新定义函数问题
高考数学之函数专项重点突破-专题18 函数中的新定义问题(解析版)
专题18函数中的新定义问题一、单选题1.x R ∀∈,[]x 表示不超过x 的最大整数,十八世纪,函数[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名高斯函数,人们更习惯称之为“取整函数”,则[][]4.8 3.5--=()A .0B .1C .7D .8【解析】由题意可知[][]4.8 3.5--=4-(-4)=8.故选:D.2.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数[]2,1,2y x x =∈与函数[]2,2,1y x x =∈--即为“同族函数”.请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是()A .y x=B .3y x =-C .1y x=D .1y x =+【解析】对于选项AD ,函数都为单调递增的,故不满足,因此AD 都错;对于选项C ,1y x=在区间(),0-∞和()0,∞+上都是单调递减的,且在两个区间上y 的取值一正一负,故不满足,因此C 错;对于选项B ,函数3y x =-,[]2,3x ∈和函数3y x =-,[]3,4x ∈即为“同族函数”,故满足,因此B 正确.故选:B.3.已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,=0,M x Mf x x M ∈⎧⎨∉⎩(M 是R 的非空子集),在R 上有两个非空真子集A ,B ,且A B =∅ ,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为()A .20,3⎛⎤⎥⎝⎦B .{}1C .12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭D .1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当()R x A B ∈⋃ð时,()0A B f x ⋃=,()0A f x =,()0B f x =,()1F x ∴=同理得:当x B ∈时,()1F x =;当x A ∈时,()1F x =;故()()R 1,1,1,x A F x x B x A B ⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⋃⎩ð,即值域为{1}.故选:B4.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石,布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer ),简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x 存在一个点0x ,使得()00f x x =,那么我们称该函数为“不动点函数”,下列为“不动点函数”的是()A .()2x f x x =+B .2()3f x x x =-+C .221,1()2,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D .1()2=+f x x x【解析】对于A ,由()f x x =,得2x x x +=,即20x =,方程无解,所以A 不符合题意,对于B ,由()f x x =,得23x x x -+=,即230x +=,方程无解,所以B 不符合题意,对于C ,由()f x x =,得当1x ≤时,221x x -=,即2210x x --=,解得1x =或12x =-,所以此函数为“不动点函数”,所以C 正确,对于D ,由()f x x =,得12x x x+=,即210x +=,方程无解,所以D 不符合题意,,故选:C5.四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭,常用于竞争系统和免疫检测,它的图象是一个递增(或递减)的类似指数或对数曲线,或双曲线(如1y x -=),还可以是一条S 形曲线,当4a =,1b =-,1c =,1d =时,该拟合函数图象是()A .类似递增的双曲线B .类似递增的对数曲线C .类似递减的指数曲线D .是一条S 形曲线【解析】依题意可得拟合函数为1311y x -=++,()0x >,即()31333 114111x x y x x x +--=+==++++,()0x >,由3y x-=()1x >向左平移1个单位,再向上平移4个单位得到3 41y x -=++,()0x >,因为3y x-=在()1,+∞上单调递增,所以拟合函数图象是类似递增的双曲线;故选:A6.在函数()f x 区间D 上的导函数为()f x ',()f x '在区间D 上的导函数为()g x .若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()f x 在区间D 上为“凸函数”.已知实数m 为常数,()4323126x mx f x x =--,若对满足1m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,则b a -的最大值为()A .4B .3C .2D .1【解析】由题设,32()632x mx f x x '=--,则2()6g x x mx =--,∴对任意||1m ≤,在(,)a b 上有2()60g x x mx =--<恒成立,令2()60h m mx x =-+-<在11m -≤≤上恒成立,∴22(1)60(1)60h x x h x x ⎧-=+-<⎨=--<⎩,可得22x -<<,∴2,2a b ≥-≤,故b a -的最大值为4.故选:A7.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有数学王子的美誉,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其姓名命名的“高斯函数”为[]y x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,例如][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦,已知函数()11xxe f x e -=+,令函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦,则()g x 的值域为()A .()1,1-B .{}1,1-C .{}1,0-D .{}1,0,1-【解析】因为11xe +>,所以2021xe <<+,所以12()1(1,1)11x x xe f x e e -==-∈-++,则()[()]g x f x =的值域{}0,1-.故选:C .8.已知函数()y f x =,若在定义域内存在实数x ,使得()()f x kf x -=-,其中k 为整数,则称函数()y f x =为定义域上的“k 阶局部奇函数”,若()()2log f x x m =+是[]1,1-上的“1阶局部奇函数”,则实数m 的取值范围是()A .⎡⎣B .(C .⎡⎣D .⎡-⎣【解析】由题意,函数()()[]2log ,,11f x x m x =+-∈,满足0x m +>,解得1m >,因为函数()()2log f x x m =+是[]1,1-上的“1阶局部奇函数”,即关于x 的方程()()f x f x -=-在[]1,1-上有解,即()()22log log 0x m x m -+++=在[]1,1-上有解,可得[]221,1,1m x x -=∈-,所以221m x =+在[]1,1x ∈-有解,又由21[1,2]x +∈,因为1m >,所以212m <≤,解得1m <≤实数m 的取值范围是(.故选:B.9.如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线,我们把这样的曲线叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形,也可以形象地称它为倒影曲线),它每过相同的间隔振幅就变化一次,且过点33,42M π⎛⎫⎪⎝⎭,其对应的方程为12||2|sin |2x y x ωπ⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭(0x ≥,其中[]x 为不超过x 的最大整数,13ω<<).若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为43π,则点N 的纵坐标为()A .13±B.C .12±D.【解析】由曲线过33,42M π⎛⎫ ⎪⎝⎭知,3231342sin 224ππωπ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭,即3sin 14πω⎛⎫= ⎪⎝⎭,则3(Z)42k k ππωπ=+∈,解得42(Z)33k k ω=+∈,又13ω<<,则2ω=,若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为43π,即43x π=,代入曲线方程得到42143||2sin 223y πππ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=-⨯=⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭,则y =N的纵坐标为.故选:D 10.设函数()f x 的定义域为D ,若函数()f x 满足条件:存在[]a b D ⊆,,使()f x 在[]a b ,上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2xf x t =+(其中0t ≥)为“倍缩函数”,则t 的取值范围是()A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .()01,C .102⎛⎤⎥⎝⎦,D .14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,【解析】由已知可得,()f x 在[]a b ,上是增函数;22log (2)2,log (2)2a b a t b t ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩即222222aabb t t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,a ∴,b 是方程2220x x t -+=的两个根,设22xm ==0m >,此时方程为20m m t -+=即方程有两个不等的实根,且两根都大于0;2(1)400t t ⎧-->∴⎨>⎩,解得:104t <<,∴满足条件t 的范围是104⎛⎫ ⎪⎝⎭,.故选:A二、多选题11.具有性质:()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数中满足“倒负”变换的函数是()A .()22x f x x =-B .()1f x x x=-C .()1f x x x=+D .(),01,0,1,1,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩【解析】对于A 选项,x =0在定义域内,不满足“倒负”变换;对于B 选项,()111f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,满足“倒负”变换;对于C 选项,()155,2222f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,()122f f ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭,不满足“倒负”变换;对于D 选项,当01x <<时,11x>,此时()111f x f x x x⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭;当x =1时,11x=,此时()()101f f ==-;当1x >时,101x<<,此时()11f f x x x⎛⎫==- ⎪⎝⎭,()f x 满足“倒负”变换.故选:BD.12.对于函数()y f x =,若()00f x x =,则称0x 是()f x 的不动点:若()11f f x x ⎡⎤=⎣⎦,则称1x 是()f x 的稳定点,则下列函数有稳定点的是()A .()1f x x-=-B .()21f x x =+C .()31,02112x x f x x ⎧<<⎪⎪=≤<D .()2121,12x f x x x <<=⎨⎪≤<⎪⎩【解析】A :函数1()f x x=-的定义域为{}0x x ≠,假设存在稳定点1x ,则111()f x x =-,1111[()](f f x f x x =-=,所以对{}0x x x ∀∈≠,均有[()]f f x x =,故A 有稳定点;B :函数2()1f x x =+的定义域为R ,假设存在稳定点1x ,则211()1f x x =+,2421111[()](1)22f f x f x x x =+=++,而4211122x x x ++=在R 上无解,故B 无稳定点;C :()3102112x x f x x ⎧<<⎪⎪=≤<,,,当12x =时,12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,故31122f f f ⎫⎡⎤⎛⎫===⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭,故C 有稳定点;D:212()112x f x x x <<=⎨⎪≤<⎪⎩,,当12x =时,2111(()224f ==,而11(0,42∈,故111[()]()242f f f ===,故D 有稳定点.故选:ACD.13.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义,由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用.()f x 是定义在R上的函数,对于x ∈R ,令1()(123)n n x f x n -== ,,,,若存在正整数k 使得0k x x =,且当0<j <k 时,0j x x ≠,则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若122()12(1)2x x f x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩,,,下列各值是()f x 周期为2的周期点的有()A .0B .13C .23D .1【解析】A :00x =时,()100x f ==,周期为1,周期为2也正确,故A 正确;B :013x =时,1231222233333n x f x f x x ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,,所以13不是()f x 的周期点.故B 错误;C :023x =时,1223n x x x ==== ,周期为1,周期为2也正确.故C 正确;D :01x =时,()()1201000x f x f x ====≠,,1∴不是()f x 周期为2的周期点,故D 错误.故选:AC.14.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中,如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分,那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有()A .对于一个半径为1的圆,其“优美函数”仅有1个B .函数()3f x x =可以是某个圆的“优美函数”C .若函数()y f x =是“优美函数”,则函数()y f x =的图象一定是中心对称图形D .函数32cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可以同时是无数个圆的“优美函数”【解析】对于A ,过圆心的任一直线都可以满足要求,故A 错误;对于B ,函数3()f x x =为奇函数,关于原点对称,可以是单位圆的“优美函数”,故B 正确;对于C ,函数y =f (x )的图象是中心对称图形,函数一定是“优美函数”,但“优美函数”不一定是中心对称函数,如图,故C 错误;对于D ,函数32cos 2sin 2y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭关于原点对称,是圆222,02x y k k +=<≤,的“优美函数”,满足无数个,故D 正确.故选:BD.15.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,狄利克雷函数就以其名命名,其解析式为()1,=D x x 为有理数,()0D x x =,为无理数),关于函数()D x ,下列说法正确的是().A .()D x 既不是奇函数,也不是偶函数B .x ∀∈R ,()()1D D x =C .()D x 是周期函数D .,x y ∃∈R ,使得()()()D D y y D x x +=+【解析】因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,所以对x ∀∈R ,()()D x D x -=,故()D x 是偶函数,故A 错误;当x 为有理数时,()1D x =,当x 为无理数时,()0D x =,当x 为有理数时,()()()11D D x D ==,当x 为无理数时,()()()01D D x D ==,所以()()1D D x =恒成立,B 正确;若x 是有理数,T 是有理数,则x T +是有理数;若x 是无理数,T 是有理数,则x T +是无理数,所以任取一个不为0的有理数T ,()()D x T D x +=恒成立,即()D x 是周期函数,故C 正确;若x ,y 为无理数,则x y +也为无理数,所以()()()0x y x D D D y =+=+,故D 正确.故选:BCD16.函数()f x 满足条件:①对定义域内任意不相等的实数a ,b 恒有()[()()]0a b f a f b -->;②对定义域内任意两个实数1x ,2x 都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立,则称为G 函数,下列函数为G 函数的是()A .()21f x x =-B .()f x =C .2()43f x x x =-+-,1x <D .3()f x x =,0x >【解析】a ,b 恒有()[a b f -(a )f -(b )]0>,所以()f x 是增函数,因为对定义域内任意两个实数1x ,2x 都有1212()()()22x x f x f x f ++ 成立,所以()f x 为上凸函数,对于A ,函数()21f x x =-是增函数,且1212()()()22x x f x f x f ++=成立,所以函数为G 函数,故选项A 正确;对于B ,函数()f x =G 函数,故选项B 正确;对于C ,函数2()43f x x x =-+-,1x <是增函数,且函数的图象是上凸函数,所以函数为G 函数,故选项C 正确;对于D ,函数3()f x x =,0x >是增函数,但是函数的图象是下凹函数,所以函数不是G 函数,故选项D 错误.故选:ABC .17.已知函数()122,42,x x af x x x a x a -⎧<=⎨-++≥⎩,如果函数()f x 满足对任意()1,x a ∈-∞,都存在()2,x a ∈+∞,使得()()21f x f x =,称实数a 为函数()f x 的包容数,下列数中可以为函数()f x 的包容数的是()A .12-B .1C .4D .8【解析】记()1f x 的值域为A ,()2f x 的值域为B ,由题意可知:A B ⊆;对于A ,当12a =-时,312224x --<=;2413x x -+-≤;则4A ⎛⎫=-∞ ⎪ ⎪⎝⎭,(],3B =-∞,满足A B ⊆,A 正确;对于B ,当1a =时,10221x -<=,2426x x -++≤;则(),1A =-∞,(],6B =-∞,满足A B ⊆,B 正确;对于C ,当4a =时,13228x -<=,2488x x -++≤;则(),8A =-∞,(],8B =-∞,满足A B ⊆,C 正确;对于D ,当8a =时,1722128x -<=;241616x x -++≤-;则(),128A =-∞,(],16B =-∞-,不满足A B ⊆,D 错误.故选:ABC.18.若正整数m ,n 只有1为公约数,则称m ,n 互质.对于正整数n ,()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n互质的数的个数,函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如:()32ϕ=,()76ϕ=,()96ϕ=,则下列说法正确的是()A .()()510ϕϕ=B .()211nϕ-=C .数列(){}3nϕ为等比数列D .()()222n n ϕϕ+>,*n N ∈【解析】因为()()5104ϕϕ==,故A 正确;因为当4n =时,()151ϕ≠,故B 不正确;因为与3n 互质的数为1,2,4,5,7,8,10,11,…,32n -,31n -,共有()1131323n n ---⋅=⋅个,所以()1323n n ϕ-=⋅.则数列(){}3nϕ为等比数列,故C 正确;因为()()462ϕϕ==,故D 不正确;故选:AC 三、填空题19.若存在常数k 和b ,使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足:()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立(或()F x kx b ≤+和()G x kx b ≥+恒成立),则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数()()2x x x f =-∈R ,()()10g x x x=>,若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线3y x b =-+,则实数b 的取值范围是______.【解析】因为函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线3y x b =-+,所以当23x x b -≤-+时,可得230x x b -+-≤对任意的x ∈R 恒成立,则23b x x ≥-+,即239(24b x ≥--+,所以94b ≥;当13x b x ≥-+时,对0x >恒成立,即13(0)b x x x≤+>恒成立,又当0x >时,13x x +≥13x x =即x =b ≤综上所述,实数b的取值范围是94b ≤≤.20.如果函数()y f x =在其定义域上有且仅有两个不同的数0x ,满足()()0000f x f x x x '=-,那么就称函数()y f x =为“单值函数”,则下列四个函数:①()322f x x x =+;②()e xf x x =;③()ln 010x x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩,,;④()()sin 1f x x x =+.其中为“单值函数”的是______.(写出所有符合题意的函数的序号)【解析】①()()322234f x x x f x x x ='=++,,()()2221234202102f x f x x x x x x x x x x x x =-⇒+=+-⇒+=⇒+=⇒=-',方程只有一个解,故该函数不为“单值函数”;②()()e e e x x xf x x f x x ==+',,()()e e e e 10x x x x f x f x x x x x x=-⇒-⇒='=+⇒=,∵x ≠0,故方程无解,该函数不是“单值函数”;③()ln 010x x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩,,,当0x >时,()ln 1f x x ='+,()()ln ln 110f x f x x x x x x x=-⇒=-⇒='+>;当0x <时,()211f x x '=-,()()32221121120f x f x x x x x x x x x x'=-⇒+=--⇒=-⇒=-⇒=<,故f (x )在其定义域上有且仅有两个不同的数0x ,满足()()0000f x f x x x '=-,故该函数为“单值函数”;④()()()sin 1sin 1cos f x x x f x x x x '=+=++,,()()sin 1sin 1cos cos 1f x f x x x x x x x x x=-⇒+=++-⇒='20x k k k π⇒=≠∈Z ,,,方程有无数个解,故该函数不是“单值函数”﹒故选:③.21.若函数()f x 的定义域为D ,且满足如下两个条件:①()f x 在D 内是单调递增函数;②存在[],m n D ⊆,使得()f x 在[],m n 上的值域为[]2,2m n 那么就称函数()f x 为“希望函数”,若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =->≠是“希望函数”,则实数t 的取值范围为___________.【解析】∵函数()()()log 0,1xa f x a t a a =->≠是“希望函数”,∴()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即()2f x x =有两个解,∴m ,n 是方程()20x x a a t +=-的两个不等的实根,设x y a =,则0y >,∴方程等价为20y y t -+=的有两个不等的正实根,即1212140010t y y t y y =-⎧⎪=⎨⎪+=⎩ >>>,∴140t t ⎧<⎪⎨⎪>⎩,解得104t <<,故答案为:10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.若函数()f x 在区间A 上,对,,a b c A ∀∈,()f a ,()f b ,()f c 为一个三角形的三边长,则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”,则实数m 的取值范围为____【解析】1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+,令()0f x '>,得1e x >,令()0f x '<,得10ex <<,所以()f x 在211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在1,e e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增,所以min 1()()e f x f =11ln e e m =+1em =-,因为222111((e)ln eln e e e e f f m m -=+--22e 0e =--<,所以max ()(e)e f x f m ==+,所以()f x 在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,e e m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,因为函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”,所以11e e e m m m -+->+,解得2e em >+.四、解答题23.函数()f x 的定义域为()0,∞+,且存在唯一常数0k >,使得对于任意的x 总有()()1f kx f x k=+,成立.(1)若()10f =,求()1f k f k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭;(2)求证:函数()ln g x x =符合题设条件.【解析】(1)因为()()1f kx f x k=+,所以()()11f k f k =+,又()10f =,所以()1f k k =,又()1111f f k f k k k⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=+,所以11f k k ⎪⎝⎭=-⎛⎫,所以()1110f k f k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+=(2)因为()ln g x x =的定义域为()0,∞+,假设存在常数00k >满足()()001g k x g x k =+,即()001ln ln k x x k =+,所以001ln k k =,设()1ln h x x x =-,显然()h x 在()0,∞+上单调递增,又()11ln1101h =-=-<,()11e ln e 10e eh =-=->,所以存在唯一的常数()01,e k ∈使得()0001ln 0h k k k =-=,即存在唯一的常数()01,e k ∈使得函数()ln g x x =符合题设条件;24.已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ,若对任意的01x D ∈,都恰好存在n 个不同的实数122,,,n x x x D ∈ ,使得()()0i g x f x =(其中*1,2,,,N i n n =⋅⋅⋅∈),则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.(1)判断下面两组函数中,()g x 是否为()f x 的“n 重覆盖函数”,并说明理由;①()()cos 04g x x x π=<<,()()11f x x x =-<<,“4重覆盖函数”;②()()22g x x x =-≤≤,()()1sin f x x x R =+∈,“2重覆盖函数”;(2)若()1sin x g x xπ-=,()0,x ∈+∞为()1f x x =,(),x s t ∈()0s t <<的“9重覆盖函数”,求t s -的最大值.【解析】(1)①:当11x -<<时,()11f x -<<,根据余弦函数的图象可知,()g x 是()f x 的“4重覆盖函数”;②:由1sin 1x -≤≤可知:()02f x ≤≤,函数()()22g x x x =-≤≤的图象如下图所示:当3π2x =时,3π3π1sin 022f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,当()00g x x x ==⇒=,所以()g x 不是()f x 的“2重覆盖函数”;(2)因为(),x s t ∈,所以()1f x t s<<,因为0sin 1x π≤≤,所以当()0,x ∈+∞时,()0g x ≥,当1(0,]2x ∈时,()1sin 1sin πx x g x x xπ--==,函数1sin πy x =-和函数1y x=都是单调递减函数,故该函数单调递减,当1(,1]2x ∈时,()1sin 1sin πx x g x x xπ--==,函数1sin πy x =-是单调递增函数,函数1y x=是单调递减函数,而函数1sin πy x =-递增的速度快于函数1y x=递减的速度,所以函数单调递增,而函数1sin πy x =-的最小正周期为:12π12π⨯=,因此函数()1sin xg x xπ-=,()0,x ∈+∞的图象如下图所示:因此要想()1sin x g x xπ-=,()0,x ∈+∞为()1f x x =,(),x s t ∈()0s t <<的“9重覆盖函数”,只需()()111444*********g s s s s t s t t g t t⎧⎧≥≥⎪⎪≥-≤-⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⇒-≤⎨⎨⎨⎨≤≤⎩⎩⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎩,所以t s -的最大值1.25.已知O 为坐标原点,R a b ∈、,对于函数()sin cos f x a x b x =+,称向量(),a M b O =为函数()f x 的伴随向量,同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数.已知函数()ππ2sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1)求()g x 的伴随向量ON,并求ON .(2)关于x 的方程()0g x t -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不相等实数解,求实数t 的取值范围.(3)将函数()g x 图象上每一点纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再把整个图象向左平移23π个单位长度得到函数()h x 的图象,已知()33A -,,()311B ,,在函数()h x 的图象上是否存在一点P ,使得AP BP ⊥,若存在,求出点P 坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为()ππ2sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππcos sin sin 2cos 66x x x=⋅+⋅-cos x x =,所以ON =,2ON == .(2)因为关于x 的方程()0g x t -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不相等实数解,所以()y g x =的图象与直线y t =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不同的交点,π()2sin()6g x x =+(π02x ≤≤)的图象如图:2t ≤<.(3)依题意可得12ππ()2sin 236h x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12cos 2x =,||10AB ==,AB 的中点为(0,7),假设在函数()h x 的图象上是否存在一点00(,)P x y ,使得AP BP ⊥,则点P 在以AB 为直径的圆上,该圆的圆心为(0,7),半径为5,所以2200(0)(7)25x y -+-=,即22001(2cos 7)252x x +-=,所以201(2cos 7)252x -≤,所以0152cos 752x -≤-≤,所以011cos 62x ≤≤,又011cos 12x -≤≤,所以01cos 12x =,所以220(217)25x +⨯-=,所以00x =,所以012cos 22x =,所以(0,2)P .综上所述:在函数()h x 的图象上是否存在一点P ,使得AP BP ⊥,且(0,2)P .26.若函数()f x 和()g x 的图象均连续不断,()f x 和()g x 均在任意的区间上不恒为0,()f x 的定义域为1I ,()g x 的定义域为2I ,存在非空区间()12A I I ⊆⋂,满足:x A ∀∈,均有()()0f x g x ≤,则称区间A 为()f x 和()g x 的“Ω区间”(1)写出()2sin f x x =和()sin cos g x x x =+在[0,]π上的一个“Ω区间”,并说明理由;(2)若()21e 2ln cos2ex x f x x x -=+-,且()f x 在区间(0,1]上单调递增,(0,)+∞是()f x 和()g x 的“Ω区间”,证明:()g x 在区间(0,)+∞上存在零点.【解析】(1)()2sin f x x = ,()sin cos g x x x =+,令()()0f x g x ≤则()2sin sin cos 0x x x +≤,因为[0,]x π∈,所以sin 0x ≥,sin cos 0x x ∴+≤04x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,[]0,x π∈ ,所以5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,令544x πππ≤+≤,解得34x ππ≤≤,3,4x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,∴()2sin f x x =和()sin cos g x x x =+在[0,]π上的一个“Ω区间”为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(答案为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的非空子集都可)(2)()0,∞+ 是()f x 和()g x 的“Ω区间”,()0,x ∞∀∈+ 均有()()0f xg x ≤()f x 在区间(0,1]上单调递增,而()11cos20f =->,则()10g ≤又220222212ln11112e cos21cos 0ee e e e ef ⎛⎫=+-=-+-< ⎪⎝⎭,则210e g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()g x ∴在21e ,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点,()g x ∴在区间(0,)+∞上存在零点.27.对于函数()f x ,若在其定义域内存在实数0x ,t ,使得()()()00f x t f x f t +=+成立,称()f x 是“t 跃点”函数,并称0x 是函数()f x 的“t 跃点”.(1)若函数()sin =-f x x m ,x ∈R 是“π2跃点”函数,求实数m 的取值范围;(2)若函数()()sin =+f x x m ,x ∈R ,求证:“sin 0=m ”是“对任意t ∈R ,()f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件;(3)是否同时存在实数m 和正整数n 使得函数()cos 2h x x m =-在[]0,πn 上有2021个“π4跃点”?若存在,请求出所有符合条件的m 和n 的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知得存在实数0x ,使得00ππsin sin sin 22x m x m m ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭,∴000πsin cos 1sin 1112m x x x ⎛⎫⎡⎤=-+-+∈+ ⎪⎣⎦⎝⎭,∴实数m 的取值范围是11⎡⎤⎣⎦.(2)由题意得“对任意t ∈R ,()()sin =+f x x m 为‘t 跃点’函数”等价于:对是任意实数t ,关于x 的方程()()()sin sin sin x t m x m t m ++=+++都有解,则对于0t =时有解,即()()()sin sin sin x m x m m +=++,∴sin 0=m ;反之,当sin 0=m 时,()πm k k =∈Z ,()()()sin sin sin x t m x m t m ++=+++等价于()()()sin sin sin x t x t +=+0x =是此方程的解,故此方程对于任意实数t 都有实数解.综上所述,“sin 0=m ”是“对任意t ∈R ,()f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件;(3)由已知得,()ππππcos 2cos 2cos 04422h x h x h x m x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得π24m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π;根据函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,πn 上的图象可知:①当()(m ∈⋃时,在[]0,πn 有2n 个“π4跃点”,故不可能有2021个“π4跃点”;②当1m =时,在[]0,πn 有21n +个“π4跃点”,此时2120211010n n +=⇒=;③当m =m =[]0,πn 上有n 个“π4跃点”,故2021n =;综上:11010m n =⎧⎨=⎩或2021m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2021m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩.28.对于函数()()y f x x D =∈,若存在正常数T ,使得对任意的x D ∈,都有()()f x T f x +≥成立,我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”.(1)判断函数2()f x x =是否为“T 同比不减函数”?并说明理由;(2)若函数()sin f x kx x =+是“π2同比不减函数”,求实数k 的取值范围;(3)是否存在正常数T ,使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”?若存在,求T 的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意0T >,函数2()f x x =不是“T 同比不减函数”,理由如下:()2f x x =,()()()()22222f x T f x x T x xT T T x T +-=+-=+=+不恒大于零,所以()()f x T f x +≥不恒成立,所以函数2()f x x =不是“T 同比不减函数”.(2)函数()sin f x kx x =+是“π2同比不减函数”,()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立,πππsin sin 222k x x k x ⎛⎫⎛⎫+++≥⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,ππ4sin cos ,π22x k x x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥-≥π4x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,所以ππ2k ≥=.所以k的取值范围是π⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.(3)存在,理由如下:2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x +≤-⎧⎪=+--+=--<<⎨⎪-≥⎩,画出()f x 的图象如下图所示,()f x T +的图象是由()f x 的图象向左平移T 个单位所得,由图可知,当4T ≥时,对任意的x D ∈,都有()()f x T f x +≥成立,所以存在正常数T ,使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”,且4T ≥.29.若函数()y f x =自变量的取值区间为[a ,b ]时,函数值的取值区间恰为22[,]b a,就称区间[a ,b ]为()y f x =的一个“和谐区间”.已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数,当,()0x ∈+∞时,()3g x x =-+.(1)求()g x 的解析式;(2)求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”;(3)若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像,求函数()y h x =的值域【解析】(1)因为()g x 为R 上的奇函数,则(0)0g =,设(,0)x ∈-∞,则(0,)x -∈+∞,()()(3)3g x g x x x =--=-+=--;3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩(2)设0a b <<,由()g x 在(0,)+∞上递单调递减,可得2()32()3g b b bg a a a ⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩,即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根.∵0a b <<∴12a b =⎧⎨=⎩∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2].(3)设[a ,b ]为()g x 的一个“和谐区间”,则22a bb a<⎧⎪⎨<⎪⎩,∴a ,b 同号.当0a b <<时,同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--.3,[1,2]()3,[2,1]x x h x x x -+∈⎧∴=⎨--∈--⎩,3,[1,2]()3,[2,1]x x h x x x -+∈⎧∴=⎨--∈--⎩的值域是[2,1][1,2]-- 30.对于定义域为D 的函数()y f x =,如果存在区间[],m n D ⊆,同时满足:①()f x 在[],n m 内是单调增函数;②当定义域是[],m n 时,()f x 的值域是[]2,2m n ,则称[],n m 是该函数的“翻倍区间”.(1)证明:[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”;(2)判断函数()3g x x =是否存在“翻倍区间”?若存在,求出所有“翻倍区间”;若不存在,请说明理由;(3)已知函数()31x h x x a-=+有“翻倍区间”[],m n ,求实数a 的取值范围.【解析】(1)证明:由函数()2xf x =在[]1,2上单调增函数知,()f x 的值域为[]2,4,故[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”;(2)假设()g x 存在一个“翻倍区间”[],m n ,由函数()g x 是R 上的单调增函数,有()()332,2,g m m m g n n n ⎧==⎪⎨==⎪⎩解得m =,n =由m n <知所有“翻倍区间”为][[,,⎡⎣;(3)由函数()h x 有“翻倍区间”[],m n 知,()h x 为[],m n 上的单调增函数,而()()33131313x a a x a h x x a x a x a+-----===++++,可得310a --<,解得13a >-,由②知()()312,312,m h m m m an h n n n a -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩可得m ,n 是方程312x x x a -=+的两个根,等价于方程312x x x a-=+在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根,即方程()222310x a x +-+=在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根,则有()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪<-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩或()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪>-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩,解得1332a -<<32a >+综上,实数a的取值范围为133(,()322-⋃+∞.31.根据人教2019版必修一P 87页的13题介绍:函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.题:设函数()39x t f x =+,且()110(1)15f f +=,(其中t 是常数),函数()243()2x x g x f x x -+=+-.(1)求t 的值,并证明()f x 是中心对称函数;(2)是否存在点A ,使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点A 的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)∵函数()39xt f x =+,且()()110115f f +=,11101215t t ∴+=,∴4t =,所以4()39x f x =+;依题假设存在点(,)P a b 使函数()y f x a b =+-为奇函数,则()()2f a x f a x b ++-=对x R ∀∈恒成立,439a x +∴+4239a x b -+=+,2211931312a x a x b -+--∴+=++,∴22223(33)9(31)(31)2a x x a x a xb ---+--++=++,∴22223(33)9193(33)2a x x a a x xb -----++=+++,22222193(33)199193(33)2a a x x a a a x xb -------⎡⎤++++-⎣⎦∴=+++,2221991193(33)2a a a x x b -----∴+=+++,对x R ∀∈恒成立,2190912a b-⎧-=⎪∴⎨=⎪⎩,22,9a b ∴==,∴对于4()39xf x =+存在22,9a b ==,使函数()y f x a b =+-为奇函数,∴4()39xf x =+是以22,9⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心的中心对称函数.(2)设()2431(2)22x x N x x x x -+==----,所以()()()()111122222202222N x N x x x x x x x x x ⎛⎫++-=+--+---=-+--= ⎪+----⎝⎭即(2)(2)0N x N x ++-=,即()2432x x N x x -+=-关于()2,0对称,又()42(2)9f x f x ++-=,4(2)(2)9g x g x ∴++-=,()g x ∴的对称中心是22,9⎛⎫⎪⎝⎭,依题意,使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等,则直线必过()y g x =的对称中心,所以所求为22,9A ⎛⎫⎪⎝⎭;32.定义:如果函数()y f x =在定义域内的给定区间[],a b 上存在0x (0a x b ≤≤),满足()()()0f b f a f x b a-=-,则称函数()y f x =为[],a b 上的“平均值函数”,0x 为它的平均值点.(1)函数2y x =是否为[]0,2上的“平均值函数”?如果是,请求出它的平均值点;如果不是,请说明理由.(2)若函数211221x x y m ++=-+⋅+是[]1,1-上的平均值函数,求实数m 的取值范围.【解析】(1)函数2y x =是[]0,2上的“平均值函数”.令()y f x =,因为()()20402202f f --==-,设0x 是它的平均值点,则有()0022f x x ==,解得01x =,[]10,2∈,故2y x =为[]0,2上的“平均值函数”,1是它的平均值点.(2)令()y f x =,()()()()()211121112212211131511224m m f f m ++-+-+-+⋅+--+⋅+--==---,设0x 是它的平均值点,则()031524f x m =-,即0021131522124x x m m ++-+⋅+=-,整理得0022122426190x x m m ++⋅-⋅+-=.令012x t +=,则[]1,4t ∈,则需方程2246190t mt m -+-=在[]1,4t ∈上有解,令()224619g t t mt m =-+-,[]1,4t ∈,()()2234426191611602m m m ⎛⎫∆=--⨯⨯-=-+> ⎪⎝⎭,①当()0g t =在[]1,4内有一个实根时,()()140g g ⋅≤,即(217)(1013)0m m --≥,解得172m ≥,或1310m ≤;②当()0g t =在[]1,4内有两个不等的实根时,需满足()()414221040m g g -⎧≤-≤⎪⨯⎪≥⎨⎪≥⎪⎩,可得141721310m m m ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩,无解.综上,实数m 的取值范围是1317,,102⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.。
