电动力学第四章电磁波的传播
电动力学课件 4.5 波导
Ex ( A sin k x x B cos k x x)(C sin k y y D cos k y y )ei ( kz z t ) i ( k z z t ) E ( A sin k x B cos k x )( C sin k y D cos k y ) e y x x y y i ( k z z t ) E ( A sin k x B cos k x )( C sin k y D cos k y ) e x x y y z
d 2Y 2 k yY 0 2 dy
X ( x) A sin k x x B cos k x x Y ( y ) C sin k y y D cos k y y
u ( x , y ) X ( x )Y ( y )
这里的 A、 B、C、 D、kx、ky都是待定常数。至此得到沿 z 轴方向传播的电磁波电场的三个分量为：
E
k
H
TE
k
z kz
TE波和 TM波是相对于叠加波的传播方向而言的
10
c) 截止频率
2 2
kx
m a
n m n 2 2 2 2 2 ky kz k k x k y kz k b a b 其中波数 k取决于波源的频率ω和波导内介质的性质，即
k
2 若电磁场的激发频率ω足够小，以致于 k 2 k x2 k y ，则 kz是
纯虚数， k z i ，显然由因子 e 能在该波导内传播。
i ( k z z t )
e z e i t 看到，这不再
是行波，而是场随着z的增加而指数衰减，所以此时电磁场不
2 2 2 2 ( 2 2 )u ( x , y ) ( k k z )u ( x , y ) 0 x y
电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案
第四章 电磁波的传播一、 填空题1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。
答案：S wv =3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。
答案：0x E e α-⋅4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。
答案：变化的电场和磁场相互激发5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案：1>>ωεσ, 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以( )波模传播。
答案： 10TE 波7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为( )，它对时间的平均值为( )。
答案：2E ε,2021E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。
它们的相位( )。
答案：E vB =,相等9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部是( )的贡献。
导体中平面电磁波的解析表达式为( )。
答案： ωσεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-⋅⋅-= ,10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。
若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。
答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπω，ω＜n m c ,,ω，μεπb ，01TE11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全偏振波.答案：201n i arctgn = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0teσερρ-=二、 选择题1、 电磁波波动方程22222222110,0E B E B c t c t∂∂∇-=∇-=∂∂,只有在下列那种情况下成立（ ）A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ）A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ）A ．4π B.π C.0 D. 2π答案：C5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ）A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C6、 平面电磁波E 、B、k 三个矢量的方向关系是（ ）A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B⨯沿矢量k 方向 C.B E ⨯的方向垂直于k D. k E ⨯的方向沿矢量B的方向答案：A7、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A8、 亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立（ ） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D. 介质中的一般电磁波 答案：C9、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A三、 问答题1、 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。
电动力学-选择题填空题判断题问答题复习
