三、数学建模--静态优化模型
经济数学建模(西安交通大学,戴雪峰)
C3r (T
T1)2
取每日平均费用作目标函数，记为C(T )
C(T ) C1 C2Q2 C3 (rT Q)2
T 2rT
2rT
(Q
T1
Q r
)
令
C(T ) 0, C(T ) 0
T
Q
得
T 2C1 C2 C3 , Q 2C1r C3
rC2 C3
C2 C2 C3
比较两种情况下的结果，可以看到： 在不允许缺货的情况下（即C3 ），后者公式变 为前者。 在允许缺货的情况下，订货周期应增大，而订货 批量应减小。 （相对于不允许缺货时的批量和周期而言）
数学建模
西安交通大学理学院 戴雪峰
E-mail: daixuefeng@
微分学模型（静态优化模型）、 经济学模型
一、存储模型
存储过多会占用资金多，仓储费高。 但存储量少会增加订货费，缺货还会 造成经营的损失。现只考虑订货费及 存储费，如何使总费用最少？
其中订货费指每订一批货需付出的 费用，它与订货量的多少无关；存 储费与货物量、存储时间成正比。
dB
dt 随 t 的增加而增加；开始救火以后，即t1 t t2 ， 如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，
dB
即 dt 随 t 的增加而减小；且当
t
t2
dB
时， dt
0
。
模型假设：
（1）火灾损失与森林被烧面积 B(t2 ) 成正比，比例系 数 C1，即烧毁单位面积的损失费。
（2）从失火到开始救火这段时间（0 t t1 ）内，火
问题分析：
（1）火灾损失通常正比于与森林被烧面积，而被 烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又 与消防队员人数有关。
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型优化模型在数学建模中起着重要的作用。
通过优化模型，我们可以找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
本文将介绍优化模型的基本概念、常见的优化方法以及在实际问题中的应用。
让我们来了解一下什么是优化模型。
优化模型是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量值的过程。
这个过程可以通过建立数学模型来描述，其中包括目标函数、约束条件以及变量的定义和范围。
在优化模型中，目标函数是我们希望最大化或最小化的指标。
它可以是一个经济指标，如利润最大化或成本最小化，也可以是一个物理指标，如能量最小化或距离最短化。
约束条件是对变量的限制，可以是等式约束或不等式约束。
变量则是我们需要优化的决策变量，可以是连续变量或离散变量。
常见的优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的优化模型。
它可以通过线性规划算法来求解，如单纯形法和内点法。
非线性规划是指目标函数和约束条件中包含非线性项的优化模型。
它的求解方法相对复杂，包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
整数规划是指变量取值只能是整数的优化模型。
它的求解方法包括分支定界法和割平面法等。
动态规划是一种递推的优化方法，适用于具有最优子结构性质的问题。
优化模型在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以通过优化模型来确定最佳的生产数量和生产时间，以最大化利润或最小化成本。
在资源分配中，我们可以通过优化模型来确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
在交通调度中，我们可以通过优化模型来确定最短路径或最优路径，以最小化行驶时间或最大化交通效率。
优化模型还可以应用于金融投资、供应链管理、电力系统调度、网络优化等领域。
通过建立数学模型和选择合适的优化方法，我们可以在复杂的实际问题中找到最优的解决方案，提高效率和效益。
优化模型在数学建模中是非常重要的。
它通过建立数学模型和选择合适的优化方法，帮助我们找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
数学建模～最优化模型(课件ppt)
总利润 (88700) （元） 运输问题 供应点
物资
需求点
供需平衡或不平衡
某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的获取 的最大重量和体积都要限制，如表1所示，并且，为了保持飞机的 平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比 例。 表1三个货舱装载货物的最大容许量和体积
10 丙(10;20)
引水管理费 (24400 )(元) 利润=总收入-其他费用 - 引 水 管 理 费 =(47600) （元）
X24
X31 X32 X33
10.0
40.0 0.00 10.0
0.00
0.00 10.0 0.00
问题讨论
每个水库最大供水量都提高一倍
总供水量(320) > 总需求量(300) 确定送水方案使利润最大 利润 = 收入(900) –其他费用(450) –引水管理费
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大. 2 ）试探：如取 x1=65 ， x2=167 ； x1=64 ， x2=168 等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解. • 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？ 3）模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解.
