电子科技大学数值分析研究生期末考试习题二
西安电子科技大学 研究生 电磁场数值分析期末考试题
西安电子科技大学何超电磁场数值分析考点1：矩量法的一般过程（算子方程、离散化过程、选配过程、矩阵方程求解）。
给定算子方程和基函数，采用伽略金法，计算阻抗矩阵和激励电压矩阵，从而求得电流系数矩阵，即得到方程的近似解。
（矩阵维数一般为2×2，或3×3，便于计算）。
1/link?url=oRwkn_6gajdEKC3YUFvvipOKLuZJXnVk43odUwyDWYRao nT1SlZLKEq9PCQba5xPYg_7mXpK8pZW0R-_RfT5EOXLvj0BKqKmQ6cfXMuW8P7有3个矩量法例题考点2：ScaLAPACK 的矩阵分布方式。
给定进程网格，矩阵分块大小，要求能写出按ScaLAPACK矩阵分布方式，每个进程对应的矩阵元素。
？1 并行矩阵填充在PC集群系统中MPI并行矩量法研究36 37考点3：temporary block column 对active block column 分解产生的影响.对于当前活动列块（即正在进行LU分解的列块），要能够分析其左侧临时列块对其LU分解所产生的影响。
？英文书写得很详细了啊45--55有lu分解将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。
当A 的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU，且当L的对角元全为1时分解唯一。
其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
4阶矩阵的LU分解[1]高斯消元法见数值分析教材考点4：积分方程的建立要求掌握EFIE 、MFIF 、PMCHW（电场、磁场、表面积分方程）根据等效原理建立的过程，即对于给定的问题（PEC （理想导体）或介质）能根据等效原理建立积分方程（不要求写出场的位函数表达式，主要考察方程建立的思想）。
看矩量法的书那个英文书只有EFIE 等效原理EFIE考点 5：RWG 基函数考察 RWG 基函数的 表达式，以及其 特点，对于给定的一个三角形网格图要能够标出哪些地方（ 公共边上） 存在基函数。
电子科技大学数值分析研究生期末考试习题二
习 题 二请尽可能提供程序1、假设)(x f 在[]b a ,上连续，求)(x f 的零次最佳一致逼近多项式。
2、选择常数a ，使得ax x x -≤≤310max 达到极小，又问这个解是否唯一？3、如何选取r ，使r x x p +=2)(在[]1,1-上与零偏差最小？r 是否唯一？4、设在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ降低到3次多项式.求a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小。
5、设{}x span ,11=ϕ，{}1011002,x x span =ϕ，分别在21,ϕϕ上求一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。
6、用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
i x 19 25 31 38 44i y19.0 32.3 49.0 73.3 97.87、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh++-≈--⎰8、用辛普森公式求积分1x e dx -⎰并估计误差。
9、求近似求积公式)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f +-≈⎰的代数精度。
10、用三个节点（2=n ）的Gauss 求积公式计算积分)2(14112π=+=⎰-dx x I 。
11、试确定常数A ，B ，C 和α，使得数值积分公式)()0()()(22ααCf Bf Af dx x f ++-=⎰-为Gauss 型公式。
12、用三点公式求2)1(1)(x x f +=在1.1,0.1=x 和1.2处的导数值，并估计误差，)(x f 的值由下表给出：X1.0 1.11.2 1.3 1.4)(x f0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.173613、就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
电子科技大学2016数值分析研究生期末考试
《数值分析》复习题
Ex1.证明方程 1 – x – sin x = 0 在区间[0，1]上有一 根。使用二分法求误差不大于0.5×10-4的根需二分 多少次？
Ex2. 对于二元方程G(x，y)=0，已知（x0，y0）满 足方程。如果在点x0附近有函数y =y(x)，则根据隐 函数存在定理，对于接近于x0的自变量x，试构造 牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。
初值问题?