《电动力学1》随教材复习题目一、章节容：第0章 矢量分析第一章 电磁现象的普遍规律第二章 静电场第三章 静磁场第四章 电磁波的传播第五章 电磁波的辐射二、题型1. 选择题，填空题，判断题、问答题2. 计算题（见教材例题）2018年5月第0章 矢量分析一、选择题0.1设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则有 （ B ）A. 0=∇rB. r r r ∇=C. 0=∇'rD. r r r'∇= 0.2位置矢量r 的散度等于 （B ）A ．0 B.3 C.r1 D. r 0.3位置矢量r 的旋度等于 （A ）A.0B.3C.r rD.3rr 0.4位置矢量大小r 的梯度等于 （ C ）A.0 B .r 1 C. r r D.3rr 0.5r 1∇=？ （ B ） A. 0 B.3r r - C.r r D .r 0.6⨯∇3r r =？ （A ） A. 0 B .r r C.r D.r 1 0.7⋅∇3rr =？（其中r ≠0） （ A ） A.0 B.1 C.r D.r1 二、填空题0.1位置矢量r 的散度等于（ 3 ）。
0.2位置矢量r 的旋度等于（ 0 ）。
0.3位置矢量大小r r r 。
0.4无旋矢量场可以引入(标)势来处理，无源矢量场可以引入(矢)势来处理。
0.5(无旋)矢量场可以引入标势来处理，(无源)矢量场可以引入矢势来处理。
三、判断题0.1标量场的梯度必为无旋场。
（√）0.2矢量场的旋度不一定是无源场。
(×) 0.3无旋场必可表示为标量场的梯度。
(√) 0.4无源场必可表示为另一矢量的旋度。
(√)第一章 电磁现象的普遍规律一、选择题1.1对于感应电场下面哪一个说确 （ D ）A 感应电场的旋度为零B 感应电场散度不等于零C 感应电场为无源无旋场D 感应电场由变化磁场激发1.2从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( B )A 有源无旋场B 有源有旋场C 无源无旋场D 无源有旋场1.3从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 （ D） A 有源无旋场 B 有源有旋场 C 无源无旋场 D 无源有旋场。
电动力学-第4章-第2节-电磁波在介质界面上的反射和折射
电磁波入射到介质界面发生反射和折射，其反射和折射的一、反射和折射定律在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的。
2，反射和折射定律的导出入射波、反射波和折射波的电场强度分别为：E E E ′′′,,(1) 角频率(2) 波矢分量间的关系：yy k ′′=′平面上，都在同一平面上，即分别代表入射角，反射角为电磁波在两介质中的相速度，则把波矢及它们的分量值代入它们之间的关系式，得这就是我们熟知的反射定律和折射定律！(3) 入射角、反射角和折射角的关系电磁波在介质界面上的反射和折射(9)211的相对折射率。
µ0，因此通常可认为就是两介质的相对折射率。
频率不同时，折射率亦不同，这是色散现象在折射问题中(4) 折射率电磁波在介质界面上的反射和折射(10)现应用边值关系式求入射、反射和折射波的振幅关系。
二、振幅和相位关系kr Hr k ′r k ′′r H ′′r H ′r E r E ′′r E ′r θθ′θ′′电磁波在介质界面上的反射和折射(11)1，E 入射面，如右图所示②①kr H r k ′r k ′′rH ′′r H ′r E r E ′′rE ′rθθ′θ′′xz nr利用已经推得的折射定律：2，E利用已经推得的折射定律得：(2a)(2b)三、全反射假设在情形下两介质中的电场形式上仍然不变，折射波电场：折射波磁场：电磁波在介质界面上的反射和折射(22)折射波平均能流密度：21θ分量，沿z 轴方向sin θ＞n 21 情形下12122−n i θsin 则由菲涅耳公式可以求出反射波和折射波的振幅和相位。
例如在。
电动力学知识点总结
第一章电磁现象的普遍规律 一、 主要内容：电磁场可用两个矢量一电场强度电Z,zQ 和磁感应强度B{x r y r zfy 来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的根底上找出丘，歹所满足的偏微分方程组 一麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电 磁学的根底上从实验定律岀发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律：使学生掌握 麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到 一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过 渡。
二、 知识体系：介质磁化规律:能量守恒定律n 线性介质能量密度:I 能流密度:洛仑兹力密度；宇二应+" x B三、内容提要:1. 电磁场的根本实验定律:(1) 库仑定律:库仑定理：壮丿=[*虫1厶电磁感应定律:市总•屋=-—[B-dSdV f區 dt k涡旋电场假设 介质的极化规律：V- 5 = /? VxZ=比奥-萨伐尔逹律: D = s Q S + PJdVxr边值关系位移电流假设V-> = 0J+ —B =其中:第2页，共37页对E 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和, 即：〔2〕毕奥——萨伐尔定律〔电流决定磁场的实验定律〕B = ^[^L〔3〕电磁感应定律②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
〔4〕电荷守恒的实验定律①反映空间某点Q 与了之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
空二0月•了二0②假设空间各点Q 与£无关，那么別为稳恒电流，电流线闭合。
稳恒电流是无源的〔流线闭合〕，°, 7均与北无关，它产生的场也与上无关。
2、电磁场的普遍规律一麦克斯韦方程微分形式di——diV • D = p方二勺宜+戶，H = —-MAo积分形式[f] E dl =-\ --dSSJs 冼[fl H-df = I + -\D -d§S念J血Q/40①生电场为有旋场〔鸟又称漩涡场〕，与静电场堤本质不同。
电动力学习题解答4