线性规划 模型(LP)
x1 , x2 , x3 0
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
Objective Value: 632.2581 Variable Value Reduced Cost X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 0.731183 3 0.000000 0.003226
数学建模论文--优化模型（完整版）
会议筹备的优化模型摘要：本文针对会议筹备过程中的有关问题，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。
在尚不知道实际参加会议人数的情况下，我们根据以往几届会议代表回执和与会情况（详见附表3），通过Excel进行数据拟合，建立起指数函数拟合，从而预测出本届会议代表的实际参加人数。
我们把整个会议筹备方案分成三个子方案，即预订宾馆客房方案、租借会议室方案、租用客车方案。
在满足经济、方便、代表满意这三个方面的前提下，对其逐一进行解决，最后再进行汇总，即可得到我们所需要的会议筹备方案。
以下是本文的简要流程。
首先，我们根据附表2，分析了本届会议的代表回执中有关住房要求的信息，运用比例权重的方法，确定每一类型住房要求所占的权重，从而得出本届会议代表每一类型住房的房间个数。
其次，我们通过对附表2进行统计分析，运用比例权重的方法，计算出附表2中各项住房要求所占的权重，得出每一项住房要求在总体中所占的比例。
再依据假设7，可得到实际参加会议代表的不同类型住房的人数，从而解决了住房要求的问题。
在确定不同类型住房的人数的情况下，考虑各代表的满意度及路程上的远近，从经济的角度出发，从低价选起，对备选的10家宾馆进行筛选，即可得出预订宾馆客房方案。
接着，对于租借会议室方案，我们运用0-1规划的方法来进行解决。
通过考虑第i个宾馆第j种会议室和第i个宾馆第j种会议室的价格之间的关系，以及有关的约束条件，将目标函数设为租借会议室的费用达到最低，然后运用LINDO 求解，即可得到租借会议室的最优方案。
最后，关于租用客车方案，我们考虑了代表满意度和租车费用之间的动态平衡，采取就近原则策略，运用初等数学知识，确定需要达到各宾馆的人数。
并以此为租用客车方案的理论人数依据，得到租用客车的优化方案。
关键字：指数函数拟合，0-1规划模型，最优方案，会议筹备1.问题重述某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。
数学建模--静态优化模型
模型建立
离散问题连续化
q
将贮存量表示为时间的函数q(t) Q
T=0时生产Q件,贮存量q(0)=Q, q(t)
r
以需求r的速度递减直到q(T)=0
A
Q rT (1 )
T
t
一周期贮存费用 c2 0Tq(t)dtc2Ac2Q 2 T
一周期总费用
Cc1c2Q 2 Tc1c2r2T2
每天总费用平均 值(目标函数)
敏感性分析
t 4r40g210 rg
研究r, g变化时对模型结果的影响. 估计r=2, g=0.1
设g=0.1不变 t 40r 60 r1.5 rt
t 对r 的（相对）敏感度 20
S(t,r)t t dtr r r drt
S(t,r) 60 3 40r60
15
10
5
0
r
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
平均每天费用2550元
10天生产一次平均每天费用最小吗？
问题分析与思考 • 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总 费用（准备费+贮存费）最小 • 这是一个优化问题，关键在于建立目标函数
显然不能用一个周期的费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
C(T)Cc1c2rT (2) TT 2
模型求解 dC 0 dt
模型分析
求 T使 C(T)c1c2rT Min T2
T 2 c1 rc 2
Q rT 2rc1 c2
c1 T,Q c2 T,Q rT,Q
模型应用
回答 问题
c1=5000(元), c2=1(元/天·件), r=100(件/天) T=10(天), Q=1000(件), C=' T,Q' Q
数学建模作业---优化模型
P104页，复习题题目：考虑以下“食谱问题"：某学校为学生提供营养套餐，希望以最小的费用来满足学生对基本营养的需求按照营养学家的建设，一个人一天要对蛋白质，维生素A和钙的需求如下：50g蛋白质、4000IU维生素A和1000mg的钙，我们只考虑以不食物构成的食谱：苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。
制定食谱，确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：（1）对维生素A的需求增加一个单位时是否需要改变食谱？成本增加多少？如果对蛋白质的需求增加1g呢？如果对钙的需求增加1mg呢？（2）胡萝卜的价格增加Ⅰ角时，是否需要改变食谱？成本增加多少？问题分析：（1）此优化问题的目标是使花费最小.（2）所做的决策是选择各种食物的用量，即用多少苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁，鸡蛋来制定食谱。
（3）决策所受限制条件：最少应摄入的蛋白质、维生素和钙的含量（4）设置决策变量：用x1表示苹果的个数、x2表示香蕉的个数、x3表示胡萝卜的个数、x4表示枣汁的杯数量、x5表示鸡蛋的个数（5）x1个苹果花费10·x1角x2个香蕉花费15·x2角x3个胡萝卜花费5·x3角x4杯枣汁花费60·x4角x5个鸡蛋花费8·x5角目标函数为总花费金额：z=10·x1+15·x2+5·x3+60·x4+8·x5 (角)（6）约束条件为：最少摄入蛋白质的含量：0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥50最少摄入维生素A的含量：73x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥4000最少摄入钙的含量：10x1+15x2+5x3+60x4+8x5≥1000非负约束：x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0优化模型：minz =10x 1+15x 2+5x 3+60x 4+8x 5s.t. 0.3x 1+1.2x 2+0.7x 3+3.5x 4+5.5x 5≥5073x 1+96x 2+20253x 3+890x 4+279x 5≥4000 9.6x 1+7x 2+19x 3+57x 4+22x 5≥1000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0由线性规划模型的定义，容易得到线性规划的性质：1. 比例性 每个决策变量的对目标函数的“贡献”与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比.2. 可加性 各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其他决策变量的取值无关.3. 连续性 每个决策变量的取值是连续的. 考察本题，实际上隐含下面的假设 ：1.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与各自的用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素、钙的含量是与各自的用量无关的常数.（线性规划性质1—比例性）2.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与它们相互间用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素A 、钙的含量是与它们相互间的用量无关的常数. （线性规划性质2—可加性）3. 购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋的数量都是实数. (线性规划性质3—连续性) 模型求解：（决策变量是5维的，不适用图解法求解模型）软件求解：线性规划模型：min z=10x1+15x2+5x3+60x4+8x5s.t. 0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥5073x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥40009.6x1+7x2+19x3+57x4+22x5≥1000x1,x2,x3,x4,x5≥0模型全局最优解：(Global optimal solution)x1=0x2=0x3=49.38272x4=0x5=2.805836z的最优值为269.3603角用LINGO 软件求解，得到如下输出：结果分析：1. 3个约束条件的右端项可视为3种资源：蛋白质含量、维生素A 含量、钙含量.LINGO 的输出项Row Slack or Surplus ，给出了3种资源在最优解下的剩余.2.目标函数可视为“支出（成本）”，紧约束的“资源”增加1单位时，“支出”的增加由LINGO 的输出项 Dual Price 给出。
第七章静态优化模型
取正整数.
