用Matlab对信号进行傅里叶变换实例

目录
用Matlab对信号进行傅里叶变换 (2)
Matlab的傅里叶变换实例 (5)
Matlab方波傅立叶变换画出频谱图 (7)
用Matlab对信号进行傅里叶变换
1.离散序列的傅里叶变换DTFT(Discrete Time Fourier Transform)
代码：
1 N=8; %原离散信号有8点
2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵
3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号
4
5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去）
6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得
7 subplot(311)
8 stem(n,xn);
9 title('原始信号(指数信号)');
10 subplot(312);
11 plot(w/pi,abs(X));
12 title('DTFT变换')
结果：
分析：可见，离散序列的dtft变换是周期的，这也符合Nyquist 采样定理的描述，连续时间信号经周期采样之后，所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。

2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)
与1中DTFT不一样的是，DTFT的求和区间是整个频域，这对
结果图：
分析：DFT只是DTFT的现实版本，因为DTFT要求求和区间无穷，而DFT只在有限点内求和。

3.快速傅里叶变换FFT（Fast Fourier Transform）
虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度，但是任然有相当大的计算量，不利于信息的实时有效处理，1965年发现的DFT解决了这一问题。

实现代码：
1 N=64; %原离散信号有8点
2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵
3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号
4 Xk=fft(xn,N);
5 subplot(221);
6 stem(n,xn);
7 title('原信号');
8 subplot(212);
9 stem(n,abs(Xk));
10 title('FFT变换')
效果图：
分析：由图可见，fft变换的频率中心不在0点，这是fft算法造成的，把fft改为fftshift可以将频率中心移到0点。

Matlab的傅里叶变换实例
1.傅里叶变换的定义
傅里叶变换从数学上的定义，为F(w)=int(x*exp(-jwt),t=-inf...inf)其中，int表示积分，t是时间，x是时域信号，inf表示无穷，exp 表示指数运算。

其含义说的是给一个无限长的时域信号和一个频点w，可以唯一确定一个复数F。

于是，F和w就有了这种对应关系，考虑到F是个复数。

F的绝对值和w关系叫幅频，F的幅角和w关系叫相频。

2.matlab的fft命令
help fft可以知道这个和数学上的傅里叶不一样，因为计算机是离散的！因为计算机的时域信号存储量是有限的！比如等时采样得到的信号，高频分量是不可能获得的，对于比较大的w将无法计算。

于是，fft这样计算傅里叶变换：把时域信号进行周期延拓，取一组w，就是时域信号的周期及该周期的二分之一，三分之一，直到n分之一，其中n是一个周期内的采样点。

这样做的结果，就是对一段有限长的时域信号，将其长度作为基频率，分析基频和高频含量。

当然，能分析到的最高频为n次谐波，再高次谐波由于香农定理而无法体现。

3.写一个数学定义傅里叶变换的程序
将有限长时域信号不延拓，时域信号外的时间内，认为信号为零。

于是获得无限长时域信号，取频点若干，分析其傅里叶变换。

考虑到matlab对于由描点法定义的函数，数值积分时常用的方法有：矩形法，
梯形法。

一下代码采用梯形法，算例如下：
clear
clc
%% 输入信号
t=0:1e-3:20;%时域信号的时间范围
x=sin(t)+sin(1.5*t+1)+5*cos(0.5*t)+2*randn(size(t));%时域信号x
w=[0:1e-2:2];%想要观察的频率范围
%% 预定义
y=w;
a=w;
j=sqrt(-1);%先定义变量维度，提高运算速度
%% 计算频点
for i=1:length(w)
f=trapz(t,x.*exp(-j*w(i)*t));
y(i)=abs(f);
a(i)=angle(f);
end
%% 输出
subplot(3,1,1),
plot(t,x)
subplot(3,1,2),
plot(w,y)
subplot(3,1,3),
plot(w,a)
算例中的时域信号，里有三个正余弦分量，一个干扰分量。

等时采样，并认为采样频率足够高，即得到的信号是连续信号。

Matlab方波傅立叶变换画出频谱图
代码如下：
clc;clear;close all;
fs=30;%采样频率
T=1/fs;
t=0:T:2*pi;
A=2;P=4;
y=A*square(P*t);
subplot(2,1,1),plot(t,y)
title('方波信号')
Fy=abs(fft(y,512));
f2=fs*(0:256)/512;
subplot(2,1,2),plot(f2,Fy(1:257))
title('频谱图');
set(gcf,'unit','normalized','position',[0 0 1 1]);
set(gca,'xtick',0:0.6:8);
axis([0,8,0 300]);
方波大概0.6左右。

角频率W=4，所以频率f=4/(2*pi)=2/pi没错。

求信号的512点FFT，点数越大(2的整数幂)，频谱越精细。

把512改成1024后，频率变到1.2左右了。

代码：
clc;clear;close all;
fs=30; %采样频率
N=input('输入FFT点数：');
T=1/fs;
t=0:T:2*pi;
A=2;P=4;
y=A*square(P*t);
subplot(2,1,1),plot(t,y)
title('方波信号')
Fy=abs(fft(y,N));
f2=fs*(0:N/2)/N;
subplot(2,1,2),plot(f2,Fy(1:(N/2+1)))
title('频谱图');
set(gcf,'unit','normalized','position',[0 0 1 1]);
set(gca,'xtick',0:0.6:8);
axis([0,8,0 300]);
输入N分别为128 ，256 ，512，1024看看，是不是点越多，曲线越平滑。