椭圆的画法

第九章 椭圆的画法和性质
一．椭圆的定义：
1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：
设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,
∴ a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1
整理化简，并且设b 2
＝a 2
－c 2
得椭圆的标准方程
122
22=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：
设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定
直线l : x ＝c a 2的距离的比是常数a
c (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是
椭圆中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝a
c
(0<e <1)是
椭圆的离心率。

图9－2
4．椭圆的参数方程：
以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么
x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ, y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,
∴ 椭圆的参数方程是⎩
⎨⎧φ=φ
=sin cos b y a x (φ是参数).
二．椭圆的画法：
画法1：
图9－4
1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；
4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；
5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；
6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。

理论根据： 点P 1是两圆的交点，∴ 点P 1到F 1与F 2的距离的和等于两圆的半径
和,
即 |PF 1|＋|PF 2|＝|CM |＋|MD |＝|CD |＝2a .
说明： M 点不要直接在CD 上取，那样画
出来的椭圆将在x 轴附近断开一段，
因为计算机画的曲线实际上是由若干
条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点M 在CD 上运动时，一般情况点C '、D '都取不到，于是画出来的图形就不好看了。

图9－5
画法2：
1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a ，(2a >|F 1F 2|)； 3．以F 1为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ；
4．连接PF 1、PF 2，作PF 2的中垂线与PF 1交于点M ，连接MF 2；
5．将点M 定义为“追踪点”，分别选中点M 、点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。

理论根据：
点M 在PF 2的中垂线上，∴ |MP |＝|MF 2|, ∴ |MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|F 1P |＝2a . 即点M 到两个定点F 1和F 2的距离的和等于定长。

点M 的轨迹是一个椭圆。

画法3：
图9－6
1．在平面中作两条直线，使直线l 为准线，另一条直线AB 与直线l 垂直；两条直线的交点为C ；
2．在图形外取两条线段a 和c ，使a >c ；
3．计算c c a -2，在直线AB 上取一点F ，使|CF |＝c c
a -2
,点F 作为椭圆的焦点；
4．在线段FC 上，取点A ，使|AF |＝a －c , 在CF 的延长线上，取点B ，使|FB |＝a ＋c ，作线段AB ，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P ；
5．计算e ＝a c ，度量|CP |的长，计算|CP |×a
c
；
6．以点F 为圆心，|CP |×a
c
为半径作圆，此圆与过
点P 且垂直于AB 的直线相交于M 1，M 2两点；
7．分别选中点M 1和点P (或点M 2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。

理论根据：
点M 1到点F 的距离是|CP |×a
c
，点M 1到准线l 的距离
|M 1D |＝|CP |,
∴
的距离到直线点的距离到点l M F M 11＝a
c
＝e . ∴ 点M 1在椭圆上。

画法4：
1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径画两个圆; 2．在大圆上取一点A ，连接OA 与小圆交于点B ；
3．过点A 作AN 垂直于Ox 轴，垂足为N ；作BM 垂直于AN ，垂足为M ； 4．分别选中点M 和点A ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。

理论根据：
|ON |＝a cos φ, |NM |＝b sin φ, 根据椭圆的参数方程知，点M 的轨迹是一个椭圆。

画法5： 1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径画两个圆; 2．在大圆上取一点P ，过点P 作PN ⊥Ox 轴，垂足为N ；
3．计算两圆半径的比k ＝a
b ，定义
为“标记比”，选中点N ，定义为“缩放中心”；
4．选中点P ，用“变换”菜单 图9－8 中的“缩放”功能，将点P 用标记比缩放得到点M ；
5．分别选中点M 和点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。

理论根据：
设点M 的坐标是(x , y )，则点P 的横坐标为x ，纵坐标y 0＝b
ay
,
∵ 点P 在圆x 2＋y 2＝a 2上，∴ 2
222
b y a x +＝a 2, 整理得 12222=+b
y a x . 结论：
只要动点P 在一个圆上运动，那么在一个方向上按一定比例压缩或延长PD ，所得到的点M 的轨迹都是椭圆。