4
min E(n)
n∈ N
下面讨论模型的求解.
多数情形下需求量比较大,可将需求量 r 视为连续变量, 相应的用概率密
度函数 p(r) 代替分布函数 f (r) .因此
∫ ∫ E(n) = n[(a − b)r − (b − c)(n − r)]p(r)dr + ∞ (a − b)np(r)dr
2. 隧道车流量问题
通过隧道的车的流量问题在交通管理中具有重要的意义.
通过隧道的车的流量与通过隧道的车辆的平均速度有最直接的关系.确定 每辆车以多大速度通过隧道时可使车流量最大.统计数据表明,车流量 f (v) (辆/秒)与平均车速 v(km / h) 近似地满足
f (v) = qv /(av2 + bv + c) 设隧道的限速标准为[20, 100] ,则隧道车流量问题的数学模型为
=
(Sij ∆xij − Cij ∆yij )2
S
2 ij
+ Ci2u
>64 或
T = hij ⋅ uij = ∆xij Cij + ∆yij Sij > 0 . 从而数学模型为
6
∑ min f = (ai − ai0 )2 i =1
s.t.
li2j
=
(Sij ∆xij − Cij ∆yij )2
ห้องสมุดไป่ตู้
S
如果每天的需求量 r > n ,则收入为 (a − b)n .于是报童的期望收入为
n
∞
E(n) = ∑[(a − b)r − (b − c)(n − r)] f (r) + ∑ (a − b)nf (r)
r =0
r = n +1
数学建模培训_优化模型
乙
57秒 57秒2 1分06秒 06秒 1分06秒4 06秒 53秒 53秒
丙
1分18秒 18秒 1分07秒8 07秒 1分24秒6 24秒 59秒 59秒4
丁
1分10秒 10秒 1分14秒2 14秒 1分09秒6 09秒 57秒 57秒2
配料问题： 配料问题： 某养鸡场饲养一批小鸡， 某养鸡场饲养一批小鸡，对小鸡健康成长的基本营养元素 有三种，简单地称为A 有三种，简单地称为A、B、C。这批小鸡每日对这三种营养的最 低需要量是：元素A 12单位 元素B 36单位 元素C 单位， 单位， 低需要量是：元素A为12单位，元素B为36单位，元素C为恰好为 24单位 单位， 元素不够或过量都是有害的。 24单位，C元素不够或过量都是有害的。 现市场供应的饲料有甲、乙两种，甲饲料每千克5 现市场供应的饲料有甲、乙两种，甲饲料每千克5元，所含 的营养元素A 单位， 单位， 单位；乙饲料每千克4 的营养元素A为2单位，B为2单位，C为2单位；乙饲料每千克4元， 所含的营养元素A 单位， 单位， 单位。 所含的营养元素A为1单位，B为9单位，C为3单位。 养鸡场负责人希望得到甲乙两种饲料的混合饲料最优配比， 养鸡场负责人希望得到甲乙两种饲料的混合饲料最优配比， 既能满足小鸡健康成长的需要，又能降低饲料的费用。 既能满足小鸡健康成长的需要，又能降低饲料的费用。
贮存模型： 贮存模型： 配件厂为装配线生产若干种产品， 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备 要付出生产准备费（与产量无关）， ），产量大于需求时要付贮存 要付出生产准备费（与产量无关），产量大于需求时要付贮存 费。 今已知某产品的日需求量为100件 生产准备费为5000元 今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费为5000元， 100 5000 贮存费每日每件1 试安排该产品的生产计划， 贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最少。 ），每次产量多少 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最少。
3静态优化模型ppt课件
损失费f1(x)是x的减函数. 由S(t2)决定.