第四章 电磁波的传播1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为ωωd +和ωωd -的线偏振平面波，它们都沿z 轴方向传播。
（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。
（2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。
解：根据题意，设两列波的电场表达式分别为：)cos()(),(1101t z k t ω-=x E x E ； )cos()(),(2202t z k t ω-=x E x E则合成波为)]cos())[cos((),(),(2211021t z k t z k t t ωω-+-=+=x E x E x E E)22cos()22cos()(2212121210t z k k t z k k ωωωω---+-+=x E 其中 dk k k +=1，dk k k -=2；ωωωd +=1，ωωωd -=2所以 )cos()cos()(20t d z dk t kz ⋅-⋅-=ωωx E E 用复数表示 )](exp[)cos()(20t kz i t d z dk ωω-⋅-⋅=x E E相速由 t kz ωφ-=确定，k dt dz v p //ω==群速由 t d z dk ⋅-⋅=ωφ'确定，dk d dt dz v g //ω==2. 一平面电磁波以=θ45°从真空入射到2=r ε的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。
解：设 n 为界面法向单位矢量，S 、'S 、"S 分别为入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R 和折射系数T 定义为：2020''E E R =⋅⋅=n S nS ， 201202cos ""cos "E n E n T θθ=⋅⋅=n S n S 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得22121"cos cos "cos cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=θεθεθεθεR ， R T -=+=1)"cos cos ("cos cos 422121θεθεθθεε 根据折射定律可得：︒=30"θ，代入上式，得3232+-=R ， 3232+=T 3. 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。
电动力学_选择题填空题判断题问答题复习
《电动力学1》随教材复习题目一、章节内容：第0章 矢量分析第一章 电磁现象的普遍规律第二章 静电场第三章 静磁场第四章 电磁波的传播第五章 电磁波的辐射二、题型1. 选择题，填空题，判断题、问答题2. 计算题（见教材例题）2018年5月第0章 矢量分析一、选择题0.1设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则有 （ B ）A. 0=∇rB. r r r ∇=C. 0=∇'rD. r r r'∇= 0.2位置矢量r 的散度等于 （ B ）A ．0 B.3 C.r 1 D. r 0.3位置矢量r 的旋度等于 （ A ） A.0 B.3 C.r r D.3rr 0.4位置矢量大小r 的梯度等于 （ C ） A.0 B .r 1 C. r r D.3rr 0.5r 1∇=？ （ B ） A. 0 B.3r r - C. r r D .r 0.6⨯∇ 3r r =？ （ A ） A. 0 B .r r C. r D.r 1 0.7⋅∇ 3rr =？（其中r ≠0） （ A ） A.0 B.1 C. r D.r1 二、填空题0.1位置矢量r 的散度等于（ 3 ）。
0.2位置矢量r 的旋度等于（ 0 ）。
0.3位置矢量大小r r r 。
0.4无旋矢量场可以引入(标)势来处理，无源矢量场可以引入(矢)势来处理。
0.5(无旋)矢量场可以引入标势来处理，(无源)矢量场可以引入矢势来处理。
三、判断题0.1标量场的梯度必为无旋场。
（√）0.2矢量场的旋度不一定是无源场。
(×)0.3无旋场必可表示为标量场的梯度。
(√)0.4无源场必可表示为另一矢量的旋度。
(√)第一章电磁现象的普遍规律一、选择题1.1对于感应电场下面哪一个说法正确（ D ） A感应电场的旋度为零 B感应电场散度不等于零C感应电场为无源无旋场 D感应电场由变化磁场激发1.2从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( B )A有源无旋场 B有源有旋场 C无源无旋场 D无源有旋场1.3从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 （ D ）A 有源无旋场B 有源有旋场C 无源无旋场D 无源有旋场。
电动力学判断题
判断题第一章 电磁现象的普遍规律1. 无论是稳恒磁场还是变化的磁场，磁感应强度总是无源的。
(√)2. 无论是静电场还是感应电场，都是无旋的。
(×)3. 在任何情况下电场总是有源无旋场。
(×)4. 在无电荷分布的区域内电场强度的散度总为零。
(√)5. 任何包围电荷的曲面都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内。
(√)6. 电荷只直接激发其临近的场，而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。
(√)7. 稳恒传导电流的电流线总是闭合的。
(√)8. 在任何情况下传导电流总是闭合的。
(×)9. 非稳恒电流的电流线起自于正电荷减少的地方。
(√)10. 极化强度矢量p 的矢量线起自于正的极化电荷，终止于负的极化电荷。
(×)11. 均匀介质内部各点极化电荷为零，则该区域中无自由电荷分布。
(√)12. 在两介质的界面处，电场强度的切向分量总是连续的。
(√)13. 在两均匀介质分界面上电场强度的法向分量总是连续的。
(×)14. 在两介质的界面处，磁感应强度的法向分量总是连续的。
