线性方程组解题归纳ppt课件

2 的1各行向0量都是0 2 0 1 0
0 2
1 3
1 2
0 0
的解向量，问这四个行向x量1 能 否x2构成x上3 方程x4组的x基5础解0系？若不能，这4个行向量是 多了还是少了？若多了3x如1 何去2掉x2，少x了3 如何x4补充3？x5 0 x2 2x3 2x4 6x5 0 5x1 4x2 3x3 3x4 x5 0
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6
❖ 分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 ❖ 解：A是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T, η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量，于是4- r(A)≥2，因此
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❖ 解： （aα2- α1，bα3-α2， aα1- bα3）
=
1 0 a
因aα为2-αα11，，αb12， α，3-αα32线，2， 性a无α1关- 3，bα所3线a以性向相量关组的1充要0条件是
0 b b
即b(a2-1)=0 所以b=0或a=±1
❖ 易1 见仅当 a1 =-2时，ar(A)3 =r(Ab)=21 ＜3，1
❖ 故知a=-2。
2 0 3 1 0 2
a 2a3
3 5
2 a 104 0 0 2a23a145a1 0
；.
3
❖ 2.设A是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的 解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b 的通解。
线性方程组 解题方法技巧与题型归纳
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1
题型一 线性方程组解的基本概念
❖ 1.如果α1、α2是下面方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何？
x1 x2 ax3 3 2x1 3x3 1 2x1 ax2 10x3 4
；.
2
❖ 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r (A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换
x
1
x1
a1 x 2 a2 x2
a
2 1
x
3
a
2 2
x
3
a
3 1
a
3 2
❖ （1）证明：若a1，a2，a3，a4两x两1 不 相a 等3 x，2 则线a性32 方x 3程组无a 33解；
❖ （ 1）2）T是设该a方1=程a组3 =的k两，个a2解=a，4=写-k出(kx该≠10方)，程a且组4已x的知2通β解1=a。（42-x1，3 1，a1）43 T，β2=（1，1，-
r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。
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❖ 总结：
❖ 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构 成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。
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8
4.矩阵B 方程组
题型2 线性方程组求解
1
1 0 1
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❖ 一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解；
❖ 二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解：
❖ 1.初等行变换法 ❖ 2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数
行列式为0时，用初等行变换进行讨论。
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❖ 5.设线性方程组
故Ax=b的通解是
1,0,0,0T k0,2,3,4T
2
；.
5
❖ 3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，- 5，13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11） T是方程组的三个解，求此方程组的通解。
2x1 a2x2 3x3 a4x4 d1 3x1 b2x2 2x3 b4x4 4 9x1 4x2 x3 c4x4 d3
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9
❖ 解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵
1 1 1 1 1 1 0 1 1 5
❖ αα3r2=(=A((5)1=,,-2-62,,n0,0=,A 0,51,, 1,因0))TT而,,5 0 3一个1 4 2基B1 3 2础解1 3 2系含 6有1 33个 解向0 0 0量1 0 0α1=（0 0 21，-0 0 22，1，0 0 60，0）A1T,
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❖ 解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无 解。
❖ （2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化为
❖ 系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T,是对应导出组的非零解，
❖ 即X=为c(其β2基-xxβ础111)+解β系1kk。，xx（故22c非为齐任kk次意22组x常x的33数通。解）k为k3 3
1 2 1 0 0 B矩不阵能的构r3=成r1基-r2础，解r4=系3，r1-需2r2增，补Bα中3。线性无关的行 110向量只022有1，103 2行1，12故B000中 4个行向量
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题型3 含参数的线性方程组解的讨论
❖ 1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解； ❖ 2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论 ❖ ⑴参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组有无穷多解； ❖ （2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程组有唯一解。
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4
❖ 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， ❖ 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的
解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T, ❖ 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，
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❖ 6. 设n维向量组α1，α2，α3（n≥3）线性无关，讨论：当向量组aα2- α1，bα3α2， aα1- bα3线性相关时，方程组
x1 x2 x3 2x4 3
2x1x123xx2 23axx4 347x4 8
的解，
x2 x3 a 2x4 b 1
且当有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示其通解。