进一步分析
通 过 时 间 建 立 “ 费 用 - 人 数 ” 关 系
灭火条件:救火快,燃烧扩大慢才有可能.如何衡量快慢？
火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半
径 r与 t 成正比
r
S
S与r2成正比,即与t2正比, 故d2S/dt2为常数, 燃烧面积匀
2) 救火队员灭火能力相同;即 x名队员救火,蔓延速度 降为-x (为每个队员降低蔓 延速度值)
3) f1(x)与S(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费) 4) 救援费f2(x)为一次性费用(与队员人数x成正比,系数c3)和灭火费(与队员人数x,灭 火时间成正比,系数c2).
符号说明
t1开始救火时刻,t2灭火时刻,S(t)森林烧毁面积, f1(x)损 失费, f2(x)救援费, x救火人数, C(x)总费用.
Q 2c1b c3 c2 c2 c3
允许缺 货模型
T' 2c1 c2 c3 bc2 c3
Q' 2c1b c3 c2 c2 c3
不允许 缺货模
型
T 2c1 bc 2
Q bT 2c1b c2
记 c2 c3
c3
T T, Q Q
不 允
1 T'T, Q 'Q c3
许
缺 货
c3 1 T T,Q Q
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出 售。
如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售 析 时机，使利润最大
建模及求解
目标函数
利润 max Q=R-C=pw -C
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
3-1静态优化模型2pdf
第三章静态优化模型3.1存贮模型3.2生猪的出售时机3.3森林救火3.4最优价格3.5血管分支3.6消费者均衡3.7冰山运输3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量.分析假设问题记队员人数x , •损失费f 1(x )是x 的减函数, •救援费f 2(x )是x 的增函数, 存在恰当的x ，使f 1(x ), f 2(x )之和最小.综合考虑损失费和救援费，确定最佳队员数量.火灭时刻t 2, 由烧毁面积B (t 2)决定.由队员人数和救火时间决定.失火时刻t =0, 开始救火时刻t 1,在时刻t 森林烧毁面积为B (t ).(二者相权求平衡!)队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小.•关键是对烧毁面积B (t )作出合理的简化假设.问题分析t =0为失火时刻, t =t 1为开始救火时刻（此刻过火面积增加的速度开始减缓，曲线的拐点）, t 1t 20tBB (t 2)直接分析B (t )比较困难,转而讨论灭火时刻t 2 （此时过火面积恒定，不复变大）, 画出时刻t 森林烧毁面积B (t )的大致示意图形.(救火!)(灭火!)(似曾相识？S 型曲线!)单位时间烧毁面积dB/dt (森林烧毁速度).模型假设3）f 1(x )与B (t 2)成正比，1）0≤t ≤t 1, dB/dt 与t 成正比，2）t 1≤t ≤t 2, β降为4）每个队员的单位时间灭火费用c 2, ♣r B森林烧毁的速度dB/dt (救火前升!)(救火后降!)(λ为队员的平均灭火速度).(损失费!)系数c 1 (烧毁单位面积损失费）(负斜率!)一次性费用c 3 .系数为β(火势蔓延速度).β-λx<021t t -=2()B t =三角形面积模型建立dtdBb 0t 1t βt 2βλ-x 假设1）1=t t dBb dt =目标函数——灭火总费用)()()(x f x f x C +=假设2）22bt ==森林烧毁速度dB/dt(救火前升!)(救火后降!)1=,t β(绝对斜率非负!)b x λβ-x λβ-=由图知21b t t -(绝对斜率(对边比邻边)2t =11t t x βλβ+-(定积分几何意义即三角形面积!)20t ⎰212t β+122t t β=f 1(x )与B (t 2)成正比，每个队员单位时间灭火费c 2, 一次费c 3112()(),f x c B t =2(f 3c x(损失费)(救火费)(反解!)(移项!)dBdt dt 2212()t x βλβ-(高底乘半!)221+2b c xλβ=+3c x1t β0=dxdC()C x =模型建立（关于人数x 的）总费用目标函数模型求解求人数x 使C (x )最小231221122λλβλβc t c t c x ++=结果解释•速度比β/λ是dtdBb0t 1t 2t ββλ-x 1231βλ(最小值问题)(求导得驻点!)(反解人数)λ为队员的平均灭火速度系数β为火势蔓延速度213c t x c x x βλβ+-)()()(21x f x f x C +=222111122()c t c t x ββλβ++-火势不继续蔓延的最少人数(自行推导!)q U (q 1,q 2) = cq 11l 2l 3l 3.6消费者均衡问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族（等势线或等高线）表示，问他如何分配一定数量的钱购买这两种商品，以达到最大的满意度.设甲乙数量为q 1,q 2, U (q 1,q 2) ~ 效用函数问题的数学描述：已知甲乙价格p 1, p 2,有钱s ，试分配s,购买甲乙数量q 1, q 2,使效用函数U (q 1, q 2)最大.消费者的无差别曲线族记作U (q 1,q 2)=c(Utility Function)s /p 2q 2U (q 1,q 2) = c1l2l 3l 模型已知价格p 1,p 2,钱s , 求q 1,q 2,或比值p 1q 1/ p 2q 2, 使U (q 1,q 2)最大.