椭圆的画法

第九章 椭圆的画法和性质

一．椭圆的定义：

1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：

设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,

∴ a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1

整理化简，并且设b 2

＝a 2

－c 2

得椭圆的标准方程

122

22=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：

设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定

直线l : x ＝c a 2的距离的比是常数a

c (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是

椭圆中对应于焦点F 的准线。常数e ＝a

c

(0

椭圆的离心率。 图9－2

4．椭圆的参数方程：

以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么

x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ, y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,

∴ 椭圆的参数方程是⎩

⎨⎧φ=φ

=sin cos b y a x (φ是参数).

二．椭圆的画法：

画法1：

图9－4

1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；

4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；

5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；

6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。 理论根据： 点P 1是两圆的交点，∴ 点P 1到F 1与F 2的距离的和等于两圆的半径

和,

即 |PF 1|＋|PF 2|＝|CM |＋|MD |＝|CD |＝2a .

说明： M 点不要直接在CD 上取，那样画

出来的椭圆将在x 轴附近断开一段，

因为计算机画的曲线实际上是由若干

条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点M 在CD 上运动时，一般情况点C '、D '都取不到，于是画出来的图形就不好看了。

图9－5

画法2：

1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a ，(2a >|F 1F 2|)； 3．以F 1为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ；

4．连接PF 1、PF 2，作PF 2的中垂线与PF 1交于点M ，连接MF 2；

5．将点M 定义为“追踪点”，分别选中点M 、点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。

理论根据：

点M 在PF 2的中垂线上，∴ |MP |＝|MF 2|, ∴ |MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|F 1P |＝2a . 即点M 到两个定点F 1和F 2的距离的和等于定长。点M 的轨迹是一个椭圆。

画法3：

图9－6

1．在平面中作两条直线，使直线l 为准线，另一条直线AB 与直线l 垂直；两条直线的交点为C ；

2．在图形外取两条线段a 和c ，使a >c ；

3．计算c c a -2，在直线AB 上取一点F ，使|CF |＝c c

a -2

,点F 作为椭圆的焦点；

4．在线段FC 上，取点A ，使|AF |＝a －c , 在CF 的延长线上，取点B ，使|FB |＝a ＋c ，作线段AB ，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P ；

5．计算e ＝a c ，度量|CP |的长，计算|CP |×a

c

；

6．以点F 为圆心，|CP |×a

c

为半径作圆，此圆与过

点P 且垂直于AB 的直线相交于M 1，M 2两点；

7．分别选中点M 1和点P (或点M 2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。

理论根据：

点M 1到点F 的距离是|CP |×a

c

，点M 1到准线l 的距离

|M 1D |＝|CP |,

∴

的距离到直线点的距离到点l M F M 11＝a

c

＝e . ∴ 点M 1在椭圆上。

画法4：

1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径画两个圆; 2．在大圆上取一点A ，连接OA 与小圆交于点B ；

3．过点A 作AN 垂直于Ox 轴，垂足为N ；作BM 垂直于AN ，垂足为M ； 4．分别选中点M 和点A ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 理论根据：

|ON |＝a cos φ, |NM |＝b sin φ, 根据椭圆的参数方程知，点M 的轨迹是一个椭圆。

画法5： 1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径画两个圆; 2．在大圆上取一点P ，过点P 作PN ⊥Ox 轴，垂足为N ；

3．计算两圆半径的比k ＝a

b ，定义

为“标记比”，选中点N ，定义为“缩放中心”；

4．选中点P ，用“变换”菜单 图9－8 中的“缩放”功能，将点P 用标记比缩放得到点M ；

5．分别选中点M 和点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 理论根据：

设点M 的坐标是(x , y )，则点P 的横坐标为x ，纵坐标y 0＝b

ay

,

∵ 点P 在圆x 2＋y 2＝a 2上，∴ 2

222

b y a x +＝a 2, 整理得 12222=+b

y a x . 结论：

只要动点P 在一个圆上运动，那么在一个方向上按一定比例压缩或延长PD ，所得到的点M 的轨迹都是椭圆。