15/15
第五章 思考题 1. 代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的 2. 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？ 3. Runge反例主要说明一个什么样的问题？ 第六章 思考题
1. 多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数 有何特点？
2. 曲线拟合的最小二乘法有何特点？ 3. 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？
Ex 27 将积分上限函数
f ( x) exp( x2 ) x exp( t 2 )dt 0
转化为常微分方程初值问题。并确定一种可求解的二 阶方法
11/15
第一章 思考题
1.在科学计算中，一般误差的来源有几种？列出部分 数值分析课中主要讨论误差。
2.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述 3.什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例
Ex 18.已知实验数据如下： x1 2 3 4
y 10 30 50 80
求二次多项式拟合函数P(x) = a + b x2 Ex 19 利用数据表 t –2 –1 0 1 2
y yk-2 yk-1 yk
yk+1 yk+2
应用数值分析西安电子科技大学课后答案
应用数值分析西安电子科技大学课后答案1. 大数据中的小数据可能缺失、冗余、存在垃圾数据，但不影响大数据的可信数据，是大数据的（）的表现形式。
[单选题] *A. 价值涌现B.隐私涌现C. 质量涌现(正确答案)D. 安全涌现2. 数据科学基本原则中，基于数据的智能的主要特点是（）。
[单选题] *A. 数据简单，但算法简单B.数据复杂，但算法简单(正确答案)C. 数据简单，但算法复杂D. 数据复杂，但算法复杂3. （）是数据库管理系统运行的基本工作单位。
[单选题] *A. 事务(正确答案)B.数据仓库C. 数据单元D. 数据分析4. 目前，多数NoSQL 数据库是针对特定应用场景研发出来的，其设计遵循（）原则，更强调读写效率、数据容量以及系统可扩展性。
[单选题] *B. READC. BASE(正确答案)D. BASIC5. 数据可视化的本质是（）。
[单选题] *A. 将数据转换为知识(正确答案)B.将知识转换为数据C. 将数据转换为信息D.将信息转换为智慧6.下列不属于大数据在社会活动中的典型应用的是（）。
[单选题] *A. 美团实现了快速精准的送餐服务B. 共享单车、滴滴打车方便了人们的日常出行C. 快递实现了订单的实时跟踪D. 供电公司提供电费账单查询(正确答案)7.在空间维度上刻画数据连续性是数据的（）。
[单选题] *A. 可关联性(正确答案)B.可溯源性C. 可理解性D.可复制性8.将观测值分为相同数目的两部分，当统计结果为非对称分布时经常使用的是（）。
[单选题] *B.标准差C. 中位数(正确答案)D.均值9. （）的本质是将低层次数据转换为高层次数据的过程。
[单选题] *A. 数据处理B.数据计算C. 数据加工(正确答案)D.整齐数据10. 在抽样方法中，当合适的样本容量很难确定时，可以使用的抽样方法是（）。
[单选题] *A. 有放回的简单随机抽样B. 无放回的简单随机抽样C. 分层抽样D.渐进抽样(正确答案)11.下列关于基本元数据描述正确的是（）。
电子科技大学数值分析研究生期末考试习题一
电子科技大学数值分析研究生期末考试习题一习题请尽可能提供程序1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差05.0<。
2. 为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：1）2/11x x +=，迭代公式21/11k k x x +=+；2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+；3）112-=x x ，迭代公式1/11-=+k k x x ；4）132-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 。
试分析每种迭代公式的收敛性。
3. 给定函数)(x f ，设对一切x ，)(x f '存在且M x f m ≤'≤<)(0，证明对于范围M /20<<λ内的任意定数λ，迭代过程)(1k k k x f x x λ-=+均收敛于)(x f 的根*x 。
4.设a 为正整数，试建立一个求a1的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑公式的收敛性。
请提供程序。
5.用Gauss 消去法求解方程组：-=????? ??????? ??----503121312111321x x x （请提供程序）用列主元Gauss 消去法求解下列方程组：（1）=????? ??????? ??13814142210321321x x x （请提供程序）6.用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中--------=2100012100012100012100012A ，=00001b 。
7.设n n R P ?∈且非奇异，又设x 为n R 上一向量范数，定义Px xp =。
试证明px 是n R 上向量的一种范数。
8.用平方根法（Cholesky 分解）求解方程组：=????? ??????? ??7351203022323321x x x9.用改进的平方根法（T LDL 分解）求解方程组：=????? ??????? ??3016101795953533321x x x 。
电子科技大学 数值分析研究生期末考试
1 0 2 0
1
A
0 1
1 2
0 4
1
3
,
b
0 4
0
1
0
3
2
计算矩阵 A 的 LU 分解，并求出方程的解.
解：矩阵 A 的 LU 分解为
1
1 0 2 0
A
LU
0 1
1 2
1
1
0
1
2 1
0
1
0
1
2
方程组的精确解为 x （1，-1,1,1）T .
4. 给定求积公式 1 f (x)dx Af (0) Bf (0.5) Cf (0) ，试确定 A, B, C ，使其代数精度尽可能的高，并 0
指明此时求积公式的代数精度.