这是一个约束最优化问题.sq p q p t s q q U Z =+=221121..),(m ax Lagrange λ用乘数法，取乘数，构造辅助函数2l K =几何解释sq p q p =+2211直线MN: 最优解Q : MN 与l 2切点21/p p K MN -=斜率·M QN··/q U q U ∂∂∂∂-(subject to 约束于条件)L =0(1,2)iLi q∂==∂令12Uq Uq ∂∂=∂∂12p U +1122(),p q p q λ+2dq dq =结果解释21,q Uq U ∂∂∂∂——边际效用消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到.12Uq U q ∂∂=∂∂12p p 均衡方程(最贵的就是最好的!)3.7 冰山运输背景•波斯湾地区石油丰富但水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑.•专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山（穿越赤道到波斯湾），取代淡化海水.•从经济角度研究冰山运输的可行性.建模准备 1. 日租金和最大运量船型小中大日租金（英镑）最大运量（米3）4.0 6.28.05 105106107(船大了贵,但装载多)(北极熊为什么不吃企鹅？)2. 燃料消耗（英镑/千米）3. 融化速率（米/天）（指冰山融化深度）与南极距离(千米)船速(千米/小时)0 1000 >40001 3 50 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积(米3)船速(千米/小时)105106 1071 3 58.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.213.2 16.5 19.8建模准备(跑得快,耗油多)(冰山大,耗油多)(跑得快,融化多)(距离远,融化多)建模目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较.模型假设•航行过程中船速不变，总距离9600千米.•冰山呈圆球形(可加工为各种易拖形状)，球面各点融化速率相同.•到达目的地后，每立米冰可融化0.85立米水.建模分析目的地水体积运输过程融化规律总费用目的地冰体积初始冰山体积燃料消耗租金船型, 船速船型船型, 船速船型r =由数表算得各待定系数（实际可能需要更多数据）模型建立 1. 冰山融化规律船速u (千米/小时)简设融化速度r 是u 的线性函数，并由地理学常识可设0 1000 >40001350 0.1 0.30 0.15 0.450 0.2 0.6u r d 与南极距离d (千米)融化速度r (米/天）d <4000时r 与d 成正比d >4000时r 与d 无关(赤道附近南北一样热). 建立分段函数⎧⎨⎩04000d ≤≤4000d >1(1),a d bu +2(1),a bu +56.510,0.2,0.4a a b -=⨯==d =4000为距离分段节点(经验公式)(近似值)(教材说(从南极到赤道越来越热，融化快)(分离变量形式的二元线性函数!)512316.510,0.2,0.4 24 1.5610a a b a --=⨯===⨯，1. 冰山融化规律船速u (千米/小时)即24u (千米/天)匀速航行t 天,距离d =t r =⎧⎨⎩4000024t u ≤≤400024t u>31.5610(10.4),u u t -⨯+0.2(10.4),u +310001.5610(10.4),0610000.2(10.4),6u u t t u u t u -⎧⨯+≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩与南极距离d (千米)融化速率r (米/天）24ut ，12(1),04000(1),4000a d bu d r a bu d +≤≤⎧=⎨+>⎩d =4000为距离节点为时间节点t =400024u (化简!)总航行天数选定u ,V 0, 313004334),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=T t t r V V u V ππ到达目的地时冰山体积960024u t R =03134t kk V r π==-∑•冰山初始体积•冰山初始半径R 0，0V =航行t 天时半径融化速率r (米/天）0R -1tk k r =∑3043R π(球形)•冰山t 天时体积0(,,)V u V t =343t R π船速u (千米/小时)t V =30313434t k k V r ππ=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑航行t 天时冰山体积为总距离除以日航速T =为t=T 天时冰山体积400u =1,6,3.0321-===c c c 0(,,)q u V t =1q =2. 燃料消耗105106 1071358.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.213.2 16.5 19.8Vu q 1设燃料消耗q 1(英镑/千米)由表分析数据关系(可描点绘图)选定u ,V 0, 航行第t 天燃料消耗T 天抵达时燃料消耗总费用为加和(,)Q u V =q 1对u 线性, 对log 10V 线性.q (英镑/天)设12100324()[log (,,)]u c u c V u V t c ⋅++33101347.2(6)log 134t k k V u u r ππ=⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑设12()c u c +(求出待定系数)(近似值)0(,,)Tq u V t ∑(代入待定系数)(代入体积表达)(分离变量形式的二元线性函数!)103(log ),V c +V 05 ⨯105106107f (V 0) 4.0 6.2 8.03. 运送每立米水费用冰山初始体积V 0的日租金为f (V 0)（英镑）T 天抵达目的地时总燃料消耗费用为加和冰山运输总费用为总租金加总燃料费),(),(),(V u Q V u R V u S +=0(,)Q u V =0(,)R u V =0400()f V ⋅拖船租金总费用总航行天数T =400u0(,,)q u V t =303101347.2(6)log 134t k k V u u r ππ=⎡⎤⎛⎫⎢⎥+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑3031011347.2(6)log 134T t k t k V u u r ππ==⎡⎤⎛⎫⎢⎥+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑冰山到达目的地后得到的水体积),(85.0),(00V u V V u W =3. 