三．椭圆中动弦的画法 (一)．椭圆焦点弦的画法：
图9－9
1．用参数方程的画法画出一个椭圆，计算它的a , b , c 的值，在长轴上画出两个焦点F 1、F 2(使|OF 1|＝c )；
2．在大圆上任取一点P ，相应作出它在椭圆上的对应点M ； 3．连接PF 1延长与大圆交于点Q ； 4．作出点Q 在椭圆上的对应点N ；
5．连接MN ，则线段MN 一定过焦点F 1，且点M 、N 都在椭圆上；
6．保留坐标系、椭圆、焦点和焦点弦MN ，隐藏其它的内容，这时选中点M ，在椭圆上拖动它，则点N 相应在椭圆上移动，且MN 始终经过点F 1.
理论根据：
椭圆上的点M 、N 是由大圆上的点P 、Q 得到的，线段PQ 在大圆上经过定点F 1，则相应的线段MN 在椭圆上也经过定点F 1.
(二) 椭圆中过定点M 的弦的画法： 1．用参数方程的画法画出一个椭圆，
标出定点M ；计算两圆半径的比k ＝
b
a
，定义为“标记比”；
2．作MD ⊥Ox 轴，垂足是D ，以D 为缩放中心，把点M 用标记比缩放，得到点M '；
3．在大圆上取一点P '，作出它在椭圆上的相应点P ；
4．连接P 'M '，延长与大圆交于Q '，
作出点Q '在椭圆上的对应点Q ； 图9－10
5．连接PQ ，则PQ 始终经过点M ，且P 、Q 都在椭圆上；
a=3.116 cm
b=2.592 cm
c=1.729 cm
6．保留坐标系、椭圆、定点M 和过定点M 的弦PQ ，隐藏其它的内容，这时选中点P ，在椭圆上拖动它，则点Q 相应在椭圆上移动，且PQ 始终经过点M .
理论根据：
椭圆上的点P 、Q 是由大圆上的点P '、Q '得到的，线段P 'Q '在大圆上经过定点M '，则相应的线段PQ 在椭圆上也经过定点M .。

问题的关键是怎样由点M 得到点M '，我们看到，只要在纵坐标是以定比
b
a
缩放点M ，就得到了对应点M '. (三) 椭圆中平行弦的画法的画法：
图9－11
1．用参数方程的画法画出一个椭圆，计算两圆半径的比k ＝
b
a
，定义为“标记比”； 2．在图形外画一条线段AC ，过点A 作水平线AD ，过C 作CD ⊥AD ；
3．选中点D 作为“缩放中心”，再选中点C ，用“标记比”缩放，得到点B ，连接AB ； 4．在大圆上任取一点P '，过P '作AB 的平行线角大圆于Q '；
5．用参数方程的作法，分别作出P '、Q '在椭圆上的对应点P 、Q ； 6．连接PQ ，则PQ 就是与AC 平行的椭圆中的弦；
7．保留坐标系、椭圆、AC 和PQ ，隐藏其它的内容；选中点P 在椭圆上拖动点P ，则弦PQ 始终与AC 平行，且点P 、Q 在椭圆上；
8．作PQ 的中点，标记为“追踪点”，则点P 运动时，可以看到中点的轨迹是一条线段。

理论根据：
在大圆上，P 'Q '//AB ，这个关系保持不变，相应的点P 、Q 是点P '、Q '在椭圆上的对应点，∴ 线段PQ 的斜率保持不变。

那么我们只要找到线段AC 与AB 的关系就可以了。

在这个作法中，改变已知条件AC 的倾斜角，那么相应的PQ 的斜率也发生同样的变化。

四．椭圆切线的画法
(一) 过椭圆上一个定点M 的切线：
1．在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F 1、F 2； 2．在椭圆上标出定点M ；
3．以F 1为圆心，椭圆的长轴2a 为半径作圆；
4．连接F 1M 延长交大圆于点N ；
5．连接F 2N ，作F 2N 的中垂线，这条中垂线过点M ，并且是椭圆的切线。

理论根据：
∵ 点M 在椭圆上， ∴ |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,
又|F 1N |＝2a ，∴ |MF 2|＝|MN
点M 在F 2N 的中垂线上，直线MD 经过点M 且与椭圆有且仅有一个交点，所以直线MD 是椭圆过点M 的切线。

(二) 过椭圆外一点作椭圆的切线：
图9－13
1．在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F 1、F 2； 2．在椭圆外标出定点T ；
3．以点F 1为圆心，椭圆的长轴2a 为半径作圆；
4．以点T 为圆心，|TF 2|为半径作圆，交圆F 1于点P 、Q ；
5．连接PF
2，作PF 2的中垂线MT ，同样连接QF 2，作QF 2的中垂线NT ； 6．直线MT 、NT 都是过点T 的椭圆的切线。

理论根据：
点P 、Q 在以点T 为圆心，|TF 2|为半径
作圆上，∴ |TF 2|＝|TP |＝|TQ |，PF 2的中垂线一定经过定点T ，且中垂线上一定有一点M ，满足|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝2a , 点M 在椭圆上，∴ MT 是椭圆的切线且MT 经过点T ；同理NT 也是椭圆的切线且NT 经过点T 。