(√)15. 无论任何情况下，在两导电介质的界面处，电流线的法向分量总是连续的。
(×)16. 两不同介质表面的面极化电荷密度同时使电场强度和电位移矢量沿界面的法向分量不连续。
(×)17. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场的散度则由自由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。
(√)18. 两不同介质界面的面电流密度不改变磁场强度和磁感应强度的连续性。
(×)19. 关系式P E D +=0ε适用于各种介质。
(√)20. 静电场的能量密度为ρϕ21。
(×) 21. 稳恒电流场中，电流线是闭合的。
（ √ ）22. 电介质中E D ε=的关系是普遍成立的。
（ × ）23. 跨过介质分界面两侧，电场强度E 的切向分量一定连续。
《电动力学电子教案》课件
《电动力学电子教案》课件第一章：电磁场基本概念1.1 电磁场的定义与特性电磁场的概念电磁场的分类：静态电磁场和动态电磁场电磁场的特性：保守场与非保守场1.2 电磁场的基本方程高斯定律法拉第电磁感应定律安培环路定律麦克斯韦方程组1.3 电磁波的产生与传播电磁波的产生：麦克斯韦方程组的波动解电磁波的传播：波动方程和解电磁波的频率、波长和速度第二章：电磁波的波动方程及其解2.1 电磁波的波动方程电磁波的波动方程推导波动方程的边界条件2.2 电磁波的解平面电磁波的解球面电磁波的解2.3 电磁波的极化线极化圆极化椭圆极化第三章：电磁波的反射与折射3.1 电磁波在介质边界上的反射反射定律反射波的性质3.2 电磁波在介质边界上的折射折射定律折射波的性质3.3 电磁波的全反射全反射的条件全反射的物理意义第四章：电磁波的传播与应用4.1 电磁波在自由空间中的传播自由空间中的电磁波传播特性电磁波的传播速度和波长4.2 电磁波在大气中的传播大气对电磁波传播的影响大气层对电磁波的吸收和散射无线通信雷达微波炉第五章：电磁波的辐射与吸收5.1 电磁波的辐射电磁波的辐射机制天线辐射特性5.2 电磁波的吸收电磁波被物质吸收的机制吸收系数和损耗5.3 电磁波的辐射与吸收的应用无线通信设备的设计电磁兼容性分析电磁波探测与成像第六章：电磁波的量子电动力学基础6.1 量子力学与经典电磁学的对比经典电磁学的基本原理量子力学的基本原理6.2 量子电动力学的基本概念费米子的电磁相互作用光子与物质的相互作用6.3 量子电动力学的应用激光的原理与应用电子加速器与粒子物理实验第七章：相对论性电子学7.1 狭义相对论与电子学狭义相对论的基本原理狭义相对论对电子学的影响7.2 洛伦兹变换与电子学洛伦兹变换的定义与性质洛伦兹变换在电子学中的应用7.3 相对论性效应的应用高速电子设备的相对论性效应分析粒子加速器中的相对论性效应第八章：电子加速器与辐射效应8.1 电子加速器的基本原理电子加速器的工作原理电子束的特性和应用8.2 辐射效应的基本概念辐射对物质的影响辐射防护的基本原则8.3 辐射效应的应用医学影像学中的辐射效应无线电通信中的辐射效应第九章：电磁波探测器与测量9.1 电磁波探测器的原理与分类光电探测器微波探测器射线探测器9.2 电磁波测量技术直接测量法与间接测量法频率测量与功率测量9.3 电磁波探测与测量的应用无线电通信系统的性能评估地球物理勘探第十章：电磁波在现代科技中的应用10.1 电磁波在信息技术中的应用光纤通信技术无线通信技术10.2 电磁波在医学中的应用磁共振成像（MRI）射频消融技术10.3 电磁波在其他领域的应用雷达与遥感技术电磁兼容性与电磁防护重点和难点解析重点环节：1. 电磁场的定义与特性：电磁场的分类、电磁场的特性。
电动力学》理论证明集锦
《电动力学》理论证明集锦为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。
在此编撰了与《电动力学》课程相关的20余条理论证明容，有的是基础理论，但大部分是扩展容。
第一章 电磁现象的普遍规律1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。
[证明]设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为d P M fJ J J J 、、、,由麦克斯韦程之一(安培环路定理)给出)(0d P M f J J J J B +++=⨯∇μ对程两边作任意闭合曲面积分，得)()()(00d P M f Sd P M f SI I I I S d J J J J S d B +++=⋅+++=⋅⨯∇⎰⎰μμ即给出总电流为⎰⎰∑⨯∇⋅∇=⋅⨯∇=+++=VSd P M fdVB S d B I I I II )(1)(1μμ因为矢量场的旋度无散度:0)(=⨯∇⋅∇B，故 0∑=I--------------------------------------2. 若m是常矢量，证明除R=0点以外，矢量3R R m A ⨯=的旋度等于标量3R R m ⋅=ϕ的负梯度，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，向由原点指向场点。
[证明]在0≠R 的条件下，有)1(R m A ∇⨯⨯-∇=⨯∇R m R m m R m R 1)(1)()1()1(∇⋅∇+∇∇⋅+∇⋅∇-∇⋅∇-=R m 1)(∇∇⋅=另一面)1(R m ∇⋅-∇=∇ϕmR m R R m R m)1()(11)()1(∇⋅∇-⨯∇⨯∇-∇∇⋅-∇⨯∇⨯-=R m 1)(∇∇⋅-=经比较以上两式的右边，便可给出ϕ-∇=⨯∇A的答案。
注释:本题中所见的矢量和标量的形式在《电动力学》容中有多处出现，开列如下供参考（注意比较相同、相异之处）：（1）电偶极矩P 激发的电势：3041R R P ⋅=πεϕ；（2）磁偶极矩m产生的磁标势：341R R m m ⋅=πϕ； （3）磁偶极矩m产生的磁矢势：304R Rm A ⨯=πμ。
电动力学 第四章 电磁波的传播第1节zjz0811
H = 0 由 × E = B = H = H(x)eiω t t t t iω t = iωH(x)e = iωH
(
)
得：
× E = iωH