专题71 函数中的新定义问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-新定义问题
例题精讲考点1一次函数新定义问题【例1】.定义:我们把一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=x的交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)的“不动点”.例如求y=2x﹣1的“不动点”:联立方程,解得,则y=2x﹣1的“不动点”为(1,1).(1)由定义可知,一次函数y=3x+2的“不动点”为(﹣1,﹣1);(2)若一次函数y=mx+n的“不动点”为(2,n﹣1),求m、n的值;(3)若直线y=kx﹣3(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,且直线y=kx﹣3上没=3S△ABO,求满足条件的P点坐标.有“不动点”,若P点为x轴上一个动点,使得S△ABP解:(1)联立,解得,∴一次函数y=3x+2的“不动点”为(﹣1,﹣1),故答案为:(﹣1,﹣1);(2)∵一次函数y=mx+n的“不动点”为(2,n﹣1),∴n﹣1=2,∴n=3,∴“不动点”为(2,2),∴2=2m+3,解得m=﹣;(3)∵直线y=kx﹣3上没有“不动点”,∴直线y=kx﹣3与直线y=x平行,∴k=1,∴y=x﹣3,∴A(3,0),B(0,﹣3),设P(t,0),∴AP=|3﹣t|,=×|t﹣3|×3,∴S△ABPS△ABO=×3×3,=3S△ABO,∵S△ABP∴|t﹣3|=9,∴t=12或t=﹣6,∴P(﹣6,0)或P(12,0).变式训练【变1-1】.在初中阶段的函数学习中,我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时,我们也学习了绝对值的意义.结合上面经历的学习过程,现在来解决下面的问题:在函数y=|kx﹣3|+b中,当x=2时,y=﹣4;当x=0时,y=﹣1.(1)求这个函数的表达式;(2)在给出的平面直角坐标系中,请用你喜欢的方法画出这个函数的图象,并写出这个函数的一条性质;(3)已知函数的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式的解集.(4)若方程|x2﹣6x|﹣a=0有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是0<a<9.解:(1)∵在函数y=|kx﹣3|+b中,当x=2时,y=﹣4;当x=0时,y=﹣1,∴,解得,∴这个函数的表达式是y=|﹣3|﹣4;(2)∵y=|﹣3|﹣4,∴,∴函数y=x﹣7过点(2,﹣4)和点(4,﹣1);函数y=﹣x﹣1过点(0,﹣1)和点(﹣2,2),该函数的图象如图所示,性质:当x>2时,y的值随x的增大而增大;(3)由函数的图象可得,不等式的解集是:1≤x≤4;(4)由|x2﹣6x|﹣a=0得a=|x2﹣6x|,作出y=|x2﹣6x|的图象,由图象可知,要使方程|x2﹣6x|﹣a=0有四个不相等实数根,则0<a<9,故答案为:0<a<9.考点2反比例函数新定义问题【例2】.探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,观察分析图象特征,概括函数性质的过程,以下是我们研究函数y=x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…(1)写出函数关系式中m及表格中a,b的值;m=﹣2,a=3,b=4;(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象;(3)已知函数y=﹣(x﹣2)2+8的图象如图所示,结合你所画的函数图象,不等式x+|﹣2x+6|+m>﹣(x﹣2)2+8的解集为x<0或x>4..解:(1)由表格可知,点(3,1)在该函数图象上,∴将点(3,1)代入函数解析式可得:1=3+|﹣2×3+6|+m,解得:m=﹣2,∴原函数的解析式为:y=x+|﹣2x+6|﹣2;当x=1时,y=3;当x=4时,y=4;∴m=﹣2,a=3,b=4,故答案为:﹣2,3,4;(2)通过列表—描点—连线的方法作图,如图所示;(3)要求不等式x+|﹣2x+6|+m>﹣(x﹣2)2+8的解集,实际上求出函数y=x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y=﹣(x﹣2)2+8图象上方的自变量的范围,∴由图象可知,当x<0或x>4时,满足条件,故答案为:x<0或x>4.变式训练【定义】在平面内,把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值,称为这两个图形之间的距离,即A,B分别是图形M和图形N上任意一点,当AB的长最小时,称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.例如,如图1,AB⊥l1,线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离,当l2∥l1时,线段AB的长度也是l1与l2之间的距离.【应用】(1)如图2,在等腰Rt△BAC中,∠A=90°,AB=AC,点D为AB边上一点,过点D作DE∥BC交AC于点E.若AB=6,AD=4,则DE与BC之间的距离是;(2)如图3,已知直线l3:y=﹣x+4与双曲线C1:y=(x>0)交于A(1,m)与B两点,点A与点B之间的距离是2,点O与双曲线C1之间的距离是;【拓展】(3)按规定,住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时,需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障(如图4).有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路,路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状,它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点,建立如图5所示的直角坐标系,此时高速路所在直线l4的函数表达式为y=﹣x,小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y=(x>0),那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少?解:(1)如图,过点D作DH⊥BC于点H,∵∠A=90°,AB=AC,∴∠B=45°,∵DH⊥BC,∴△BDH是等腰直角三角形,∴DH=BD,∵AB=6,AD=4,∴BD=AB﹣AD=6﹣4=2,∴DH=×2=;故答案为:;(2)把A(1,m)代入y=﹣x+4中,得:m=﹣1+4=3,∴A(1,3),把A(1,3)代入y=,得:3=,∴k=3,∴双曲线C1的解析式为y=,联立,得:﹣x+4=,即x2﹣4x+3=0,解得:x1=1,x2=3,∴B(3,1),∴AB==2;如图,作FG∥AB,且FG与双曲线y=只有一个交点,设直线FG的解析式为y=﹣x+b,则﹣x+b=,整理得:x2﹣bx+3=0,∴Δ=(﹣b)2﹣4×1×3=b2﹣12=0,∴b=2或b=﹣2(不符合题意,舍去),∴直线FG的解析式为y=﹣x+2,由﹣x+2=,解得:x1=x2=,∴K(,),∴OK==;故答案为:2,;(3)如图,设点S(a,b)是双曲线y=(x>0)上任意一点,且a<b,以点S为圆心,80为半径作⊙S交l4于E,过点S作SF⊥直线l4于F,交y轴于W,SH⊥x轴于H,SG⊥y轴于G,则SG=a,SH=b,ab=2400,∵直线y=﹣x平分第二、四象限角,∴∠FOW=45°,∵∠OFW=∠SGW=90°,∴∠OWF=90°﹣45°=45°,∴∠SWG=∠OWF=45°,∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形,∴SW=SG,WF=OW,∴SF=SW+WF=SG+OW=a+(b﹣a)=(a+b),∵EF====,∵OF=OW=(b﹣a),∴OE=(b﹣a)+,设b﹣a=m(m>0),则OE=m+≤=40,∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度=2OE=2×40=80,答:需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米.考点3二次函数新定义问题【例3】.小爱同学学习二次函数后,对函数y=﹣(|x|﹣1)2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题:(1)观察探究:①写出该函数的一条性质:函数图象关于y轴对称;②方程﹣(|x|﹣1)2=﹣1的解为:x=﹣2或x=0或x=2;③若方程﹣(|x|﹣1)2=m有四个实数根,则m的取值范围是﹣1<m<0.(2)延伸思考:将函数y=﹣(|x|﹣1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=﹣(|x﹣1|﹣1)2+2的图象?写出平移过程,并直接写出当1<y1≤2时,自变量x的取值范围.解:(1)观察探究:①该函数的一条性质为:函数图象关于y轴对称;②方程﹣(|x|﹣1)2=﹣1的解为:x=﹣2或x=0或x=2;③若方程﹣(|x|﹣1)2=m有四个实数根,则a的取值范围是﹣1<m<0.故答案为:函数图象关于y轴对称;x=﹣2或x=0或x=2;﹣1<m<0.(2)将函数y=﹣(|x|﹣1)2的图象向右平移1个单位,向上平移2个单位可得到函数y1=﹣(|x﹣1|﹣1)2+2的图象,当1<y1≤2时,自变量x的取值范围是﹣1<x<3且x≠1,变式训练【变3-1】.我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2﹣4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的图象(如图所示),下列结论正确的是()A.图象具有对称性,对称轴是直线x=1.5B.有且只有﹣1≤x≤1时,函数值y随x值的增大而增大C.若a<0,则8a+c>0D.若a<0,则a+b≥m(am+b)(m为任意实数)解:由图象可得,图象具有对称性,对称轴是直线x==1,故选项A错误,不符合题意;当﹣1≤x≤1或x>3时,函数值y随x值的增大而增大,故选项B错误,不符合题意;∵﹣=1,∴b=﹣2a,当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c<0,∴4a﹣2b+c=4a﹣2×(﹣2a)+c=4a+4a+c=8a+c<0,故选项C错误,不符合题意;∵y=ax2+bx+c开口向下,对称轴为直线x=1,∴a+b+c≥am2+bm+c(m为任意实数),∴a+b≥m(am+b)+c,故选项D正确,符合题意;故选:D.【变3-2】.已知抛物线y=ax2+c过点A(﹣2,0)和D(﹣1,3)两点,交x轴于另一点B.(1)求抛物线解析式;(2)如图1,点P是BD上方抛物线上一点,连接AD,BD,PD,当BD平分∠ADP时,求P点坐标;(3)将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案,其中点M,N 分别是旋转前后抛物线的顶点,点E、F是旋转前后抛物线的交点.①直线EF的解析式是y=x;②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称,则线段GH的最大值是.解:(1)∵抛物线y=ax2+c过点A(﹣2,0)和D(﹣1,3)两点,∴,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+4;(2)过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E,过D作DF⊥x于点F,由y=﹣x2+4,令y=0,则﹣x2+4=0,解得:x1=﹣2,x2=2,则B(2,0),∵DF=3,BF=2﹣(﹣1)=3,∴DF=BF,∴∠DBF=45°,∴∠DBE=45°,又∵DB=DB,BD平分∠ADP,∴△DAB≌△DEB(ASA),∴BA=BE,∵B(2,0),∴E(2,4),设直线DE的解析式为y=kx+b,则,解得,∴直线DE的解析式为y=x+,联立,解得或,则P(,);(3)①∵抛物线关于y轴对称,所以旋转后图形关于x轴对称,∴对于抛物线上任意一点P(a,b)关于原点旋转90°后对应点为P1(b,﹣a)在旋转后图形上,P1(b,﹣a)关于x轴对称的点P2(b,a)在旋转后图形上,∵P(a,b)与P2(b,a)关于y=x对称,∴图形2关于y=x对称,∴直线EF的解析式为y=x,故答案为:y=x;②如图,连接GH,交EF与点K,则GH=2GK,过点G作x轴的垂线,交EF于点I,∴当GK最大时,△GFE面积最大,=GI•(x E﹣x F),又∵S△GFE设G(m,﹣m2+4),则I(m,m),∴GI=y G﹣y I=﹣m2+4﹣m=﹣(m+)2+,∴当m=﹣时,△GFE面积最大,∴G(﹣,),由①可知G(﹣,)关于y=x的对称点H(,﹣),∴K(,),∴GK==,∴GH=2GK=,∴GH的最大值为,故答案为:.1.对于实数a,b,定义符号max|a,b|,其意义为:当a≥b时,max|a,b|=a,当a<b时,max|a,b|=b.例如max|2,﹣1|=2,若关于x的函数y=max|2x﹣1,﹣x+5|,则该函数的最小值为()A.B.1C.D.3解:当2x﹣1≥﹣x+5时,即x≥2,y=max|2x﹣1,﹣x+5|=2x﹣1,此时x=2时,y有最小值,最小值为2×2﹣1=3;当2x﹣1≤﹣x+5时,即x≤2,y=max|2x﹣1,﹣x+5|=﹣x+5,此时x=2时,y有最小值,最小值为﹣2+5=3;综上所述,该函数的最小值为3.故选:D.2.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b),若点P′的坐标为(ka+b,a+)(其中k为常数且k≠0),则称点P′为点P的“k关联点”.已知点A在反比例函数y=的图象上运动,且点A是点B的“关联点”,当线段OB最短时,点B的坐标为(,)或(﹣,﹣).解:设B(x,y),∵点A是点B的“关联点”,∴A(x+y,x+)∵点A在函数y=(x>0)的图象上,∴(x+y)(x+)=,即:x+y=或x+y=﹣,当点B在直线y=﹣x+上时,设直线y=﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N,则M(1,0)、N(0,),当OB⊥MN时,线段OB最短,此时OB==,由∠NMO=60°,可得点B(,);设直线y=﹣x﹣时,同理可得点B(﹣,﹣);故答案为:(,)或(﹣,﹣).3.定义:由a,b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y=ax+b的“滋生函数”,一次函数y=ax+b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”(a,b为常数,且a ≠0).若一次函数y=ax+b的“滋生函数”是y=ax2﹣3x+a+1,那么二次函数y=ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y=﹣2x﹣1.解:∵y=ax+b的“滋生函数”是y=ax2﹣3x+a+1,∴ax2﹣3x+a+1=ax2+(a+b)x+b,即,解得,∴y=ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y=﹣2x﹣1,故答案为:y=﹣2x﹣1.4.在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为“不动点”.例如(﹣3,﹣3)、(1,1)、(2023,2023)都是“不动点”.已知双曲线.(1)下列说法不正确的是C.A.直线y=x的图象上有无数个“不动点”B.函数的图象上没有“不动点”C.直线y=x+1的图象上有无数个“不动点”D.函数y=x2的图象上有两个“不动点”(2)求双曲线上的“不动点”;(3)若抛物线y=ax2﹣3x+c(a、c为常数)上有且只有一个“不动点”,①当a>1时,求c的取值范围.②如果a=1,过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l,若抛物线上有四个点到l的距离为m,直接写出m的取值范围.解:(1)设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为(n,n),直线y=x,当x=n时,则y=n,∴点(n,n)在直线y=x上,∴直线y=x上有无数个“不动点”,故A正确;将(n,n)代入y=,得n=,此方程无解,∴函数y=的图象上没有“不动点”,故B正确;将(n,n)代入y=x+1,得n=n+1,此方程无解,∴直线y=x+1上没有“不动点”,故C错误;将(n,n)代入y=x2,得n=n2,解得n1=0,n2=1,∴函数y=x2的图象上有两个“不动点”(0,0)和(1,1),故D正确,故选:C.(2)设双曲线上的“不动点”为(x,x),则x=,解得x1=﹣3,x2=3,∴双曲线上的“不动点”为(﹣3,﹣3)和(3,3).(3)①设抛物线y=ax2﹣3x+c上的“不动点”为(x,x),则x=ax2﹣3x+c,即ax2﹣4x+c=0,∵该抛物线上有且只有一个“不动点”,∴关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,∴(﹣4)2﹣4ac=0,∴a=,∵a>1,∴>1,∴0<c<4.②∵当a=1时,则=1,∴c=4,∴抛物线为y=x2﹣3x+4,由(2)得,双曲线在第一象限的不动点为(3,3),∴直线l即直线y=3,如图,∵y=x2﹣3x+4=(x﹣)2+,∴该抛物线的顶点B(,),对称轴为直线x=,设直线r在直线l下方且到直线l的距离为m,直线x=交直线l于点A,交直线r于点C,∴AC=m,A(,3),∴AB=3﹣=,设直线t与直线r关于直线l对称,∵当点C在点B的上方时,抛物线上有四个点到l的距离为m,∴0<m<.5.在并联电路中,电源电压为U总=6V,小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道:I总=I1+I2(I1=,I2=),已知R1为定值电阻,当R变化时,干路电流I总也会发生变化,且干路电流I总与R之间满足如下关系:I总=1+.(1)定值电阻R1的阻值为6Ω;(2)小亮根据学习函数的经验,参照研究函数的过程与方法,对比反比例函数I2=来探究函数I=1+的图象与性质.总①列表:如表列出I总与R的几组对应值,请写出m,n的值:m= 2.5,n=2;R…3456…I2=…2 1.5 1.21…I总=1+…3m 2.2n…②描点、连线:在平面直角坐标系中,以①给出的R的取值为横坐标,以I总相对应的值为纵坐标,描出相应的点,并将各点用光滑曲线顺次连接起来;(3)观察图象并分析表格,回答下列问题:①I总随R的增大而减小;(填“增大”或“减小”)②函数I总=1+的图象是由I2=的图象向上平移1个单位而得到.解:(1)∵I1==1,∴R1=6,故答案为:6;(2)①当R=4时,m=1+1.5=2.5,当R=6时,n=1+1=2,故答案为:2.5,2;②图象如下:(3)①根据图象可知,I随R的增大而减小,总故答案为:减小;②函数I总=1+的图象是由I2=的图象向上平移1个单位得到,故答案为:上,1.6.小欣研究了函数的图象与性质.其研究过程如下:(1)绘制函数图象①列表:下表是x与y的几组对应值,其中m=1;x…﹣4﹣3﹣2012…y…﹣1﹣2﹣332m…﹣﹣②描点:根据表中的数值描点(x,y);③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整.(2)探究函数性质:下列说法不正确的是AA.函数值y随x的增大而减小B.函数图象不经过第四象限C.函数图象与直线x=﹣1没有交点D.函数图象对称中心(﹣1,0)(3)如果点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数图象上,如果x1+x2=﹣2,则y1+y2=0.解:(1)把x=0代入到中可得:y=1,即m=1,图象如下所示:故答案为:1,图象如上所示;(2)A.当x<﹣1或x>﹣1时,函数值y随x的增大而减小,故选项A不正确;B.根据图象可得,函数图象不经过第四象限,故选项B正确;C.根据函数表示可得:x≠﹣1,所以函数图象与直线x=﹣1没有交点,故选项C正确;D.根据图象可知,函数图象对称中心(﹣1,0),故选项D正确;故选:A;(3)∵x1+x2=﹣2,∴y1+y2====0;故答案为:0.7.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后,进一步研究了函数的图象与性质,其探究过程如下:(1)绘制函数图象,列表:下表是x与y的几组对应值,其中m=.x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描点:根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出各点,请你描出剩下的点;连线:用平滑的曲线顺次连接各点,已经画出了部分图象,请你把图象补充完整;(2)通过观察图象,下列关于该函数的性质表述正确的是:②;(填写代号)①函数值y随x的增大而增大;②关于y轴对称;③关于原点对称;(3)在上图中,若直线y=2交函数的图象于A,B两点(A在B左边),连接OA.过点B作BC∥OA交x轴于C.则S四边形OABC=4.解:(1)将x=3代入得y=,故答案为:.(2)由(1)中的图象可知,在第一象限内,y随x的增大而减小;在第二象限内,y随x的增大而增大;函数图象关于y轴对称,故②正确;故答案为:②.(3)将y=2代入得x=1或x=﹣1,∴AB=1﹣(﹣1)=2,∵AB在直线y=2上,OC在x轴上,∴AB∥OC,又∵BC∥OA,∴四边形OABC为平行四边形,=AB•y A=2×2=4.∴S四边形OABC故答案为:4.8.【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点,则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角,如图①,∠APB是点P对线段AB的视角.【应用】(1)如图②,在直角坐标系中,已知点A(2,),B(2,2),C(3,),则原点O对三角形ABC的视角为30°;(2)如图③,在直角坐标系中,以原点O,半径为2画圆O1,以原点O,半径为4画圆O2,证明:圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值;【拓展应用】(3)很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照,如图④.现在有一条笔直的天桥,标志性建筑外延呈正方形,摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄.现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系,此时天桥所在的直线的表达式为x =﹣5,正方形建筑的边长为4,请直接写出直线上满足条件的位置坐标.解:(1)延长BA交x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,∵点,,,∴AB∥y轴,,OE=3,∴AB⊥x轴,∴,OD=2,∴,,∴∠BOD=60°,∠COE=30°,∴∠BOC=∠BOD﹣∠COE=30°,即原点O对三角形ABC的视角为30°过答案为:30°(2)证明:如图,过圆O2上任一点P作圆O1的两条切线交圆O1于A,B,连接OA,OB,OP,则有OA⊥PA,OB⊥PB,在中,OA=2,OP=4,∴,∴∠OPA=30°,同理可求得:∠OPB=30°,∴∠APB=60°,即圆O2上任意一点P对圆O1的视角是60°,∴圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值.(3)当在直线AB与直线CD之间时,视角是∠APD,此时以E(﹣4,0)为圆心,EA 半径画圆,交直线于P3,P6,∵∠DP3B>∠DP3A=45°,∠AP6C>∠DP6C=45°,不符合视角的定义,P3,P6舍去.同理,当在直线AB上方时,视角是∠BPD,此时以A(﹣2,2)为圆心,AB半径画圆,交直线于P1,P5,P5不满足;过点P1作P1M⊥AD交DA延长线于点M,则AP1=4,P1M=5﹣2=3,∴,∴当在直线CD下方时,视角是∠APC,此时以D(﹣2,﹣2)为圆心,DC半径画圆,交直线于P2,P4,P4不满足;同理得:;综上所述,直线上满足条件的位置坐标或.9.小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数:y=[x],若x≥0时,[x]=x2﹣1;若x<0时,[x]=﹣x﹣1.小明根据学习函数的经验,对该函数进行了探究.(1)①列表:下表列出y与x的几组对应值,请写出m,n的值m=0;n=3;x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描点:在平面直角坐标系中,以①给出的自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值为纵坐标,描出相应的点并连线,作出函数图象;(2)下列关于该函数图象的性质正确的是③;(填序号)①y随x的增大而增大;②该函数图象关于y轴对称;③当x=0时,函数有最小值为﹣1;④该函数图象不经过第三象限.(3)若函数值y=8,则x=3或﹣9;(4)若关于x的方程2x+c=[x]有两个不相等的实数根,请结合函数图象,直接写出c 的取值范围是c>﹣2.解:(1)①m=﹣(﹣1)﹣1=0;n=22﹣1=3;故答案为:0,3;②描点,连线,作出函数图象如下:(2)从图象可知:下列关于该函数图象的性质正确的是③;故答案为:③;(3)若x≥0时,x2﹣1=8,解得x=3或x=﹣3,∴x=3;若x<0时,﹣x﹣1=8,解得x=﹣9,故答案为:3或﹣9;(4)由图象可知:关于x的方程2x+c=[x]有两个不相等的实数根,则c>﹣2,故答案为:c>﹣2.10.某公园内人工湖上有一座拱桥(横截面如图所示),跨度AB为4米.在距点A水平距离为d米的地点,拱桥距离水面的高度为h米.小红根据学习函数的经验,对d和h之间的关系进行了探究.下面是小红的探究过程,请补充完整:(1)经过测量,得出了d和h的几组对应值,如表.d/米00.61 1.8 2.43 3.64h/米0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.600.88在d和h这两个变量中,d是自变量,h是这个变量的函数;(2)在下面的平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象;(3)结合表格数据和函数图象,解决问题:①桥墩露出水面的高度AE为0.88米;②公园欲开设游船项目,现有长为3.5米,宽为1.5米,露出水面高度为2米的游船.为安全起见,公园要在水面上的C,D两处设置警戒线,并且CE=DF,要求游船能从C,D两点之间安全通过,则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米.(精确到0.1米)解:(1)d是自变量,h是这个变量的函数,故答案为:d,h;(2)如图,(3)①当x=0时,y=0.88,∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米,故答案为:0.88;②设y=ax2+bx+c,把(0,0.88)、(1,2.38)、(3,2.38)代入得,,解得,∴y=﹣0.5x2+2x+0.88,对称轴为直线x=2,令y=2,则2=﹣0.5x2+2x+0.88,解得x≈3.3(舍去)或0.7.故答案为:0.7.11.小明为了探究函数M:y=﹣x2+4|x|﹣3的性质,他想先画出它的图象,然后再观察、归纳得到,并运用性质解决问题.(1)完成函数图象的作图,并完成填空.①列出y与x的几组对应值如表:x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中,a=﹣3;②结合上表,在下图所示的平面直角坐标系xOy中,画出当x>0时函数M的图象;③观察图象,当x=﹣2或2时,y有最大值为1;(2)求函数M:y=﹣x2+4|x|﹣3与直线l:y=2x﹣3的交点坐标;(3)已知P(m,y1),Q(m+1,y2)两点在函数M的图象上,当y1<y2时,请直接写出m的取值范围.解:(1)①把x=4代入y=﹣x2+4|x|﹣3得:y=﹣16+16﹣3=﹣3,∴a=﹣3,故答案为:﹣3;②画出当x>0时函数M的图象如下:③观察图象,当x=﹣2或2时,y有最大值为1;故答案为:﹣2或2,1;(2)由解得或,由解得或,∴函数M:y=﹣x2+4|x|﹣3与直线l:y=2x﹣3的交点坐标为(﹣6,﹣15)、(0,﹣3)、(2,1);(3)∵P(m,y1),Q(m+1,y2)两点在函数M的图象上,且y1<y2,∴m的取值范围m<﹣2.5或﹣0.5<m<1.5.12.定义:平面直角坐标系xOy中,若点M绕原点顺时针旋转90°,恰好落在函数图象W 上,则称点M为函数图象W的“直旋点”.例如,点是函数y=x图象的“直旋点”.(1)在①(3,0),②(﹣1,0),③(0,3)三点中,是一次函数图象的“直旋点”的有②③(填序号);(2)若点N(3,1)为反比例函数图象的“直旋点”,求k的值;(3)二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,点D是二次函数y=﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上,求D点坐标.解:(1)①点(3,0)绕原点顺时针旋转90°得点(0,﹣3),当x=0时,y=1,∴点(3,0)不是一次函数图象的“直旋点”;②点(﹣1,0)绕原点顺时针旋转90°得点(0,1),当x=0时,y=1,∴点(﹣1,0)是一次函数图象的“直旋点”;③点(0,3)绕原点顺时针旋转90°得(3,0),当x=3时,y==0,∴点(0,3)是一次函数图象的“直旋点”;∴是一次函数图象的“直旋点”的有②③;故答案为:②③;(2)点N(3,1)绕原点顺时针旋转90°得点(1,﹣3),∵点N(3,1)为反比例函数图象的“直旋点”,∴,∴k=﹣3;(3)∵二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),令y=0,则﹣x2+2x+3=0,解得:x1=3,x2=﹣1,∴A(﹣1,0),B(3,0),∵二次函数y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,令x=0,则y=3,∴C(0,3),设直线AC的解析式为y=kx+b,,解得:,∴直线AC的解析式为y=3x+3,设点D(a,3a+3),则D(a,3a+3)绕原点顺时针旋转90°得点(3a+3,﹣a),∵点D是二次函数y=﹣x2+2x+3图象的“直旋点”,∴﹣(3a+3)2+2(3a+3)+3=﹣a,解得:a=0或a,∴点D的坐标为(0,3)或.13.对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足﹣M≤y ≤M,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,图中的函数是有界函数,其边界是1.(1)直接判断函数y=(x>0)和y=﹣2x+1(﹣4<x≤2)是不是有界函数?若是有界函数,直接写出其边界值;(2)若一次函数y=kx+b(﹣2≤x≤1)的边界值是3,且这个函数的最大值是2,求这个一次函数的解析式;(3)将二次函数y=﹣x2(﹣1≤x≤m,m≥0)的图象向上平移m个单位,得到的函数的边界值是n,当m在什么范围时,满足≤n≤1.解:(1)y=(x>0)不是有界函数;y=﹣2x+1(﹣4<x≤2)是有界函数,当x=﹣4时,y=9,当x=2时,y=﹣3,∴对于﹣4<x≤2时,任意函数值都满足﹣9<y≤9,∴边界值为9.(2)当k>0时,由有界函数的定义得函数过(1,2),(﹣2,﹣3)两点,设y=kx+b,将(1,2)(﹣2,﹣3)代入上式得,解得:,所以:y=x+,当k<0时,由有界函数的定义得函数过(﹣2,2),(1,﹣3)两点,设y=kx+b,将(﹣2,2),(1,﹣3)代入上式得,即得,函数解析式为y=﹣x﹣.(3)若m>1,函数向上平移m个单位后,x=0时,y=m,此时边界值t≥1,与题意不符,故m≤1,函数y=﹣x2过点(﹣1,﹣1),(0,0);向上平移m个单位后,平移图象经过(﹣1,﹣1+m);(0,m).∴﹣1≤﹣1+m≤﹣或≤m≤1,即0≤m≤或≤m≤1.14.在平面直角坐标系中,由两条与x轴有着相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.如图所示,抛物线C1与抛物线C2:y=mx2+4mx﹣12m(m >0)的部分图象组成一个“月牙线”,相同的交点分别为M,N(点M在点N的左侧),与y轴的交点分别为A,B,且点A的坐标为(0,﹣1).(1)求M,N两点的坐标及抛物线C1的解析式;(2)若抛物线C2的顶点为D,当m=时,试判断三角形MND的形状,并说明理由;(3)在(2)的条件下,点P(t,﹣)是抛物线C1上一点,抛物线C2第三象限上是=S△ONQ,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说否存在一点Q,使得S△APM明理由.解:(1)令y=0,则mx2+4mx﹣12m=0,解得x=2或x=﹣6,∴M(﹣6,0),N(2,0),设抛物线C1的解析式为y=a(x+6)(x﹣2),将点A(0,﹣1)代入,得﹣12a=﹣1,解得a=,∴y=(x2+4x﹣12);(2)∵m=,∴y=x2+3x﹣9=(x+2)2﹣12,∴D(﹣2,﹣12),∴MD=4,ND=4,MN=8,∴MD=ND,∴△MND是等腰三角形;=S△ONQ,理由如下:(3)∵存在一点Q,使得S△APM∵点P(t,﹣)是抛物线C1上一点,∴﹣=(t2+4t﹣12),解得t=﹣1或t=﹣3,∴P(﹣1,﹣)或P(﹣3,﹣),设直线AM的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴y=﹣x﹣1,过点P作PG∥y轴交AM于点G,当P(﹣1,﹣)时,G(﹣1,﹣),∴PG=,=6×=,∴S△APM=S△ONQ,∵S△APM∴××2×|y Q|=,解得y Q=﹣,∴Q(﹣﹣2,﹣);当P(﹣3,﹣)时,G(﹣3,﹣),∴PG=,=6×=,∴S△APM=S△ONQ,∵S△APM∴××2×|y Q|=,解得y Q=﹣,∴Q(﹣﹣2,﹣);综上所述:Q点坐标为(﹣﹣2,﹣)或(﹣﹣2,﹣).15.阅读材料:一般地,对于某个函数,如果自变量x在取值范围内任取x=a与x=﹣a时,函数值相等,那么这个函数是“对称函数”.例如:y=x2,在实数范围内任取x=a时,y =a2;当x=﹣a时,y=(﹣a)2=a2,所以y=x2是“对称函数”.(1)函数y=2|x|+1是对称函数(填“是”或“不是”).当x≥0时,y=2|x|+1的图象如图1所示,请在图1中画出x<0时,y=2|x|+1的图象.(2)函数y=x2﹣2|x|+1的图象如图2所示,当它与直线y=﹣x+n恰有3个交点时,求n的值.(3)如图3,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点坐标分别是A(﹣3,0),B(2,0),C(2,﹣3),D(﹣3,﹣3),当二次函数y=x2﹣b|x|+1(b>0)的图象与矩形的边恰有4个交点时,求b的取值范围.解:(1)∵在实数范围内任取x=a时,y=2|a|+1,当x=﹣a时,y=2|﹣a|+1=2|a|+1,∴y=2|x|+1是“对称函数”.故答案为:是;y=2|x|+1的图象如图1所示,(2)①当直线y=﹣x+n经过点(0,1)时,函数y=x2﹣2|x|+1的图象与直线y=﹣x+n恰有3个交点,∴n=1;②当直线y=﹣x+n与函数y=x2﹣2|x|+1的图象的右半侧相切时,函数y=x2﹣2|x|+1的图象与直线y=﹣x+n恰有3个交点,即方程组有一个解,∴方程x2﹣x+1﹣n=0有两个相等的实数根.∴Δ=(﹣1)2﹣4×1×(1﹣n)=0,解得:n=.综上,函数y=x2﹣2|x|+1的图象与直线y=﹣x+n恰有3个交点,则n的值为1或;(3)当x>0时,函数y=x2﹣bx+1的图象与x轴相切时,方程x2﹣bx+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=(﹣b)2﹣4×1×1=0,∵b>0,∴b=2;当x>0时,函数y=x2﹣bx+1的图象与直线DC相切时,方程x2﹣bx+1=﹣3有两个相等的实数根,∴Δ=(﹣b)2﹣4×1×4,∵b>0,∴b=4;当x<0时,函数y=x2+bx+1的图象经过点(﹣3,﹣3)时,﹣3=(﹣3)2﹣3b+1,解得:b=.综上,当2<b<4或b>时,二次函数y=x2﹣b|x|+1(b>0)的图象与矩形的边恰有4个交点.16.定义:把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形,我们把这个封闭图形称为“蛋圆”.如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,A,B,C,D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,8),AB为半圆的直径,半圆的圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为3.(1)请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y=﹣x2+4x+8,自变量的取值范围是﹣2≤x≤4;(2)请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标;(3)求经过点D的“蛋圆”切线的解析式.解:(1)∵半圆的圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为3,∴A(﹣2,0),B(4,0),设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则,解得,∴“蛋圆”抛物线部分的解析式y=﹣x2+2x+8(﹣2≤x≤4);故答案为:=﹣x2+2x+8;﹣2≤x≤4.(2)如图,设过点C的切线与x轴相交于E,连接CM,∵CE与半圆相切,∴CE⊥CM,∴∠OCE+∠MCO=90°,∵∠CEO+∠ECO=90°,∴∠CEO=∠MCO,又∵∠COE=∠MOC=90°,∴△COE∽△MOC,∴=,由勾股定理得,OC==2,∴OE===8,∴过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标为(﹣8,0);(3)设过点D的“蛋圆”切线解析式为y=kx+8,联立,消掉y得,x2+(k﹣2)x=0,∵直线与“蛋圆”抛物线相切,∴△=(k﹣2)2=0,解得k=2,∴过点D的“蛋圆”切线的解析式为y=2x+8.17.规定:如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的,我们则称这两个函数互为“O—函数”.这组点称为“XC点”.例如:点P(1,1)在函数y=x2上,点Q(﹣1,﹣1)在函数y=﹣x﹣2上,点P与点Q关于原点对称,此时函数y=x2和y=﹣x﹣2互为“O—函数”,点P与点Q则为一组“XC点”.(1)已知函数y=﹣2x﹣1和y=﹣互为“O—函数”,请求出它们的“XC点”;(2)已知函数y=x2+2x+4和y=4x+n﹣2022互为“O—函数”,求n的最大值并写出“XC 点”;(3)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与y=2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”,如图,若二次函数的顶点为M,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)其中0<x1<x2,AB=,过顶点M作x轴的平行线l,点P在直线l上,记P的横坐标为﹣,连接OP,AP,BP.若∠OPA=∠OBP,求t的最小值.解:(1)设P(a,b)在y=﹣2x﹣1上,则Q(﹣a,﹣b)在y=﹣上,∴,解得或,∴“XC点”为(﹣2,3)与(2,﹣3)或(,﹣4)与(﹣,4);(2)设P(s,t)在y=x2+2x+4上,则Q(﹣s,﹣t)在y=4x+n﹣2022上,∴,∴n=﹣t+4s+2022=﹣s2+2s+2018=﹣(s﹣1)2+2019,当s=1时,n有最大值2019,此时“XC点”为(1,7)与(﹣1,﹣7);(3)设P(x,y)在y=ax2+bx+c上,则Q(﹣x,﹣y)在y=2bx+1上,∴,整理得ax2﹣bx+c+1=0,∵有且仅存在一组“XC点”,∴Δ=b2﹣4a(c+1)=0,即=﹣1,∴顶点M的纵坐标为﹣1,∵ax2+bx+c=0,∴x1+x2=﹣,x1•x2=,∴AB==,∵AB=,∴=,∴=,∵∠OPA=∠OBP,∠AOP=∠POB,∴△POA∽△BOP,∴OP2=OB•OA=x1•x2,∵P的横坐标为﹣,∴P(﹣,﹣1),∴t+1===(c﹣1)2+,∴当c=1时,t有最小值.18.如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”.(1)判断下列三角形是否为“CJ三角形”?如果是,请在对应横线上画“√”,如果不是,请在对应横线上画“×”;①其中有两内角分别为30°,60°的三角形×;②其中有两内角分别为50°,60°的三角形×;③其中有两内角分别为70°,100°的三角形√;(2)如图1,点A在双曲线y=(k>0)上且横坐标为1,点B(4,0),C为OB中点,D为y轴负半轴上一点,若∠OAB=90°.①求k的值,并求证:△ABC为“CJ三角形”;②若△OAB与△OBD相似,直接写出D的坐标;(3)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,E为BC边上一点,BE >CE且△ABE是“CJ三角形”,已知A(﹣6,0),记BE=t,过A,E作抛物线y=ax2+bx+c(a>0),B在A右侧,且在x轴上,点Q在抛物线上,使得tan∠ABQ=,若符合条件的Q点个数为3个,求抛物线y=ax2+bx+c的解析式.。