解：分别将 f (x) 1, x, x2 ，代入求积公式，可得
1
A B
1
2
B 1B 4
C
1 0
1 dx 1,
解：由于高斯求积公式为
1
f (x)dx
1
n
Ak
k 0
f (xk ) ,其中 xk 是 Pn1 (x) 的零点.
首先将积分区间转化
为[1,1] .令 x t 2 则 x [1,3] 时 t [1,1] .而
I 3 e x sin xdx 1 et2 sin(t 2)dt 令 g(t) et2 sin(t 2)
yn1
yn
h[f 2
(xn ,
yn )
f
(xn1, yn1)]
是二阶的，并求出局部截断误差的主项.
证：局部截断误差为
Tn1
y(xn1)
y(xn )
西安电子科技大学数值分析
题目要求1. 编制条件如图所示，用差分法求区域内的电压值。
0v10v0v0v0v0v解：由题意，我们将不规则部分补全，并进行等效处理，如下图结果所示，图示给出的是对整体补全后做3*3 的有限差分结果，当然网格化点数可以根据需要做改变，这里只是体现方法，故只取了 9 个点。
876 a11o a12=10v o-inf54 a21o a22=0v o a23=0v32 a31o a32o a331-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9根据拉普拉斯 5 点差分原理，可知得到关于电压变量 a(i, j 1, 2, 3) 的i , j方程如下：4a 1,1 a 2,110;a 1,1 4a 2,1 a 3,1 0; a 2,1 4a 3,1 a 3,2 0; a 3,1 4a 3,2 a 3,3 0; a 3,2 4a 3,30.4 1 0 0 0 10 1 4 1 00 0 写成矩阵的形式： Ax b ; 其中， A 0 1 4 10 ， b 0 。
0 0 1 41 0编写程序可以求得0 01 4a , a , a , a , a , 2.6790.7180.1920.0513 0.0132. 在区域一边有个源，边界为 PML 边界，用 FDTD 法求所研究区域的场分布。
建模说明：二维 TE 波在空间传播，采用 PML 边界吸收，点辐射源验证。
FDTD 基本差分方程Yee 采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节点的编号和其空 间坐标位置按照下面的方式对应起来()(),,,,i j k i x j y k z =∆∆∆ (2-1) 而该点的任意函数()x,y,z,F t 在时刻n t ∆的值可以表示为：()(),,,,,n F i j k F i x j y k z n t =∆∆∆∆ (2-2)式中x ∆、y ∆、z ∆分别为沿,,x y z 方向上离散的空间步长，t ∆是时间步长。
电子科技大学数值分析研究生期末考试
、已知方程 exp x gsin x 1
1、确定方程全部正根的隔根区间。
2、设最小正根为x *，取猜测值X o ，写出x *的牛顿迭代法计算格式。
1 1 1
2 3
1 1 1
2 3
1、求雅可比迭代矩阵h (I 1)1A 的范数G。
2、写出高斯-赛德尔迭代矩阵。
3、判定是否有R f''(x *)
2f'(x *
) 1求成立，并解释其意义。
的LU 分解，并求出用“込范数”计算矩阵 U 的条件数
1
Cond(U)。
四、给点数表
用最小二乘法确定线性拟合函数 x C 0 C 1x
五、根据等距结点：为1,X j ,X j 1 (满足X j 1 X j X j X j 1 h )，写出二次拉格朗日插值
三、求A 1
基函数：I j 1 X ,I j X ,I j ! x 。
求:
f k x xI k' x ' ,(k j 1,j,j 1) 在x X j处的值
六、将积分上限函数
x
y x exp x t exp t dt转换为一阶常微分方程初值冋题，取
1
h ，记x jh
n
j 0,1,2,..., n，写出用Euler方法计算y 1的计算公式。
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西安电子科技大学2013年上半年期末考试经济数学二试卷及答案
→∞+→∞++lim lim
n n n
n n n n
n
u
u 11
1
14141
4
,收敛半径R ==14ρ
由x -<14得:-<<35x ,故收敛区间是(-3,5
15.特征方程为:r r 2
250-+=,特征根为r i 122420
2
12,=±-=±
通解为(y e c x c x x =+1222cos sin三.