运送每立米水费用冰山运输总费用运送每立米水费用),(),(),(000V u W V u S V u Y =0(,)V u V =到达目的地时冰山体积),(),(),(000V u Q V u R V u S +=（1升冰化0.85升水）3313434T t t V r ππ=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑为总费用除以水体积(冰比冰水冰？)(冰比冰水大!)模型求解选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低求u,V 0使Y (u,V 0)最小u =4~5(千米/小时), V 0= 107 (千万米3)，Y (u,V 0)最小V 0只能取离散值经验公式较粗糙3 3.54 4.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V 0u5⨯106多取几组（V 0，u ）用枚举法计算运送每立米水费用),(),(),(000V u W V u S V u Y =结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于V (u,V 0).有关部门认为，只有当计算出的Y (u,V 0)显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性.大型拖船V 0= 107 (米3)，船速u =4~5(千米/小时),虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙.冰山到达目的地后每立米水的费用Y (u,V 0)约0.065(英镑).淡化海水的成本0.1英镑21冰山运输•模型来自实际问题的可行性研究.•收集数据是建模的重要准备工作.•根据数据得到的经验公式是建模的基础.•冰山形状的球形假设简化了计算, 这个假设的合理性如何?如果改变它呢?（比如更合理的圆锥形、棱台形？）。
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型发展前景
01
随着大数据和人工智能技术的快速发展，优化模型的应用领域将进一 步扩大。
02
优化模型将与机器学习、深度学习等算法结合，实现更加智能化的决 策支持。
03
优化模型将面临更多大规模、复杂问题的挑战，需要发展更加高效、 稳定的算法和求解技术。
04
优化模型将与可持续发展、环境保护等社会问题结合，为解决全球性 挑战提供解决方案。
优化模型的应用领域
工业生产
金融投资
优化模型在工业生产中广泛应用于生产计 划、工艺流程、资源配置等方面，以提高 生产效率和降低成本。
优化模型在金融投资领域中用于资产配置 、风险管理、投资组合等方面，以实现最 优的投资回报和风险控制。
交通运输
科学研究
优化模型在交通运输领域中用于路线规划 、车辆调度、物流配送等方面，以提高运 输效率和降低运输成本。
，为决策提供依据。
优化模型在实际应用中需要考虑各种约束条件和目标 函数，同时还需要处理大规模数据和复杂问题。
优化模型在数学建模中占据重要地位，用于解 决各种实际问题，如生产计划、物流运输、金 融投资等。
优化模型有多种类型，包括线性规划、非线性规 划、动态规划、整数规划等，每种类型都有其适 用的场景和特点。
非线性规划模型
非线性规划模型的定义与特点
总结词
非线性规划模型是一种数学优化模型，用于解决目标函数和约束条件均为非线性函数的 问题。
详细描述
非线性规划模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。目标函数是要求 最小化或最大化的非线性函数，约束条件可以是等式或不等式，决策变量是问题中需要 优化的未知数。非线性规划模型的特点在于其非线性性，即目标函数和约束条件不能用
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
数学建模之优化模型PPT课件
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
第3页/共29页
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
minu f (x) x
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T, c1) 2
S(T , c1)
T c1
T c1
dT d c1
c1 T
1 2
c2r c1 1 2c1 T 2
c2r
1
1
S (T , c2 ) 2
S(T , r) 2
第19页/共29页
S (T , c1)
1 2
S
(T
,
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2, x3,...,xn ) 在约束条件 hi (x) 0,i 1,2,...,m.
和 gi (x) 0(gi (x) 0),i 1,2,...,p.
下的最大值或最小值，其中
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
数学建模公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1） 解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
第21页
模型建立
假设1） 假设2）
dB
b t , 1
t2
t1
b
x
dt
b
t
t2
t1
x
1
0
t1
x t2 t
B(t2 )
t2 B (t)dt bt2 t12 2t12
销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
利润 Q=R-C=pw -C Q(t) (8 gt)(80 rt) 4t
求 t 使Q(t)最大 t 4r 40g 2 =10 rg
Q(10)=660 > 640 10天后发售，可多得利润20元
第15页
敏感性分析
t 4r 40g 2 rg
研究 r, g改变时对模型结果影响 预计r=2， g=0.1
分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt.