专题10 二次函数的新定义问题专训(解析版)
专题10二次函数的新定义问题专训【精选最新30道二次函数的新定义问题】1.(2023·广西柳州·校联考二模)我们定义一种新函数:形如y =|ax 2+bx +c |(a ≠0,b 2﹣4ac >0)的函数叫做“鹊桥”函数.小腾同学画出了“鹊桥”函数y =|x 2﹣2x ﹣3|的图象(如图所示),并写出下列四个结论:其中正确结论的个数是()①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0)和(3,0);②当﹣1≤x ≤1或x ≥3时,函数值y 随x 值的增大而增大;③当x =1时,函数有最大值是4;④函数与直线y =m 有4个公共点,则m 的取值范围是0<m <4.A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】由2|23|y x x 可得函数图象的对称轴为直线x =1,与坐标轴交点坐标为(1,0) ,(3,0)和(0,3),可判断①错误,根据图象及函数性质可判断②正确;由从图象上看,当1x 或3x ,函数值有大于4的值,因此③是错误的;由图象可知,函数与直线y m 有4个公共点,则m 的取值范围是04m ,故④正确.【详解】解:如图:∵2|23|y x x ,∴函数图象的对称轴为直线x =1,与坐标轴交点坐标为(1,0) ,(3,0)和(0,3),①是错误的;②根据函数的图象和性质,发现当11x 或3x 时,函数值y 随x 值的增大而增大,因此②是正确的;③由图象可知,当1x 时,函数值随x 的减小而增大,当3x 时,函数值随x 的增大而增大,均存在大于顶点坐标的函数值,故当1x 时的函数值4并非最大值,故③错误.④由图象可知,函数与直线y m 有4个公共点,则m 的取值范围是04m ,故④正确.故选:B .【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,解题的关键是主要通过题干信息理解“鹊桥”函数2||y ax bx c ,2(0,40)a b ac 的定义,掌握它与2y ax bx c 之间的关系以及两个函数性质的联系和区别.2.(2023·山东济南·统考二模)新定义:若一个点的纵坐标是横坐标的2倍,则称这个点为二倍点.若二次函数2y x x c (c 为常数)在24 x 的图像上存在两个二倍点,则c 的取值范围是()A .124c B .944cC .144cD .9104c【答案】B【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上,由-2<x <4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标,结合图象,通过求抛物线与线段交点求解.【详解】解:由题意可得二倍点所在直线为y =2x ,将x =-2代入y =2x 得y =-4,将x =4代入y =2x 得y =8,设A (-2,-4),B (4,8),如图,联立方程x 2-x +c =2x ,当Δ>0时,抛物线与直线y=2x有两个交点,即9-4c>0,解得c<9 4,此时,直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A,B上方时,抛物线与线段AB有两个交点,把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c,把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c,∴64 128cc,解得c>-4,∴-4<c<94满足题意.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题关键掌握函数与方程及不等式的关系,将代数问题转化为图形问题求解.3.(2023·山东济南·校联考二模)定义:在平面直角坐标系中,若点A满足横、纵坐标都为整数,则把点A 叫做“整点”.如:B(3,0)、C(﹣1,3)都是“整点”.抛物线y=ax2﹣2ax+a+2(a<0)与x轴交于点M,N两点,若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域(包括边界)恰有5个整点,则a的取值范围是()A.﹣1≤a<0B.﹣2≤a<﹣1C.﹣1≤a<12D.﹣2≤a<0【答案】B【分析】画出图象,找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域(包括边界)恰有5个整点的边界,利用与y交点位置可得a的取值范围.【详解】解:抛物线y=ax2﹣2ax+a+2(a<0)化为顶点式为y=a(x﹣1)2+2,故函数的对称轴:x=1,M和N两点关于x=1对称,根据题意,抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域(包括边界)恰有5个整点,这些整点是(0,0),(1,0),((1,1),(1,2),(2,0),如图所示:∵当x =0时,y =a+2∴0≤a+2<1当x =﹣1时,y =4a+2<0即:021420a a ,解得﹣2≤a <﹣1故选B .【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识,利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键.4.(2023·湖南株洲·统考一模)对于实数a 、b ,定义一种运算“ ”为:22a b a ab ,有下列命题:①132 ;②方程10x 的根为:1221x x ,;③不等式组 240{130x x 的解集为:14x ;④点15 22,在函数 1 y x 的图象上.其中正确的是()A .①②③④B .①③C .①②③D .③④【答案】C【分析】根据新定义和解一元二次方程、解不等式组、,二次函数等知识对各选项进行判断【详解】根据新定义21311322 ,所以命题①正确;∵10x ,∴220x x ,解得1221x x ,,所以命题②正确;∵ 244224221 31234x x x x x x ,,∴2201{{14404x x x x x ,所以命题③正确;∵ 212y x x x ,∴当12x 时,2119522242y ,∴点15 22,不在函数 1 y x 的图象上,所以命题④错误,综上所述,命题①②③正确.故选C .【点睛】本题考查了命题:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题,涉及到解一元二次方程、解不等式组、,二次函数等知识,此题需要熟练掌握新定义.5.(2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模)定义一种新运算:(0)(0)@(0)aa b a b b ab a ,下列说法:①若3@2x x ,则13x ,21x ;②若 1@22x ,则该不等式的解集为35x ;③代数式 2@123@21@2x x x取得最小值时,12x ;④函数 11@y x ,函数 222@y x x ,当102x 时,12y y .以上结论正确的个数是()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可.【详解】解:①由题意得:32x x,2230x x ,解得:13x ,21x ;检验:当13x ,21x 时,0x ;13x ,21x 是原分式方程的解,故①正确;②当10x 时,1x ,0(2)0 ,此情况成立;当10x 时,1x ,10x ,故 121@2x x ,122x,14x 解得:35,1x x ,综上所述:35x ,故②正确;③由题意得:112126226223x x x x x x ,取得最小值时,13x,故③错误;④212,22y x y x x ,在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,11(,)22A ,当102x 时,12y y ,故④正确.故选:C .【点睛】本题考查了新定义运算,一元一次不等式组的解法,绝对值的意义,一次函数与二次函数的交点问题,分类讨论思想,正确理解新定义运算是本题的关键.6.(2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习)若一列数含有n 个数,除第一个数和最后一个数外,其余每个数都等于与它相邻的两个数之和,则称这列数为“n 级浪花数”.比如一列数为5,7,2,-5,满足752 , 275 ,所以5,7,2,-5为四级浪花数.根据定义给出下列四个结论:①12,3,a 为三级浪花数,则a 的值为-9②若四级浪花数中第1个数为1,则这列数的积的最大值可能为12③任意组100级浪花数,第36个数和第63个数一定互为相反数④2022级浪花数中的所有数之和为0下列说法正确的个数为()A .1B .2C .3D .4【答案】C【分析】根据定义:除第一个数和最后一个数外,其余每个数都等于与它相邻的两个数之和,则称这列数为“n 级浪花数”,进行一一判断即可【详解】解:①∵12,3,a 为三级浪花数,∴a +12=3,解得:a =-9,故①正确;②设这四级浪花数分别为1,x +1,x ,-1,则其积为:211(1)()24x x x ,当x =12 时,其积最大值为14,所以这列数的积的最大值不可能为12,故②错误;③设任意组100级浪花数中第一个数为x ,第二个数为y ,由题意得这一列数依次为:x ,y ,y -x ,-x ,-y ,x -y ,x ,y ,y -x ,-x ,-y ,x -y ,……可以看出每六个数一次循环,36÷6=6,所以第36个数为x -y ,63÷6=10余3,所以第63个数为y -x ,所以第36个数和第63个数一定互为相反数,故③正确;④2022级浪花数中第一个数为x ,第二个数为y ,则一列数依次为:x ,y ,y -x ,-x ,-y ,x -y ,x ,y ,y -x ,-x ,-y ,x -y ,……,可以看出每六个数一次循环,这六个数的和为:x +y +y -x -x -y +x -y =0,且2022÷6=337,所以2022级浪花数中的所有数之和为0由④正确;故选:C【点睛】本题考查了规律型:数字的变化类,根据数的变化,找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键.7.(2023·湖南岳阳·校考模拟预测)定义:对于已知的两个函数,任取自变量x 的一个值,当x ≥0时,它们对应的函数值相等;当x <0时,它们对应的函数值互为相反数,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:正比例函数y x ,它的相关函数为00x x y x x.已知点M ,N 的坐标分别为1,12 ,9,12 ,连接MN ,若线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有两个公共点,则n 的取值范围为()A .31n 或514nB .31n 或514nC .31n 或514n D .31n 或514n 【答案】B【分析】求出二次函数24y x x n 的相关函数的解析式,结合图像分析选项中的几个关键点1,12,9,12,再解方程结合图象判断即可.【详解】二次函数24y x x n 的相关函数为 224040x x n x y x x n x,大致函数图像如下:如图1所示,当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有1个公共点时,∴当x =2时,1y ,则-4+8+n =1,解得n =-3,如图2所示,当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点时,∵抛物线y =24x x n 与y 轴交点纵坐标为1,∴-n =1,解得n =-1;∴当31n 时,线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点;如图3所示:线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点,∵二次函数24y x x n 经过点(0,1),∴n =1,如图4所示:线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点,∵抛物线y =24x x n 经过点1,12,∴14+2-n =1,解得n =54,∴514n时,线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点.综上所述,n 的取值范围是31n 或514n .故选:B .【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系,理解互为相关函数的定义是解题的关键,本题是选择题使用排除法更简单.8.(2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习)在平面直角坐标系中,对图形F 给出如下定义:若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上,在所有满足条件的角中,其度数的最小值称为图形的坐标角度,例如,如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数 213y ax a 的图象在直线1y 下方的部分沿直线1y 向上:翻折,则所得图形的坐标角度 的取值范围是()A .3060B .120150C .90120D .6090【答案】D【分析】分a=1和a=3两种情况画出图形,根据图形的坐标角度的定义即可解决问题.【详解】解:当a=1时,如图1所示,∵角两边分别过点A (-1,1),B (1,1),作BE ⊥x 轴于点E ,∴BE =OE ,∴∠BOE =45°,根据对称性可知:∠AOB =90°,∴此时坐标角度 =90°;当a=3时,如图2所示,角两边分别过点A (33,1),B (33,1),作BE ⊥x 轴于点E ,∵3tan 3BOE,∴∠BOE =60°,根据对称性可知:∠AOB =60°,∴此时坐标角度 =90°,∴60°≤ ≤90°,故选:D .【点睛】本题考查二次函数综合题,图形的坐标角度定义等知识,解题的关键是理解题意,学会画图,利用特殊点或者特殊位置解决问题.9.(2023·山东济宁·统考二模)定义:在平面直角坐标系中,点(,)P x y 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的勾股值,记P x y .若抛物线21y ax bx 与直线y x 只有一个交点C ,已知点C 在第一象限,且24C ,令2242020t b a ,则t 的取值范围为()A .20172018t B .20182019t C .20192020t D .20202021t 【答案】B【分析】由题意△=0,故(b-1)2-4a=0,4a=(b-1)2,用方程可以化为(b-1)2+4(b-1)x+4=0,则x 1=x 2=21b ,故C (21b ,21b ),而且2≤C ≤4,即1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1,解得:-1≤b≤0或2≤b≤3,t=2b 2-4a+2020=2b 2-(b-1)2+2020=b 2+2b+2019=(b+1)2+2018,即可求解.【详解】由题意得方程组21y x y ax bx==只有一组实数解,消去y 得ax 2+(b-1)x+1=0,由题意△=0,∴(b-1)2-4a=0,∴4a=(b-1)2,∴用方程可以化为(b-1)x 2+4(b-1)x+4=0,∴x 1=x 2=21b,∴C (21b ,21b),∵且2≤C ≤4,∴1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1,解得:-1≤b≤0或2≤b≤3,∵点C 在第一象限,∴-1≤b≤0,t=2b 2-4a+2020,∵t=2b 2-4a+2020=2b 2-(b-1)2+2020=b 2+2b+2019=(b+1)2+2018,∵-1≤b≤0∴2018≤t≤2019.故选:B .【点睛】本题考查二次函数综合题,解题的关键是理解题意,学会把问题转化为方程或方程组解决,学会构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题.10.(2023·河北石家庄·统考模拟预测)定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形OABC 中,点 0,2A ,点 2,0C ,则互异二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是()A .4,-1B .5172,-1C .4,0D .5172,-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况,列出它们有交点时满足的条件,得到关于m 的不等式组,求解即可.【详解】解:由正方形的性质可知:B (2,2);若二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当0m 时,则当A 点在抛物线上或上方时,它们有交点,此时有202m m m,解得:10m ;当01m 时,则当C 点在抛物线上或下方时,它们有交点,此时有 20120m m m ,解得:01m ;当12m 时,则当O 点位于抛物线上或下方时,它们有交点,此时有2120m m m,解得:12m ;当m>2时,则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时,它们才有交点,此时有 222022m m m m m,解得:51722m;综上可得:m 的最大值和最小值分别是5172,1 .故选:D .【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题,涉及到列一元一次不等式组等内容,解决本题的关键是能根据图像分析交点情况,并进行分类讨论,本题综合性较强,需要一定的分析能力与图形感知力,因此对学生的思维要求较高,本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等.11.(2023·湖北武汉·校联考模拟预测)我们定义一种新函数:形如 220,40y ax bx c a b ac 的函数叫做“鹊桥”函数.已知某“鹊桥”函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点.关于下列结论:①图像具有对称性,对称轴是直线1x ;②当1x 时,函数的最大值是4a ;③当11x 或3x 时,函数值y 随x 值的增大而增大;④当1a 时,2ax bx c t 有两个实数根,则4t .其中正确结论的序号是.【答案】①③【分析】先根据题意画出函数图像,再运用抛物线的对称性结合过(1,0),(3,0) 两点可得对称轴,即可判定①;求出当1x 时,4y a b c a ,当1x 或3x ,函数值有大于4a 的值,即可判断②;由函数图像可知:当11x 或3x 时,函数值y 随x 值的增大而增大,即可判断③;由图像可得当1a 时,2ax bx c t 有两个实数根,则0 t 或4t 即可判定④.【详解】解:根据题意画出图像如图:由二次函数图像的对称性可得:对称轴为1312x,则①正确;∵函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点,∴0930a b c a b c,∴3c a ,∵对称轴为12bx a,∴2b a ,∴当1x 时,4y a b c a ,∴由函数图像可知:当1x 或3x ,函数值有大于4a 的值,则②错误;由函数图像可知:当11x 或3x 时,函数值y 随x 值的增大而增大,则③正确;当1a 时,44a ,∵2ax bx c t 有两个实数根,∴由函数图像可知:0 t 或4t ,则④错误.故答案为:①③.【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质,根据题意正确画出函数图像是解答本题的关键.12.(2023·云南昭通·统考二模)如下图,正方形ABCD 的边AB 在x 轴上,A (﹣4,0),B (﹣2,0),定义:若某个抛物线上存在一点P ,使得点P 到正方形ABCD 四个顶点的距离相等,则称这个抛物线为正方形ABCD 的“友好抛物线”.若抛物线y=2x 2﹣nx ﹣n 2﹣1是正方形ABCD 的“友好抛物线”,则n 的值为.【答案】-3或6【分析】到A 、B 、C 、D 四个点距离都相等的点为AC 、BD 的交点点E ,求出点E 的坐标,将点E 的坐标代入二次函数解析式,求出n 的值即可.【详解】连接AC 、BD 交于点E ,作EF ⊥AB 交AB 于点F ,由题意得,抛物线必经过点E ,∵A (﹣4,0),B (﹣2,0),∴AB =2,BO =2,∵正方形ABCD ,∴∠ABE =45°,AE ⊥BE ,AE =BE ,∴AF =BF =EF =1,∴E (﹣3,﹣1),∴﹣1=2×9+3n ﹣n 2﹣1,解得n =﹣3或6.故答案为﹣3或6.【点睛】确定出到A 、B 、C 、D 四个点距离相等的点的位置是解题的关键.13.(2022·全国·九年级专题练习)定义新运算:对于任意实数m ,n 都有2m n m mn n ☆,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.例如: 232332217 ☆.根据以上知识解决问题:(1)若x ☆3=1,则x 的值为.(2)抛物线 21y x ☆的顶点坐标是.(3)若2a ☆的值小于0,则方程220x bx a 有个根.【答案】x 1=1,x 2=2(52,−54)2【分析】(1)利用新定义运算法则列出方程x 2-3x +3=1,然后解方程即可;(2)利用新定义运算法则列出方程,然后利用配方法写出顶点式解析式,可以直接得到答案;(3)由2☆a 的值小于0知22-2a +a <0,解之求得a >4.再在方程-2x 2-bx +a =0中由Δ=(-b )2+8a ≥8a >0可得答案.【详解】解:(1)根据题意,得x 2-3x +3=1,移项、合并同类项,得x 2-3x +2=0,整理,得(x ,-1)(x -2)=0,解得x 1=1,x 2=2;故答案为:x 1=1,x 2=2;(2)根据题意知,y =(2-x )2-(2-x )(-1)+(-1)=x 2-5x +5=(x -52)2-54.所以,顶点坐标(52,−54);故答案为:(52,−54);(3)∵2☆a 的值小于0,∴22-2a +a <0,解得a >4.在方程-2x 2-bx +a =0中,∵Δ=(-b )2+8a ≥8a >0,∴方程-2x 2-bx +a =0有两个不相等的实数根.故答案为:2.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解,二次函数的性质,抛物线与x 轴的交点,解题的关键是掌握新定义运算法则,难度不大.14.(2022秋·上海浦东新·九年级统考期末)定义:直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”,如图,线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”.已知直线3y x 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,点B 恰好是抛物线 2y x m n 的顶点,则此时抛物线关于直线y 的割距是.【答案】2【分析】先求出B 点坐标,从而求出抛物线解析式,然后求出直线与抛物线的两个交点,利用两点距离公式即可求出答案.【详解】解:∵B 直线3y x 与y 轴的交点,∴B 点坐标为(0,3),∵B 是抛物线 2y x m n 的顶点,∴抛物线解析式为23y x ,∴233y x y x,解得03x y或12x y ,∴直线3y x 与抛物线23y x 的两个交点坐标为(0,3),(1,2),∴抛物线关于直线y 的割距是2201322 ,故答案为:2.【点睛】本题主要考查了求一次函数与y 轴交点,二次函数与一次函数的交点,两点距离公式,二次函数图像的性质,熟知相关知识是解题的关键.15.(2022·山东济南·模拟预测)定义[a ,b ,c ]为二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的特征数,下面给出特征数为[2m ,1-m ,-1-m ]的函数的一些结论:①当m ≠0时,点(1,0)一定在函数的图象上;②当m >0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32;③当m <0时,函数在14x 时,y 随x 的增大而减小;④当m >0,若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形,则13m ,正确的结论是.(填写序号)【答案】①②④【分析】根据函数特征数确定二次函数解析式为 2211y mx m x m ,当m ≠0时,把x =1代入函数,求得=0y 可判断①,当m >0时, 2211=0mx m x m ,求出121,12m x x m作差可判断②;当m <0时,20m <,抛物线开口向下,在对称轴右侧y 随x 的增大而减小,对称轴为111444x m可判断③;当m >0,若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形,根据两交点关于对称轴对称构造方程21+6+9312=82m m m m m,解得13m ,可判断④.【详解】解:由题意得:二次函数解析式为 2211y mx m x m当m ≠0时,x =1, 2112110y m m m m m m ∴点(1,0)一定在函数的图象上;故①正确;当m >0时, 2211=0mx m x m ,因式分解得 211=0mx m x 解得121,12m x x m函数图象截x 轴所得的线段长度=1+1313=+2222m m m 故②正确;当m <0时, 2211y mx m x m∴20m <,抛物线开口向下,在对称轴右侧y 随x 的增大而减小,对称轴为111124444b m x a m m 函数在14x时,可能x 在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大;故③不正确;④当m >0,抛物线顶点的纵坐标为 2228114169488m m m ac b m m y a m m,由②知抛物线与x 轴的两个交点坐标为解得 10,102m m,,,∴两交点的距离为1311+=22m m m m∵抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形,列方程得21+6+9312=82m m m m m 解得13m ,∵m >0,则13m ,经检验13m 符合题意,是原方程的根,故④正确;∴正确的结论是①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题考查抛物线的特征数,利用特征数研究抛物线的性质过定点,交点间弦长,增减性,等腰直角三角形性质等知识,掌握以上知识,灵活应用数形结合的思想是解题关键.16.(2022·江苏·九年级专题练习)定义:在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设点P 的坐标为 ,x y ,当x <0时,点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ;当0x 时,点P 的变换点P 的坐标为 ,y x .抛物线 22y x n 与x 轴交于点C ,D (点C 在点D 的左侧),顶点为E ,点P 在该抛物线上.若点P 的变换点P 在抛物线的对称轴上,且四边形ECP ′D 是菱形,则满足该条件所有n 值的和为.【答案】-13【分析】根据四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称,可求P′(2,-n ),根据变换当点P 在y 轴左侧,P (-2,-n ),当点P 在y 轴右侧,P(-n ,-2),点P 在 22y x n 上, 222n n 或 222n n 解方程即可.【详解】解:∵四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称,∵E (2,n ),∴P′(2,-n ),当点P 在y 轴左侧,0x ,P 的坐标为 ,x y ,点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ;∴P (-2,-n ),∵点P 在 22y x n 上,∴ 222n n ,∴18n ;当点P 在y 轴右侧,0x ,P 的坐标为 ,x y ,点P 的变换点P 的坐标为 ,y x .∴P (-n ,-2),∵点P 在 22y x n 上,∴ 222n n ,整理得2560n n ,因式分解得 230n n ,解得232,3n n ;∴n =-8或-2或-3.∴-8-2-3=-13,故答案为-13.【点睛】本题考查点的变换,二次函数性质,菱形性质,掌握点的变换特征,二次函数性质,菱形性质是解题关键.17.(2022秋·山东菏泽·九年级校考期末)定义: ,,a b c 为二次函数2y ax bx c (0a )的特征数,下面给出特征数为 ,1,2m m m 的二次函数的一些结论:①当1m 时,函数图象的对称轴是y 轴;②当2m 时,函数图象过原点;③当0m 时,函数有最小值;④如果0m ,当12x 时,y 随x 的增大而减小,其中所有正确结论的序号是.【答案】①②③.【分析】利用二次函数的性质根据特征数 ,1,2m m m ,以及m 的取值,逐一代入函数关系式,然判断后即可确定正确的答案.【详解】解:当1m 时,把1m 代入 ,1,2m m m ,可得特征数为 1,0,1∴1a ,0b ,1c ,∴函数解析式为21y x ,函数图象的对称轴是y 轴,故①正确;当2m 时,把2m 代入 ,1,2m m m ,可得特征数为 2,1,0 ∴2a ,1b =-,0c =,∴函数解析式为22y x x ,当0x 时,0y ,函数图象过原点,故②正确;函数212y mx m x m 当0m 时,函数 212y mx m x m 图像开口向上,有最小值,故③正确;当0m 时,函数 212y mx m x m 图像开口向下,对称轴为:1121112222m m m x m m ∴12x时,x 可能在函数对称轴的左侧,也可能在对称轴的右侧,故不能判断其增减性,故④错误;综上所述,正确的是①②③,故答案是:①②③.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,二次函数的对称轴等知识点,牢记二次函数的基本性质是解题的关键.18.(2022·湖北武汉·统考一模)(定义[a,b,c]为函数的特征数,下面给出特征数为[2m,1-m,-1-m]的函数的一些结论:①当m =-3时,函数图象的顶点坐标是(13,83);②当m>0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32;③当m<0时,函数在14x时,y 随x 的增大而减小;④当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点.其中正确的结论有.(只需填写序号)【答案】①②④.【详解】试题分析:因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m];①当m=﹣3时,y=﹣6x 2+4x+2=﹣6(x ﹣13)2+83,顶点坐标是(13,83);此结论正确;②当m >0时,令y=0,有2mx 2+(1﹣m )x+(﹣1﹣m )=0,解得x=(1)(31)4m m m ,x 1=1,x 2=12mm,|x 2﹣x 1|=1313222m m m >32,所以当m >0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32,此结论正确;③当m <0时,y=2mx 2+(1﹣m )x+(﹣1﹣m )是一个开口向下的抛物线,其对称轴是:14m m,在对称轴的右边y 随x 的增大而减小.因为当m <0时,14m m =1144m>14,即对称轴在x=14右边,因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误;④当x=1时,y=2mx 2+(1﹣m )x+(﹣1﹣m )=2m+(1﹣m )+(﹣1﹣m )="0"即对任意m,函数图象都经过点(1,0)那么同样的:当m=0时,函数图象都经过同一个点(1,0),当m≠0时,函数图象经过同一个点(1,0),故当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确.根据上面的分析,①②④都是正确的,③是错误的.故答案是①②④.考点:二次函数综合题.19.(2022秋·九年级单元测试)我们定义:关于x 的函数y =ax 2+bx 与y =bx 2+ax (其中a ≠b )叫做互为交换函数.如y =3x 2+4x 与y =4x 2+3x 是互为交换函数.如果函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称,那么b =.【答案】﹣2【分析】根据题意可以得到交换函数,由顶点关于x 轴对称,从而得到关于b 的方程,可以解答本题.【详解】解:由题意函数y =2x 2+bx 的交换函数为y =bx 2+2x .∵y =2x 2+bx =222()48b b x ,y =bx 2+2x =211()b x b b,函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称,∴﹣4b =﹣1b 且218b b,解得:b =﹣2.故答案为﹣2.【点睛】本题考查了二次函数的性质.理解交换函数的意义是解题的关键.20.(2022·全国·九年级假期作业)对于实数a ,b ,定义新运算“ ”:a b= 22a ab a b b ab a b;若关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根,则t 的值为.【答案】2.25或0【分析】令y= 211x x ,并画出函数的图象,根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数,即可得到直线y=t 与函数y 的图象的位置关系,进而即可求解.【详解】∵当 211x x 时,即:2x 时, 2221121211252x x x x x x x ,当 211x x 时,即:2x 时, 2221112112x x x x x x x ,∴令y= 211x x = 22222252x x x x x x,画出函数图象,从图象上观察当关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根时,函数y 的图象与直线y=t 有两个不同的交点,即直线y=t 过抛物线y=22x x 的顶点或直线y=t 与x 轴重合.∴t=2.25或t=0.故答案是:2.25或0.【点睛】本题主要考查函数图象的交点与方程的根的关系,掌握二次函数的图象和性质,学会画二次函数的图象,理解函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数,是解题的关键.21.(2023·江苏南通·统考二模)定义:在平面直角坐标系xOy 中,对于某函数图象上的一点P ,先向右平移1个单位长度,再向上平移 0n n 个单位长度得到点Q ,若点Q 也在该函数图象上,则称点P 为该函数图象的“n 倍平点”.(1)函数①2y x ;②2y x ;③2y x 中,其图象存在“2倍平点”的是_______(填序号);(2)若反比例函数2y x,图象恰有1个“n 倍平点”,求n 的值;(3)求函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标.【答案】(1)②(2)8n (3) 4,3 或3,0【分析】(1)根据函数图象的“n 倍平点”的定义逐个进行判断即可;(2)设2,P a a,则21,Q a n a ,把21,Q a n a代入2y x 得220na na ,根据图象恰有1个“n倍平点”,得出280n n ,即可求出答案;(3)当0x 时,243y x x ,当0x 时,243y x x ,分两种情况,根据函数图象的“n 倍平点”的定义分别计算即可得出结论.【详解】(1)当2n 时,①设 ,2P a a ,则 1,22Q a a ,当1x a 时, 2212222y x a a a ,∴点Q 不在2y x 的图象上.∴该函数图象不存在“2倍平点”.②设 ,2P a a ,则 1,22Q a a ,当1x a 时, 22122y x a a ,∴点Q 在2y x 的图象上.∴该函数图象存在“2倍平点”.③设 ,2P a a ,则 1,4Q a a ,当1x a 时,21234y x a a a ,∴点Q 不在2y x 的图象上.∴该函数图象不存在“2倍平点”.故答案是②;(2)设2,P a a,则21,Q a n a,把21,Q a n a代入2y x 得,221n a a ,即220na na ,∵图象恰有1个“n 倍平点”,∴280n n .∴120,8n n .∵0n ,∴8n .(3)当0x 时,243y x x ,设 2,43P a a a ,则 21,46Q a a a ,把 21,46Q a a a 代入243y x x 得,22461413a a a a ,解得:3a ,∴14a ,2463a a .∴ 4,3Q , 3,0P .当0x 时,243y x x ,设 2,43P b b b ,则 21,4Q b b b ,把 21,4Q b b b 代入243y x x 得,2241413b b b b ,解得:4b ,∴13b ,240b b .∴ 3,0Q , 4,3P .综上所述,函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标是 4,3 或 3,0.【点睛】本题主要考查了新定义,正确理解新定义:函数图象的“n 倍平点”是解题的关键.22.(2023·贵州遵义·统考三模)定义:二次项系数之和为1,对称轴相同,且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数.例如:2245y x x 的友好同轴二次函数为225y x x .(1)函数2221y x x 的对称轴为__________.其友好同轴二次函数为__________.(2)已知二次函数21:44C y ax ax (其中0a 且1a 且12a),其友好同轴二次函数记为2C .①若函数1C 的图象与函数2C 的图象交于A 、B 两点(点A 的横坐标小于点B 的横坐标),求线段AB 的长;②当30x 时,函数2C 的最大值与最小值的差为8,求a 的值.【答案】(1)直线12x ,2331y x x (2)①4;②1 或3【分析】(1)将函数画出顶点式即可得函数的对称轴,再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得;(2)①根据友好同轴二次函数的定义求出函数2C ,联立函数1C ,2C ,解方程可求出点,A B 的坐标,由此即可得;②分1a 且0a 且12a、1a 两种情况,利用二次函数的性质求解即可得.【详解】(1)解:函数2213y 2x 2x 12x 22的对称轴为直线12x ,因为 123 ,所以设函数2221y x x 的友好同轴二次函数为221333324y x m x x m,所以314m ,解得14m ,所以函数2221y x x 的友好同轴二次函数为2331y x x ,故答案为:直线12x,2331y x x .(2)解:①二次函数 221444:24C y ax ax a x a ,则设 22212141:44C y a x b a x a x a b ,所以444a b ,解得4b a ,所以 22:1414C y a x a x ,联立 22441414y ax ax y a x a x 得: 2214210a x a x ,解得0x 或4x ,当0x 时,4y ;当4x 时,161644y a a ,所以 4,4,0,4A B ,所以 044AB ;②函数 22214141:24C y a x a x a x a 的对称轴为直线2x ,(Ⅰ)当1a 且0a 且12a时,抛物线的开口向上,当32x ≤≤时,y 随x 的增大而减小;当20x 时,y 随x 的增大而增大,则当2x 时,y 取得最小值,最小值为4a ,当0x 时,y 取得最大值,最大值为4,所以448a ,解得1a ,符合题设;(Ⅱ)当1a 时,抛物线开口向下,当32x ≤≤时,y 随x 的增大而增大;当20x 时,y 随x 的增大而减小,则当2x 时,y 取得最大值,最大值为4a ,当0x 时,y 取得最小值,最小值为4,所以448a ,解得3a ,符合题设;综上,a 的值为1 或3.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质,掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键.23.(2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习)定义:同时经过x 轴上两点 ,0A m , ,0B n m n 的两条抛物线称为同弦抛物线.如抛物线1C : 13y x x 与抛物线2C :213y x x 是都经过 1,0, 3,0的同弦抛物线.(1)任意写出一条抛物线1C 的同弦抛物线3C .(2)已知抛物线4C 是1C 的同弦抛物线,且过点 4,5,求抛物线4C 对应函数的最大值或最小值.【答案】(1) 3:313C y x x (答案不唯一)(2)最小值为53。
与函数有关的新定义问题
与函数有关的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,解决新的问题.[例4] 设函数f (x )的定义域为D ,若对任意的x ∈D ,都存在y ∈D ,使得f (y )=-f (x )成立,则称函数f (x )为“美丽函数”,下列所给出的五个函数:①f (x )=x 2;②f (x )=1x -1; ③f (x )=ln(2x +3);④f (x )=2x -2-x ;⑤f (x )=2sin x -1,其中是“美丽函数”的序号有________.解析:由已知,在函数定义域内,对任意的x 都存在着y ,使x 所对应的函数值f (x )与y 所对应的函数值f (y )互为相反数,即f (y )=-f (x ).故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件.①中函数的值域为[0,+∞),值域不关于原点对称,故①不符合题意;②中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域关于原点对称,故②符合题意; ③中函数的值域为(-∞,+∞),值域关于原点对称,故③符合题意;④中函数的值域为R ,值域关于原点对称,故④符合题意;⑤中函数f (x )=2sin x -1的值域为[-3,1],不关于原点对称,故⑤不符合题意. 答案:②③④1.紧扣定义:对于题目定义的新函数,通过仔细阅读,分析定义以及新函数所满足的条件,围绕定义与条件来确定解题的方向,然后准确作答.2.巧妙赋值:如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程,可采用赋值法,即令x ,y 取特殊值,或为某一范围内的值,求得特殊函数值或函数解析式,再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题.3.构造函数:有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的.[素材库]1.(2018·长沙市高三模拟)定义运算:x Δy =⎩⎪⎨⎪⎧x ,xy ≥0,y ,xy <0,例如:3Δ4=3,(-2)Δ4=4,则函数f (x )=x 2Δ(2x -x 2)的最大值为________.解析:由已知得f (x )=x 2Δ(2x -x 2)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x 2(2x -x 2)≥0,2x -x 2,x 2(2x -x 2)<0=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x <0或x >2,易知函数f (x )的最大值为4.答案:42.(2018·济宁高三模拟)如果定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数x 1,x 2,都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1),则称函数f (x )为“H 函数”.给出下列函数:①y =-x 3+x +1;②y =3x -2(sin x -cos x );③y =e x +1;④f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |,x ≠0,0,x =0.以上函数是“H 函数”的是________.(填上所有正确的序号)解析:若函数f (x )为“H 函数”,则有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1),x 1[f (x 1)-f (x 2)]>x 2[f (x 1)-f (x 2)],即(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0.所以“H 函数”f (x )就是R 上的单调递增函数.①y ′=-3x 2+1,由y ′>0,解得-33<x <33,所以该函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫-33,33,而在区间(-∞,-33)和⎝⎛⎭⎫33,+∞上单调递减,显然在R 上不是单调递增函数,即不是“H 函数”.②y ′=3-2(cos x +sin x )=3-22sin ⎝⎛⎭⎫x +π4.因为sin ⎝⎛⎭⎫x +π4∈[-1,1],所以y ′=3-22sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≥3-22>0,③因为函数y =e x 在R 上是单调递增函数,所以y =e x+1在R 上也是单调递增函数,即“H 函数”.④f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |,x ≠0,0,x =0=⎩⎪⎨⎪⎧ln x ,x >0,ln (-x ),x <0,0,x =0.故该函数在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以在R 上不是单调递增函数,即不是“H 函数”.综上,②③正确.答案:②③。
专题一 微重点1 函数的新定义问题
规律方法 以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时,关 键是理解函数的实质,与熟悉的函数类比,通过赋特殊值 或数形结合解决.