x 'arctan arctan arctan =++⋅⋅+--+++2
2222
12211111221
(=+
-+x x x x arctan 2
2
1
1
所以dy y dx x x x x dx ==+-+⎡
⎣
⎢⎤
⎦⎥'(arctan 2211
13 x31 18.解：函数yxx 3在x0处不可导，y '1x 3( x0时1 2 x3 2 1令y'0得驻点x1，求得y (15 1，y (00，y2 2 5 2于是y在[1，1]上的最大值为y(00，最小值为y119.解：令xt，xt 2，dx2tdt，于是sin还原xdxsin t2tdt2t sin tdt2t (cos t ' dt2[t cos tcos tdt ]2[t cos tsin t ]c2 x cos x2 sin xc 20.解：令F ( x, y, zx 22 y 23z 2xyz9，则Fx '2 xy，Fy '4 yx，Fz '6z1于是，F'z 2xyxx Fz ' 6z1 Fy 'z 4yxy Fz 6z1 21.解：D用极坐标表示为(r ,02，0r101x D 1 2y 2 dxdyd21 rdr 1 rdr22 0 1r 0 1r2 1d (1r 2ln 1r 2 2 0 1r 11 0ln 2 y x2+y2≤1 O x 22.
电子科技大学数值分析研究生期末考试习题答案
y1 y2 y3
10 1360
，可得
y1 y2
y3
10 6 4
3
1 求解
1 1
5 3
x1
3
2 1
x2 x3
2
2 3
0 0
0 0
4 4
4 4
由
0 1 1 44
0 I B0 1
4
1 4
1 4
1 4 2 ( 1)( 1) 0 22
0
1 1 0 44
可知，
(B0
)
1 2
.
（b）由 G (D L)1U
1 0
0 0 01 0 0 1 1
1 axk1 (1 ax0 )2k1 , k 0,1,2,，解得
xk
1 a
[1
(1
ax0
)
2k
],
k 0,1,2, ，
lim
k
xk
1 a
lim(1
k
ax0
)2
k
0
1 1
ax0
1
0
x0
2 a
，
所以当 0
x0
2 a
时，方法收敛.
4 4
1 4
1 4
0 0 1 0
0
0 0
4 1 4 0
0
数学分析(2)期末试题参考答案
∑ A′
∑ ℓα (
)
µ(Iα) µ Jβxα,γ
≥
ε0 m
>
ε.
α=1 γ=1
α=1
γ=1
另 一 方 面， 对 于 每 个 xα， 存 在 一 个 Kk， 使 得 xα ∈ Kk。 因 为 P 是 利 用 K1, . . . , Kκ 的边界构造的网格分划，所以相应的 Iα × Jβxα,γ 一定包含在这个
恰好覆盖
Em，于是
∑A′
α=1
µ(Iα)
≥
ε0。对于每个
Iα (1 于是
≤ α ≤ A′)，取一个
∑ℓα
γ=1
µ(Jβxα ,γ
)
≥
1 m
xα ∈ Iα ∩ Em，设 ，所以我们有
Jβxα,1 , . . . , Jβxα,ℓα
恰好覆盖
Kxα ，
∑ A′ ∑ ℓα ( µ Iα
) × Jβxα,γ
=
i) 求证：
∫
∫
∫
ωi = ωi + ωi, i = 1, 2.
γ3
γ1
γ2
ii) 求证：
∫
lim
ωi = 0, i = 1, 2.
