1】(难度等级※)
如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H 为AD边上的任意一点,求阴影部分的面积.
【例2】(难度等级※)
如右图,ABFE和CDEF都是矩形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是____平方厘米.
【例3】(难度等级※)
如图,在三角形ABC中,BC=8 厘米,AD=6厘米,E、F分
别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方
厘米?
【例4】(难度等级※※※)
如图,在面积为1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中点,
延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。
F
E
D C
B
A
F
A
B C
D
E
如右图BE=
BC ,CD=
AC ,那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几?
【例6】(难度等级 ※)
如图所示,四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形,请你证明它们的面积相等.
【例7】(难度等级 ※)
如图,在长方形ABCD 中,Y 是BD 的中点,Z 是DY 的中点,如果AB=24厘米,BC=8厘米,求三角形ZCY 的面积.
【例8】(难度等级 ※※)
如图,正方形ABCD 的边长为4厘米,EF 和BC 平行, ECH 的面积是7平方厘米,求EG 的长。
【例10】(难度等级 ※※)
如图已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形,且正方形ABCD 的边长为10厘米,那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?
【例11】(难度等级 ※※)
如图,一个长方形被切成8块,其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴影部分的面积为?
【例12】(难度等级 ※※※)
如图,平行四边形ABCD 周长为75厘米,以BC 为底时高是14厘米;以CD 为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD 的面积。
【例13】(难度等级 ※※※)
如右图,正方形ABCD 的边长为6厘米,△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等,求三角形AEF 的面积.
【例14】(难度等级 ※※※)
如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几?
G
F
E D C
B A
Y
Z
D
C
B
A
H
G
F E
D C
B
A 12
32
23
d
c
b a x
A
B
C
D
E
F
F
E
D
C
B
A