跟踪演练1
1,x>0, (1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgn x=0,x=0,
-1,x<0,
偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则
得 3sin x=-cos x,即 tan x=-13, 因为函数y=tan x的周期为π, 所以 tan x=-13的根有无数个, 故函数g(x)有无数个“新不动点”,不符合题意.
(2)(多选)在实数集R上定义一种运算“★”,对于任意给定的a,b∈R,
a★b为唯一确定的实数,且具有下列三条性质:
f
-2
0522=-f
2
0522=-f
4×101+25
=-f 25=-R25=-15,
∴f(2
022)+f
-2
0522=-15.
考向4 欧拉函数
例4 (多选)(2022·重庆八中调研)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,
n互质.对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数,
A.sgn[f(x)]>0
√C.sgn[f(2k+1)]=1(k∈Z)
B.f
2
0221=1
D.sgn[f(k)]=|sgn k|(k∈Z)
对于A选项,sgn[f(0)]=sgn 0=0,A错;
对于
B
选项,f
2
0221=f
1
010+12=f
12=12,B
错;
对于C选项,
对任意的k∈Z,f(2k+1)=f(1)=1,
新定义函数问题
新定义、新概念创新函数问题解析信息迁移题是近几年高考中函数题的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时,要准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。
1. 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=-x 2, 值域为{-1,-9}的“同族函数”共有( )A.9个 B 。
8个 C 。
5个 D 。
4个解析:函数y=-x 2, 值域为{-1,-9},可知自变量x 从1,-1,±1中任取一个,和从3,-3,±3中任取一个构成函数,故满足条件的“同族函数”有3×3=9个。
2.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件:①P 、Q 都在函数f(x)的图象上;②P 、Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”)。
已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<++0,0,14222x x x x xe 则f(x)的“友好点对”有_______个。
解析:本题若直接求解显然不行,不妨作出函数f(x)=2x 2+4x+1,(x<0) 图象关于原点对称的函数记为g(x)=-f(-x)=-2x 2+4x-1=-2(x-1)2+1,g(1)=1, 而f(1)=e2<1, 作出g(x)与f(x)(x ≥0)的图象,数性结合可知,g(x)与f(x)(x ≥0)有两个交点,故f(x)的“友好点对”有两个。
3,(2010湖南卷)用min{a,b}表示a,b 俩数中的最小值,若函数f(x)= min{|x|,|x+t|}的图象 关于直线x=-21对称,则t=_________________解析:在同一坐标系中,分别作出函数xy =与tx y +=的图像,由图像知f(x)的图像为图中的实线部分(A-B-C-O-E)。
由于f(x) 的图象 关于直线x=-21对称,于是1,2120=∴-=+-t t 。
42 二次函数创新题及新定义问题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
二次函数创新题及新定义问题二次函数与新定义问题在二次函数与新定义问题中,重点是将题中给出的定义“翻译”成学过的知识,再结合二次函数的性质综合进行处理,其难点就在于“翻译定义”的过程,对学生的理解能力和初中知识的运用能力要求较高.典例1.若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1,和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A (1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.【答案】解:(1)设顶点为(h,k)的二次函数的关系式为y=a(x﹣h)2+k,当a=2,h=3,k=4时,二次函数的关系式为y=2(x﹣3)2+4.∵2>0,∴该二次函数图象的开口向上.当a=3,h=3,k=4时,二次函数的关系式为y=3(x﹣3)2+4.∵3>0,∴该二次函数图象的开口向上.∵两个函数y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4顶点相同,开口都向上,∴两个函数y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函数”.∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为:y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4.(2)∵y1的图象经过点A(1,1),∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1.整理得:m2﹣2m+1=0,解得:m1=m2=1.∴y1=2x2﹣4x+3=2(x﹣1)2+1,∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+(b﹣4)x+(c+3),∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”,∴y1+y2=3(x﹣1)2+1=3x2﹣6x+4,∴函数y2的表达式为:y2=x2﹣2x+1.∴y2=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,∴函数y2的图象的对称轴为x=1.∵1>0,∴函数y2的图象开口向上.当0≤x≤3时,∵函数y2的图象开口向上,∴y2的取值范围为0≤y2≤4.【精准解析】(1)只需任选一个点作为顶点,同号两数作为二次项的系数,用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可.(2)由y 1的图象经过点A (1,1)可以求出m 的值,然后根据y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”就可以求出函数y 2的表达式,然后将函数y 2的表达式转化为顶点式,再利用二次函数的性质就可以解决问题.练习1.设二次函数y 1,y 2的图象的顶点分别为(a ,b )、(c ,d ),当a=﹣c ,b=2d ,且开口方向相同时,则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”.(1)请写出二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”;(2)已知关于x 的二次函数y 1=x 2+nx 和二次函数y 2=nx 2+x ,函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍【答案】解:(1)∵y=x 2+x+1,∴y=,∴二次函数y=x 2+x+1的顶点坐标为(﹣,),∴二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为(,),∴反倍顶二次函数的解析式为y=x 2﹣x+;(2)y 1+y 2=x 2+nx+nx 2+x=(n+1)x 2+(n+1)x ,y 1+y 2=(n+1)(x 2+x+)﹣,顶点坐标为(﹣,﹣),y 1﹣y 2=x 2+nx ﹣nx 2﹣x=(1﹣n )x 2+(n ﹣1)x ,y 1﹣y 2=(1﹣n )(x 2﹣x+)﹣,顶点坐标为(,﹣),由于函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍顶二次函数”,则﹣2×=﹣,解得n=.1.小爱同学学习二次函数后,对函数2(||1)y x =--进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题:(1)观察探究:①写出该函数的一条性质:函数图象关于y 轴对称;②方程2(||1)1x --=-的解为:;③若方程2(||1)x a --=有四个实数根,则a 的取值范围是.(2)延伸思考:将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象?写出平移过程,并直接写出当123y <时,自变量x 的取值范围.【分析】(1)根据图象即可求得;(2)根据“上加下减”的平移规律,画出函数21(|2|1)3y x =---+的图象,根据图象即可得到结论.【解答】解:(1)观察探究:①该函数的一条性质为:函数图象关于y 轴对称;②方程2(||1)1x --=-的解为:2x =-或0x =或2x =;③若方程2(||1)x a --=有四个实数根,则a 的取值范围是10a -<<.故答案为函数图象关于y 轴对称;2x =-或0x =或2x =;10a -<<.(2)将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位,向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象,当123y <时,自变量x 的取值范围是04x <<且2x ≠.2.(2021•长沙)我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称,则把该函数称之为“T 函数”,其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”.根据该约定,完成下列各题.(1)若点(1,)A r 与点(,4)B s 是关于x 的“T 函数”()24(0)0,0,x y x tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”,则r =,s =,t =(将正确答案填在相应的横线上);(2)关于x 的函数(y kx p k =+,p 是常数)是“T 函数”吗?如果是,指出它有多少对“T 点”如果不是,请说明理由;(3)若关于x 的“T 函数”2(0y ax bx c a =++>,且a ,b ,c 是常数)经过坐标原点O ,且与直线:(0l y mx n m =+≠,0n >,且m ,n 是常数)交于1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y 两点,当1x ,2x 满足112(1)1x x --+=时,直线l 是否总经过某一定点?若经过某一定点,求出该定点的坐标;否则,请说明理由.【分析】(1)由A ,B 关于y 轴对称求出r ,s ,由“T 函数”的定义求出t ;(2)分0k =和0k ≠两种情况考虑即可;(3)先根据过原点得出0c =,再由“T 函数”得出b 的值,确定二次函数解析式后,和直线联立求出交点的横坐标,写出l 的解析式,确定经过的定点即可.【解答】解:(1)A ,B 关于y 轴对称,1s ∴=-,4r =,A ∴的坐标为(1,4),把(1,4)A 代入是关于x 的“T 函数”中,得:4t =,故答案为4r =,1s =-,4t =;(2)当0k =时,有y p =,此时存在关于y 轴对称得点,y kx p ∴=+是“T 函数”,且有无数对“T ”点,当0k ≠时,不存在关于y 轴对称的点,y kx p ∴=+不是“T 函数”;(3)2y ax bx c =++ 过原点,0c ∴=,2y ax bx c =++ 是“T 函数”,0b ∴=,2y ax ∴=,联立直线l 和抛物线得:2y ax y mx n ⎧=⎨=+⎩,即:20ax mx n --=,12m x x a +=,12n x x a-=,又 112(1)1x x --+=,化简得:1212x x x x +=,∴m n a a-=,即m n =-,y mx n mx m ∴=+=-,当1x =时,0y =,∴直线l 必过定点(1,0).3.(2021•杭州)在直角坐标系中,设函数21(y ax bx a =++,b 是常数,0)a ≠.(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的表达式,并写出函数图象的顶点坐标;(2)写出一组a ,b 的值,使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点,并说明理由.(3)已知1a b ==,当x p =,(q p ,q 是实数,)p q ≠时,该函数对应的函数值分别为P ,Q .若2p q +=,求证:6P Q +>.【分析】(1)考查使用待定系数法求二次函数解析式,属于基础题,将两点坐标代入,解二元一次方程组即可;(2)写出一组a ,b ,使得240b ac ->即可;(3)已知1a b ==,则21y x x =++.容易得到2211P Q p p q q +=+++++,利用2p q +=,即2p q =-代入对代数式P Q +进行化简,并配方得出22(1)66P Q q +=-+.最后注意利用p q ≠条件判断1q ≠,得证.【解答】解:(1)由题意,得104211a b a b ++=⎧⎨++=⎩,解得12a b =⎧⎨=-⎩,所以,该函数表达式为221y x x =-+.并且该函数图象的顶点坐标为(1,0).(2)例如1a =,3b =,此时231y x x =++,2450b ac -=> ,∴函数231y x x =++的图象与x 轴有两个不同的交点.(3)由题意,得21P p p =++,21Q q q =++,所以2211P Q p p q q +=+++++224p q =++22(2)4q q =-++22(1)66q =-+,由条件p q ≠,知1q ≠.所以6P Q +>,得证.4.(2021•衡阳)在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为“雁点”.例如(1,1),(2021,2021)⋯都是“雁点”.(1)求函数4y x=图象上的“雁点”坐标;(2)若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ,该抛物线与x 轴交于M 、N 两点(点M 在点N 的左侧).当1a >时.①求c 的取值范围;②求EMN ∠的度数;(3)如图,抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),P 是抛物线223y x x =-++上一点,连接BP ,以点P 为直角顶点,构造等腰Rt BPC ∆,是否存在点P ,使点C 恰好为“雁点”?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)由题意得:4x x=,解得2x =±,即可求解;(2)①抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ,则25ax x c x ++=,则△1640ac =-=,即4ac =,而1a >,04c <<;由M 、N 的存在,则△2540ac =->,而1a >,则254c <,即可求解;②求出点M 的坐标为4(a -,0)、点E 的坐标为2(a -,2a-,即可求解;(3)分两种情形:点C 在PB 的下方或上方,分别根据全等三角形解决问题.【解答】解:(1)由题意得:4x x=,解得2x =±,当2x =±时,42y x ==±,故“雁点”坐标为(2,2)或(2,2)--;(2)① “雁点”的横坐标与纵坐标相等,故“雁点”的函数表达式为y x =,抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ,则25ax x c x ++=,则△1640ac =-=,即4ac =,1a > ,故04c <<;M 、N 的存在,则△2540ac =->,而1a >,则254c <,综上,04c <<;②4ac = ,则250ax x c ++=为2450ax x a ++=,解得4x a =-或1a -,即点M 的坐标为4(a-,0),由25ax x c x ++=,4ac =,解得2x a =-,即点E 的坐标为2(a -,2)a-,过点E 作EH x ⊥轴于点H ,则2HE a =,242(E M MH x x HE a a a=-=---==,故EMN ∠的度数为45︒;(3)存在,理由:当点C 在PB 的下方时,由题意知,点C 在直线y x =上,故设点C 的坐标为(,)t t ,过点P 作x 轴的平行线交过点C 与y 轴的平行线于点M ,交过点B 与y 轴的平行线于点N ,设点P 的坐标为2(,23)m m m -++,则223BN m m =-++,3PN m =-,PM m t =-,223CM m m t =-++-,90NPB MPC ∠+∠=︒ ,90MCP CPM ∠+∠=︒,NPB PCM ∴∠=∠,90CMP PNB ∠=∠=︒ ,PC PB =,()CMP PNB AAS ∴∆≅∆,PM BN ∴=,CM PN =,即2|23|m t m m -=-++,223|3|m m t m -++-=-,解得1012m =1012-,当点C 在PB 的上方时,过点P 作PK OB ⊥于K ,CH KP ⊥交KP 的延长线于H .同法可证,CHP PKB ∆≅∆,可得CH PK =,HP BK =,t m n -=,3t n m -=-,223n m m =-++32m ∴=,154n =,3(2P ∴,15)4,故点P 的坐标为210(2-,32或10(12+,3)2或3(2,15)4.5.(2021•江西)二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A .感知特例(1)当1m =时,如图1,抛物线2:2L y x x =-上的点B ,O ,C ,A ,D 分别关于点A 中心对称的点为B ',O ',C ',A ',D ',如表:⋯(1,3)B -(0,0)O (1,1)C -(A 2,)(3,3)D ⋯⋯(5,3)B '-(4,0)O '(3,1)C '(2,0)A '(1,3)D '-⋯①补全表格;②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L '.形成概念我们发现形如(1)中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称,则称L '是L 的“孔像抛物线”.例如,当2m =-时,图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”.探究问题(2)①当1m =-时,若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小,则x 的取值范围为;②在同一平面直角坐标系中,当m 取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是(填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”,其中0)abc ≠;③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点,求m 的值.【分析】(1)①根据中点公式即可求得答案;②根据题意先描点,再用平滑的曲线从左到右依次连接即可;(2)①当1m =-时,抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-,当1x -时,L 的函数值随着x 的增大而减小,抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++,当3x -时,L '的函数值随着x 的增大而减小,找出公共部分即可;②设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+',令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-,整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=,分下面两种情形:)i 当1a '=-时,)ii 当1a '≠-时,分别讨论计算即可;③观察图1和图2,可知直线y m =与抛物线22y x mx =-及“孔像抛物线”L '有且只有三个交点,即直线y m =经过抛物线L 的顶点或经过抛物线L '的顶点或经过公共点A ,分别建立方程求解即可.【解答】解:(1)①(1,3)B - 、(5,3)B '-关于点A 中心对称,∴点A 为BB '的中点,设点(,)A m n ,1522m -+∴==,3302n -==,故答案为:(2,0);②所画图象如图1所示,(2)①当1m =-时,抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-,对称轴为直线1x =-,开口向上,当1x -时,L 的函数值随着x 的增大而减小,抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++,对称轴为直线3x =-,开口向下,当3x -时,L '的函数值随着x 的增大而减小,∴当31x --时,抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小,故答案为:31x --;② 抛物线22y x mx =-的“孔像抛物线”是2268y x mx m =-+-,∴设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+',令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-,整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=,抛物线M 与抛物线L '有唯一交点,∴分下面两种情形:)i 当1a '=-时,无论b '为何值,都会存在对应的m 使得60b m '-=,此时方程无解或有无数解,不符合题意,舍去;)ii 当1a '≠-时,△22(6)4(1)(8)0b m a c m ='--'+'+=,即22212364(1)84(1)0b b m m a m c a '-'+-'+⋅-''+=,整理得22[3632(1)]124(1)0a m b m b c a -'+-'+'-''+=,当m 取不同值时,两抛物线都有唯一交点,∴当m 取任意实数,上述等式都成立,即:上述等式成立与m 取值无关,∴23632(1)01204(1)0a b b c a -'+=⎧⎪-'=⎨⎪'-''+=⎩,解得18a '=,0b '=,0c '=,则218y x =,故答案为:2y ax =;③抛物线222:2()L y x mx x m m =-=--,顶点坐标为2(,)M m m -,其“孔像抛物线”L '为:22(3)y x m m =--+,顶点坐标为2(3,)N m m ,抛物线L 与其“孔像抛物线”L '有一个公共点(2,0)A m ,∴二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点时,有三种情况:①直线y m =经过2(,)M m m -,2m m ∴=-,解得:1m =-或0m =(舍去),②直线y m =经过2(3,)N m m ,2m m ∴=,解得:1m =或0m =(舍去),③直线y m =经过(2,0)A m ,0m ∴=,但当0m =时,2y x =与2y x =-只有一个交点,不符合题意,舍去,综上所述,1m =±.6.(2021•云南)已知抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-,当4x <-时,y 随x 的增大而增大,当4x >-时,y 随x 的增大而减小.设r 是抛物线22y x bx c =-++与x 轴的交点(交点也称公共点)的横坐标,97539521601r r r r r m r r +-++-=+-.(1)求b 、c 的值;(2)求证:4222160r r r -+=;(3)以下结论:1m <,1m =,1m >,你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.【分析】(1)当4x <-时,y 随x 的增大而增大,当4x >-时,y 随x 的增大而减小,可得对称轴为直线4x =-,且抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-,列出方程组即可得答案;(2)由r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标,可得2810r r ++=,218r r +=-,两边平方得222(1)(8)r r +=-,4222164r r r ++=,即可得结果4222160r r r -+=;(3)1m >正确,可用比差法证明,由(2)可得426210r r -+=,即753620r r r -+=,而975395952111601601r r r r r r m r r r r +-++--=-=+-+-,再由2810r r ++=,判断0r <,956010r r +-<,故950601r r r >+-,从而1m >.【解答】(1)解:22y x bx c =-++ 经过点(0,2)-,当4x <-时,y 随x 的增大而增大,当4x >-时,y 随x 的增大而减小,即对称轴为直线4x =-,∴244c b =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩-,解得162b c =-⎧⎨=-⎩;(2)证明:由题意,抛物线的解析式为22162y x x =---,r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标,221620r r ∴++=,2810r r ∴++=,218r r∴+=-222(1)(8)r r ∴+=-,4222164r r r ∴++=,4222160r r r ∴-+=;(3)1m >正确,理由如下:由(2)知:4222160r r r -+=;426210r r ∴-+=,753620r r r ∴-+=,而9753952111601r r r r r m r r +-++--=-+-9753959521(601)601r r r r r r r r r +-++--+-=+-7539562601r r r r r r -++=+-95601r r r =+-,由(2)知:2810r r ++=,281r r ∴=--,210r --< ,80r ∴<,即0r <,956010r r ∴+-<,∴950601r r r >+-,即10m ->,1m ∴>.7.(2021•南通)定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如,点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”.(1)分别判断函数2y x =+,2y x x =-的图象上是否存在“等值点”?如果存在,求出“等值点”的坐标;如果不存在,说明理由;(2)设函数3(0)y x x=>,y x b =-+的图象的“等值点”分别为点A ,B ,过点B 作BC x ⊥轴,垂足为C .当ABC ∆的面积为3时,求b 的值;(3)若函数22()y x x m =-的图象记为1W ,将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W .当1W ,2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,直接写出m 的取值范围.【分析】(1)根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案;(2)先根据“等值点”的定义求出函数3(0)y x x=>的图象上有两个“等值点”A ,同理求出1(2B b ,1)2b ,根据ABC ∆的面积为3可得111|||3222b b ⨯⨯=,求解即可;(3)先求出函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2),再利用翻折的性质分类讨论即可.【解答】解:(1)在2y x =+中,令2x x =+,得02=不成立,∴函数2y x =+的图象上不存在“等值点”;在2y x x =-中,令2x x x -=,解得:10x =,22x =,∴函数2y x x =-的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2);(2)在函数3(0)y x x =>中,令3x x=,解得:x =A ∴,在函数y x b =-+中,令x x b =-+,解得:12x b =,1(2B b ∴,1)2b ,BC x ⊥ 轴,1(2C b ∴,0),1||2BC b ∴=,ABC ∆ 的面积为3,∴111|||3222b b ⨯⨯=,当0b <时,2240b --=,解得b =-当0b <时,2240b -+=,△2(4124840=--⨯⨯=-<,∴方程2240b -+=没有实数根,当b 时,2240b --=,解得:b =综上所述,b 的值为-;(3)令22x x =-,解得:11x =-,22x =,∴函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2),①当1m <-时,1W ,2W 两部分组成的图象上必有2个“等值点”(1,1)--或(2,2),21:2()W y x x m =-,22:(2)2()W y x m x m =--<,令2(2)2x x m =--,整理得:22(41)420x m x m -++-=,2W 的图象上不存在“等值点”,∴△0<,22(41)4(42)0m m ∴+--<,98m ∴<-,②当1m =-时,有3个“等值点”(2,2)--、(1,1)--、(2,2),③当12m -<<时,1W ,2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”,④当2m =时,1W ,2W 两部分组成的图象上恰有1个“等值点”(2,2),⑤当2m >时,1W ,2W 两部分组成的图象上没有“等值点”,综上所述,当1W ,2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,98m <-或12m -<<.8.(2021•大连)已知函数2211()22()x x m x m y x mx m x m ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩,记该函数图象为G .(1)当2m =时,①已知(4,)M n 在该函数图象上,求n 的值;②当02x 时,求函数G 的最大值.(2)当0m >时,作直线12x m =与x 轴交于点P ,与函数G 交于点Q ,若45POQ ∠=︒时,求m 的值;(3)当3m 时,设图象与x 轴交于点A ,与y 轴交与点B ,过点B 作BC BA ⊥交直线x m =于点C ,设点A 的横坐标为a ,C 点的纵坐标为c ,若3a c =-,求m 的值.【分析】(1)先把2m =代入函数y 中,①把(4,)M n 代入222y x x =-+中,可得n 的值;②将02x 分为两部分确定y 的最大值,当02x <时,将211222y x x =-++配方可得最值,再将2x =代入222y x x =-+中,可得2y =,对比可得函数G 的最大值;(2)分两种情况:Q 在x 轴的上方和下方;证明POQ ∆是等腰直角三角形,得OP PQ =,列方程可得结论;(3)分两种情况:①03m ,如图2,过点C 作CD y ⊥轴于D ,证明()ABO BCD ASA ∆≅∆,得OA BD =,列方程可得结论;②3m <,如图3,同理可得结论.【解答】解:(1)当2m =时,22112(2)2222(2)x x x y x x x ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩,①(4,)M n 在该函数图象上,2424210n ∴=-⨯+=;②当02x <时,22111112(222228y x x x =-++=--+,102-< ,∴当12x =时,y 有最大值是128,当2x =时,222222y =-⨯+=,1228< ,∴当02x 时,函数G 的最大值是128;(2)分两种情况:①如图1,当Q 在x 轴上方时,由题意得:12OP m =,45POQ ∠=︒ ,90OPQ ∠=︒,POQ ∴∆是等腰直角三角形,OP PQ ∴=,∴211111()22222m m m m =-⋅+⋅+,解得:10m =,26m =,0m > ,6m ∴=;②当Q 在x 轴下方时,同理得:211111()22222m m m m =⋅-⋅-解得:10m =,214m =,0m > ,14m ∴=;综上,m 的值是6或14;(3)分两种情况:①如图2,当03m 时,过点C 作CD y ⊥轴于D ,当0x =时,y m =,OB m ∴=,CD m = ,CD OB ∴=,AB BC ⊥ ,90ABC ABO CBD ∴∠=∠+∠=︒,90CBD BCD ∠+∠=︒ ,ABO BCD ∴∠=∠,90AOB CDB ∠=∠=︒ ,()ABO BCD ASA ∴∆≅∆,OA BD ∴=,当x m <时,0y =,即211022x x m -++=,220x x m --=,解得:112x =,212x +=,1812OA ∴=,且138m -, 点A 的横坐标为a ,C 点的纵坐标为c ,若3a c =-,13OD c a ∴==-,13BD m OD m a ∴=-=+,OA BD = ,∴13m =+,解得:10m =(此时,A ,B ,C 三点重合,舍),2209m =;②当0m <时,如图3,过点C 作CD y ⊥轴于D ,同理得:OA BD =,当x m 时,0y =,则20x mx m -+=,解得:1x =,2m =),2m OA a +∴==,∴13c m a m =-=--,解得:10m=,216 21m=-;综上,m的值是209或1621-.。
初中数学精品课件: 新定义函数类问题 微课件
认识问题
练1.定义{a,b,c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”.如:函数y=x2-
2x+3的“特征数”是{1,-2,3},函数y=2x+3的“特征数”是{0,2,
3},函数y=-x的“特征数”是{0,-1,0}
(1)将“特征数”是 {0, 3,1}的函数图象向下平移2个单位,得到一个新
3
函数,这个新函数的解析式是
(2)判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状,可根据一次函数图象向下平移
2个单位与原函数图象的关系,得出AB=2,并确定为平行四边形,由直线相交计
算交点坐标后,求出线段BC=2,再根据菱形的判定(邻边相等的平行四边形是菱
形)得出,其周长=2×4=8;
(3)根据函数“特征数”写出二次函数的解析式,化为顶点式为y=(x-b)2+
∴AB=BC=CD=
1 3
AD=1,即BC=1;
如果k<0,则点A与点C是平移对应点,AC=1,
∵点B,点C为线段AD三等分点,
∴AB=BC= 1 AC= 1 ,即BC= 1 .
2
2
2
故线段BC的长为1或
1 2
.
y
AB
CD
O x
A BC D
问题拓展
变式.在平面直角坐标系 中,给出如下定义:形如y=a(x-m)2+a(x-m)与y=a(x- m)2-a(x-m)的两个二次函数的图象叫做“姐妹抛物线”. (1)试写出一对姐妹抛物线的解析式; (2)判断二次函数y=x2-x与y=x2-3x+2的图象是否为姐妹抛物线,如果是,求 出a与m的值,如果不是,请说明理由; (3)若一对姐妹抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形,其中一 个抛物线的对称轴为直线 x=2且开口向上,请直接写出这对姐妹抛物线的解析式.