R→+∞ γ2
iii) 计算广义积分：
C = ∫ +∞ cos (x2) dx, S = ∫ +∞ sin (x2) dx
0
0
() 解答： i) 因为 ωi ∈ Ω1 R2 、dωi = 0 (i = 1, 2)，所以由 Green 公式可知结论
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是
电子科大数值分析期末试卷及评分细则2
一、填空题：（30分，每空3分）1. 迭代公式11,01n n n p p λλ-=<<，设01p =，若0p 有误差，按照迭代公式生成的数列误差随着n的增大而_____增大2. 线性方程组Ax b =，其中410141014A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，565b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，如果采用Jacobi 迭代法解该线性方程组，其迭代矩阵为00.2500.2500.2500.250-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3.一个问题是否病态与 问题本身 有关4.当1,3,4x =时，()3,6,2f x =，则()f x 的二次拉格朗日插值多项式2()L x =21153246x x -+- 5. 矩阵123635301⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的1l 范数等于 10 6. 三次样条插值具有 2 阶光滑性7. 如果插值求积公式()()1n b k k a k f x dx A f x =≈∑⎰为高斯公式，那么其求积公式具有 2n+1 次代数精度。
8. 线性方程组Ax b =中，1203A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则()A ρ= 3 9. 对于插值型积分公式，其积分节点越多，积分精度 不确定 。
(越高，越低，不确定)10.对于微分方程初值问题()2,01y xy y '=-=，取步长0.1h =，则其显式Euler 方法的计算公式为()10.201n n n n y y x y y +=-⎧⎨=⎩二、判断题：错误用“×”、正确用“√”示意（10分，每小题2分）1. 解线性方程组Ax b =的迭代法收敛的充分必要条件为()1A ρ< （ × ）2. 如果线性方程组Ax b =中矩阵A 为严格对角占优矩阵，那么对于任意迭代格式都是收敛的。
（ × ）3. 只要插值节点是互异的，则一定存在唯一的插值多项式满足插值条件。
（ √ ）4. 曲线拟合比三次样条插值好的一个原因是曲线拟合的计算量小。
西安电子科技大学2021数电期末试题
考试时间 120 分钟一、基础部分（共40分）1.（2分）完成下列数制转换：（25.25）10 = （ ）2= （ ）16 2.（2分）将十进制数转换为相应的编码表示。
（12）10 = （ ）8421BCD= （ ）余3码3.（4分）按照反演规则和对偶规则分别写出下列函数的反函数和对偶函数。
F =AB +E̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∙D +BC F̅ =__________________________________ F ∗=_________________________________4.（3分）按照要求写出下列函数的等价形式：5.（9分）已知某逻辑函数F 表达式如下，试完成下列内容：F =A̅C ̅+A ̅B ̅+BC +A ̅C ̅D ̅（1）在下图基础上完成该逻辑函数的卡诺图（下画线处也需要填写）（3分）。
===+=BC B A F （或与式） （与非与非式） （与或非式）（2）用卡诺图化简，写出该逻辑函数的最简与或式（2分）。
（3）根据化简结果，列出函数F的真值表（2分）。
（4）根据最简与或式画出该逻辑函数的电路图（2分）。
6.（6分）下图所示电路用于产生2相时钟信号，按照要求完成下述内容。
CQ1Q2（1）分别写出该电路的输出Q1和Q2的逻辑表达式（2分）。
（2）完成下列波形图，并说明在A 取不同值的情况下电路功能（初态为0）（4分）。
C Q Q2AQ1该电路的功能：_______________________________________________________ ____________________________________________________________________。
7.（6分）74194是双向移位寄存器，试判断下列电路的功能，并画出其状态表和状态图。
1（1）在下表中填写电路的状态表，并画出状态图（4分）状态图如下：（2）该电路的功能是:__________________________；（2分）装 订 线8.（8分）阅读如下电路，完成各项以下内容。
研究生数值分析期末考试试卷参考答案
研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。
电子科技大学-数值分析答案-钟尔杰
x1 =
2
计算，只需取D= 56 − 4 ≈55.96 四位有效数字即可保证方程的两个根均具有四位有效数 字。此时有，x1=0.01786，x2=55.98。 7 设s =
1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有±0.1 秒的误差，证明当 t 增加时 s 的绝 2
对误差增加，而相对误差减小。 证明 由于e(s) = g t e(t)，er(s) = 2 e(t) / t。而 | e(t)|≤0.1，所以，对这一问题，当t 增加 时s的绝对误差增加，而相对误差减小。
所以，计算y100 的误差界为
ε (Y100 ) ≤ δ = 0.5 × 0.001 = 5 × 10 −4
6 求方程 x – 56x + 1 = 0 的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D= b − 4ac 至少
2
2
1