3.时谐情况下的波动方程－－亥姆霍兹方程 时谐情况下的波动方程－－亥 时谐情况下的波动方程－－
由于在一定频率条件下， 由于在一定频率条件下，有 D = εE , B = H 代入一般情 况下麦氏方程组，则有： 况下麦氏方程组，则有：
D(ω) = ε(ω)E(ω)
B(ω) = (ω)H(ω)
对于不同频率的电磁波，介质的介电常数是不同的， 对于不同频率的电磁波，介质的介电常数是不同的，即：
ε = ε (ω) ,
= (ω)
ε和随频率 而变化的现象，称为介质的色散。 和 随频率 而变化的现象，称为介质的色散 随频率ω而变化的现象 介质的色散。 由于色散对于一般非正弦变化的电场 E(t)，关系式 D(t) = εE(t) 因此在介质内不能导出E， 的一般波动方程 的一般波动方程。 不再成立,因此在介质内不能导出 不再成立 因此在介质内不能导出 ，B的一般波动方程。
假定在某一时刻（ 假定在某一时刻（ t 的实部。 = t0），取 E, B的实部。
E
x
B
k
4、电磁波的能量和能流Electromagnetic energy and energy flow 、
a) 电磁波的能量密度 根据电磁场的能量密度
1 1 2 1 2 w = E D + H B = εE + B D = εE , B = H 2 2
=0
1）.电磁波在真空中的波动方程 ） 电磁波在真空中的波动方程
的方程可以写为： 则 E 和 B 的方程可以写为：
电动力学第四章封闭空间(金属谐振腔)中的电磁波
第四讲在封闭空间中电磁波——金属（理想导体）谐振腔S11回波损耗，即有多少能量被反射回源端（Port1），这个值越小越好，一般S11< 0.1，即－20dB；S21插入损耗，也就是有多少能量被传输到目的端（Port2）了，这个值越大越好，理想值是1。
Boundary Conditions at the interface between ideal conductor, silver coatings （media 1）and dielectric media（media 2）, air in the cavity.无源边界条件Boundary conditions on the source-free surfaceConclusions:()()()()212121210,,0ff n E E n D D n H H n B B σα⨯-=⋅-=⨯-=⋅-=r r rr r r r r r r r r r 有源的边界条件证明：两平行无穷大理想导体平板之间可以传播一种偏振的横电磁模（TEM Mode ）TEM Wave: 0 and 0 over the space TE Wave: 0 and 0 over the space TM Wave: 0 and 0 over the spacez z z z z z E H E H E H ===≠≠=√ TEM W ave 1: E z = 0, E x = 0, E y ≠ 0; H z = 0, H x ≠ 0, H y = 0 × TEM W ave 2: E z = 0, E x ≠ 0, E y = 0; H z = 0Rectangular Metallic Cavity Resonators （矩形金属谐振腔）2()A A A A ∇⋅∇⨯=∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇r r r r20222222222222,000()001100j e E E H E j t t t E E E E E E E j t t tEE E j E E E t t t tE E tρσρεμμσμρεμμμεσσεμρμεμεερεμ====∂∂∂---∂∂∂∇-∇∂∂∂∂∇--=∇+∇-=∂∂∂⎡⎤∂∂∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=-++⎢⎥∂∂∂⎣⎦=∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=−−−−→∇⋅==−−−→∂∂∇-=⋅=∂∇r rr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 22220i t k E k E ωεμω-=−−∇+=−−→r r002222222()2222222222000000x x y i z t y z x x y y z z x x E e E e E e E y y k z e z k k E E E k E tE e E e E e E E k E E k E E k E E k E ωωεμεμωεμ-=++==∂∇-=∇+=∂=++⇓⎧∇+=⎪∇+=−−−−−−−−−−−−−→∇+=⎨⎪∇+−=⎩→r r r r rr r r r r r r r r 简谐解）（腔内介质决定的分解成三个分量的标量方程——矢量方程现在要求解：The resonant frequencyFor a given cavity, resonance occurs only at certain frequencies. The particular frequency is called resonant frequency, and the corresponding wavelength is called the resonant wavelength.The resonant frequency is the same for TM or TE modes (Cavity TM Mode to z, Cavity TE Mode to z), except thatthe lowest-order TM is TM110 and the lowest-order in TEis TE101.few low-order modes in the cavity1ixy z ωμ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎪⎝。
（1）真空或介质中电磁波传播可视为无能量损耗,电磁波无衰减