函数创新试题之“新定义型”函数问题
函数创新试题之“新定义型”函数近几年高考试题或模拟试题中出现了一种函数创新试题——“新定义型”函数。
它是以“新定义型”函数的定义或性质为载体,考察学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力。
本文在此介绍几种常见的“新定义型”函数,旨在探索题型规律,提高解题的方法。
一、密切函数例1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的x [a,b],都有︱f(x)-g(x)︱≦1。
则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函数”,[a,b]称为“密切区间”,设f(x)=x2 -3x+4 与g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是()A,[3,4] B,[2,4] C,[2,3] D,[1,4]解析:由∣f(x)-g(x)∣=∣x2-5x+7∣=x2-5x+7≦1 得2≦x ≦3,故所求密切区间可以是[2,3] ,故应选C.二,科比函数例2,对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a﹤,b),使当x [a,b]时,f(x)的值域也是[a,b],则称函数f(x)为“科比函数”。
若函数f(x)=k+ 是科比函数,则实数k的取值范围是()A.(,+∞)B、 C. D.解析:因为f(x)=k+ 是增函数,若f(x)=k+ 是“科比函数”,则存在实数a,b(-2≦a﹤b),使f(a)=a,f(b)=b,即a=k+ , b=k+ 所以a,b为方程x=k+ 的两个实数根,从而方程k=x- 有两个不同实根,令=t 则k=t2-t-2 (t≧0) 当t=0时,k=-2;当t= 时,k= ,由图可知,当﹤k≦-2 时,直线y=k与曲线y=t2-t-2(t≧0)有两个不同交点,即方程k=t2-t-2有两个不等实根,故实数k的取值范围是故应选C.三,保等比数列函数例3,定义在上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列﹛a n﹜、﹛f(a n)﹜仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”。
专题05 函数的新定义问题专练(解析版)
专题05 函数的新定义问题专练数m,n满足m3+6m2+13m=10n3+6n2+13n=―30,则m+n=()A.―4B.―3C.―2D.―1【答案】A【分析】令ℎ(x)=f′(x),由ℎ′(x)=0解得x,进而得出函数f(x)的对称中心.根据f(m)+f(n)=―20,结合函数的单调性,即可得出m+n.【详解】令f(x)=x3+6x2+13x,则f′(x)=3x2+12x+13,令ℎ(x)=3x2+12x+13ℎ′(x)=6x+12=0,解得x=―2,又f(―2)=(―2)3+6×(―2)2+13×(―2)=―10.∴函数f(x)的图象关于点(―2,―10)成中心对称.因为m3+6m2+13m=10n3+6n2+13n=―30,所以f(m)+f(n)=―20,又f′(x)=3x2+12x+13=3(x+2)2+1>0,所以函数f(x)=x3+6x2+13x在R上单调递增,所以m+n=2×(―2)=―4.故选:A.二、多选题6.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的函数f(x),对于给定集合A,若∀x1,x2∈R,当x1―x2∈A 时都有f(x1)―f(x2)∈A,则称f(x)是“A封闭”函数.则下列命题正确的是()A.f(x)=x2是“[―1,1]封闭”函数B.定义在R上的函数f(x)都是“{0}封闭”函数C.若f(x)是“{1}封闭”函数,则f(x)一定是“{k}封闭”函数(k∈N*)D.若f(x)是“[a,b]封闭”函数(a,b∈N*),则f(x)不一定是“{ab}封闭”函数【答案】BC【分析】A特殊值x1=4,x2=3判断即可;B根据定义及函数的性质即可判断;C根据定义得到∀x∈R都有f( x+1)=f(x)+1,再判断所给定区间里是否有f(x2+k)―f(x2)=k成立即可判断,D选项可判断出其逆否命题的正误,得到D选项的正误.【详解】对A:当x1=4,x2=3时,x1―x2=1∈[―1,1],而f(x1)―f(x2)=16―9=7∉[―1,1],A错误;对B:对于集合{0},∀x1,x2∈R使x1―x2=0,即x1=x2,必有f(x1)―f(x2)=0,所以定义在R上的函数f(x)都是“{0}封闭”函数,B正确;对C:对于集合{1},∀x1,x2∈R使x1―x2∈{1},则x1=x2+1,而f(x)是“{1}封闭”函数,则f(x2+1)―f(x2)=1,即∀x∈R都有f(x+1)=f(x)+1,对于集合{k},∀x1,x2∈R使x1―x2∈{k},则x1=x2+k,k∈N*,而f(x2+k)=f(x2+k―1)+1,f(x2+k―1)=f(x2+k―2)+1,...,f(x2+1)=f(x2)+1,所以f(x2+k)+f(x2+k―1)+...+f(x2+1)=f(x2+k―1)+f(x2+k―2)+...+f(x2)+k―1,即f(x2+k)=f(x2)+k,故f(x2+k)―f(x2)=k,f(x)一定是“{k}封闭”函数(k∈N*),C正确;对D,其逆否命题为,若f(x)是“{ab}封闭”函数,则f(x)不是“[a,b]封闭”函数(a,b∈N*),只需判断出其逆否命题的正误即可,∀x1,x2∈R使x1―x2=ab,则f(x1)―f(x2)=ab,若ab∈[a,b],则ab≥a ab≤ba<b,由ab≤b解得a≤1,因为a∈N*,所以a=1,即∀x1,x2∈R使x1―x2=ab=b∈[a,b],则f(x1)―f(x2)=ab=b∈[a,b],满足f(x)是“[a,b]封闭”函数(a,b∈N*),故逆否命题为假命题,故原命题也时假命题,D错误.故选:BC【点睛】关键点点睛:对于C,根据给定的条件得到∀x∈R都有f(x+1)=f(x)+1,∀x∈R有f(x+a)=f(x )+b恒成立,利用递推关系及新定义判断正误.7.(山东省济南市2023届高三二模数学试题)若定义在[0,1]上的函数f(x)同时满足:①f(1)=1;②对∀x∈[0,1],f(x)≥0成立;③对∀x1,x2,x1+x2∈[0,1],f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)成立;则称f(x)为“正方和谐函数”,下列说法正确的是()A.f(x)=x2,x∈[0,1]是“正方和谐函数”B.若f(x)为“正方和谐函数”,则f(0)=0C.若f(x)为“正方和谐函数”,则f(x)在[0,1]上是增函数D.若f(x)为“正方和谐函数”,则对∀x∈[0,1],f(x)≤2x成立【答案】ABD【分析】条件③f(x1+x2)―[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2―x12―x22=2x1x2≥0.即可判定A,由条件①③可得f(0)≥0,f(0+0)≥f(0)+f(0)即可求得f(0)=0即可判断B,由条件③即可判断C,由迭代递推法即可判断D.【详解】对于A, 函数f(x)=x2,x∈[0,1],显然满足条件①②.对任意x2≥0,x2≥0且x1+x2≤1时,f(x1+x2)―[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2―x12―x22=2x1x2≥0.∴函数f(x)=x2在区间[0,1]上是否为“正方和谐函数”.故A正确.对于B,若函数f(x)为“正方和谐函数”,则令x1=0,x2=0,得f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,作出f n(x)的图象,可得f1(x +2),对x∈[―1,1)即可,=―(x+2)+故k≥―x2+1x+2A.函数g(x)的值域是C.函数g(x)的图象关于【答案】ABC【分析】根据cos(―x从而可求出f(x)的值域,当f(x)=2时,x=2kπ,k∈Z,此时g 当1≤f(x)<2时,x∈―π3+2kπ,2k当0≤f(x)<1时,x∈π3+2kπ,5π3+g由图可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数,故函数g(x)的图象关于x=π对称,故C正确;对于D,方程π2⋅g(x)=x根的个数即为方程方程即为y=g(x),y=2π⋅x两个函数图象交点的个数,四、解答题20.(2023·全国·高三专题练习)对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的一个动点.设函数f(x)=x2+ax+b.(1)当a=―1,b=―3时,求f(x)的不动点;(2)若f(x)有两个相异的不动点x1,x2.①当―2<x1<0<x2<1时,求|3a+b―3|的取值范围;②若|x1|<2且|x1―x2|=2,求实数b的取值范围.【答案】(1)3或―1(2)①[0,6];②[―1,8)【分析】(1)根据定义可得x2―2x―3=0并求解,即得f(x)的不动点;(2)①由题设g(x)=x2+(a―1)x+b的两个零点为―2<x1<0<x2<1,利用根的分布列不等式组,应用线性规划画可行域,进而求目标式的范围;②Δ>0及韦达定理,结合已知得4b=(a―1)2―4、―5<a<7,进而求b的取值范围.【详解】(1)依题意x2―x―3=x,即x2―2x―3=0,解得x=3或―1,即f(x)的不动点为3或―1;(2)①g(x)=f(x)―x=x2+(a―1)x+b,由x1,x2是f(x)=x的两相异根,且―2<x1<0<x2<1,令t=3a+b―3,则经过(0,0)时t min=―3,经过(3,0)时t max=6,∴|3a+b―3|的取值范围是[0,6],②由题设Δ=(a―1)2―4b>0⇒(a―1)2>4b,且x1+x2=1―∴|x1―x2|2=(x1+x2)2―4x1x2=(1―a)2―4b=22,则4b=(a所以函数F(x)在―5π6,2π3上的零点个数等于―1的交点个数之和.当0<m―1<1,即1<m<2时,ℎ(x)数之和为9.故m的取值范围为(1,2)【点睛】函数零点问题:将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题,将代数问题几何(3)关于函数y=x4―4x2,令y当x∈(―∞,―2)与x∈(0,2)可知±2是函数y=x4―4x2极小值点,该函数与y=4x2―16的图象如图所示由y=kx+b为y=x4―4x2与y=故存在b使得b≤b且直线y=【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝28.(2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中)若函数。
初二数学新定义类问题(函数和相似)
初二新定义类问题(函数和相似)1.设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H,则称直线l1与l2是点H 的直角线.(1)已知直线①122y x=-+;②2y x=+;③22y x=+;④24y x=+和点C(0,2),则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P 为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式.2.【阅读】:如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(a,0)(a>0),B(2,3),C (0,3).过原点O作直线l,使它经过第一、三象限,直线l与y轴的正半轴所成角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处,我们把这个操作过程记为FZ[θ,a].【理解】若点D与点A重合,则这个操作过程为FZ[ ,];【尝试】(1)若点D恰为AB的中点(如图2),求θ;(2)经过FZ[45°,a]操作,点B落在点E处,若点E在四边形0ABC的边AB上,求出a 的值;若点E落在四边形0ABC的外部,直接写出a的取值范围;【探究】经过FZ[θ,a]操作后,作直线CD交x轴于点G,交直线AB于点H,使得△ODG 与△GAH是一对相似的等腰三角形,直接写出FZ[θ,a].3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2,b1≠b2,那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图,已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,一次函数y=kx+b与y=﹣2x+4是“平行一次函数”(1)若函数y=kx+b的图象过点(3,1),求b的值;(2)若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形,位似中心为原点,位似比为1:2,求函数y=kx+b的表达式.4.如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O 作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<)秒.解答如下问题:(1)当t为何值时,PQ∥BO?(2)设△AQP的面积为S,①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.5.阅读理解:如图①,图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中,若线段PA1最短,则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离.例如:图②中,线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.解决问题:如图③,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(8,4),(12,7),点P从原点O 出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.(1)当t=4时,求点P到线段AB的距离;(2)t为何值时,点P到线段AB的距离为5?(3)t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题的结果)1.答案:(1)直线①和③是点C的直角线.(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么BC POCP OA=,即273POPO=-.解得OP=6或OP=1.如图2,当OP=6时,l1:162y x=+,l2:y=-2x+6.如图3,当OP=1时,l1:y=3x+1,l2:113y x=-+.图2 图32.解:若点D与点A重合,由折叠性质可知,OA=OC=3,θ=∠AOC=45°,∴FZ[45°,3].【尝试】(1)如答图1所示,连接CD并延长,交x轴于点F.在△BCD与△AFD中,∴△BCD≌△AFD(ASA).∴CD=FD,即点D为Rt△COF斜边CF的中点,∴OD=CF=CD.又由折叠可知,OD=OC,∴OD=OC=CD,∴△OCD为等边三角形,∠COD=60°,∴θ=∠COD=30°;(2)经过FZ[45°,a]操作,点B落在点E处,则点D落在x轴上,AB⊥直线l,如答图2所示:若点E在四边形0ABC的边AB上,由折叠可知,OD=OC=3,DE=BC=2.∵AB⊥直线l,θ=45°,∴△ADE为等腰直角三角形,∴AD=DE=2,∴OA=OD+AD=3+2=5,∴a=5;由答图2可知,当0<a<5时,点E落在四边形0ABC的外部.【探究】FZ[30°,2+],FZ[60°,2+].如答图3、答图4所示.点评:本题是几何变换综合题型,考查了翻折(折叠)变换、全等三角形、相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识点,有一定的难度.解题关键是正确理解题目给出的变换的定义,并能正确运用折叠的性质.第(3)问中,有两种情形符合条件,需要分别计算,避免漏解.3.【考点】位似变换;两条直线相交或平行问题.【分析】(1)根据平行一次函数的定义可知:k=﹣2,再利用待定系数法求出b的值即可;(2)根据位似比为1:2可知:函数y=kx+b与两坐标的交点坐标,再利用待定系数法求出函数y=kx+b的表达式.【解答】解:(1)由已知得:k=﹣2,把点(3,1)和k=﹣2代入y=kx+b中得:1=﹣2×3+b,∴b=7;(2)根据位似比为1:2得:函数y=kx+b的图象有两种情况:①不经过第三象限时,过(1,0)和(0,2),这时表达示为:y=﹣2x+2;②不经过第一象限时,过(﹣1,0)和(0,﹣2),这时表达示为:y=﹣2x﹣2;【点评】本题考查了位似变换和两条直线的平行问题,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比;同时还要熟练掌握若两条直线是平行的关系,那么他们的自变量系数相同,即k值相同.4.考点:平行线分线段成比例;二次函数的最值;勾股定理;三角形中位线定理。
八下数学一次函数新定义
一次函数新定义题型1.面直角坐标系中,对于点P(x,y)和Q(x,y’),给出如下定义:如果y’= y (x≥0)-y (x<0)那么称点Q为点P的“伴随点”.例如:点(5,6)的“伴随点”为点(5,6),点(-5,6)的“伴随点”为点(-5,-6).(1)点A(2,1)的“伴随点”A’的坐标为____________(2)点B(m,m+1)在函数y=kx+3的图像上,若其“伴随点”B’的纵坐标为2,求函数y=kx+3的解析式.(3)在(2)的条件下,点C在函数y=kx+3的图像上,点D是点C’关于原点的对称点,点D的“伴随点”为D’.若点C在第一象限,且CD=DD’,直接写出此时“伴随点”D’的坐标2.定义:对于给定的一次函数y=ax+b(a≠0),把形如y= ax+b (x≥0)-ax+b(x<0)的函数称为一次函数y=ax+b (a≠0)的衍生函数.已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,0), B(1,2), C(-3,2), D(-3,0)(1)已知函数y=2x+1①若点P(-1,m)在这个一次函数的衍生函数图象上,则m=_________②这个一次函数的衍生图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为?3.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),B(6,3),连接AB,如果点P在直线y=x+1上,且点P到直线AB的距离大于或等于1,那么称点P是线段AB的“疏远点”。
(1)判断点C(52,72)是否是线段AB的“疏远点”,并说明理由;(2)若点Q(m,n)是线段AB的“疏远点”,求m的取值范围。
4.定义符号min{a,b,c}表示a、b、c三个数中的最小值,如min{1,-2,3}=-2,min{0,5,5}=0(1)根据题意填空:min{√9,3.14π}=__________(2)试求函数y=min{2,x+1,-3x+11}的解析式;(3)关于x的方程 -x+m=min{2,x+1,-3x+11}有解,试求常数m的取值范围。
函数新定义综合题型
新定义函数综合1、对某一个函数给出如下定义:若存在实数0M >,对于任意的函数值y ,都满足M y M -≤≤,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的M 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)分别判断函数1y x=()0x >和()142y x x =+-<≤是不是有界函数?若是有界函数,求其边界值;(2)若函数1y x =-+()a x b b a ≤≤>,的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b 的取值范围;(3)将函数()210y x x m m =-≤≤≥,的图象向下平移m 个单位,得到的函数的边界值是t ,当m 在什么范围时,满足143≤≤t ?2、对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足y≤M,那么称这个函数是有上界函数,在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,图中的函数是有上界函数,其上确界是2.(1)分别判断函数1yx=-(0x<)和y=2x-3(x<2)是不是有上界函数?如果是有上界函数,求其上确界;(2)如果函数y=2x-3 (a≤x≤b, b<a)的上确界是b,且这个函数的最小值不超过2a+1,求a的取值范围;(3)如果函数y=x2-2ax+2(1≤x≤5)是以3为上确界的有上界函数,求实数a的值.3、若y是关于x的函数,H是常数(H>0),若对于此函数图象上的任一两点(x1,y1),(x2,y2),都有|y1-y2|≤H,则称该函数为有界函数,其中满足条件的所有常数H的最小值,称为该函数的界高。
例如:下面所表示的函数的界高为4.(1)若函数y=kx+1(-2≤x≤1)的界高为4,求k的值;(2)已知m>-2,若函数y=x2(-2≤x≤m)的界高为4,求实数m的取值范围;(3)已知a>0,函数y=x2-2ax+3a(-2≤x≤1)的界高为25/4,求a的值。
中考数学 新定义题型专题03 函数中的新定义问题(老师版)
专题03 函数中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解,而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
它一般分为三种类型: (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。
这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识,以及灵活运用知识的能力,解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来,利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想:(1)转化的思想,把未知的问题转化为学过的知识解决。
(2)对全新的概念,需要灵活的迁移运用。
二、精选考题1.在平面直角坐标系中,有系列抛物线2131(44n y nx nx n n =--++为正整数).系列抛物线的顶点分别为1M ,2M ,3M ,⋯,n M . (1)下列结论正确的序号是 ①②④ . ①系列抛物线的对称轴是直线32x =-;②系列抛物线有公共交点(4,1)-和(1,1); ③系列抛物线都是由抛物线214y x =-平移所得;④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等;(2)对于任意一条与x 轴垂直的直线x a =,与系列抛物线的交点分别为1N ,2N ,3N ,⋯,n N .①当0a =时,1n n N N -= ;②试判断相邻两点之间的距离是否相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离1n n N N -;若不相等,说明理由;③以1n n N N -为边作正方形,若正方形的另二个点落在对称轴上,求a 的值.【解答】解:(1)系列抛物线的对称轴是直线3341222()4nb x a n -=-=-=-⨯-,故①正确; 221311(34)1444n y nx nx n n x x =--++=-+-+,令2340x x +-=.解得4x =-或1x =,∴系列抛物线有公共交点为(4,1)-,(1,1),故②正确;系列抛物线二次项的系数为14n -,与抛物线214y x =-的系数不同,∴系列抛物线不是由抛物线214y x =-平移所得,故③错误;2221319913251(3)1()1444444216n y nx nx n n x x n n x n =--++=-++-++=-+++,∴系列抛物线的顶点坐标为3(2-,251)16n +. 12516n n M M -∴=,即任意两条相邻抛物线顶点的距离都等于2516,故④正确; 综上,正确的有①②④, 故答案为:①②④;(2)当x a =时,213144n y na na n =--++,2221131133(1)(1)(1)1444444n y n a n a n na a na a n -=----+-+=-+-++,21113144n n n n N N y y a a --∴=-=+-;①当0a =时,11n n N N -=; 故答案为:1;②相邻两点之间的距离相等,距离为2113144n n N N a a -=+-;③系列抛物线的对称轴是直线32x =-;当32a <-时,由题意得:21331442a a a +-=-+;整理得2720a a ++=.解得a =a = 当32a >-时,整理得2100a a --=,解得a =a =综上,a 的值为72-或12+ 2.我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数)对称,则把该函数称之为“()X n 函数”. (1)在下列关于x 的函数中,是“()X n 函数”的是 ②③ (填序号); ①6y x=;②|4|y x =;③225y x x =--. (2)若关于x 的函数||(y x h h =-为常数)是“X (3)函数”,与||(my m x=为常数,0)m >相交于(A A x ,)A y 、(B B x ,)B y 两点,A 在B 的左边,5B A x x -=,求m 的值;(3)若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++,b 为常数)经过点(1,1)-,且1n =,当1t x t -时,函数的最大值为1y ,最小值为2y ,且1212y y -=,求t 的值. 【解答】解;(1)解:根据定义,函数关于直线(x n n =为常数)对称,即该函数图象是轴对称图形 ①6y x=的图象是中心对称图象,不符合题意: ②|4|y x =,③225y x x =--的图象是轴对称图形,符合题意. 故答案为:②③. (2)||y x h =-是“X (3)”函数, 3h ∴=,如图,3y x =-与x 轴交于C 点,与y 轴交于D 点,作AM x ⊥轴交于M 点,BN x ⊥轴交于N 点,(3,0)C ∴,(0,3)D -, 45BCN OCD ∴∠=∠=︒,由对称性可知,45ACM OCD ∠=∠=︒, AM CM ∴=,BN CN =, 5B A x x -=,5MN ∴=,设CN x =,则5MC x =-, (3,)B x x ∴+,(2,5)A x x --, (3)(2)(5)0x x x x ∴++--=, 1x ∴=,(4,1)B ∴, 4m ∴=;(3)由题意得4112a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得12a b =-⎧⎨=⎩,∴此“()X n 函数”为224y x x =-++,①当1t <时,x t =时,2124y t t =-++,1x t =-时,22(1)y t =--十2(1)4t -+,22121(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=,54t ∴=(舍); ②当11t -,即2t 时,1x t =-时,21(1)y t =--十2(1)4t -+, x t =时,2224y t t =-++,22121(1)2(1)4(24)232y y t t t t t -=--+-+--++=-=, 74t ∴=(舍); ⑧当312t <时, 1x =时,15y =,1x t =-时,22(1)y t =--十2(1)4t -+,221215[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=,2t ∴=, 又312t <,2t ∴=. ④322t <时, 1x =时,15y =,x t =时,22y t =-十24t +,221215(24)442y y t t t t -=--++=-+=,1t ∴=,又因为322t <,1t ∴=.综上所述:22t =-或12t =+. 3.我们知道,对于二次函数2()y a x m k =++的图象,可由函数2y ax =的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到,我们称函数2y ax =为“基本函数”,而称由它平移得到的二次函数2()y a x m k =++为“基本函数” 2y ax =的“朋友函数”.左右、上所学的函数:二次函数2y ax =,函数y kx =和反比例函数ky x=都可以作为“基本函数”,并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”.如一次函数25y x =-是基本函数2y x =的朋友函数,由252(1)3y x x =-=--朋友路径可以是向右平移1个单位,再向下平移3个单位,朋友距离=(1)探究一:小明同学经过思考后,为函数25y x =-又找到了一条朋友路径为由基本函数2y x =先向 左平移1个单位 ,再向下平移7个单位,相应的朋友距离为 .(2)探究二:已知函数263y x x =-+,求它的基本函数,朋友路径,和相应的朋友距离. (3)探究三:为函数341x y x +=+和它的基本函数1y x =,找到朋友路径,并求相应的朋友距离.【解答】解:(1)2(1)7y x =+-,∴向左平移1个单位;=故答案为:向左平移1个单位; (2)2263(3)6y x x x =-+=--,∴基本函数为2y x =;原抛物线的顶点坐标为(0,0),新抛物线的顶点坐标为(3,6)-,∴朋友路径为先向右平移3个单位,再向下平移6个单位;=; (3)函数341x y x +=+可化为131y x =++,∴朋友路径为先向左平移1个单位,再向上平移3个单位..4.定义:1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,3(C x ,3)y 是二次函数2()y ax bx c m x n =++图象上任意三个不重合的点,若满足1y ,2y ,3y 中任意两数之和大于第三个数,住意两数之差小于第三个数,且1y ,2y ,3y 都大于0,则称函数2y ax bx c =++是m x n 上的“仿三角形函数”.(1)①函数2(12)y x x =的最小值是m ,最大值是n ,则2m < n ;(填写“>”,“ <”或“=” )②函数2y x = 12x 上的“仿三角形函数”;(填写“是”或者“不是” )(2)若二次函数函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”,求a 的取值范围; (3)若函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”,求m 的取值范围. 【解答】解:(1)①12x ,∴当1x =时,函数的最小值为1m =,当4x =时,函数的最大值为4n =, 2m n ∴<,故答案为:<;②当 1.1x =时,函数的最小值为1.21, 当2x =时,函数的最大值为4, 当1x =时,函数值为1, 1.2114+<,∴函数2y x = 不是12x 上的“仿三角形函数”;故答案为:不是;(2)当1x =时,3y a =-+,当2x =时,3y =,①当0a >时,函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”, 则302(3)3a a -+>⎧⎨-+⎩,解得:302a<; ②当0a <时,函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”, 则233a ⨯-+,30a ∴-<;综上所述,a 的取值范围为302a <或30a -<; (3)2222()y x mx x m m =-=--,∴函数最小值为2m -,当1x =时,12y m =-; 32x =时,934y m =-; ①当1m 时,1x =时120y m =-<,不满足题意; ②当1m <时,函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”, 则12092(12)34m m m ->⎧⎪⎨--⎪⎩, 解得:14m -;综上所述:若函数22y x mx =-在312x上是“仿三角形函数”时m 的取值范围为14m -. 5.定义:当x a =时,其对应的函数值为y f =(a ),若f (a )a =成立,则称a 为函数y 的不动点.例如:函数234y x x =-+,当2x =时,y f =(2)223242=-⨯+=,因为f (2)2=成立,所以2为函数y 的不动点.对于函数2(1)(21)3y t x t x =+-+-,(1)当0t =时,分别判断1-和0是否为该函数的不动点,并说明理由; (2)若函数有且只有一个不动点,求此时t 的值;(3)将函数图象向下平移(0)m m >个单位长度,4t -时,判断平移后函数不动点的个数. 【解答】解:(1)1-是函数y 的不动点;0不是函数y 的不动点;理由如下: 当0t =时,23y x x =--, 当1x =-时,1y x =-=, 当0x =时,30y =-≠,1∴-是函数y 的不动点;0不是函数y 的不动点.(2)由不动点的定义可知,函数的不动点在y x =上, 当1t =-时,函数3y x =-,此时函数没有不动点; 当1t ≠-时,令2(1)(21)3x t x t x =+-+-,整理得,2(1)(22)30t x t x +-+-=, 函数有一个不动点,∴△2(22)12(1)0t t =+++=,整理得4(1)(4)0t t ++=,1t ∴=-(舍)或4t =-;综上可知,符合题意的t 的值为4-;(3)向下平移后的函数为:2(1)(21)3y t x t x m =+-+--, 当1t =-时,3y x m =--,函数没有不动点; 当1t ≠-时,令2(1)(21)3x t x t x m =+-+--, 整理得,2(1)(22)30t x t x m +-+--=,∴△2(22)(1)(3)0t t m =++++=,整理得△4(1)(4)t t m =+++,0m >,4t -,40t m ∴++>,当41t -<-时,△0<,平移后函数不动点的个数为0个; 当1t =-时,不是二次函数;当1t >-时,△0>,平移后函数不动点的个数为2个.综上可知,当41t --时,平移后函数不动点的个数为0个;当1t >-时,平移后函数不动点的个数为2个.6.在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,定义1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y 两点之间的“直角距离”为1212(,)||||d P O x x y y =-+-,二次函数234y x x =-+的图象如图所示. (1)点A 为图象与y 轴的交点,点(1,)B b -在该二次函数的图象上,求(,)d A B 的值. (2)点C 是二次函数234(0)y x x x =-+图象上的一点,记点C 的横坐标为m . ①求(,)d O C 的最小值及对应的点C 的坐标.②当1t m t +时,(,)d O C 的最大值为p ,最小值为q ,若34p q -=,求t 的值.【解答】解:(1)把0x =代入234y x x =-+,得4y =,∴点A 坐标为(0,4),把(1,)b -代入234y x x =-+,得1348b =++=,∴点B 坐标为(1,8)-,(,)|10||84|5d A B ∴=--+-=.(2)①223734()24y x x x =-+=-+,∴抛物线开口向上,顶点坐标为3(2,7)4,74y∴, 点C 在抛物线上,2(,34)C m m m ∴-+,2(,)|0||340|d O C m m m ∴=-+-+-,0m ,27344m m -+, (d O ∴,22)24(1)3C m m m =-+=-+,∴当1m =时,(,)d O C 最小值为3,此时点C 坐标为(1,2). ②(d O ,2)(1)3C m =-+,∴当01m <时,(,)d O C 随m 增大而减小,当1m 时,(,)d O C 随m 增大而增大,把m t =代入(d O ,2)(1)3C m =-+得(d O ,2)(1)3C t =-+, 把1m t =+代入入(d O ,2)(1)3C m =-+得2(,)3d O C t =+, 当111t t +-=-时,12t =,当102t<时,(,)d O C 的最小值3q =,最大值2(1)3p t =-+, 23(1)4p q t -=-=,解得312t =+(不符合题意,舍去),312t =-, 当112t <时,(,)d O C 的最小值3q =,最大值23p t =+, 234p q t -==, 解得32t =,32t =-(不符合题意,舍去).当1t >时,(,)d O C 的最小值2(1)3q t =-+,最大值23p t =+, 223(1)4p q t t -=--=, 解得78t =(不符合题意,舍去), 综上所述,312t =-或32. 7.定义:如图,已知点M 是一次函数3y x =图象上的一个动点,M 的半径为2,线段OM 与M 交于点A .若点P 在M 上,且满足2PA =,则称点P 为M 的“等径点”. (1)若点M 的横坐标为3时,M 的“等径点”是 (1,33)或(4,23) ; (2)若M 的“等径点” P 恰好在y 轴上,求圆心M 的坐标;(3)若M 的“等径点” P 在二次函数22323y x x =++的图象上,求点P 的坐标.【解答】解:(1)点M 在一次函数3y x =图象上,∴可设点M 的坐标为(3)a a ,过点M 作MN x ⊥轴于点N , 则||ON a =,|3|MN a =, 2||OM a ∴=,30OMN ∴∠=︒,60MON ∠=︒.①点P 为M 的“等径点”,且当点P 在OM 左侧时,如下图所示,2PA PM AM ===, PAM ∴∆是等边三角形,60PMA MON ∴∠=∠=︒, //PM x ∴轴, (2,3)P a a ∴-;②点P 为M 的“等径点”,且当点P 在OM 右侧时,如下图所示,设AP '与MN 交于点Q ,此时60P AM MON ∠'=∠=︒, //P A x ∴'轴, MN AP ∴⊥',90MQP ∴∠'=︒,30QMP ∠'=︒,1QP ∴'=,MQ =(P a ∴'+.当点M 横坐标为3时,3a =,则M 的“等径点”是或(4,;故答案为:或(4,;(2)由(1)知,M 的“等径点” P 为()a -或(a +-. 当M 的“等径点” P 恰好在y 轴上,则点P 的横坐标为0, 20a ∴-=或10a +=,解得2a =或1a =-,∴点M 的坐标为(2,或(1,-;(3)由(1)知,M 的“等径点” P 为()a -或(a +-.令2x a =-,y =,则y =+;令1x a =+,y =-y =-M ∴的“等径点” P 在直线y =+上或直线y =-令2y x =+++,解得0x =或x =∴点P 的坐标为(0,或(3-+.令2y x =++-,方程无解.综上所述:点P 的坐标为(0,或(3-+.8.定义:若抛物线2111()y a x h k =++与抛物线2222()y a x h k =++.同时满足214a a =-且2114k k =-,则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”. (1)已知抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线,求1y 的解析式;(2)如图1,将一副边长为2的形式,若以BC 中点为原点,直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系,设经过点A ,E ,D 的抛物线为1y ,经过A 、B 、C 的抛物线为2y ,请立接写出1y 、2y 的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线.【解答】解:(1)22223(1)4y x x x =--=--, 21a ∴=,1h =-,24k =-,抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线,21144a a ∴==--,1h =-且21164k k ==-, 22111163(1)164424y x x x ∴=--+=-++.(2)由题意可得,42DF AF ==4AG GF DG GF ====, 2EG =,2HG =,4BC =,2OF =,点O 为BC 的中点, 2BO OC ∴==,(2,0)B ∴-,(2,0)C ,(4,6)A -,(4,6)D ,(0,8)E ,∴可设抛物线11(4)(4)6y a x x =+-+,与抛物线22(2)(2)y a x x =+-,11668a ∴-+=,2(42)(42)6a -+--=,解得:118a =-,212a =,∴抛物线2111(4)(4)6888y x x x =-+-+=-+,抛物线2211(2)(2)222y x x x =+-=-,118a ∴=-,0h =,18k =,212a =,0h =且22k =-, 11(2)82-⨯-=,1824-⨯=-, ∴满足214a a =-且2114k k =-,1y ∴、2y 是一对共轭抛物线.9.阅读理解:我们把一条直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,用小写字母k 表示.一般的,直线(0)y kx b k =+≠中的k ,叫做这条直线的斜率,则有tan k α=.探究发现:某数学兴趣小组利用以上材料,通过多次验证和查阅资料探究得出:经过两点1(P x ,1)y ,2(Q x ,212)()y x x ≠的直线y kx b =+的斜率为:2121PQ y y k x x -=-. 