初等数论在中学数学竞赛中的应用
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谢谢各位老师！
初等数论在中学数学竞赛中的应用
指导教师：xxx 答辩学生：xxx
班
学Leabharlann Baidu
级：xxx
号：xxx
目
录
1
选题背景
2
3
主要内容
致 谢
一、选题背景
初等数论是研究整数的规律，特别是整数性质的数 学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法 为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理 论和某些特殊不定方程。简单的来说，初等数论就是用 初等、朴素的方法研究数论。另外还有解析数论（用解 析的方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法研 究数论）。 初等数论应用最广泛的莫过于数学竞赛了，它是数 学竞赛中最重要的一部分。例如历年来“国际数学奥林 匹克竞赛（简称IMO）”、“希望杯”等。据不完全统 计，初等数论在IMO中题目所占比例就有30%。由此可 见，研究初等数论在中学数学竞赛中的应用是非常有必 要的。
3、不定方程及其应用
4、总结
1、整除理论及其应用
初等数论是研究整数基本性质的一门十分重 要的数学基础课程，由此而言，初等数论的基础 便是整除理论了。
本章主要从整除、带余数除法、最大公约数 与最小公倍数、高斯函数的基本定义以及其性质 出发，结合近几年的中学数学竞赛题来说明整除 理论的应用。
2、同余理论及其应用
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致 谢
谨向我的导师xxx， 车键分段，并添加项目符号。 答辩小组各位老师以及 在此处添加文章正文，根据需要调整字体、字号、颜色。按回 给予我帮助和关心的老 车键分段，并添加项目符号。 在此处添加文章正文，根据需要调整字体、字号、颜色。按回 师、同学、朋友们表示 车键分段，并添加项目符号。 衷心的感谢！
二元一次不定方程中主要介绍了竞赛中不定 方程求整数解的题型，再求特解的过程中，可以 用观察法、辗转相除法或缩小系数等方法。
高次不定方程，根据其自身特点，运用整 除理论和有关初等数论的知识，可以有效地求 解方程。常用的几种高次不定方程的解法有： 余数分析法、因式分解法、约数分析法、奇偶 分析法、判别式法等等。本节通过竞赛题简单 了介绍了几种方法的使用。
4、总结
通过对本文的研究，可以看出初等数论的知识 在竞赛题中的重要性，在解题时要适当运用其定理 和定义，才能更好地解决问题。需要注意的是在运 用初等数论知识中解题时常常蕴涵了整体化、配对、 化归等数学思想方法。例如整除与带余除法问题； 整除与同余问题；不定方程与同余问题都可以等价 化归。有些竞赛题更是需要多种数论方法，多种数 学思想方法相互交织才能解答，这就要求我们必须 要掌握一些初等数论的知识，才能在竞赛题中灵活 的应用。
本章先是对同余的概念及其基本性质做了详细 的说明，然后简单地介绍了孙子定理。在数学竞赛 中，同余的性质应用的非常广泛，例如判断一个数 是不是平方数，求一些数的末两位数是多少等等。 在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定 方程等方面的问题中同余的性质有着不可替代的功 能。
3、不定方程及其应用
每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占 有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好 材料。本章主要介绍了一次不定方程和高次不定 方程的应用。
研究现状
在国内，有很多学者对初等数论在中学 数学竞赛中的应用进行了研究，有针对初等 数论的某一定理展开研究的，也有总结竞赛 中常用到的初等数论思想或是解题方法等等。 但大都是针对某一定理在高中竞赛中的应用， 很少有总结归纳数论知识对初中数学竞赛的 应用。
二、主要内容
1、整除理论及其应用
2、同余理论及其应用
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指导教师：xxx 答辩学生：xxx
班
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选题背景
2
3
主要内容
致 谢
一、选题背景
初等数论是研究整数的规律，特别是整数性质的数 学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法 为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理 论和某些特殊不定方程。简单的来说，初等数论就是用 初等、朴素的方法研究数论。另外还有解析数论（用解 析的方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法研 究数论）。 初等数论应用最广泛的莫过于数学竞赛了，它是数 学竞赛中最重要的一部分。例如历年来“国际数学奥林 匹克竞赛（简称IMO）”、“希望杯”等。据不完全统 计，初等数论在IMO中题目所占比例就有30%。由此可 见，研究初等数论在中学数学竞赛中的应用是非常有必 要的。
3、不定方程及其应用
4、总结
1、整除理论及其应用
初等数论是研究整数基本性质的一门十分重 要的数学基础课程，由此而言，初等数论的基础 便是整除理论了。
本章主要从整除、带余数除法、最大公约数 与最小公倍数、高斯函数的基本定义以及其性质 出发，结合近几年的中学数学竞赛题来说明整除 理论的应用。
2、同余理论及其应用
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二元一次不定方程中主要介绍了竞赛中不定 方程求整数解的题型，再求特解的过程中，可以 用观察法、辗转相除法或缩小系数等方法。
高次不定方程，根据其自身特点，运用整 除理论和有关初等数论的知识，可以有效地求 解方程。常用的几种高次不定方程的解法有： 余数分析法、因式分解法、约数分析法、奇偶 分析法、判别式法等等。本节通过竞赛题简单 了介绍了几种方法的使用。
4、总结
通过对本文的研究，可以看出初等数论的知识 在竞赛题中的重要性，在解题时要适当运用其定理 和定义，才能更好地解决问题。需要注意的是在运 用初等数论知识中解题时常常蕴涵了整体化、配对、 化归等数学思想方法。例如整除与带余除法问题； 整除与同余问题；不定方程与同余问题都可以等价 化归。有些竞赛题更是需要多种数论方法，多种数 学思想方法相互交织才能解答，这就要求我们必须 要掌握一些初等数论的知识，才能在竞赛题中灵活 的应用。
本章先是对同余的概念及其基本性质做了详细 的说明，然后简单地介绍了孙子定理。在数学竞赛 中，同余的性质应用的非常广泛，例如判断一个数 是不是平方数，求一些数的末两位数是多少等等。 在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定 方程等方面的问题中同余的性质有着不可替代的功 能。
3、不定方程及其应用
每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占 有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好 材料。本章主要介绍了一次不定方程和高次不定 方程的应用。
研究现状
在国内，有很多学者对初等数论在中学 数学竞赛中的应用进行了研究，有针对初等 数论的某一定理展开研究的，也有总结竞赛 中常用到的初等数论思想或是解题方法等等。 但大都是针对某一定理在高中竞赛中的应用， 很少有总结归纳数论知识对初中数学竞赛的 应用。
二、主要内容
1、整除理论及其应用
2、同余理论及其应用