B B(t2)
0
t1
t2
t
第20页
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员平均灭火速度）
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
• 设g=0.1不变
t 40r 60 , r 1.5 r
t 对r （相对）敏感度
20
t
15
S (t ,
r)
Δt Δr
/ /
t r
dt dr
数学建模优化模型
数学建模优化模型数学建模是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法求解的过程。
优化模型是数学建模中的一种重要类别，主要用于解决如何最大化或最小化目标函数的问题。
优化问题在日常生活和工业生产中非常常见，例如最佳路径规划、资源分配、流程优化等。
通过数学建模和优化模型，可以帮助我们在有限的时间、空间和资源下，找到最优的解决方案。
1.确定问题：首先，我们需要准确地确定问题，包括目标函数和约束条件。
目标函数是我们要最大化或最小化的指标，约束条件是问题的限制条件。
2.建立数学模型：根据实际问题的特点，我们选择合适的数学模型来描述问题。
常见的数学模型包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
3.设计算法：根据数学模型，我们设计相应的算法来求解问题。
常见的优化算法包括单纯形法、分支定界法、遗传算法等。
4.求解模型：使用所选的算法，对数学模型进行求解。
这个过程涉及到数值计算和计算机程序的编写。
5.模型验证：对求解结果进行验证，确保结果符合实际问题的要求。
这可以通过计算误差、灵敏度分析等方法来实现。
6.结果分析和优化：对求解结果进行分析，比较不同算法的效果，并进行优化改进。
这可以帮助我们更好地理解问题，并提供更好的解决方案。
除了以上基本步骤外，数学建模优化模型还需要注意以下几个问题：1.模型的准确性：数学模型必须准确地反映实际问题的本质。
因此，我们需要对实际问题进行充分的了解，并进行有效的数据收集和分析。
2.算法的选择：不同的优化问题可能需要不同的优化算法。
因此，我们需要根据具体问题的特点选择合适的算法。
3.算法的效率和鲁棒性：在实际求解过程中，算法的效率和鲁棒性也是非常重要的。
我们需要选择高效的算法，并对算法进行充分的测试和验证。
数学建模优化模型在实践中具有广泛的应用，可以用于解决很多实际问题。
例如，在物流领域中，我们可以利用优化模型来确定最佳路线、最佳车辆配送方案等，以最大化效率和减少成本。
在制造业领域中，我们可以使用优化模型来优化生产流程、资源调度等，以提高生产效率和降低生产成本。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
c3
T ' T , Q' Q
3.2 生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80公斤重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每公斤8元，但是预测每天会降 低0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 分 析 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
问题分析 与思考
日需求量100件，生产准备费5000元， 贮存费每日每件1元
• 每天生产一次, 每次 100件, 无贮存费, 准备费5000元， 故每天费用为5000元。 • 10天生产一次, 每次 1000件, 贮存费900+800++100 =4500，准备费5000元, 总计9500元。 平均每天费用950元 • 50天生产一次, 每次 5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500，准备费5000元, 总计127500元。 平均每天费用2550元 10天生产一次平均每天费用最小吗？
C c1 c2Q 2 c3 (rT Q) 2 C (T , Q) T T 2rT 2rT
求 T , Q使 C (T , Q) Min
C C 0, 0 T Q
2c1 c2 c3 rc2 c3
为与不允许缺货模型相比， T记作T′，Q记作Q′。
T'
Q'
2c1r c3 c2 c2 c3
dU q a * 0 p dp 2 2b
结果 解释
q a p 2 2b
*
x(p) = a – b p, a, b > 0
• 最优价格由两个部分组成， q/2是成本的一半 • b是价格上升一个单位时销售量下降的幅度， （需求对价格的敏感度），bp* • a可视为绝对需求量(p很小时的需求) ap*
建模 与求解
使利润U(p)最大的最优价格p*满足
dU dp 0
p p
dI dp
p p
dC dp
p p
边际收入 边际支出
最大利润在边际收入等于边际支出时达到
I ( p) px C ( p ) qx x( p) a bp
U ( p) I ( p) C ( p) ( p q)( a bp)
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元
敏感性分析
4r 40 g 2 t 10 rg
研究r, g变化时对模型结果的影响. 估计r=2, g=0.1
设g=0.1不变
40 r 60 t r t
20
r1.5
t 对r 的（相对）敏感度
t t dt r S (t , r ) r r dr t 60 S (t , r ) 3 40 r 60
假设1) 的假设 火势以火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓 延，半径r与t成正比 面积B与t2成正比， dB/dt与t成正比
r
B
模型建立
b b t1 , t2 t1 x
t2 t1
dB dt
假设1) 假设2)
b
x
t1
t1
x
t
t2
B ( t2 )
c3 , x
c2 x
为什么？
结果 解释
c1。c2， c3已知，t1可估计。 , 由具体情况价格(1) 问 题 假 设 根据产品的成本和市场需求，在产销平衡的 条件下，如何确定商品价格，使利润最大。
1)、产量等于销量，记作x；
15 10 5 0
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
r