要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故 D= 56 − 4 ≈55.96427，取七位有效数字。 由求根公式
2
x1 =
− b + b 2 − 4ac − 56 + 55.96427 − 0.03573 = = 2a 2 2
具有四位有效数字，而
x2 =
− b − b 2 − 4ac − 56 − 55.96427 − 111.96427 = = 2a 2 2 1 2 = x 2 56 + 56 2 − 4
则具有八位有效数字。 如果利用韦达定理，首先计算出x2，利用
2
ln( x − x 2 − 1) = − ln( x + x 2 − 1)
计算，求对数时误差有多大？ 解 令 y = x − x − 1 ，则当 x=30 时，y=30 – 29.9833=0.0167 有三位有效数字，其相对 误差为 10-3。由第一题结论，求对数时误差为 10-3。
电子科技大学研究生数值分析期末试卷
电子科技大学研究生数值分析期末试卷一、（15分）（1）牛顿迭代法的主要思想是什么？如何将其推广到二维问题的求解？ （2）求证：迭代公式x k+1=x k (x k 2+3a 2)3x k2+a 2，a>0，是计算a 的三阶方法。
二、（15分）已知实验数据如下：（1） 求二次拟合函数y (x )=ax 2+bx +c 。
（2） 请简单叙述插值、拟合、函数逼近三者之间的区别与联系。
三、（15分）（1）拉格朗日插值与牛顿插值有何异同？ （2）已知函数f(0)=1，f(1)=3，f(2)=9，f(3)=25，求3次插值多项式P 3(x)，并计算P 3(0.5)。
四、（10分）用列主元高斯消元法求解下面的线性方程组：{x 1− x 2 + x 3=−45x 1−4x 2+3x 3=−122x 1+ x 2 + x 3=11五、（15分）给定求积公式∫f (x )dx 10=Af (0)+Bf (0.5)+Cf ′(0)，试确定A 、B 、C ，使其代数精度尽可能的高，并指明此时求积公式的代数精度。
六、（15分）给定方程组{x 1+ 2x 2−2x 3 =5x 1+ x 2+ x 3 =12x 1+ 2x 2 + x 3=3（1） 用LU 分解法求此方程组；（2） 写出解此方程组的雅克比迭代公式，说明收敛性；并取初始向量x 0=(0,0,0)T ，求其满足‖x k+1−x k ‖<10−1的近似解。
七、（15分）设微分方程{y′′′=6y 2y′y (0)=1,y ′(0)=−1,y ′′(0)=2（1） 把该微分方程写为一阶常微分方程的初值问题； （2） 写出用二阶R-K 法：K 1=f(x n ,y n )，K 2=f(x n +ℎ,y n +ℎK 1)，y n+1=y n +ℎ2(K 1+K 2)求解的迭代公式。
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习 题 二
请尽可能提供程序
1、假设)(x f 在[]b a ,上连续，求)(x f 的零次最佳一致逼近多项式。
2、选择常数a ，使得ax x x -≤≤31
0max 达到极小，又问这个解是否唯一？
3、如何选取r ，使r x x p +=2)(在[]1,1-上与零偏差最小？r 是否唯一？
4、设在[]1,1-上54323840
1653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ降低到3次多项式.
求a 、b 使⎰-+20
2]sin [π
dx x b ax 为最小。
5、设{
}x span ,11=ϕ，{}
1011002,x x span =ϕ，分别在21,ϕϕ上求一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。
6、用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
i x 19 25 31 38 44
i y
19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
7、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
)()0()()(101h f A f A h f A dx x f h
h
++-≈--⎰
8、用辛普森公式求积分
1
x e dx -⎰
并估计误差。
9、求近似求积公式)]4
3
(2)21()41(2[31)(1
0f f f dx x f +-≈⎰的代数精度。
10、用三个节点（2=n ）的Gauss 求积公式计算积分)2(14
112
π=+=⎰-dx x I 。
11、试确定常数A ，B ，C 和α，使得数值积分公式
)()0()()(2
2
ααCf Bf Af dx x f ++-=⎰
-为Gauss 型公式。
12、用三点公式求2
)1(1
)(x x f +=
在1.1,0.1=x 和1.2处的导数值，并估计误差，
)(x f 的值由下表给出：
X
1.0 1.1
1.2 1.3 1.4
)(x f
0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736
13、就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=
2
2
1相比较。
14、用改进的欧拉方法求解初值问题⎩⎨⎧=<<+='1)0(1
0,y x y x y ，取步长1.0=h 计算，
并与准确解x e x y 21+--=相比较。
15、用梯形方法解初值问题⎩⎨⎧==+'1)0(0y y y ，证明其近似解为n
n h h y ⎪⎭⎫
⎝⎛+-=22，并证明
当0→h 时，它收敛于原初值问题的准确解x e y -=。
16、取2.0=h ，用四阶经典的龙格-库塔方法求解下列初值问题：
⎩⎨
⎧=<<+='1
)0(1
0,y x y x y 17、证明解),(y x f y ='的下列差分公式)34(4
)(211111-+-+'+'-'++=n n n
n n n y y y h
y y y 是二阶的，并求出截断误差的首项。
18、取25.0=h ，用差分法解边值问题⎩⎨⎧===+''68
.1)1(,0)0(0
y y y y 。