启发应用:(1)应用以上结论直接写出过(3,2)A ,(1,2)B -两点的直线AB 的斜率k 为 2 ; 深入探究:数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到结论:任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积是定值.(2)①已知(6,1)C --,(2,9)D ,(0,2)E ,(10,6)F -,当直线CD 与直线EF 互相垂直时,请求出直线CD 与直线EF 的斜率之积;②事实上,任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积是定值,由①可知这个定值为 .③如图,M 为以点M 为圆心,MN 的长为半径的圆.已知(1,2)M ,(3,5)N ,请结合(2)中的结论,求出过点N 的M 的切线l 的解析式.【解答】解:(1)根据题目中的新概念可知:22213k --==-. 故答案为:2.(2)①(6,1)C --,(2,9)D ,(0,2)E ,(10,6)F -,∴直线CD 的斜率为:9(1)52(6)4CD k --==--,直线EF 的斜率为:6241005EF k --==--, 1CD EF k k ∴⋅=-,∴直线CD 与直线EF 的斜率之积为1-,②由①可得这个定值为:1-, 故答案为:1-.③设直线MN 的解析式为:11y k x b =+, 切线的解析式为y kx b =+, ∴1111253k b k b =+⎧⎨=+⎩,132k ∴=,112b =, ∴直线MN 的解析式为:3122y x =+, 圆的切线与过切点的半径垂直, 11k k ∴=-,132k =, 23k ∴=-,把(3,5)N 代入y kx b =+, 得:35k b +=,把23k =-代入35k b +=,得:7b =,∴切线的解析式为273y x =-+.10.在平面直角坐标系xOy 中.O 的半径为1,对于直线l 和线段AB ,给出如下定义:若将线段AB 关于直线l 对称,可以得到O 的弦(A B A ''',B '分别为A ,B 的对应点),则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”.例如:在图1中,线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”.(1)如图2,点1A ,1B ,2A ,2B ,3A ,3B 的横、纵坐标都是整数.①在线段11A B ,22A B ,33A B 中,O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是 11A B ; ②若线段11A B ,22A B ,33A B 中,存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”,则m = ;(2)已知直线3(0)3y x b b =-+>交x 轴于点C ,在ABC ∆中,3AC =,1AB =.若线段AB 是O 的关于直线3(0)3y x b b =-+>对称的“关联线段”,直接写出b 的最大值和最小值,以及相应的BC长.【解答】解:(1)①分别画出线段11A B ,22A B ,33A B 关于直线2y x =+对称线段,如图, 发现线段11A B 的对称线段是O 的弦,∴线段11A B ,22A B ,33A B 中,O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ,故答案为:11A B ;②从图象性质可知,直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒,∴线段11A B ⊥直线y x m =-+,∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上,显然不可能是O 的弦,线段335A B =O 的最长的弦为2,∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦,线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”,而线段22//A B 直线y x m =-+,线段22A B∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ,且线段22A B ''=平移这条线段,使其在O 上,有两种可能, 第一种情况:2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0), 此时3m =;第二种情况:2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-, 此时2m =, 故答案为:3或2;(2)直线(0)y x b b =+>交x 轴于点C ,当0y =时,0y b =+=,解得:x =,OC ∴,b 最大时就是OC 最大, b 最小时就是CO 长最小,线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”,∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上, 3AC AC ∴''==,在△A CO '中,AC OA OC AC OA '-''+',∴当A '为(1,0)-时,如图3,OC 最小,此时C 点坐标为(2,0),将点C 代入直线y b =+中,20b +=,解得:b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D , 1A B AO B O ''='='=, 60B A D ∴∠''=︒,12A D ∴'=,32B D '=,15322CD ∴=-=,在Rt △B DC '中,2253()()722B C '=+=;∴当A '为(1,0)时,如图3,OC 最大,此时C 点坐标为(4,0),将点C 代入直线33y x b =-+中, 3403b -⨯+=,解得:433b =, 过点B '作B D AC '⊥'于点D , 1A B AO B O ''='='=, 60B A D ∴∠''=︒,12A D ∴'=,32B D '=,17322CD ∴=+=,在Rt △B DC '中,2273()()1322B C '=+=,b ∴的最大值为433,13BC =;最小值为233,7BC =.11.我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数)对称,则把该函数称之为“()X n 函数”. (1)在下列关于x 的函数中,是“()X n 函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“()X n 函数”的打“⨯”. ①(0)my m x=≠ ⨯ ②|2|y x = ③225y x x =+-(2)若关于x 的函数||(y x h h =-为常数)是“X (2)函数”,与||(my m x=为常数,0)m >相交于(A A x ,)A y 、(B B x ,)B y 两点,A 在B 的左边,4B A x x -=,求m 的值;(3)若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++,b 为常数)经过点(1,1)-,且1n =,当1t x t -时,函数的最大值为1y ,最小值为2y ,且122y y -=,求t 的值.【解答】解;(1)①设(,)m a a 关于x n =对称的点为(2,)mn a a-,令2x n a =-,则2my n a=-,若2m m n a a=-,则a n =, ∴(0)m y m x =≠不是“()X n 函数”; ②设(,|2|)a a 关于x n =对称的点为(2,|2|)n a a -,令2x n a =-,则|2(2)||42|y n a n a =-=-,若|42||2|n a a -=,则a n =或0n =,|2|y x ∴=是“(0)X 函数”; ③设2(,25)a a a +-关于x n =对称的点为2(2,25)n a a a -+-,令2x n a =-,则2(2)2(2)5y n a n a =-+--,若2225(2)2(2)5a a n a n a +-=-+--,则有n a =或1n =-,225y x x ∴=+-是“(1)X -函数”;故答案为:⨯,√,√;(2)|y x =一|h 是“X (2)”函数, 2h ∴=,如图,2y x =-与x 轴交于C 点,与y 轴交于D 点,作AM x ⊥轴交于M 点,BN x ⊥轴交于N 点,(2,0)C ∴,(0,2)D -,45BCN OCD ∴∠=∠=︒,由对称性可知,45ACM OCD ∠=∠=︒,AM CM ∴=,BN CN =,4B A x x -=,4MN ∴=,设CN x =,则4MC x =-,(2B ∴十x ,)x ,(2,4)A x x --,(2)(2)(4)0x x x x ∴++--=,1x ∴=,(3,1)B ∴,3m ∴=;(3)由题意得4112a b b a-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩, ∴此“()X n 函数”为224y x x =-++,①当1t <时,x t =时,2124y t t =-++,1x t =-时,22(1)y t =--十2(1)4t -+,2212(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=,12t ∴=; ②当11t -,即2t 时,1x t =-时,21(1)y t =--十2(1)4t -+,x t =时,2224y t t =-++,1y 一222(1)2(1)4(24)232y t t t t t =--+-+--++=-=,52t ∴=; ③当312t <时, 1x =时,15y =,1x t =-时,22(1)y t =--十2(1)4t -+,22125[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=,2t ∴=±(舍去):④322t <时, 1x =时,15y =,x t =时,2224y t t =-++,22125(24)212y y t t t t -=--++=-+=,12t ∴=±(舍去), 综上所述:12或52.12.定义:我们把一次函数(0)y kx b k =+≠与正比例函数y x =的交点称为一次函数(0)y kx b k =+≠的“不动点”.例如求21y x =-的“不动点”:联立方程21y x y x =-⎧⎨=⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,则21y x =-的“不动点”为(1,1). (1)由定义可知,一次函数32y x =+的“不动点”为 (1,1)-- ;(2)若一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -,求m 、n 的值;(3)若直线3(0)y kx k =-≠与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,且直线3y kx =-上没有“不动点”,若P 点为x 轴上一个动点,使得3ABP ABO S S ∆∆=,求满足条件的P 点坐标.【解答】解:(1)联立32y x y x =+⎧⎨=⎩, 解得11x y =-⎧⎨=-⎩, ∴一次函数32y x =+的“不动点”为(1,1)--,故答案为:(1,1)--;(2)一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -,12n ∴-=,3n ∴=,∴ “不动点”为(2,2),223m ∴=+, 解得12m =-; (3)直线3y kx =-上没有“不动点”,∴直线3y kx =-与直线y x =平行,1k ∴=,3y x ∴=-,(3,0)A ∴,(0,3)B -,设(,0)P t ,|3|AP t ∴=-,1|3|32ABP S t ∆∴=⨯-⨯, 1332ABO S ∆=⨯⨯, 3ABP ABO S S ∆∆=,|3|9t ∴-=,12t ∴=或6t =-,(6,0)P ∴-或(12,0)P .13.对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M ,对于任意的函数值y ,都满足y M ,那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M 中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,图中的函数2(3)2y x =--+是有上界函数,其上确界是2.(1)函数①221y x x =++和②23(2)y x x =-中是有上界函数的为 ② (只填序号即可),其上确界为 ;(2)如果函数2(,)y x a x b b a =-+>的上确界是b ,且这个函数的最小值不超过21a +,求a 的取值范围;(3)如果函数222(15)y x ax x =-+是以3为上确界的有上界函数,求实数a 的值.【解答】解:(1)①2221(1)0y x x x =++=+,∴①无上确界;②23(2)y x x =-,1y ∴,∴②有上确界,且上确界为1,故答案为:②,1;(2)2y x =-+,y 随x 值的增大而减小,∴当a x b 时,22b y a -+-+,上确界是b ,2a b ∴-+=,函数的最小值不超过21a +,221b a ∴-++,1a ∴-,b a >,2a a ∴-+>,1a ∴<,a ∴的取值范围为:11a -<;(3)222y x ax =-+的对称轴为直线x a =,当1a 时,y 的最大值为251022710a a -+=-, 3为上确界,27103a ∴-=,2.4a ∴=(舍);当5a 时,y 的最大值为12232a a -+=-, 3为上确界,323a ∴-=,0a ∴=(舍);当13a <时,y 的最大值为251022710a a -+=-, 3为上确界,27103a ∴-=,2.4a ∴=;当35a <<时,y 的最大值为12232a a -+=-, 3为上确界,323a ∴-=,0a ∴=,综上所述:a 的值为2.4.14.对某一个函数给出如下定义:若存在实数0m >,对于任意的函数值y ,都满足m y m -,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的m 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是1.将函数21(2,0)y x x t t =-+-的图象向上平移t 个单位,得到的函数的边界值n 满足9542n 时,则t 的取值范围是 1324t 或5342t .【解答】解:由题干可得函数21y x t =-++在2x t -时,函数最大值或最小值为n ,9542n , 0t >,抛物线21y x t =-++开口向下,顶点坐标为(0,1)t +,1t ∴+为函数最大值,当512t +=时,32t =, 302t ∴<, 当2t =时,直线2x =-与直线x t =与抛物线交点关于对称轴对称, 302t ∴<时,直线2x =-与抛物线交点为最低点, 把2x =-代入21y x t =-++得3y t =-+,当532t -+=-时,12t =, 12t ∴, 当95142t +时,5342t , 当59324t --+-时,1324t , ∴1324t 或5342t 满足题意. 故答案为:1324t 或5342t . 15.定义:若实数x ,y 满足2x y t =+,2y x t =+,且x y ≠,t 为常数,则称点(,)x y 为“轮换点”.例如,点(1,2)-满足:2123=-+,2(2)13-=+,则点(1,2)-是“轮换点”.已知:在直角坐标系xOy 中,点(,)A m n .(1)1(3,2)A -和2(2,3)A -两点中,点 2A 是“轮换点”;(2)若二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”,且满足:①当1x =时,8y =,②241b ac -=,求二次函数解析式;(3)若点A 是“轮换点”,用含t 的代数式表示m n ⋅,并求t 的取值范围.【解答】解:(1)根据实数x ,y 满足2x y t =+,2y x t =+,且x y ≠,t 为常数,则称点(,)x y 为“轮换点”,1(3,2)A -,则23211=-+,此时2(2)311-≠+,1(3,2)A ∴-不是轮换点;2(2,3)A -,则2237=-+,此时2(3)27-=+,2(2,3)A ∴-是轮换点.故答案为:2A ;(2)设点(,)m n 是轮换点,由题意可知:2m n t =+①,且2n m t =+②,①-②得到:22m n n m -=-,即:(1)()0m n m n ++-=, 10m n ∴++=或0m n -=;当m n =时,则2am bm c m ++=,即:2(1)0am b m c +-+=,二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”, 2(1)0am b m c ∴+-+=有两个相等的根,即:2(1)40b ac --=, 又241b ac -=,22211b b b ∴-+=-,解得:b l =,40ac ∴=,且0a ≠,0c ∴=,当1x =时,8y =,8a b c ∴++=,7a ∴=,217y x x ∴=+;当10m n ++=时,21am bm c m ∴++=--,即:2(1)10am b m c ++++=,同理得:2(1)4(1)0b a c +-+=,241b ac -=,21b a ∴=-;8a b c ++=,93c a ∴=-,241b ac -=,216400a a ∴-=, 解得:52a =或0a = (舍去), 4b ∴=,32c =, 2153422y x x ∴=++, 综上所述,二次函数解析式为:217y x x =+或2153422y x x =++; (3)点(,)A m n 是“轮换点”,2m n t ∴=+①,2n m t =+②,①-②得:220m n m n -+-=,()(1)0m m m n ∴-++=,由“轮换点“定义可知:m n ≠,10m n ∴++=,1m n ∴+=-,①+②得:222m m n n t -+-=,222()21m n t m n t ∴+=++=-,2()221m n mn t ∴+-=-,1221mn t ∴-=-,1mn t ∴=-,m n ≠,2()0m n ∴->,2220m mn n ∴-+>,2()40m n mn ∴+->,把1m n +=-代入,得:140mn ->,14mn ∴<, 114t ∴-<, 34t ∴>, 故1mn t =-,34t >. 16.二次函数图象是抛物线,抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹.其中定点F 叫抛物线的焦点,定直线l 叫抛物线的准线. ①抛物线2(0)y ax a =≠的焦点为1(0,)4F a ,准线为14y a =-,例如,抛物线213y x =的焦点是3(0,)4F ;准线是34y =-;抛物线23y x =-的焦点是 是1(0,)12- 准线是 ; ②将抛物线2(0)y ax a =≠向右平移h 个单位、再向上平移k 个单位(0,0)h k >>,可得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠;因此抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠的焦点是1(,)4F h k a +,准线为14y k a =-+.例如,抛物线2113y x =+的焦点是7(0,)4F ,准线是14y =;抛物线21(1)2y x =+的焦点是 准线为 .根据以上材料解决下列问题:(1)完成题中的填空;(2)已知二次函数的解析式为221y x x =+-.①求其图象的焦点F 的坐标以及准线解析式;②求过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标. ③抛物线上一点P ,点P 与坐标原点O 、F 点构成三角形,求POF ∆周长的最小值,以及P点的坐标.【解答】解:(1)①根据新定义,可得11144(3)12y a ===-⨯-, 所以抛物线23y x =-的焦点是1(0,)12-; 故答案是:1(0,)12-;112x =-; ②根据新定义,可得1h =-,111014242k a +=+=⨯,所以抛物线21(1)2y x =+的焦点是1(1,)2-,准线是12y =-;故答案是:1(1,)2-;12y =-;(2)①将221y x x =+-化为顶点式得:2(1)2y x =+- 根据新定义,可得1h =-,11724414k a +=-=-⨯, 所以可得抛物线221y x x =+-的焦点坐标7(1,)4F --,准线解析式为94y =-;②由①知7(1,)4F --,所以过点F 且与x 轴平行的直线是74y =-,将74y =-代入221y x x =+-得:27214x x -=+-,解得:12x =-或32x =-,所以,过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标为17(,)24--和37(,)24--. ③二次函数图象是抛物线,抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹.过原点O 向二次函数221y x x =+-的准线94y =-作垂线.P ∴点坐标为(0,1)-.OPF ∴∆周长OF OP PF =++,PF PQ =,OP PQ OQ +=,OPF ∆周长OF PQ =+. OPF ∴∆周长的最小值即OP ⊥直线2y =-.|2|2OF OQ +=-=+OPF ∴∆周长的最小值为2+. P ∴点的坐标为(0,1)-,OPF ∆周长的最小值为2+.17.将抛物线2y ax =的图象(如图1)绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图象(如图2),记为21:C y x a=.【概念与理解】将抛物线214y x =和22y x =按上述方法操作后可得新的抛物线图象,记为:1:C 214y x =;2:C . 【猜想与证明】在平面直角坐标系中,点(,0)M x 在x 轴正半轴上,过点M 作平行于y 轴的直线,分别交抛物线1C 于点A 、B ,交抛物线2C 于点C 、D ,如图3所示. (1)填空:当1x =时,AB CD = ;当2x =时,ABCD= ; (2)猜想:对任意(0)x x >上述结论是否仍然成立?若成立,请证明你的猜想;若不成立,请说明理由. 【探究与应用】(3)利用上面的结论,可得AOB ∆与COD ∆面积比为 ;(4)若AOB ∆和COD ∆中有一个是直角三角形时,求COD ∆与AOB ∆面积之差; 【联想与拓展】(5)若抛物线23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<,(,0)M k 在x 轴正半轴上,如图所示,过点M 作平行于y 轴的直线,分别交抛物线3C 于点A 、B ,交抛物线4C 于点C 、D .过点A 作x 轴的平行线交抛物线4C 于点E ,过点D 作x 轴的平行线交抛物线3C 于点F .对于x 轴上任取一点P ,均有PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3,请直接写出m 和n 之间满足的等量关系是 .【解答】解:【概念与理解】 根据题中的定义可知:211:4C y x =;22:C y x =; 故答案为:214y x =;2y x =; 【猜想与证明】(1)把1x =代入1C 中,得214y =, 12y ∴=±,1(1,)2A ∴,1(1,)2B -.1AB ∴=;把1x =代入2C 中,得21y =, 1y ∴=±,(1,1)C ∴,(1,1)D -. 2CD ∴=.∴12AB CD =. 把2x =代入1C 中,得212y =,y ∴=2A ∴,(1,2B .AB ∴=;把2x =代入2C 中,得22y =,y ∴=C ∴,(1,D .CD ∴=∴12AB CD ==. 故答案为:12;12.(2)成立,理由如下: 211:4C y x =,0x >,1y ∴=;2y =(A x ∴,(,B x ;AB ∴=;22:C y x =,0x >,1y ∴=2y =(A x ∴,(,B x ;AB ∴=12AB CD ==. 【探究与应用】(3)AOB ∆的面积12h AB =⋅;COD ∆的面积12h CD =⋅,111::222AOB COD S S h AB h CD ∆∆∴=⋅⋅=.故答案为:12. (4)①AOB ∆是直角三角形时,AM BM == OM AM ∴=,x ∴=,解得14x =或0x =(舍去); 14OM ∴=,12AB =,1CD =,11111112424216COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=;当COD ∆中有一个是直角三角形时,CM DM =OM AM ∴=,则x =1x =或0x =(舍去); 1OM ∴=,1AB =,2CD =,1111211222COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=.∴面积差为116或12; 【联想与拓展】(5)由题意23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<,(,0)M k 在x 轴正半轴上, 当x k =时,2y mk =,2y nk =,解得y =或y =(A k ∴,(,B k ,(C k ,(,D k ,//AE x 轴,//DF x 轴,(mk E n ∴,(nkF m,, mk AE k n ∴=-,nkDF k m=-, 1()2PAE mk S k n ∆∴=-,1()2PDF nk S k m∆=-, PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3,11[()]:[()]1:322mk nkk k n m∴--=, 整理得,339n m =. 故答案为:339n m =.18.阅读下面的材料,再回答问题.我们知道利用换元法与整体的思想方法可以解方程,分解因式等等,还可以求函数的解析式等.一般地,函数解析式表达形式为:1y x =+,223y x x =+-,3y x =.还可以表示为:()1f x x =+,2()23f x x x =+-,3()f x x=的形式.我们知道()1f x x =+和()1f t t =+和()1f u u =+等表达的意思一样的.举个例子:2(1)f x x +=,设1x t +=,则1x t =-,2()(1)f t t =-,即2()(1)f x t =-.已知:函数2(1)2f x x x +=-,求函数()f x 的解析式.分析:我们可以用换元法设1x t +=来进行求解.解:设1x t +=,则1x t =-,所以222()(1)2(1)212243f t t t t t t t t =---=-+-+=-+.所以2()43f x x x =-+.看完后,你学会了这种方法了吗?亲自试一试吧! (1)若()1f x x =-,求(3)f x -; (2)(21)1f x x +=+,求()f x 的解析式;(3)若2(1)32f x x x -=-+,求(2)f x +的解析式. 【解答】(1)令3t x =-,则()(3)1314t x f t f x x -=-==--=- (2)令21x t +=,则12t x -=,所以11()122t t f t -+=+=,所以1()2x f x += (3)同理(2),可先求出()(1)23(1)22f x x x x x =+-++=-,再可求出(2)(2)2(2)232f x x x x x +=+-+=++19.阅读理解:对于任意正实数a 、b ,2()0a b -,20a ab b ∴-,2a b ab ∴+,只有当a b =时,等号成立.结论:在2(a b ab a +、b 均为正实数)中,若ab 为定值p ,则2a b p +,只有当a b =时,a b +有最小值2p(1)根据上述内容,回答下列问题:若0m >,只有当m = 3 时,9m m+有最小值 . (2)探索应用:如图,已知(3,0)A -,(0,4)B -,P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点,过点P 作PC x ⊥轴于点C ,PD y ⊥轴于点D .求四边形ABCD 面积的最小值. (3)判断此时四边形ABCD 的形状,说明理由.【解答】解:(1)根据题意知,992m m m m +⋅9m m=. 当9m m=时, 解得:3m =或3-(不合题意舍去), 故当3m =时,9m m+有最小值,其最小值是6. 故答案是:3;6;(2)P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点, ∴不妨可设12(,)p x x , 则(,0)C x ,12(0,)D x. ADC ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形.∴1122ABCD S AC OD AC OB =⨯+⨯四边形 1()2AC OD OB =⋅+ 112(3)(4)2x x =+⋅+ 18212x x=++ 92()12x x=++.又90,0xx>>,∴由阅读理解中的结论可知:9926x x x x+⋅=, 所以当9(0)x x x=>时,即当3x =时,261224ABCD S =⨯+=四边形的最小值;(3)此时四边形ABCD 是菱形,理由如下:由(2)可知:当3x =时,此时点P 的坐标为(3,4)P ,∴5AB ==,5BC ==,5CD =,5DA =,AB BC CD AD ∴===,∴四边形ABCD 是菱形(四条边相等的四边形是菱形).另解:证34OA OC OD OB ====得四边形ABCD 是平行四边形, 再由AC BD ⊥知平行四边形ABCD 是菱形.20.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 和B (点A 在点B 左侧),若ABC ∆是等腰三角形,则称抛物线2(0)y ax bx c a =++≠是“理想抛物线”. (1)判断抛物线24y x =-+是否为“理想抛物线”,并说明理由; (2)已知经过点(3,0)B 的抛物线2(0)y ax bx c a =++>是“理想抛物线”.①若点1(2,)P k y -,(1Q k -,211)(0)y y y ⋅>是抛物线上另两点,满足当4k >时,PB 与AQ 的交点始终在抛物线的对称轴上,且线段AC 的垂直平分线恰好经过点B ,求此抛物线的解析式;②是否存在整数c 使得||ABC S cn ∆=,且502n <?若存在,求出所有满足条件的整数c 的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)抛物线24y x =-+是“理想抛物线”,理由如下: 抛物线24y x =-+的对称轴为直线:0x =,∴该抛物线是关于y 轴对称,则点A 、B 关于y 轴对称,OC ∴垂直平分AB ,ABC ∴∆为等腰三角形,24y x ∴=-+是为“理想抛物线”;(2)①要满足ABC ∆是等腰三角形,则AB 可能为底边,也可能为腰; 当AB 为底边时,AC AB =,点A 、B 关于y 轴对称, 此时(3,0)B ,(3,0)A -,当4k >时,22k -<-,13k ->, 2P x ∴<-,3Q x >,AC 的垂直平分线恰好经过点B ,6BC AB ∴==,又ABC ∆是等腰三角形, 6AC AB BC ∴===, ABC ∴∆是等边三角形;又132OA AB ==,OC ∴=,(0,C ∴-;∴抛物线的交点式为:(3)(3)y a x x =+-,把点C 坐标代入,(03)(03)a -=+-.a ∴=(负值舍去),∴此时抛物线的解析式为:3)(3)y x x =+-; 当AB 为腰时,AB CB =,仍满足2P x <-,3Q x >, 120y y ⋅>,0a >,0P y ∴>,0Q y >,∴必有点P 在A 点上方,则(2,0)A -,对称轴直线12x =, 5CB AB ∴==, 3OB =,4OC ∴=,(0,4)C -,4c =-,又A B c x x a ⋅=,得23a =,32b =-;∴此时抛物线的解析式为:223432y x x =--; ②存在整数c 使得||ABC S cn ∆=,理由如下:OC 是ABC ∆的高,且0a >,开口向上,抛物线与x 轴有两个交点,1(3)||||2ABC A C S x y cn ∆∴=⋅-⋅=, 1||(3)2A n x ∴=⋅-, 502n<, 150(3)22A x ∴<⋅-, 解得23A x -<,则需要分两种情况,当20A x -<时,0c <,此时BA BC =,|3|A x ∴-=,解得22(3)9A c x =--,20A x -<,20(3)916A x ∴<--,即2016c <,此时,存在1c =-或2c =-或3c =-或4c =-满足题意; 当03A x <<时,0c >,此时,AB AC =,|3|A x ∴-296A c x =-,03A x <<,9969A x ∴-<-<,即209c <<,此时,存在1c =或2c =满足题意;综上可知,存在整数c 是使得||ABC S cn ∆=,且502n <,此时c 的值为1-或2-或3-或4-或1或2.21.对某一个函数给出如下定义:对于函数y ,若当a x b ,函数值y 满足m y n ,且满足()n m k b a -=-,则称此函数为“k 系和谐函数”.(1)已知正比例函数5(14)y x x =为“k 系和谐函数”,请求出k 的值;(2)若一次函数3(14)y px x =-为“3系和谐函数”,求p 的值;(3)已知二次函数22242y x ax a a =-+++,当11x -时,y 是“k 系和谐函数”,求k 的取值范围.【解答】解:(1)14x ,520y ∴,205(41)k ∴-=-,5k ∴=;(2)14x ,当0p >时,343p y p --,(43)(3)33p p ∴---=⨯,3p ∴=;当0p <时,433p y p --,3(43)33p p ∴---=⨯,3p ∴=-;综上所述:3p =±;(3)22222422()32y x ax a a x a a a =-+++=--++,当1x =时,262y a a =+-,当1x =-时,222y a a =--,当x a =时,232y a a =+,①当1a <-时,226222a a y a a +---,22(22)(62)(11)a a a a k ∴---+-=+,4k a ∴=-,4k ∴>;②当1a >时,226222a a y a a +---,22(62)(22)(11)a a a a k ∴+----=+,4k a ∴=,4k ∴>;③当10a -<时,226232a a y a a +-+,22(32)(62)(11)a a a a k ∴+-+-=+,2(1)k a ∴=-,14k ∴;④当01a 时,222232a a y a a --+,22(32)(22)(11)a a a a k ∴+---=+,2(1)k a ∴=+,14k ∴;综上所述:1k .22.【阅读理解】已知关于x ,y 的二次函数22222()2y x ax a a x a a =-++=-+,它的顶点坐标为(,2)a a ,故不论a 取何值时,对应的二次函数的顶点都在直线2y x =上,我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数,该条直线为根函数.【问题解决】(1)若二次函数223y x x =+-和243y x x =---是同源二次函数,求它们的根函数;(2)已知关于x ,y 的二次函数22:4441C y x mx m m =-+-+,完成下列问题: ①求满足二次函数C 的所有二次函数的根函数;②若二次函数C 与直线3x =-交于点P ,求点P 到x 轴的最小距离,并求出此时m 的值.【解答】解:(1)2223(1)4y x x x =+-=+-,∴该抛物线的顶点为(1,4)--;2243(2)1y x x x =---=-++,∴该抛物线的顶点坐标为(2,1)-.设经过点(1,4)--和点(2,1)-的直线的解析式为y kx b =+,∴421k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩,。
新高考压轴题中函数的新定义问题 解析版