生猪每天体重r 增加1%，出售时间推迟3%。
敏感性分析
4r 40 g 2 t 10 rg
研究r,g变化时对模型结果的影响 估计g=0.1, r=2
3 20 g •设r=2不变 t g
0 g 1.5
静态优化模型
——微分法建模
3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 最优价格 3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输
静态优化模型
• 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题是指最优解是数(不是函数) • 建立静态优化模型关键之一是根据建模 的目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法
目标函数——总费用
2 1 2 2 1
c1t c1 t c2 t1 x C ( x) c3 x 2 2(x ) x
其中c1，c2，c3，t1，，为已知参数
模型解释 求x使C(x)最小
c1t 2c2t1 2c32
2 1
dB dt
dC 0 x dx
最优价格（2）
问 题 分 析 与 假 设 若在时间长为T的销售过程中，要求总销售量为 Q，试制定最优价格函数p(t)。 在长为T 的时间内成本不变，设为 q。
单位时间的需求量x 仍为价格p 的减函数，设为
b
t1
x
t2
t
结果解释
•/使火势不继续蔓延的最少队员
x
2 c1t1 2c2t1 2c32
结果 烧毁单位面积损失费c1，每个队员的单位时间 解释 灭火费用c2，一次性费用c3，开始救火时刻t1， 火势蔓延速度 ，队员平均灭火速度。
c1 , t1 , x
2)、收入与销量x成正比，比例系数p即价格； 3)、支出与产量x成正比，比例系数q即成本； 4)、销量x依赖与价格p，x(p)是减函数；
进一步设：x(p) = a – b p, a, b > 0
建模 与求解
收入 : I ( p) px 支出: C ( p) qx
利润 : U ( p) I ( p) C ( p) 求p使U(p)最大
假设3) 4)
t2
0
bt2 t12 2t12 B(t )dt 2 2 2(x )
f1 ( x) c1B(t2 ) , f 2 ( x) c2 x(t2 t1 ) c1 x
目标函数——总费用 C ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
模型建立
B
B ( t2 )
分析 B(t)比较困难， 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt
0
t1
t2
t
模型假设
1)、0≤t≤t1, dB/dt与t成正比,系数(火势蔓延的速度)
2)、t1 ≤t≤t2, 降为-x (为队员平均灭火速度) 3)、f 1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费) 4)、每个队员的单位时间灭火费用c2，一次性费用c3
T
2c1 rc2
Q rT
2 rc1 c2
不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？
在什么条件下才不考虑？
允许缺货的存贮模型 当贮存量下降到零时仍有需求r， 出现缺货，造成损失。 原模型假设：存贮量下降到零时, Q件产品立即生产出来(立即到货) 周期T, t=T1贮存量下降到零。
Q
c1=5000(元), c2=1(元/天· r=100(件/天) 件),
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)。
•经济批量定货公式（EQQ公式） 用于定货、供应、存贮情形
每天的需求量为r，每次定货费为c1 ,每天每件贮存 费为c2 ， T天定货一次(周期为T)，每次定货Q件， 且当贮存量降到零时，Q件立即到货。
3.1 存贮模型
问 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品是因 题 更换设备要付生产准备费，产品大于需求时因积 压资金要付贮存费，该厂的生产能力非常大，即 所需数量可在很短时间内产出。 现已知某产品日需求量为100件，生产准备费5000 元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计 划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量 多少，使总费用最少。 要 不只是回答问题，而是要建立生产周期、产量 求 与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
2、每次生产准备费为c1 ,每天每件产品的贮存费为c2
3、T天生产一次(周期为T)，每次生产Q件，且当贮 存量降到零时，Q件产品立即生产出来（生产时 间不记）。 4、为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 建模目的 设r，c1，c2已知，求T，Q，使每天总费用平均值最小
模 型 建 立
离散问题连续化
q
Q
将贮存量表示为时间的函数q(t)
T=0时生产Q件,贮存量q(0)=Q, q(t) 以需求r的速度递减直到q(T)=0
Q rT (1)
T
r
A
T
t
一周期贮存费用
c2QT c2 q(t )dt c2 A 0 2
一周期总费用 每天总费用平均 值(目标函数)
c2QT c2 rT 2 C c1 c1 2 2
建议过一周后(t=7)重新估计p，p'，w，w', 再作计算
3.3、森林救火
问题 •森林失火后，要确定排出消防队员的数量。 •队员多，森林损失小，救援费用大； •队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员的数量。 问题 分析
记队员人数x，失火时刻t=0，开始救火时刻 t1，灭火时刻t2，时刻t森林烧毁面积B(t)。
问题分析与思考 • 周期短，产量小 贮存费少，准备费多
• 周期长，产量大
准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总 费用（准备费+贮存费）最小 • 这是一个优化问题，关键在于建立目标函数 显然不能用一个周期的费用作为目标函数 目标函数——每天总费用的平均值
模型假设 1、产品每天的需求量为常数r。