§4.4.3 3 3 有导体存在时电磁波的传播有导体存在时电磁波的传播有导体存在时电磁波的传播引言：（1）真空或介质中电磁波传播可视为无能量损耗，电磁波无衰减（能量20E ∝）；（2）电磁波遇到导体，导体内自由电子在电场作用下运动，形成电流，电流产生焦耳热，使电磁波的能量不断损耗，因此在导体内电磁波是一种衰减波，电磁能→热能；（3）导体中电磁波传播过程：交变电磁场与自由电子运动相互作用，使它不同于真空或介质中的传播形式。
一．导体内的自由电荷分布1． 静电场中导体上的电荷分布静电场中导体上的电荷分布：： 静电平衡时，电荷仅分布在表面上，导体内部无电荷，且0=E r ，导体表面的电场⊥E r表面。
2．变化场情况下的电荷分布变化场情况下的电荷分布：：在有变化电磁场情况下，导体不再处于静电平衡状态，必然有体电荷分布)(t ρ，)(t ρ分布变化形成电流，产生附加变化电磁场，形成导体内总电磁场分布，又影响)(t ρ。
仅讨论均匀导体：由电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tJ ρr 和J E σ=r r、ρ=⋅∇D r 及E D r r ε=导出：ρεσρ−=∂∂t （其中σ为导体的电导率，ε为导体的介电常数（静电场下∞→ε））。
解为：00t t t e e ()σετρρρετσ−−== =其中 τ为特征时间或驰豫时间，表示ρ减小到e 0ρ所需时间。
3．良导体条件良导体条件：：τ>>T （σεω>>>1T ）或者1>>εωσ特性：导体内0)(=t ρ，电荷仅分布在导体表面一薄层内。
二．导体内的电磁波1．基本方程基本方程（（导体内部导体内部））=⋅∇≈=⋅∇∂∂+=×∇∂∂−=×∇00B D t D J H t B E r r r r r rr ρ 对于良导体0=ρ，但是可考虑0≠J r ，E J r r σ=，但J r一般良导体下也只分布在导体表面一薄层内；若考虑0≠J r，则边值关系中面电流0≡αr，若0=J r，则0≠αr。
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理（复习备考专用）.
电动⼒学-郭硕鸿-第三版-课后题⽬整理（复习备考专⽤）.电动⼒学答案第⼀章电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：2. 设是空间坐标的函数，证明：，，证明：3. 设为源点到场点的距离，的⽅向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：；；；，。
（2）求，，，，及，其中、及均为常向量。
4. 应⽤⾼斯定理证明，应⽤斯托克斯（Stokes）定理证明5. 已知⼀个电荷系统的偶极矩定义为，利⽤电荷守恒定律证明p的变化率为：6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，⽅向由原点指向场点。
7. 有⼀内外半径分别为和的空⼼介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静⽌⾃由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化⾯电荷分布。
8. 内外半径分别为和的⽆穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀⾃由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体⾃由电荷密度的倍。
10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作⽤⼒⼤⼩相等⽅向相反(但两个电流元之间的相互作⽤⼒⼀般并不服从⽜顿第三定律11. 平⾏板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的⾃由电荷⾯密度和；（2）介质分界⾯上的⾃由电荷⾯密度。
(若介质是漏电的，电导率分别为和当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？12.证明：（1）当两种绝缘介质的分界⾯上不带⾯⾃由电荷时，电场线的曲折满⾜其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界⾯两侧电场线与法线的夹⾓。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界⾯上电场线的曲折满⾜其中和分别为两种介质的电导率。
13.试⽤边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界⾯上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表⾯；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平⾏于导体表⾯。
电动力学 第四章 电磁波的传播
（b）
将式(b)代入式(a)得电场矢量的波动方程：
E E 0 2 t
2 2
（3）
同理,对 B 量的波动方程：
E t
两边取旋度后，得磁场矢
B B 0 2 t
2 2
（4）
讨论： 1、式(3)，(4)为电磁场 E , B 的矢量波动方程！ 表示时变电磁场以波的形式在空间传播，其波速 为
H i E E i H H 0 E 0
（2）
比较： 一般时变电磁场的 麦氏方程形式：
H
正弦时谐电磁波的麦 氏方程复数形式：
H i E E i H H 0 E 0
上式两端对时间求导得相速（相位传播速度）： dx 1 p dt k （5） 空间相位kz变化2π 所经过的距离称为波长，以λ 表示，按此定义有kλ =2π ，所以 2 / k , k 2 /
理想介质中的平面电磁波
三、沿任意方向传播的平面电磁波 在直角坐标系中，均匀平面波沿+X方向传播，
（1）
电场强度和磁场强度的实数形式：
E ( x, t ) Re[E ( x)e
it
] e y E0 cos(t kx)
H ( x, t ) Re[H ( x)eit ] ez H 0 cos(t kx)
（2）
二、平面电磁波的传播特性 1、电场、磁场与波传播方向两两相互垂直，满 足右手关系，是横电磁波(TEM波)!