思维拓展新高考压轴题中函数的新定义问题①定义新性质②定义新概念③定义新运算一、必备知识整合一、新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.二、新定义问题的方法和技巧1.可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对信息的理解;2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻;3.发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律;4.如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用书上的概念.二、考点分类精讲1(2024·福建泉州·模拟预测)固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年,莱布尼茨等得出悬链线的方程为y=c e x c+e-x c2,其中c为参数.当c=1时,该表达式就是双曲余弦函数,记为cosh x=e x+e-x2,悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.已知三角函数满足性质:①导数:sin x=cos x cos x=-sin x;②二倍角公式:cos2x=2cos2x-1;③平方关系:sin2x+cos2x=1.定义双曲正弦函数为sinh x=e x-e-x2.(1)写出sinh x,cosh x具有的类似于题中①、②、③的一个性质,并证明该性质;(2)任意x>0,恒有sinh x-kx>0成立,求实数k的取值范围;(3)正项数列{a n }(n ∈N *)满足a 1=a >1,a n +1=2a 2n -1,是否存在实数a ,使得a 2024=178若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)(-∞,1](3)存在实数a =122122022+2-122022,使得a 2024=178成立.【详解】(1)①导数:sinh x =cosh x ,cosh x=sinh x ,证明如下:sinh x =e x -e-x2=e x +e -x2=cosh x cosh x =e x +e -x 2 =e x -e -x2=sinh x,②二倍角公式:cosh 2x =2cosh x 2-1,证明如下:2cosh x 2-1=2×e x +e -x 2 2-1=e 2x +2+e -2x 2-1=e 2x +e -2x 2=cosh 2x ;③平方关系:(cosh x )2-(sinh x )2=1,证明如下:cosh x 2-sinh x 2=e x +e -x 2 2-e x -e -x 2 2=e 2x +2+e -2x 4-e 2x -2+e -2x4=1;(2)令F x =sinh x -kx ,x ∈(0,+∞),F x =cosh x -k ,①当k ≤1时,由cosh x =e x +e -x2≥e x ⋅e -x =1,又因为x >0,所以e x ≠e -x ,等号不成立,所以F x =cosh x -k >0,即F (x )为增函数,此时F (x )>F (0)=0,对任意x >0,sinh x >kx 恒成立,满足题意;②当k >1时,令G (x )=F ′(x ),x ∈(0,+∞),则G x =sinh x >0,可知G (x )是增函数,由G (0)=1-k <0与G ln2k =14k>0可知,存在唯一x 0∈0,ln2k ,使得G (x 0)=0,所以当x ∈(0,x 0)时,F (x )=G (x )<G (x 0)=0,则F (x )在(0,x 0)上为减函数,所以对任意x ∈(0,x 0),F (x )<F (0)=0,不合题意;综上知,实数k 的取值范围是-∞,1 ;(3)方法一、由a 1=a >1,函数cosh x =e x +e -x 2的值域为1,+∞ ,对于任意大于1的实数a 1,存在不为0的实数m ,使得cosh m =a 1,类比双曲余弦函数的二倍角公式cosh 2x =2cosh x 2-1,由cosh m =a 1,a 2=2cosh m 2-1=cosh 2m ,a 3=cosh 22m ,猜想:a n =cosh 2n -1m ,由数学归纳法证明如下:①当n =1时,a 1=a =cosh 21-1m =cosh m 成立;②假设当n =k (k 为正整数)时,猜想成立,即a k =cosh (2k -1m ),则a k +1=2a 2k -1=2cosh 2k -1m 2-1=cosh 2×2k -1m =cosh 2k m ,符合上式,综上知,a n =cosh 2n -1m ;若a 2024=cosh 22023m =178,设t =22023m ,则cosh t =e t +e -t 2=178,解得:e t =4或14,即t =±ln4,所以m =±ln222022,即a 1=cosh m =e m +e -m 2=122122022+2-122022.综上知,存在实数a =122122022+2-122022,使得a 2024=178成立.方法二、构造数列x n (x n >0),且a n =cosh x n ,因为a n +1=2a 2n -1,所以a n +1=2cosh x n 2-1=cosh 2x n ,则a n +1=cosh x n +1 =cosh 2x n ,因为cosh x 在(0,+∞)上单调递增,所以x n +1=2x n ,即{x n }是以2为公比的等比数列,所以x 2024=x 122023,所以ex 2024=e x 122023,所以e x 1=ex 2024122023,又因为a 2024=cosh x 2024 =12e x 2024+e -x 2024=178,解得e x 2024=4或14,所以a =a 1=cosh x 1 =12e x 1+e -x 1=124122023+4-122023=122122022+2-122022,综上知,存在实数a =122122022+2-122022,使得a 2024=178成立.【点睛】方法点睛:对于新定义的题目,一定要耐心理解定义,新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸,更考查对于新知识的获取理解能力,抓住关键点,解题不是事.2(2024·山东滨州·二模)定义:函数f (x )满足对于任意不同的x 1,x 2∈[a ,b ],都有f x 1 -f x 2 <k x 1-x 2 ,则称f (x )为a ,b 上的“k 类函数”.(1)若f (x )=x 23+1,判断f (x )是否为1,3 上的“2类函数”;(2)若f (x )=a (x -1)e x-x 22-x ln x 为[1,e ]上的“3类函数”,求实数a 的取值范围;(3)若f (x )为[1,2]上的“2类函数”,且f (1)=f (2),证明:∀x 1,x 2∈[1,2],f x 1 -f x 2 <1.【答案】(1)f (x )为1,3 上的“2类函数”(2)1e 3,e +5e e +1(3)证明见详解【详解】(1)对于任意不同的x 1,x 2∈1,3 ,不妨设x 1<x 2,即1≤x 1<x 2≤3,则f x 1 -f x 2 =x 213+1-x 223+1=x 1+x 23x 1-x 2 <2x 1-x 2 ,所以f (x )为1,3 上的“2类函数”.(2)因为f (x )为[1,e ]上的“3类函数”,对于任意不同的x 1,x 2∈1,e ,不妨设x 1<x 2,则f x 1 -f x 2 <3x 1-x 2 =3x 2-x 1 恒成立,可得3x 1-3x 2<f x 1 -f x 2 <3x 2-3x 1,即f x 1 +3x 1<f x 2 +3x 2,f x 2 -3x 2<f x 1 -3x 1均恒成立,构建g x =f x +3x ,x ∈1,e ,则g x =f x +3,由f x 1 +3x 1<f x 2 +3x 2可知g x 在1,e 内单调递增,可知g x =f x +3≥0在1,e 内恒成立,即f x ≥-3在1,e 内恒成立;同理可得:f x ≤31,e 内恒成立;即-3≤f x ≤3在1,e 内恒成立,又因为f (x )=axe x -x -1-ln x ,即-3≤axe x -x -1-ln x ≤3,整理得x +ln x -2xe x ≤a ≤x +ln x +4xe x ,可得x +ln x -2e x +ln x≤a ≤x +ln x +4e x +ln x,即x +ln x -2e x +ln x≤a ≤x +ln x +4e x +ln x 在1,e 内恒成立,令t =x +ln x ,因为y =x ,y =ln x 在1,e 内单调递增,则t =x +ln x 在1,e 内单调递增,当x =1,t =1;当x =e ,t =e +1;可知t =x +ln x ∈1,e +1 ,可得t -2e t ≤a ≤t +4e t在1,e +1 内恒成立,构建F t =t -2e t,t ∈1,e +1 ,则F t =3-te t ,当1≤t <3时,F t >0;当3<t ≤e +1时,F t <0;可知F t 在1,3 内单调递增,在3,e +1 内单调递减,则F t ≤F 3 =1e3,构建G t =t +4e t ,t ∈1,e +1 ,则Gt =-3-t et <0在1,e +1 内恒成立,可知G t 在1,e +1 内单调递减,则G t ≥G e +1 =e +5e e +1;可得1e 3≤a ≤e +5ee +1,所以实数a 的取值范围为1e 3,e +5e e +1 .(3)(i )当x 1=x 2,可得f x 1 -f x 2 =0<1,符合题意;(ⅱ)当x 1≠x 2,因为f (x )为[1,2]上的“2类函数”,不妨设1≤x 1<x 2≤2,①若0<x 2-x 1≤12,则f x 1 -f x 2 <2x 1-x 2 ≤1;②若12<x 2-x 1≤1,则f x 1 -f x 2 =f x 1 -f 1 +f 1 -f x 2 =f x 1 -f 1 +f 2 -f x 2 ≤f x 1 -f 1 +f 2 -f x 2 ≤2x 1-1 +22-x 2 =2-2x 2-x 1 <1;综上所述:∀x 1,x 2∈[1,2],f x 1 -f x 2 <1.3(23-24高三下·浙江·开学考试)置换是代数的基本模型,定义域和值域都是集合A=1,2,⋯,n,n ∈N+的函数称为n次置换.满足对任意i∈A,f i =i的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作S n.对于f i ∈S n,我们可用列表法表示此置换:f i =12⋯nf1 f2 ⋯f n,记f i =f1i ,f f i =f2i ,f f2i=f3i ,⋯,f f k-1i=f k i ,i∈A,k∈N+.(1)若f i ∈S4,f i =12344213,计算f3i ;(2)证明:对任意f i ∈S4,存在k∈N+,使得f k i 为恒等置换;(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌,分成上下各26张两部分,互相交错插入,即第1张不动,第27张变为第2张,第2张变为第3张,第28张变为第4张,......,依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型?请说明理由.【答案】(1)f3i =1234 1234(2)证明见解析(3)最少8次就能恢复原来的牌型,理由见解析【详解】(1)f i =1234 4213 ,由题意可知f2i =12343241,f3i =12341234;(2)解法一:①若f i =12341234,则f1i 为恒等置换;②若存在两个不同的i,使得f i =i,不妨设i=1,2,则f i =1234 1243 .所以f2i =12341234,即f2i 为恒等置换;③若存在唯一的i,使得f i =i,不妨设i=2,则f i =12343241或f i =12344213.当f i =12344213时,由(1)可知f3i 为恒等置换;同理可知,当f i =12343241时,f3i 也是恒等置换;④若对任意的i,f i ≠i,则情形一:f i =12342143或f i =12343412或f i =12344321;情形二:f i =12342341或f i =12342413或f i =12343142或f i =12343421或f i =12344123或f i =12344312;对于情形一:f2i 为恒等置换;对于情形二:f4i 为恒等置换;综上,对任意f i ∈S4,存在k∈N+,使得f k i 为恒等置换;解法二:对于任意i∈1,2,3,4,都有f1i ,f2i ,f3i ,f4i ∈1,2,3,4,所以f1i ,f2i ,f3i ,f4i 中,至少有一个满足f k i =i,即使得f k i =i的k的取值可能为1,2,3,4.当i分别取1,2,3,4时,记使得f k i =i的k值分别为k1,k2,k3,k4,只需取k为k1,k2,k3,k4的最小公倍数即可.所以对任意f i ∈S4,存在k∈N+,使得f k i 为恒等置换;(3)不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52,则洗牌一次相当于对1,2,⋯,52作一次如下置换:f i=12345⋯521272283⋯52,即f i =k,i=2k-1,26+k,i=2k,其中k=1,2,⋯,26.注意到各编号在置换中的如下变化:1→f1,2→f27→f14→f33→f17→f9→f5→f3→f2,4→f28→f40→f46→f49→f25→f13→f7→f4,6→f29→f15→f8→f30→f41→f21→f11→f6,10→f31→f16→f34→f43→f22→f37→f19→f10,12→f32→f42→f47→f24→f38→f45→f23→f12,18→f35→f18,20→f36→f44→f48→f50→f51→f26→f39→f20,52→f52,所有编号在连续置换中只有三种循环:一阶循环2个,二阶循环2个,八阶循环48个,注意到1,2,8的最小公倍数为8,由此可见,最少8次这样的置换即为恒等置换,故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.【题型训练-刷模拟】①定义新性质一、解答题4(2024·浙江绍兴·三模)若函数f x 在区间I上有定义,且∀x∈I,f x ∈I,则称I是f x 的一个“封闭区间”.(1)已知函数f x =x+sin x,区间I=0,rr>0且f x 的一个“封闭区间”,求r的取值集合;(2)已知函数g x =ln x+1+34x3,设集合P=x g x =x.(i)求集合P中元素的个数;(ii)用b-a表示区间a,ba<b的长度,设m为集合P中的最大元素.证明:存在唯一长度为m的闭区间D,使得D是g x 的一个“封闭区间”.【答案】(1)2k-1π,2kπk∈N*(2)(i)2;(ii)证明见解析【分析】(1)根据“封闭区间”的定义,对函数f x =x+sin x求导并求出其值域解不等式可得r的取值集合;(2)(i)对h x =ln x+1+34x3-x x>-1求导得出函数h x 的单调性,利用零点存在定理即可求得集合P中元素的个数为2个;(ii)根据区间长度的定义,对参数a进行分类讨论得出g x 的所有可能的“封闭区间”即可得出证明.【详解】(1)由题意,∀x∈0,r,f x ∈0,r,∵f′x =1+cos x≥0恒成立,所以f x 在0,r上单调递增,可得f x 的值域为0,r+sin r,因此只需0,r+sin r⊆0,r,即可得r+sin r≤r,即sin r≤0r>0,则r的取值集合为2k-1π,2kπk∈N*.(2)(i)记函数h x =g x -x=ln x+1+34x3-x x>-1,则h′x =1x+1+94x2-1=4+9x2x+1-4x+14x+1=9x2x+1-4x4x+1=x3x+43x-14x+1x>-1,由h′x >0得-1<x<0或x>13;由h′x <0得0<x<13;所以函数h x 在-1,0和13,+∞上单调递增,在0,13上单调递减.其中h0 =0,因此当x∈-1,0∪0,1 3时,h x <0,不存在零点;由h x 在0,1 3单调递减,易知h13 <h0 =0,而h1 =ln2-14>0,由零点存在定理可知存在唯一的x0∈13,1使得h x0 =0;当x∈1,+∞时,h x >0,不存在零点.综上所述,函数h x 有0和x0两个零点,即集合P中元素的个数为2.(ii)由(i)得m=x0,假设长度为m的闭区间D=a,a+x0是g x 的一个“封闭区间”a>-1,则对∀x∈a,a+x0,g x ∈a,a+x0,当-1<a<0时,由(i)得h x 在-1,0单调递增,∴h a =g a -a <h 0 =0,即g a <a ,不满足要求;当a >0时,由(i )得h x 在x 0,+∞ 单调递增,∴h a +x 0 =g a +x 0 -a +x 0 >h x 0 =0,即g a +x 0 >a +x 0,也不满足要求;当a =0时,闭区间D =0,x 0 ,而g x 显然在-1,+∞ 单调递增,∴g 0 ≤g x ≤g x 0 ,由(i )可得g 0 =h 0 +0=0,g x 0 =h x 0 +x 0=x 0,∴g x ∈0,x 0 =D ,满足要求.综上,存在唯一的长度为m 的闭区间D =0,m ,使得D 是g x 的一个“封闭区间”.【点睛】关键点点睛:本题关键在于理解“封闭区间”的定义,结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单调区间,再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论.5(2024·上海普陀·二模)对于函数y =f (x ),x ∈D 1和y =g (x ),x ∈D 2,设D 1∩D 2=D ,若x 1,x 2∈D ,且x 1≠x 2,皆有f x 1 -f x 2 ≤t g x 1 -g x 2 (t >0)成立,则称函数y =f (x )与y =g (x )“具有性质H (t )”.(1)判断函数f (x )=x 2,x ∈[1,2]与g (x )=2x 是否“具有性质H (2)”,并说明理由;(2)若函数f (x )=2+x 2,x ∈(0,1]与g (x )=1x “具有性质H (t )”,求t 的取值范围;(3)若函数f (x )=1x 2+2ln x -3与y =g (x )“具有性质H (1)”,且函数y =g (x )在区间(0,+∞)上存在两个零点x 1,x 2,求证x 21+x 22>2.【答案】(1)答案见解析(2)2,+∞ (3)证明见解析【分析】(1)根据条件,结合性质H (t )的定义判断即可;(2)根据f (x )=2+x 2,x ∈(0,1]与g (x )=1x“具有性质H (t )”,可得t ≥x 1x 2(x 1+x 2)对x 1,x 2∈(0,1]恒成立,再求出t 的范围即可;(3)根据条件,得到1x 21+2ln x 1-3=1x 22+2ln x 2-3,再构造函数,结合条件证明不等式即可.【详解】(1)由x 1,x 2∈1,2 ,且x 1≠x 2,得2<x 1+x 2<4,即x 1+x 2 <4,则x 1+x 2 ⋅x 1-x 2 <4x 1-x 2 ,即 x 21-x 22 <22x 1-2x 2 ,即 f x 1 -f x 2 ≤2g x 1 -g x 2 ,则函数f (x )=x 2,x ∈1,2 与g (x )=2x “具有性质H (2)”.(2)由函数f x =2+x 2,x ∈0,1 与g x =1x “具有性质H (t )”,得f x 1 -f x 2 ≤t g x 1 -g x 2 ,x 1,x 2∈0,1 ,且x 1≠x 2,即2+x 12-2-x 22 ≤t1x 1-1x 2,整理得(x 1+x 2)(x 1-x 2) ≤tx 2-x 1x 1x 2,则t ≥x 1x 2(x 1+x 2)对x 1,x 2∈0,1 恒成立,又x 1,x 2∈0,1 ,x 1≠x 2,则0<x 1+x 2<2,0<x 1x 2<1,即0<x 1x 2(x 1+x 2)<2,则t ≥2,即所求的t 的取值范围为2,+∞ .(3)由函数y =g x 在0,+∞ 有两个零点x 1,x 2,得g x 1 =g x 2 =0,又函数f x =1x 2+2ln x -3与y =g (x )“具有性质H (1)”,则f x 1 -f x 2 ≤g x 1 -g x 2 =0,即f x 1 =f x 2 , 即1x 21+2ln x 1-3=1x 22+2ln x 2-3,令x 21=t 1,x 22=t 2,即1t 1+ln t 1-3=1t 2+ln t 2-3,记h x =1x+ln x -3,即h t 1 =h t 2 ,因为h x =-1x 2+1x =x -1x 2,当0<x <1时,h x <0;当x >1时,h x >0,所以函数y =h x 在区间0,1 是减函数,在1,+∞ 上是增函数.要证x 21+x 22>2,即证t 1+t 2>2,不妨设0<t 1<1<t 2,即证t 2>2-t 1>1,只需证h t 2 >h 2-t 1 ,即证h t 1 >h 2-t 1 ,设H x =h x -h 2-x ,即H x =1x +ln x -12-x-ln 2-x ,因为Hx =-1x 2+1x -12-x 2+12-x =-41-x 2x 22-x 2≤0,所以函数y =H x 在0,+∞ 是减函数,且H (1)=0,又0<t 1<1,则H t 1 >H 1 =0,即h t 1 -h 2-t 1 >0,则h t 1 >h 2-t 1 得证,故 x 21+x 22>2.【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性,利用不等式恒成立求出参数的取值范围,关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式.6(2024·上海·模拟预测)已知A 、B 为实数集R 的非空子集,若存在函数y =f x 且满足如下条件:①y =f x 定义域为A 时,值域为B ;②对任意x 1、x 2∈A ,x 1≠x 2,均有f x 1 -f x 2x 1-x 2>0. 则称f x 是集合A 到集合B 的一个“完美对应”.(1)用初等函数构造区间0,1 到区间0,+∞ 的一个完美对应f x ;(2)求证:整数集Z 到有理数集Q 之间不存在完美对应;(3)若f x =x 3-kx 2+1,k ∈R ,且f x 是某区间A 到区间-3,2 的一个完美对应,求k 的取值范围.【答案】(1)f (x )=tan π2x(2)证明见解析(3)-∞,-3322∪{0}∪[3,+∞)【详解】(1)f (x )=tan π2x,当x ∈0,1 时,π2x ∈0,π2 ,则其值域为0,+∞ ,满足条件①,根据复合函数单调性知f (x )在0,1 单调递增,则其满足条件②,故可取f (x )=tan π2x.(2)假设有f (x )是集合Z 到Q 的一个完美对应,则有f (0)=a ,f (1)=b ,其中a <b ∈Q ,于是,a +b2∈Q ,由完美对应的定义,存在整数k ,使得f (k )=a +b2且0<k <1,这与k 为整数矛盾,故假设不成立.所以,整数集Z 到有理数集Q 之间不存在完美对应.(3)f x =x 3-kx 2+1,f x =3x 2-2kx =0,得x =0或2k3,若k =0,则f (x )=x 3+1严格递增,且f (1)=2,f (-34)=-3,此时A =[-34,0];满足题意;若k >0,则x ∈(-∞,0)时,f (x )>0;x ∈0,2k 3 时,f(x )<0;x ∈2k 3,+∞ 时,f (x )>0;则y =f (x )在(-∞,0)上单调递增,在0,2k 3 上单调递减,在2k 3,+∞ 上单调递增;又f (0)=1<2,故只有极小值f 2k3≤-3才满足题意,即2k 33-k 2k 3 2+1≤-3,k ≥3,若k <0,则x ∈-∞,2k 3 时,f (x )>0;x ∈2k3,0 时,f (x )<0;x ∈(0,+∞)时,f (x )>0;则y =f (x )在-∞,2k 3单调递增,在2k 3,0 单调递减,在(0,+∞)单调递增;又f (0)=1>-3,故只有极大值f 2k3≥2才满足题意,即2k33-k2k3 2+1≥2,即k≤-3322.综上, k 的取值范围是 -∞,-332 2∪0 ∪[3,+∞).【点睛】关键点点睛:本题第三问的关键是求导得f (x)=3x2-2k=0,然后求出导函数零点x=0或2k 3,最后对k进行合理分类讨论即可.7(2024·上海黄浦·二模)若函数y=f(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数y=f(x)的图象的“自公切线”,称这两点为函数y=f(x)的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数f1(x)=sin x与f2(x)=ln x的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;(2)若a∈R,求证:函数g(x)=tan x-x+a x∈-π2,π2有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;(3)设n∈N*,h(x)=tan x-x+nπx∈-π2,π2的零点为x n,t∈-π2,π2,求证:“存在s∈(2π,+∞),使得点(s,sin s)与(t,sin t)是函数y=sin x的图象的一对‘同切点'”的充要条件是“ t是数列{x n}中的项”.【答案】(1)函数f1(x)的图象存在“自公切线”; 函数f2(x)的图象不存在“自公切线”,理由见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【详解】(1)显然直线y=1切y=sin x的图象于点π2,1,5π2,1,直线y=1是y=sin x的图象的一条“自公切线”,因此函数f1(x)的图象存在“自公切线”;对于f2(x)=ln x,f 2(x)=1x(x>0)是严格减函数,则f2(x)在不同点处的切线斜率不同,所以函数f2(x)的图象不存在“自公切线”.(2)由g (x)=1cos2x -1=sin2xcos2x=tan2x≥0恒成立,且仅当x=0时g (x)=0,则y=g(x)是-π2 ,π2上的严格增函数,可得它至多有一个零点,令g1(x)=sin x-(x-a)cos x x∈-π2 ,π2,由y=g1(x)的图象是连续曲线,且g1-π2g1π2 =-1<0,因此g1(x)在-π2 ,π2上存在零点,即在-π2,π2上g(x)=g1(x)cos x存在零点,所以g(x)有唯一零点;假设g(x)的图象存在“自公切线”,则存在x1,x2∈-π2 ,π2且x1≠x2,使得g(x)的图象在x=x1与x=x2处的切线重合,即tan2x1=tan2x2,有x2=-x1,不妨设x1∈0,π2,切线l1:y-tan x1+x1-a=tan2x1⋅(x-x1),l2:y-tan x2+x2-a=tan2x2⋅(x-x2),有相同截距,即-x1tan2x1+tan x1-x1+a=-x2tan2x2+tan x2-x2+a,而x2=-x1,则-x1tan2x1+tan x1-x1=x1tan2x1-tan x1+x1,即x1(1+tan2x1)=tan x1,则有x1=sin x1cos x1,即2x1=sin2x1,令φ(x)=x-sin x,0<x<π,φ (x)=1-cos x>0,即函数φ(x)在(0,π)上单调递增,φ(x)>φ(0)=0,因此当x∈(0,π)时,x>sin x,即2x1=sin2x1在0,π2上无解,所以g(x)的图象不存在“自公切线”.(3)对给定的n∈N*,由(2)知h(x)有唯一零点,即x n唯一确定,又h(x)在点(t,sin t)处的切线方程为y-sin t=cos t(x-t),即y=x cos t+sin t-t cos t,h(x)在点(s,sin s)处的切线方程为y=x cos s+sin s-s cos s,若存在s∈(2π,+∞),使得点(s,sin s)与(t,sin t)是函数y=sin x图象的一对“同切点”,则cos s=cos t s≠tsin s-s cos s=sin t-t cos t,又t∈-π2,π2,则cos t>0,所以cos s=cos t s≠ttan s-s=tan t-t,cos s=cos t且tan s=-tan t,从而存在n∈N*,使得s=2nπ-t,代入tan s-s=tan t-t,可得tan t-t+nπ=0,则x n=t,即t是数列x n中的项;反之,若t是数列x n中的项,则存在n∈N*,使得x n=t,即tan t-t+nπ=0,由(2)中的g(x)严格增,可知h(x)严格增,又h(0)=nπ>0且h(t)=0,可知t<0,令s=2nπ-t,则s∈(2π,+∞)且cos s=cos t,tan s-s-(tan t-t)=2(t-tan t-nπ)=0,即tan s-s=tan t-t,可得sin s-s cos s=sin t-t cos t,所以存在s∈(2π,+∞),使得点(s,sin s)与(t,sin t)是函数y=sin x的图象的一对“同切点”.所以存在s∈(2π,+∞),使得点(s,sin s)与(t,sin t)是函数y=sin x图象的一对“同切点”的充要条件是“t 是数列x n中的项”.【点睛】结论点睛:函数y=f(x)是区间D上的可导函数,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))(x0∈D)处的切线方程为:y-f(x0)=f (x0)(x-x0).8(2024·浙江绍兴·三模)若函数α(x)有且仅有一个极值点m,函数β(x)有且仅有一个极值点n,且m >n,则称α(x)与β(x)具有性质α-β⎳m>n.(1)函数φ1(x)=sin x-x2与φ2x =e x-x是否具有性质φ1-φ2⎳x0>0?并说明理由.(2)已知函数f x =ae x-ln x+1与g x =ln x+a-e x+1具有性质f-g⎳x1>x2.(i)求a的取值范围;(ii)证明:g x1>x2 .【答案】(1)具有,理由见解析(2)(i)a∈0,1∪1,+∞;(ii)证明见解析【详解】(1)函数φ1(x)=sin x-x2与φ2x =e x-x具有性质φ1-φ2⎳x0>0,理由如下:φ1 (x)=cos x-2x,令h x =φ1 x =cos x-2x,则h x =-sin x-2<0,故φ1 x 单调递减,水不撩不知深浅又φ1 0 =cos0-0=1>0,φ1 1 =cos1-2<0,故存在x0∈0,1,使φ1 x0=0,则φ1x 在-∞,x0上单调递增,在x0,+∞上单调递减,故φ1(x)有且仅有一个极值点x0∈0,1,φ2 x =e x-1,则当x<0时,φ2 x <0,当x>0时,φ 2x >0,故φ2(x)在-∞,0上单调递减,在0,+∞上单调递增,故φ2(x)有且仅有一个极值点0,故函数φ1(x)=sin x-x2与φ2x =e x-x具有性质φ1-φ2⎳x0>0;(2)(i)f x =ae x-1x+1, 又x+1>0,故x>-1,当a≤0时,f x =ae x-1x+1<0,此时f x 没有极值点,故舍去,当a>0时, 令m x =f x =ae x-1x+1,则m x =ae x+1x+12>0恒成立,故f x 在-1,+∞上单调递增,g x =1x+a-e x,x+a>0,故x>-a,由a>0,令n x =g x =1x+a-e x,则n x =-1x+a2-e x<0恒成立,故g x 在-a,+∞上单调递减,当a∈0,1时,有f 0 =ae0-10+1=a-1<0,又x→+∞时,f x →+∞,故此时存在x1∈0,+∞,使f x 在-1,x1上单调递减,在x1,+∞上单调递增,则f x 有唯一极值点x1∈0,+∞,有g 0 =1a-e0=1a-1>0,又x→+∞时,g x →-∞,故此时存在x2∈0,+∞,使g x 在-a,x2上单调递增,在x2,+∞上单调递减,则g x 有唯一极值点x2∈0,+∞,即有f x1=ae x1-1x1+1=0,g x2=1x2+a-e x2=0,即e x1=1a x1+1,e x2=1x2+a,此时需满足x1>x2>0,则e x1>e x2,故有1a x1+1>1x2+a,即x2>ax1,即a<x2x1<1,故a∈0,1符合要求;当a∈1,+∞时,f 0 =ae0-10+1=a-1>0,又x→-1时,f x →-∞,故此时存在x1∈-1,0,使f x 在-1,x1上单调递减,在x1,+∞上单调递增,则f x 有唯一极值点x1∈-1,0,有g 0 =1a -e 0=1a-1<0,又x →-a 时,g x →+∞,故此时存在x 2∈-a ,0 ,使g x 在-a ,x 2 上单调递增,在x 2,+∞ 上单调递减,则g x 有唯一极值点x 2∈-a ,0 ,同理可得1a x 1+1>1x 2+a ,此时需满足0>x 1>x 2,即x 2>ax 1,则a >x 2x 1,由x 2x 1<1,a ∈1,+∞ ,故该不等式成立,故a ∈1,+∞ 符合要求;当a =1时,有f 0 =ae 0-10+1=a -1=0,g 0 =1a -e 0=1a-1=0,此时x 1=x 2=0,即f x 、g x 的极值点都为0,不符合要求,故舍去;综上,故a ∈0,1 ∪1,+∞ ;(ii )当a ∈0,1 时,有x 1>x 2>0,则e x 2=1x 2+a>e 0=1,故0<x 2+a <1,g x 在-a ,x 2 上单调递增,在x 2,+∞ 上单调递减,则g x 1 <g x 2 =ln x 2+a -e x 2+1=ln x 2+a -1x 2+a+1,令t =x 2+a ∈0,1 ,则g x 2 =ln t -1t +1,令μt =ln t -1t+1,t ∈0,1 则μ t =1t +1t2>0,故μt 在0,1 上单调递增,则g x 2 =ln t -1t +1<μ1 =ln1-11+1=0,故g x 1 >g x 2 ,要证g x 1 >x 2 ,只需证g x 1 +x 2<0,g x 1 +x 2<g x 2 +x 2=ln x 2+a -e x 2+1+x 2=ln 1ex 2-e x 2+1+x 2=1-e x 2<0,即当a ∈0,1 ,有g x 1 >x 2 ;当a ∈1,+∞ 时,有0>x 1>x 2,则e x 2=1x 2+a<e 0=1,即x 2+a >1,g x 在-a ,x 2 上单调递增,在x 2,+∞ 上单调递减,则g x 1 >g 0 =ln 0+a -e 0+1=ln a >0,即要证g x 1 >x 2 ,只需证g x 1 +x 2>0,g x 1 +x 2=ln x 1+a -e x 1+1+x 2>ln x 2+a -e x 1+1+x 2=ln1ex 2-e x 1+1+x 2=-x 2-e x 1+1+x 2=1-e x 1>1-e 0=0,即当a ∈1,+∞ ,有g x 1 >x 2 ;综上所述,g x 1 >x 2 .【点睛】关键点点睛:本题最后一问关键点在于分a ∈0,1 及a ∈1,+∞ 进行讨论,从而可得不同的a 的情况下不同的x 1、x 2的范围,结合放缩进行推导.②定义新概念一、解答题9(2024·江西·二模)随着大数据时代来临,数据传输安全问题引起了人们的高度关注,国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等,不同算法密钥长度也不同,其中RSA的密钥长度较长,用于传输敏感数据.在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数,记为φn.(1)试求φ1 +φ9 ,φ7 +φ21的值;(2)设p,q是两个不同的素数,试用p,k表示φp k(k∈N*),并探究φpq与φp 和φq 的关系;(3)设数列a n的通项公式为a m=5m-32φ3m(m∈N*),求该数列的前m项的和T m.【答案】(1)φ1 +φ9 =7,φ7 +φ21=18 (2)φp k=p-1p k-1,φpq=φp ⋅φq(3)T m=114+5m2-114⋅3m.【详解】(1)易得φ1 =1,不超过9且与9互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则φ9 =6,不超过7且与7互素的正整数有1,2,3,4,5,6,则φ7 =6,不超过21且与21互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,则φ21=12,所以φ1 +φ9 =7,φ7 +φ21=18.(2)在不大于p k的正整数中,只有p的倍数不与p k互素,而p的倍数有p k-1个,因此φp k=p k-p k-1=p-1p k-1.由p,q是两个不同的素数,得φp =p-1,φq =q-1,在不超过pq-1的正整数中,p的倍数有q-1个,q的倍数有p-1个,于是φpq=pq-1-p-1-q-1=pq-p-q+1=p-1q-1,所以φpq=φp ⋅φq .(3)根据(2)得a m=5m-3×3m-1,所以T m=2×30+7×3+12×32+⋯+5m-3⋅3m-1,3T m=2×31+7×32+12×33+⋯+5m-3⋅3m,两式相减,得-2T m=2+5×3+5×32+⋯+5⋅3m-1-5m-3⋅3m,所以-2T m=151-3m-11-3-5m-3⋅3m+2,故T m=114+5m2-114⋅3m.10(2024·安徽合肥·三模)把满足任意x,y∈R总有f x+y+f x-y=2f x f y 的函数称为和弦型函数.(1)已知f x 为和弦型函数且f1 =54,求f0 ,f2 的值;(2)在(1)的条件下,定义数列:a n=2f n+1-f n n∈N+,求log2a13+log2a23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅log2a20243的值;(3)若g x 为和弦型函数且对任意非零实数t,总有g t >1.设有理数x1,x2满足x2 >x1 ,判断g x2与g x1的大小关系,并给出证明.【答案】(1)f0 =1;f2 =187(2)2047276(3)g x2>g x1,证明见解析【详解】(1)令x=1,y=0,则f1 +f1 =2f1 f0 ,可得f0 =1,令x=1,y=1,则f2 +f0 =2f1 f1 ,则f2 =187;(2)令x=n,y=1,n∈N+,则f n+1+f n-1=2f nf1 =52f n ,2f n+1-f n =22f n -f n-1,即a n=2a n-1,又a1=3,所以数列a n为以2为公比,3为首项的等比数列,即a n=3.2n-1,则log2a13+log2a23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅log2a20243=0+1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2023=0+2023×20242=2047276;(3)由题意得:函数f x 定义域为R,定义域关于原点对称,令x=0,y为任意实数,则f y +f-y=2f0 f y =2f y ,即f y =f-y,g x 是偶函数,x2 ,x1 为有理数,不妨设x1 =p1q1,x2 =p2q2,令N为x2,x1 ,分母的最小公倍数,且x1=aN,x2 =bN,a,b均为自然数,且a<b,设C n=gnN,g0 =1<g n-1N,则c0<c1,令x=nN,y=1N,则gn+1N+g n-1N>2g n N ,即C n+1+C n-1>2C n,C n+1>2C n-C n-1=C n+C n-C n-1>C n,故数列C n单调递增,则g x2>g x1,又g x 是偶函数,所以有g x2>g x1.【点睛】关键点点睛:根据递推关系的特点,灵活应用特殊值法求函数值及函数关系,最后一问需根据有理数的性质:令x1=aN,x2 =bN,将问题转化为判断C n=g nN的增减性.11(2024·黑龙江·三模)若函数y=f x 满足:对任意的实数s,t∈0,+∞,有f s+t>f s +f t 恒成立,则称函数y=f x 为“∑增函数”.(1)求证:函数y=cos x不是“∑增函数”;(2)若函数y=3x-1-x-a是“∑增函数”,求实数a的取值范围;(3)设g x =e x -ln x +1 -1,若曲线y =g x 在x =x 0处的切线方程为y =0,求x 0的值,并证明函数y =g x 是“∑增函数”.【答案】(1)证明见解析(2)a ≥13(3)x 0=0,证明见解析【详解】(1)取s =t =π3,则cos π3+π3 =-12,cos π3+cos π3=1,因为-12<1,故函数y =cos x 不是“∑增函数”.(2)因为函数y =3x -1-x -a 是“∑增函数”,故任意的s ,t ∈0,+∞ ,有3s +t -1-s +t -a >3s -1-s -a +3t -1-t -a 恒成立,即3s +t -1-3s -1-3t -1>-a 恒成立,所以133s -1 3t-1 >13-a 恒成立,又s ,t ∈0,+∞ ,故3s ,3t ∈1,+∞ ,则133s -1 3t -1 ∈0,+∞ ,则13-a ≤0,即a ≥13.(3)g x =e x -ln x +1 -1,g x =e x -1x +1,根据题意,得g x 0 =e x 0-1x 0+1=0,可得方程的一个解x 0=0,令μx =g x ,则μ x =e x +1(x +1)2>0,故g x 在0,+∞ 上是严格增函数,所以x 0=0是唯一解,又g 0 =0,此时在x 0,g x 0 处的切线方程即为y =0,故x 0=0;设w s =g s +t -g s -g t ,其中s >0,t >0,w s =g s +t -g s ,由y =g x 在0,+∞ 上是严格增函数以及s +t >s >0,得g s +t >g s ,即w s =g s +t -g s >0,所以w s =g s +t -g s -g t 在0,+∞ 上是严格增函数,因为s >0,则w s >w 0 =g t -g 0 -g t =0,故g s +t >g s +g t ,得证,所以函数y =g x 是“∑增函数”.【点睛】关键点点睛:本题时给出函数的新定义,由此去判断求解问题,解答本题的关键是要理解函数的新定义,明确其含义,依此取判断解决问题.12(2024·河北唐山·二模)数学归纳法是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立.证明分为下面两个步骤:1.证明当n =n 0(n 0∈N )时命题成立;2.假设n =k (k ∈N ,且k ≥n 0)时命题成立,推导出在n =k +1时命题也成立.用模取余运算:a mod b =c 表示“整数a 除以整数b ,所得余数为整数c ”.用带余除法可表示为:被除数=除数×商+余数,即a =b ×r +c ,整数r是商.如7=3×2+1,则7mod3=1;再如3=7×0+3,则3mod7=3.当a mod b=0时,则称b整除a.现从序号分别为a0,a1,a2,a3,⋯,a n的n+1个人中选出一名幸运者,为了增加趣味性,特制定一个遴选规则:大家按序号围成一个圆环,然后依次报数,每报到m(m≥2)时,此人退出圆环;直到最后剩1个人停止,此人即为幸运者,该幸运者的序号下标记为f n+1,m=0表示当只有1个人时幸运.如f1,m者就是a0;f6,2=0表示当有6个人而m=3时幸运 =4表示当有6个人而m=2时幸运者是a4;f6,3者是a0.(1)求10mod3;(2)当n≥1时,f n+1,m,求f5,3;当n≥m时,解释上述递推关系式的mod n+1=f n,m+m实际意义;(3)由(2)推测当2k≤n+1<2k+1(k∈N)时,f n+1,2的结果,并用数学归纳法证明.【答案】(1)10mod3=1(2)f5,3=3,答案见解析(3)f n+1,2,证明见解析mod2k=2n+1【详解】(1)因为10=3×3+1,所以10mod3=1.(2)因为f6,3<5,mod6=0,且f5,3=f5,3+3所以f5,3=3.+3=6,故f5,3当n≥m时,递推关系式的实际意义:当从n+1个人中选出一个幸运者时,幸运者的序号下标为f n+1,m,而从n个人中选出一个幸运者时,幸运者的序号下标为f n,m.如果把二者关联起来,后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的,当然还要重新排序,由于退出来的是a m-1,则原环的a m就成了新环的a0,也就是说原环的序号下标要比新环的大m,原环的a n就成了新环的a n-m.需要注意,新环序号a n-m后面一直到a n-1,如果下标加上m,就会超过n.如新环序号a n-m+1对应的是原环中的a0,⋯,新环序号a n-1对应的是原环中的a m-2.也就是说,得用新环的序号下标加上m再减去n+1,才能在原环中找到对应的序号,这就需要用模取余,即f n+1,mmod n+1.=f n,m+m(3)由题设可知f1,2=0,由(2)知:f2,2mod2=2mod2=0;=f1,2+2f3,2mod3=2mod3=2;=f2,2+2f4,2=f3,2mod4=4mod4=0;+2f5,2mod5=2mod4=2;=f4,2+2f6,2+2mod6=4mod6=4;=f5,2f7,2mod7=6mod7=6;=f6,2+2f8,2mod8=8mod8=0;=f7,2+2由此推测,当2k ≤n +1<2k +1(k ∈N )时,f n +1,2 =2n +1 mod2k .下面用数学归纳法证明:1.当n +1=1=20时,f 1,2 =0=21mod20 ,推测成立;2.假设当n +1=2k +t (k ∈N ,t ∈N ,且0≤t <2k )时推测成立,即f 2k +t ,2 =22k +t mod2k =2t .由(2)知f 2k +t +1,2 =f 2k +t ,2 +2 mod 2k +t +1 =2t +2 mod 2k +t +1 .(ⅰ)当0≤t <2k -1时,f 2k +t +1,2 =2t +2=22k +t +1 mod2k ;(ⅱ)当t =2k -1时,f 2k +t +1,2 =0,此时2k +t +1=2k +1,即f 2k +1,2 =22k +1mod2k +1 .故当n +1=2k +t +1时,推测成立.综上所述,当2k ≤n +1<2k +1(k ∈N )时,f n +1,2 =2n +1 mod2k .推测成立.13(2024·河北沧州·模拟预测)对于函数f x 和g x ,设α∈x ∣f x =0 ,β∈x ∣g x =0 ,若存在α,β使得α-β ≤1,则称f x 和g x 互为“零点相邻函数”.设f x =ln a +x a ∈R ,g x =x x +1 ,且f x 和g x 互为“零点相邻函数”.(1)求a 的取值范围;(2)令h x =g x -f x (g x 为g x 的导函数),分析h x 与g x 是否互为“零点相邻函数”;(3)若a =1,x >0,证明:f 1x-1g x<0.【答案】(1)0,3 (2)答案见解析(3)证明见解析【详解】(1)令f x =ln a +x =0,得x =1-a ,令g x =x x +1 =0,得x 1=-1,x 2=0,①1-a --1 ≤1,解得1≤a ≤3,②1-a -0 ≤1,解得0≤a ≤2,所以a 的取值范围为0,3 .(2)h x =2x +1-ln x +a (x >-a ),则h x =2-1x +a =2x +2a -1x +a,令h x =0,得x =12-a ,当-a <x <12-a 时,h x <0,h x 单调递减,当x >12-a 时,h x >0,h x 单调递增,所以h (x )min =h 12-a =2-2a -ln 12=2+ln2-2a ,又a ∈0,3 ,当a ∈0,1+ln22时,h (x )min >0,h x 无零点,所以h x 与g x 不互.为“零点相邻函数”;当a =1+ln22时,h (x )min =0,函数h x 的零点为x =12-a =-1+ln22∈-1,0 ,所以h x 与g x 互为“零点相邻函数”;当a ∈1+ln22,52时,h (x )min <0,又因为h 1 >0,所以此时在区间12-a ,1 ⊆-2,1 内存在零点,所以h x 与g x 互为“零点相邻函数”;当a ∈52,3时,h (x )min <0,又因为h -1 <0,h 1 >0,所以在区间-1,1 ⊆-2,1 内存在零点,所以h x 与g x 互为“零点相邻函数”.综上,当a ∈0,1+ln22时,h x 与g x 不互为“零点相邻函数”,当a ∈1+ln22,3时,h x 与g x 互为“零点相邻函数”.(3)当x >0,a =1时,f 1x-1g x<0⇔ln 1+1x -1x x +1<0,设t =1x ,则t >0,则ln 1+1x-1x x +1<0⇔ln 1+t -tt +1<0⇔1+t ln 1+t -t <0,设F t =1+t ln 1+t -t (t >0),则F t =ln 1+t +2-21+t21+t,令p t =ln 1+t +2-21+t ,t >0,则p t =11+t-11+t=1-1+t1+t <0,所以p t 在0,+∞ 上单调递减,又p 0 =0,所以p t <0,即F t <0,所以F t 在0,+∞ 上单调递减,又F 0 =0,所以F t <0,得证.③定义新运算一、解答题14(2024·湖北·一模)我们知道通过牛顿莱布尼兹公式,可以求曲线梯形(如图1所示阴影部分)的面积A =∫baf (x )d x ,f (x )>0 -∫b af (x )d x ,f (x )<0,其中baf (x )d x =F (b )-F (a ),F(x )=f (x ).如果平面图形由两条曲线围成(如图2所示阴影部分),曲线C 1可以表示为y =f 1x ,曲线C 2可以表示为y =f 2x ,那么阴影区域的面积A =∫baf 2x -f 1x d x ,其中∫baf 2(x )-f 1(x ) d x =∫baf 2(x )d x -∫baf 1(x )d x .(1)如图,连续函数y =f x 在区间-3,-2 与2,3 的图形分别为直径为1的上、下半圆周,在区间-2,0 与0,2 的图形分别为直径为2的下、上半圆周,设F x =∫xf (t )dt .求54F 2 -F 3 的值;(2)在曲线f x =x 2(x ≥0)上某一个点处作切线,便之与曲线和x 轴所围成的面积为112,求切线方程;(3)正项数列b n 是以公差为d (d 为常数,d >0)的等差数列,b 1=1,两条抛物线y =b n x 2+1b n,y =b n +1x 2+1b n +1n ∈N + 记它们交点的横坐标的绝对值为a n ,两条抛物线围成的封闭图形的面积为S n ,求证:S 1a 1+S 2a 2+⋯+S n a n <43.【答案】(1)π4(2)y =2x -1(3)证明见解析【详解】(1)由题意可知F 2 =2f t dt =π2,F 3 =3f t dt=π2-π8=38π,∴54F (2)-F (3)=54⋅π2-38π=π4.(2)设切点为 A x 0,x 20 ,C x 0,0 ,切线的斜率为y =2x 0,则切线方程为y -x 20=2x 0x -x 0 ,所以切线与轴的交点为B x 02,0,所以由题意可知围成的面积:S =x 0x 2d x-S △ABC =13x 30-12x 0⋅x 20=112⇒x 0=1,所以切点坐标为A 1,1 ,切线方程为y =2x -1.(3)联立y =b n x 2+1bny =b n +1x 2+1b n +1⇒a n =1b n b n +112,由对称性可知,两条抛物线围成的封闭图形的面积为S n =2a nb n x 2+1b n -b n +1x 2+1b n +1 d x=2-d x 2+d b n b n +1d x ,令f x =-d x 2+d b n b n +1,F x =f x ⇒F x =-d 3x 3+d xb n b n +1+C (C 为常数),∴a nf xd x =F a n -F 0 =-d 3a 3n +da n b n b n +1=2d 31b n b n +132,∴S n =4d 31b n b n +132,∴S n a n =4d 3⋅1b n b n +1=431b n -1b n +1,则S 1a 1+S 2a 2+⋯+S n a n =431b 1-1b 2+1b 2-1b 3+⋯+1b n -1b n +1 =431b 1-1b n +1<43.15(22-23高三下·上海闵行·阶段练习)设函数f x =x 2+ax +2a e x ,其中a 为常数.对于给定的一组有序实数(k ,m ),若对任意x 1、x 2∈R ,都有kx 1-f (x 1)+m ⋅kx 2-f (x 2)+m ≥0,则称(k ,m )为f (x )的“和谐数组”.(1)若a =0,判断数组(0,0)是否为f (x )的“和谐数组”,并说明理由;(2)若a =42,求函数f (x )的极值点;(3)证明:若(k ,m )为f (x )的“和谐数组”,则对任意x ∈R ,都有kx -f (x )+m ≤0.【答案】(1)是f (x )的“和谐数组”,理由见解析;(2)x =-2-22为函数f x 的一个极大值点,x =-22为f x 的一个极小值点.(3)见解析【详解】(1)是f (x )的“和谐数组”,理由如下:当a =0时,f x =x 2e x .根据幂函数、指数函数的性质,对任意x ∈R ,都有f x =x 2e x ≥0.对任意x 1、x 2∈R ,代入k =m =0,得:kx 1-f x 1 +m ⋅kx 2-f x 2 +m =f x 1 ⋅f x 2 ≥0. ∴0,0 是f x 的“和谐数组”.(2)当a =42,f x =x 2+42x +8 e x ,∴f x =x 2+2+42 x +8+42 e x =x +22 x +2+22 e x 于是可列表如下:x -∞,-2-22 -2-22-2-22,-22 -22-22,+∞f x +0-0+f x↗极大值↘极小值↗。
