小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析 (1)

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三角形五大模型

【专题知识点概述】

本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。

重点模型重温

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等;

②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;

如右图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD

BCD S S =△△;

反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、等分点结论(“鸟头定理”)

如图,三角形AED 占三角形ABC 面积的

23×14=16

三、任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”) ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=(S 1+S 2)︰(S 4+S 3)

D

C B

A

b

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ① S 1︰S 3=a 2︰b 2

②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为(a+b )2 模型四:相似三角形性质

如何判断相似

(1)相似的基本概念:

两个三角形对应边城比例,对应角相等。 (2)判断相似的方法:

①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似;

②两个三角形若有两条边对应成比例,且这两组对应边所夹的角相等则两个

三角形相似。

h

h H c

b a C

B A

a

c b H

C B

A

a b c h

A B C H

=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2 模型五:燕尾定理

S△ABG:S△AGC=S△BGE:S△GEC=BE:EC ;

S△BGA:S△BGC=S△AGF:S△GFC=AF:FC;

S△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB;

【重点难点解析】

1.模型一与其他知识混杂的各种复杂变形

2.在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”

【竞赛考点挖掘】

1. 三角形面积等高成比

2. “鸟头定理”

3. “蝴蝶定理”

【习题精讲】

【例1】(难度等级※)

如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H 为AD边上的任意一点,求阴影部分的面积.

【例2】(难度等级※)

如右图,ABFE和CDEF都是矩形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是____平方厘米.

【例3】(难度等级※)

如图,在三角形ABC中,BC=8 厘米,AD=6厘米,E、F分

别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方

厘米?

【例4】(难度等级※※※)

如图,在面积为1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中点,

延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。

F

E

D C

B

A

F

A

B C

D

E

如右图BE=

BC ,CD=

AC ,那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几?

【例6】(难度等级 ※)

如图所示,四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形,请你证明它们的面积相等.

【例7】(难度等级 ※)

如图,在长方形ABCD 中,Y 是BD 的中点,Z 是DY 的中点,如果AB=24厘米,BC=8厘米,求三角形ZCY 的面积.

【例8】(难度等级 ※※)

如图,正方形ABCD 的边长为4厘米,EF 和BC 平行, ECH 的面积是7平方厘米,求EG 的长。

【例10】(难度等级 ※※)

如图已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形,且正方形ABCD 的边长为10厘米,那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?

【例11】(难度等级 ※※)

如图,一个长方形被切成8块,其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴影部分的面积为?

【例12】(难度等级 ※※※)

如图,平行四边形ABCD 周长为75厘米,以BC 为底时高是14厘米;以CD 为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD 的面积。

【例13】(难度等级 ※※※)

如右图,正方形ABCD 的边长为6厘米,△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等,求三角形AEF 的面积.

【例14】(难度等级 ※※※)

如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几?

G

F

E D C

B A

Y

Z

D

C

B

A

H

G

F E

D C

B

A 12

32

23

d

c

b a x

A

B

C

D

E

F

F

E

D

C

B

A

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