E t
E
B t
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第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
研究中常把介质分成几类研究：介质分类：理想介质：0，、都是实常数；理想导体：，电场和磁场都为0；导电介质：0, 、是复数，而且和频率有关。
D E各向同性线性均匀介质：B H4.1.2几种常见的电磁波波动方程：1（一般情况下，含源空间，线性均匀理想介质中）电场波动方程：2E2E Jt 2t磁场波动方程2H2HJt 22 如果媒质导电（意味着损耗），有 JE 代入上面，则波动方程变为2EE 2Et t 22HH2H0 （一般情况下， 含源 空间， 线性均匀导电介质 中）tt2如果是时谐电磁场，场量用复矢量表示，则2E j E 2E2HjH2H 0采用复介电常数，2i2( i )22( 为复电容率 ) ，上面也可写成2E2E2H 2H 03 在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
EB（）tH D（ ）由麦氏方程和介质电磁性质方程：Et（ ）0 3 B（ ）0 4DE（5） BH（ 1）式两边取旋度并代入（ 2），结合（ 3）、（ 5）得到（ 6）；同法（ 2）式两边取旋度并代入（ 1），结合（ 4）、（ 5）得到（ 7） .同学生自己证明 .2E1 2 E （ ）v 2 t 2 0 61( （ ）22)................ a2H1 H （ ） vv 2 t 20 7在线性、均匀、各向同性、导电媒质的无源区域， 波动方程成为齐次方程。
E B （1）tHD（）t J 2E由麦氏方程和介质电磁性质方程：（）0 3B（）0 4D EB H（5）J E2 E E 2 E0按上述方法即可得到：t t22 H H2H0t t 24.如果是时谐电磁场，场量用复矢量表示：E(r , t)i E(r )e i t i0为初相位因子，E om e0，其中：E om， B om为振幅， ee i （有实际物理意义B(r , t)Bom 0B(r )e i t为空间传播因子，i t时间传播因子。
E(r )e的是其对应复数的实部，引用复数形式只是为了数学计算的方便）将复矢量形式的场量带到一般时谐电磁场在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域所满足的麦氏方程和介质电磁性质方程：方程和时谐电磁场波动方程：BE（1）tDH（J2）tE（03）得到时谐场情况下的复数形式麦氏B（04）D E（5）B HE(r )i（）H (r ) 1'H (r )i（）E (r ) 2'复数形式的麦克斯韦方程组E (r )（）0 3'H (r )（）0 4'2 2E(r )k 2 E (r )0时谐电磁场波动方程略去其他项，只含传播因子项)...(b) B(r )k 2 B(r )0（均匀各项同性线性介质中，k22）时谐场在线性、均匀、各向同性导电媒质的无源区，由于导体的存在，引入J EBE （1） tDH（J2）tE （03） 麦氏方程组和波动方程变为： B （04） D EBH （5）E(r ) i （ ） H (r ) 1'H (r )i （ ）E( r ) 2'E(r ) （ ）0 3'H (r )（ ）4'2E(r ) 2E (r )...( c) 2B(r )2B(r ) 0JE2i2(i ) 22 ，复电容率。
注意，介电常数是复数代表有损耗。
注意：形式：E a E （0a 为常数）22为齐次矢量亥姆霍兹方程，此方程有很多中种形式解，但能够反映空间电磁场分布的 必须还要满足散度方程 ，每一种可能的形式解就代表一种可能存在的波模 。
所以：满足条件的场方程（a ）、（b ）、（c ）应该为：2E12E 0v2t22H12H1v 2t 2( ).......... ......（ a'）v 2E 0H2E(r ) k 2 E( r ) 02B(r ) k 2 B(r ) 0E 0 或 B 0 ................................(b ’) B iE i BE2E(r )2 E(r ) 0 2B(r )2B(r ) 0 E 0 或 B 0 ................................(c ’) i Ei BHE5 学习要求：推导，数学形式与物理意义的对应6.记住方程组（ a ）、（b ）、（ c ）和（ a ’）、（ b ’）、（c ’）及对应的空间介质条件§4.2 无界空间理想介质中的均匀平面电磁波本节主要容：求解方程组（ a ’）、（ b ’）、（c ’），及求解无界空间无耗和有耗（导体）介质区域电磁波存在形式。
学习要求：明确方程求解过程；记住方程组的形式和物理意义；明确波的传播特性；记住一些波的特性参数如：波阻抗、相速度、传播常数、衰减常数、相位常数、趋肤深度等；趋肤效应的应用。
4.2.1. 电磁波分类： 按等相位面形状可分为平面波、球面波和柱面波。
按传播特性分 TEM 波、 TM 波、 TE 波。
平面波是一种最简单的、最基础的电磁波。
它具有电磁波的普遍性质和规律，实际存在的电磁波可以分解成许多平面波，因此，平面波是研究电磁波的基础，有着十分重要的理论价值。
等相面：波源经同一传播时间场量所到达的点形成的面叫做波阵面，相位相等，称为等相位面。
等幅面：幅度相等的面，又称为均匀波。
平面波：等相面为平面的波。
均匀平面波：场矢量只沿着传播方向变化，在与传播方向垂直的无限大平面场矢量的方向、振幅和相位保持不变。
4.2.2 均匀平面波解（无源无界理想介质中）2E12E 0v2t22H1 2H0 12 2)................（a'）4.2.2.1 波动方程：vt( 2.E 0vH4.2.2.2 解分析：由均匀平面波的定义，我们可假设场参数只与同一坐标分量有关，如直角坐标系中的z 坐标。
即E x ( z,t )E y ( z, t)0 E e x E x ( z, t) e y E y ( z, t) e z E z ( z, t)0,yx（ 2）（ 1）；与 x ， y 无关H y (z,t )He x H x ( z, t)e y H y (z,t ) e z H z (z,t )H x ( z,t )0,yx由方程组可看出E, H 对应的方程形式相同，可以推测，他们的解法和解类似。
所以我们先求其中一个，另一个可由麦氏方程组直接求出。
解过程：由方程E 0 ，即 E x ( z ， t )E y (z ， t )E z ( z ， t)0 （ 3）x y z结合方程（ 2）中第一个表达式，由方程（3）可得 E z (z ， t ) c(t) 。
如果 t=0时，电磁场为零，E z (z ， t ) 0 （类似也可得 H z ( z ，t ) 0 ）电场、磁场强度只含x ，y 分量。
所以E （ z, t ） e x E x ( z, t)e y E y ( z,t)H ( z,t ) e x H x ( z, t).（ 4）e y H y ( z,t)我们选择求方程（4）中 E( z ， t) 的具体形式， 磁场强度 由麦氏方程组直接求出。
求方程（ 4）中 E( z ， t ) 的具体形式：需要解方程 (a’)第一个表达式的解。
此矢量波动方程在直角坐标系中有三个形式相同的标量波动方程，所以，根据叠加原理，可以分别讨论E x( z, t)和e y E y ( z, t) 。
若以E x( z, t)为例(假设电场强度E( z,t) )只有 E x ( z, t) 分量，则矢量波动方程变为标量波动方程：2 E x( z, t)12 E x( z,t )z2v2t 20 （5）此方程的通解为：E x ( z, t) f1 ( z vt ) f 2 ( z vt ) （6）（式中 f1(z vt )和 f 2 ( z vt )是 ( z vt )和( z1vt )的任意函数， v为波速）f1 (z vt )和 f2 (z vt )的物理意义：f1 (z vt )和 f2 (z vt ) 沿z轴传播 f1 ( z vt ) 沿+z轴传播（入射波） f 2 ( z vt ) 沿-z轴传播。
（反射波）无界空间中，电磁波只有入射波，没有反射波。
因此，电场强度E x( z,t ) f (z vt ) 。
下面由麦氏方程组确定磁场强度。
e x e y e z Ex y z B，即e yEx( z, t)H ，t z tE x ( z, t)00显然， H ( z, t) 只有 H y (z,t ) 分量。
则矢量波动方程变为标量波动方程：2 H y ( z,t)12 H y(z,t )z2v2t 20（7）.求解过程和解与电场相同，所以，对只沿 +z 传播H y(z,t ) g( z vt )（式中 g (z vt )是 (z vt )的任意函数， v 1为波速）结论：如果电场强度 E(z,t ) )只有 E x ( z, t ) 分量，那么H (z,t) 只有 H y ( z,t) 分量。