函数新定义问题
历年高考新定义函数问题一、 利用函数性质解决函数新定义问题1.(2012年高考(福建理))设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数,则下列结论错误的是( )A .()D x 的值域为{}0,1B .()D x 是偶函数C .()D x 不是周期函数D .()D x 不是单调函数1【答案】C【解析】A,B.D 均正确,C 错误.【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键.2.(2012年高考(福建理))对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.2【解析】由定义运算“*”可知2222112()0(21)(21)(1),21148()=11(1)(21)(1),211()024x x x x x x x f x x x x x x x x ⎧--≤⎪⎧-----≤-⎪⎪=⎨⎨------⎪⎩⎪--+⎪⎩,>>,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是).二、 利用数形结合解决函数新定义问题1.【2015高考天津,理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则b 的取值范围是( )(A )7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ (B )7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ (C )70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩, 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩, 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解,即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点,由图象可知724b <<.【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起,利用等价转换、数形结合思想等方法,体现数学思想与方法,考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.2.【2015高考四川,理15】已知函数x x f 2)(=,ax x x g +=2)((其中R a ∈).对于不相等的实数21,x x ,设2121)()(x x x f x f m --=,2121)()(x x x g x g n --=.现有如下命题:(1)对于任意不相等的实数21,x x ,都有0>m ;(2)对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ,都有0>n ; (3)对于任意的a ,存在不相等的实数21,x x ,使得n m =; (4)对于任意的a ,存在不相等的实数21,x x ,使得n m -=. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号). 【答案】①④ 【解析】设11221122(,()),(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x g x D x g x .对(1),从2x y =的图象可看出,0AB m k =>恒成立,故正确.对(2),直线CD 的斜率可为负,即0n <,故不正确.对(3),由m =n 得1212()()()()f x f x g x g x -=-,即1122()()()()f x g x f x g x -=-. 令2()()()2x h x f x g x x ax =-=--,则()2ln 22x h x x a '=--.由()0h x '=得:2ln 22x x a =+,作出2ln 2,2x y y x a ==+的图象知,方程2ln 22x x a =+不一定有解,所以()h x 不一定有极值点,即对于任意的a ,不一定存在不相等的实数21,x x ,使得12()()h x h x =,即不一定存在不相等的实数21,x x ,使得n m =.故不正确.对(4),由m =-n 得1221()()()()f x f x g x g x -=-,即1122()()()()f x g x f x g x +=+. 令2()()()2x h x f x g x x ax =+=++,则()2ln 22x h x x a '=++.由()0h x '=得:2ln 22x x a =--,作出2ln 2,2x y y x a ==--的图象知,方程2ln 22x x a =--必一定有解,所以()h x 一定有极值点,即对于任意的a ,一定存在不相等的实数21,x x ,使得12()()h x h x =,即一定存在不相等的实数21,x x ,使得m n =-.故正确. 所以(1)(4)【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题,个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想,通过转化使问题得以解决.3.(2013年高考湖北卷(文8))x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数()[]f x x x =-在R 上为( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .周期函数【答案】D【命题立意】本题考查函数的性质与判断。
4.与函数有关的新定义问题(6道)
与函数有关的新定义问题1.实数x 、y 若存在坐标(x ,y )同时满足一次函数y =px +q和反比例函数y =k x ,则二次函数y =px 2+qx -k 为一次函数和反比例函数的“共享”函数.(1)试判断(需要写出判断过程):一次函数y =-x +4和反比例函数y =3x 是否存在“共享”函数?若存在,写出它们的“共享”函数和实数对坐标;(2)已知整数m 、n 、t 满足条件:t <n <8m ,并且一次函数y =(1+n )x +2m +2与反比例函数y =2018x 存在“共享”函数y =(m +t )2+(10m -t )x -2018,求整数m 的值;(3)若同时存在两组实数对坐标(x 1,y 1)和(x 2,y 2)使一次函数y=ax +2b 和反比例函数y =-c x 存在“共享”函数,其中实数a >b >c ,a +b +c =0,令L =|1x 1-1x 2|,求L 的取值范围.解:(1)令-x +4=3x ,解得x =1或x =3,y =-x +4和y =3x 是“共享”函数,实数对坐,标为(1,3)和(3,1);(2)y =(1+n )x +2m +2与y =2018x 的“共享”函数是y =(1+n )x 2+(2m +2)x -2018,由题意得,y =(1+n )x +2m +2与y =2018x 的“共享”函数为y=(m +t )x 2+(10m -t )x -2018,∴⎩⎪⎨⎪⎧1+n =m +t 2m +2=10m -t ,即⎩⎪⎨⎪⎧n =9m -3t =8m -2, 又∵t <n <8m ,∴8m -2<9m -3<8m ,m 为整数,∴ m =2;(3)y =ax +2b 和y =-c x 存在“共享”函数为y =ax 2+2bx +c ,则a 、b 、c 满足,⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =04b 2-4ac ≥0a >b >c,即2()0a c ac a a c c ⎧+->⎨>-->⎩,∴-2<a c <-12.L 2=(1x 1-1x 2)2=(x 1+x 2)-4x 1x 2(x 1x 2)2=(2b a )2-4c a (c a )2=4b 2-4ac c 2=4(a +c )2-ac c 2=4(a 2c 2+a c +1)=4(12a c )2+3, ∵-2<a c <-12,∴3<L 2<12,∴3<L <2 3.2.对平面直角坐标系中的点P (x ,y ),定义d =|x |+|y |,我们称d 为P (x ,y )的幸福指数.对于函数图象上任意一点P (x ,y ),若它的幸福指数d ≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y =x 2+1就是一个幸福函数,理由如下:设P (x ,y )为y =x 2+1上任意一点,d =|x |+|y |=|x |+|x 2+1|, ∵x ≥0,|x 2+1|=x 2+1≥1, ∴d ≥1. ∴y =x 2+1是一个幸福函数.(1)若点P 在反比例函数y =1x 的图象上,且它的幸福指数d =2,请直接写出所有满足条件的P 点坐标;(2)一次函数y =-x +1是幸福函数吗?请判断并说明理由;(3)若二次函数y =x 2-(2m +1)x +m 2+m (m >0)是幸福函数,试求出m的取值范围.解:(1)设点P的坐标为(m,1m),∴d=|m|+|1m|=2,解得:m1=-1,m2=1,经检验,m1=-1,m2=1是原分式方程的解,∴满足条件的P点坐标为(-1,-1)或(1,1);(2)一次函数y=-x+1是幸福函数,理由如下:设P(x,y)为y=-x+1上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|-x+1|;x<0时,d=|x|+|-x+1|=-x-x+1=1-2x>1;当0≤x≤1时,d=|x|+|-x+1|=x-x+1=1;当x>1时,d=|x|+|-x+1|=x+x-1=2x-1>1.∴对于y=-x+1上任意一点P(x,y),它的幸福指数d≥1恒成立,∴一次函数y=-x+1是幸福函数;(3)设P(x,y)为y=x2-(2m+1)x+m2+m上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|,∵y=x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)(x-m-1),m>0,∴分x≤0、0<x<m、m≤x≤m+1、x>m+1考虑.①当x≤0时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=-x+x2-(2m +1)x+m2+m=(x-m-1)2-m-1,当x=0时,d取最小值,最小值为m2+m,∴m2+m≥1,解得:m≥5-1 2;②0<x<m时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m +1)x+m2+m=(x-m)2+m-1≥1,∵(x-m)2≥0,∴m-1≥1,解得:m≥2;③当m≤x≤m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x-x2+(2m+1)x-m2-m=-(x-m-1)2+m+1,当x=m时,d取最小值,最小值为m,∴m ≥1;④当x >m +1时,d =|x |+|x 2-(2m +1)x +m 2+m |=x +x 2-(2m +1)x +m 2+m =(x -m )2+m -1>m ≥1,∴m ≥1.解得:若二次函数y =x 2-(2m +1)x +m 2+m (m >0)是幸福函数,m 的取值范围为m ≥2.3.在平面直角坐标系中,设直线l 的解析式为:y =kx +b (k ≠0),当直线与一条曲线有且只有一个公共点时,我们称直线l 与这条曲线“相切”,这个公共点叫做“切点”.(1)求直线l :y =-x +2与双曲线y =1x 的切点坐标;(2)已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过两点(-1,0)和(3,0),若直线l :y =x +2与抛物线相切,试求实数a 的值;(3)已知直线l :y 1=kx +m 与抛物线y 2=2x 2+14相切于点(12,34),设二次函数M :y 3=ax 2+bx +c (a 、b 、c 为整数且a ≠0),对于一切实数x 恒有y 1≤y 3≤y 2.求二次数M 的解析式.解:(1)联立⎩⎨⎧y =-x +2y =1x,得x 2-2x +1=0,∴x =1,∴切点坐标为(1,1) (2)由题可知,抛物线解析式可表示为:y =a (x +1)(x -3)=ax 2-2ax -3a ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x +2y =ax 2-2ax -3a ,得:ax 2-(2a +1)x -3a -2=0 由抛物线和直线相切易知:a ≠0且Δ=0,∴Δ=(2a +1)2-4a ×(-3a -2)=16a 2+12a +1=0,解得:a 1=-3+58,a 2=-3-58, (3)由题可知:直线y 1=kx +m 和抛物线M 都经过(12,34),∴34=k 2+m ,34=a 4+b 2+c ①,∴m =34-k 2,联立⎩⎪⎨⎪⎧y 1=kx +34-k 2,y 2=2x 2+14得2x 2-kx -12+k 2=0, ∴Δ=k 2-4×2×(12-k 2)=0. 解得:k =2,∴m =-14,∴直线l 1的解析式:y 1=2x -14,∵对于一切实数x 恒有y 1≤y 3≤y 2,对于一切实数x 恒有:2x -14≤ax 2+bx +c ≤2x 2+14.当x =0时,有-14<c <14,而c 为整数,∴c =0②.联立⎩⎨⎧y 1=2x -14y 3=ax 2+bx +c,得ax 2+(b -2)x +c +14=0.∴Δ=(b -2)2-4a ×(c +14)=0,∴b 2-4b +4-4ac -a =0 ③,联立①②③式得:a =b =1,c =0.故二次函数M 的解析式为:y 3=x 2+x .4.已知y 是关于x 的函数,若其图象经过点P (t ,t ),则称点P 为函数图象上的“bingo 点”,例如:y =2x -1上存在“bingo 点”P (1,1).(1)直线________(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo点”;双曲线y =1x 上的“bingo 点”是________;(2)若抛物线y =12x 2+(13a +1)x -19a 2-a +2上有“bingo 点”,且“bingo 点”A 、B (点A 和点B 可以重合)的坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),求x 21+x 22的最小值;(3)若函数y =14x 2+(n -k +1)x +m +k -1的图象上存在唯一的一个“bingo 点”,且当-2≤n ≤1时,m 的最小值为k ,求k 的值.解:(1)y =x ;(1,1)和(-1,-1);(2)设二次函数y =12x 2+(13a +1)x -19a 2-a +2的“bingo 点”为(x ,x ),∴x =12x 2+(13a +1)x -19a 2-a +2,∴12x 2+13ax -19a 2-a +2=0,∴x 1+x 2=-23a ,x 1·x 2=-29a 2-2a +4,∴x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-23a )2-2×(-29a 2-2a +4)=89(a +94)2-252,又∵“bingo 点”A 、B (点A 和点B 可以重合),∴Δ≥0,即(13a )2-4·12·(-19a 2-a +2)≥0, ∴a ≤-3-21或a ≥-3+21,当a =-3+21时,x 21+x 22取最小值,∴(x 21+x 22)min =203-4321;(3)∵y =14x 2+(n -k +1)x +m +k -1只有一个“bingo 点”,∴y=14x 2+(n -k +1)x +m +k -1与y =x 只有一个交点,则14x 2+(n -k )x +m +k -1=0有两个相同根,∴Δ=b 2-4ac =(n -k )2-(m +k -1)=0,可得m =(n -k )2-k +1,当k <-2时,n =-2,m 取最小值,即(-2-k )2-k +1=k ,则无解;当-2≤k <1时,n =k ,m 取最小值,即-k +1=k ,则k =12;当k ≥1时,n =1,m 取最小值,即(1-k )2-k +1=k ,则k 2-4k +2=0;∴k 1=2-2(不合题意,舍去),k 2=2+2,综上所述,k 值为12或2+ 2.5.已知y 是关于x 的函数,若其图象经过点P (t ,2t ),则称点P 为函数图象上的“偏离点”.例如:直线y =x -3上存在“偏离点”P (-3,-6).(1)在双曲线y =1x 上是否存在“偏离点”?若存在,请求出“偏离点”的坐标;若不存在,请说明理由;(2)若抛物线y =-12x 2+(23a +2)x -29a 2-a +1上有“偏离点”,且“偏离点”为A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2),求w =x 21+x 22-ka 3的最小值(用含k 的式子表示);(3)若函数y =14x 2+(m -t +2)x +n +t -2的图象上存在唯一的一个“偏离点”,且当-2≤m ≤3时,n 的最小值为t ,求t 的值.解:(1)存在.假设存在“偏离点”,根据题意得2x =1x ,解得x 1=22,x 2=-22,当x =22时,y =2;当x =-22时,y =-2,∴“偏离点”坐标为(22,2)或(-22,-2);(2)设抛物线上的“偏离点”坐标为(x ,2x ),代入抛物线得-12x2+(23a +2)x -29a 2-a +1=2x 得-12x 2+23ax -29a 2-a +1=0,∵Δ=4a 29+2(-29a 2-a +1)≥0,∴a ≤1,又∵x 1+x 2=43a ,x 1·x 2=49a 2+2a -2,∴x 21+x 22-ka 3=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2-ka 3=89a 2-(4+k 3)a +4,又∵抛物线开口向上,且对称轴为a =36+3k 16,∴若36+3k ≥16,即k ≥-203,则当a =1时,w =x 21+x 22-ka 3最小值为89-k 3,若36+3k <16,即k <-203,则当a =36+3k 16时,x 21+x 22-ka 3最小值为-k 2+24k +1632, 综上所述,w 的最小值为⎩⎨⎧89-k 3 (k ≥-203)-k 2+24k +1632 (k <-203); (3)将“偏离点”(x ,2x )代入14x 2+(m -t +2)x +n +t -2=2x 得:14x 2+(m -t )x +n +t -2=0,∵该函数图象上存在唯一一个“偏离点”,∴Δ=(m -t )2-4×14(n +t -2)=0, 即n =m 2-2mt +t 2-t +2=(m -t )2-t +2,又∵对称轴为m =t ,∴①若t ≤-2,取m =-2时,有n min =4+4t +t 2-t +2=t ,即t 2+2t +6=0,∵Δ=4-4×1×6<0,方程无解;②若-2<t <3,取m =t 时,有n min =t 2-2t 2+t 2-t +2=t ,解得:t =1,成立;③若t ≥3,取m =3时,有n min =32-6t +t 2-t +2=t , 即:t 2-8t +11=0,解得t 1=4+5,t 2=4-5(舍), 综上所述,t =4+5或t =1.6.若y 是关于x 的函数,H 是常数(H >0),若对于此函数图象上的任意两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),都有|y 1-y 2|≤H ,则称该函数为有界函数,其中满足条件的所有常数H 的最小值,称第6题图为该函数的界高.如图所表示的函数的界高为4.(1)若函数y =k x (k >0)(-2≤x ≤-1)的界高为6,则k =________;(2)若函数y =kx +1(-2≤x ≤1)的界高为4,求k 的值;(3)已知函数y =x 2-2ax +3a (-2≤x ≤1)的界高为254,求a 的值.解:(1)12;【解法提示】当-2≤x ≤-1时,函数y =k x (k >0)中y 随x 的增大而减小,∴y 1>y 2,将x 1=-2代入得y 1=k -2=-k 2,将x 2=-1代入得y 2=k -1=-k ,∵|y 1-y 2|=6,∴-k 2-(-k )=6,解得k =12;(2)将x 1=-2代入得y 1=-2k +1; 将x 2=1代入得y 2=k +1, ∵|y 1-y 2|=4,∴|-3k |=4,解得k =±43;(3)①当a ≥1时,将x 1=-2,x 2=1代入函数解析式得, y 1=4+7a ,y 2=1+a ,∵|y 1-y 2|=254,函数对称轴为x =a ,在对称轴左侧,y 随x的增大而减小,∴3+6a =254,解得a =1324,又∵a ≥1,故此种情况不成立;②当-12≤a <1时,将x 1=-2,x 2=a 代入函数解析式得, y 1=4+7a ,y 2=3a -a 2,∵|y 1-y 2|=254,∴a 2+4a -94=0, 解得a 1=12,a 2=-92(舍去),∴a =12;③当-2≤a <-12时,同理有x 1=1时y 值最大,x 2=a 时y 值最小,将x 1=1,x 2=a 代入函数解析式得, y 1=1+a ,y 2=3a -a 2,∵|y 1-y 2|=254,∴a 2-2a -214=0, 解得a 1=-32,a 2=72(舍去),∴a =-32;④当a <-2时, 将x 1=-2,x 2=1代入函数解析式得, y 1=4+7a ,y 2=1+a ,∵|y 1-y 2|=254,在对称轴右侧,y 随x 的增大而增大,∴-(3+6a )=254,解得a =-3724,又∵a ≤-2,故此种情况不成立, 综上所述,a =12或a =-32.。
《二次函数专题提优》 :新定义问题
《二次函数专题提优》 :新定义问题1、定义{a ,b ,c }为函数y =ax 2+bx +c 的“特征数”.如:函数y =x 2-2x +3的“特征数”是{1,-2,3},函数y =2x +3的“特征数”是{0,2,3},函数y =-x 的“特征数”是{0,-1,0}(1)、将“特征数”是{0,√33,1}的函数图象向下平移2个单位,得到一个新函数,这个新函数的解析式是y =√33x −1; (2)、在(1)中,平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点,与直线x =√3分别交于D 、C 两点,判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状,请说明理由并计算其周长;(3)、若(2)中的四边形与“特征数”是{1,−2b ,b 2+12}的函数图象的有交点,求满足条件的实数b 的取值范围.2、定义:对于给定的两个函数,任取自变量x 的一个值,当x <0时,它们对应的函数值互为相反数;当x ≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y=x ﹣1,它的相关函数为y=. (1)、已知点A (﹣5,8)在一次函数y=ax ﹣3的相关函数的图象上,求a 的值;(2)、已知二次函数y=﹣x 2+4x ﹣.①、当点B (m ,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m 的值;②、当﹣3≤x ≤3时,求函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值和最小值;(3)、在平面直角坐标系中,点M ,N 的坐标分别为(﹣,1),(,1),连结MN .直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x 2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围.3、定义:对于抛物线2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数,0a ≠),若2b ac =,则称该抛物线为黄金抛物线.例如:2222y x x =-+是黄金抛物线.(1)、请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式;(2)、若抛物线2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数,0a ≠)是黄金抛物线,请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况(说明理由);(3)、将黄金抛物线2222y x x =-+沿对称轴向下平移3个单位.①、直接写出平移后的新抛物线的解析式;②、设①中的新抛物线与y 轴交于点A ,对称轴与x 轴交于点B ,动点Q 在对称轴上,问新抛物线上是否存在点P ,使以点P 、Q 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等?若存在,直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.4、定义:如图①,抛物线y =ax ²+bx +c(a ≠0)与x 轴交于A ,B 两点,点P 在该抛物线上(P 点与A 、B 两点不重5、在平面直角坐标系中,我们把直线y=ax+c 称为抛物线y=ax ²+bx+c 的生成线,抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点,例如:抛物线y=x ²-2的生成线是直线y=x-2,生成点是:(0,-2)和(1,-1).(1)、若抛物线y=mx ²-5x-2的生成线是直线y=-3x-n ,求m 与n 的值.(直接写出答案即可)(2)、已知:抛物线y=x2-3x+3的图象如图所示,若它的一个生成点是(m ,m+3).①、求m 的值;②、若抛物线y=x ²+px+q 的图象是由抛物线y=x ²-3x+3的图象平移所得(不重合),且同时满足以下两个条件: 一是这两个抛物线具有相同的生成线;二是若抛物线y=x2-3x+3的生成点为点A ,点B ,y=x2+px+q 的生成点为点C ,点D ,则AB=CD .求p 与q 的值.6、在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax -a 为抛物线y=ax2+bx+c(a 、b 、c 为常数,a ≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线32x 334x 332y 2+=--与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与x 轴负半轴交于点C .(1)、填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ,点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ;(2)、如图,点M 为线段CB 上一动点,将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折,点C 的对称点为N ,若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”,求点N 的坐标;(3)、当点E 在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F ,使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由.6、设a 、b 是任意两个实数,用max{a ,b}表示a 、b 两数中较大者,例如:max{-1,-1}=-1,max{1,2}=2,max{4,3}=4,参照上面的材料,解答下列问题:(1)、max{5,2}=5,max{0,3}=3;(2)、若max{3x+1,-x+1}=-x+1,求x的取值范围;(3)、求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标,函数y=x2-2x-4的图象如图所示,请你在图中作出函数y=-x+2的图象,并根据图象直接写出max{-x+2,x²-2x-4}的最小值.7、如果两个二次函数的图象关于y轴对称,我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”,如图所示二次函数y1=x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.(1)、直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的共同特点.(2)、二次函数y=2(x+2)2+1的“关于y轴对称二次函数”解析式为;二次函数y=a(x-h)2+k的“关于y轴对称二次函数”解析式为;(3)、平面直角坐标系中,记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A,它们的两个顶点分别为B,C,且BC=6,顺次连接点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式.8、在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:如果y′=,那么称点Q为点P的“关联点”.8、定义:我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹(满足条件的所有点所组成的图形)叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.(1)、已知抛物线的焦点F(0,14a14a),准线l:y=−14ay=−14a,求抛物线的解析式;(2)、已知抛物线的解析式为:y=x2-n2,点A(0,14−n214−n2)(n≠0),B(1,2-n2),P为抛物线上一点,求:PA+PB的最小值及此时P点坐标;(3)、若(2)中抛物线的顶点为C,抛物线与x轴的两个交点分别是D、E,过C、D、E三点作⊙M,⊙M上是否存在定点N?若存在,求出N点坐标并指出这样的定点N有几个;若不存在,请说明理由.9、在平面直角坐标系xOy 中,对于任意三点A ,B ,C ,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的外延矩形.点A ,B ,C 的所有外延矩形中,面积最小的矩形称为点A ,B ,C 的最佳外延矩形.例如,图1中的矩形1111D C B A ,2222D C B A ,3333D C B A 都是点A ,B ,C 的外延矩形,矩形3333D C B A 是点A ,B ,C 的最佳外延矩形.(1)、如图1,已知A (-2,0),B (4,3),C (0,t ).①、若t=2,则点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为___;②、若点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为24,则t 的值为___;(2)、如图2,已知点M (6,0),N (0,8).P (x ,y )是抛物线y=-x2+4x+5上一点,求点M ,N ,P 的最佳外延矩形面积的最小值,以及此时点P 的横坐标x 的取值范围;x的一个面积最小的最佳外延矩形, H 是矩形OFEG 的外接圆,请直接写出 H 的半径r 的取值范围.。
魅力无限的函数新定义问题
ʏ张 静函数的新定义问题是近几年高考命题的一个热点,常见的命题形式有新概念㊁新性质等㊂下面举例分析,供大家学习与提高㊂一㊁新定义的概念问题准确理解新定义的概念,将所给新定义与所学知识结合起来,从而达到解决问题的目的㊂例1 如果函数y =f (x )在其定义域内存在实数x 0,使得f (k x 0)=f (k )f (x 0)(k 为常数)成立,则称函数y =f (x )为 对k 的可拆分函数㊂(1)判断f (x )=12x +1是否为对2的可拆分函数㊂(2)若f (x )=a2x +1(a ʂ0)是 对2的可拆分函数 ,求实数a 的取值范围㊂解:(1)由f (x )=12x +1,可得f (2)=2㊂由f (2x )=12ˑ2x +1=x +1,f (2)f (x )=12x +1()ˑ2=x +2,可知x +1ʂx +2,故函数y =f (x )在其定义域内不存在实数x 0,使得f (k x 0)=f (k )f (x 0)成立,即f (x )=12x +1不是对2的可拆分函数 ㊂(2)由f (x )=a2x+1(a ʂ0),可得f (2)=a 5,f (2x )=a4x +1㊂由y =f (x )是 对2的可拆分函数 知f (2x )=f (2)f (x )有解,即a 4x +1=a 5㊃a2x +1有解㊂因为a ʂ0,所以a =5(2x+1)4x+1有解㊂设2x+1=t >1,则4x +1=(t -1)2+1=t 2+2-2t ,所以a =5t t 2+2-2t=5t +2t-2(t >1)有解㊂因为对钩函数y =t +2t-2在(1,2]上单调递减,在[2,+ɕ)上单调递增,所以当t =2时,y mi n =22-2,则5t +2t -2取得的最大值为522-2=5(2+1)2㊂故实数a ɤ5(2+1)2,即实数a 的取值范围是-ɕ,5(2+1)2æèçùûúú㊂二㊁新定义的性质问题深刻理解新定义的性质,挖掘该性质与所学知识的联系,从而达到解决问题的目的㊂例2 (多选题)具有性质f1x ()=-f (x )的函数,称为满足 倒负 变换的函数㊂现给出下列四个函数:①y =l n1-x1+x ,②y =1-x 21+x 2,③y =x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1,ìîíïïïï④y =x 2㊂其中满足 倒负 变换的函数是( )㊂A.① B .③C .②D .④解:对于①,由y =l n1-x1+x,可得f1x()=l n 1-1x 1+1x=l n x -1x +1ʂ-f (x ),不符合 倒负 变换的函数㊂同理,验证知②③符合 倒负 变换的函数,④不符合 倒负 变换的函数㊂应选B ,C ㊂作者单位:重庆市开州区实验中学(责任编辑 郭正华)92数学部分㊃创新题追根溯源高一使用 2022年1月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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新定义、新概念创新函数问题解析信息迁移题是近几年高考中函数题的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时,要准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。
1. 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=-x 2, 值域为{-1,-9}的“同族函数”共有( )A.9个 B 。
8个 C 。
5个 D 。
4个解析:函数y=-x 2, 值域为{-1,-9},可知自变量x 从1,-1,±1中任取一个,和从3,-3,±3中任取一个构成函数,故满足条件的“同族函数”有3×3=9个。
2.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件:①P 、Q 都在函数f(x)的图象上;②P 、Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”)。
已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<++0,0,14222x x x x xe 则f(x)的“友好点对”有_______个。
解析:本题若直接求解显然不行,不妨作出函数f(x)=2x 2+4x+1,(x<0) 图象关于原点对称的函数记为g(x)=-f(-x)=-2x 2+4x-1=-2(x-1)2+1,g(1)=1, 而f(1)=e2<1, 作出g(x)与f(x)(x ≥0)的图象,数性结合可知,g(x)与f(x)(x ≥0)有两个交点,故f(x)的“友好点对”有两个。
3,(2010湖南卷)用min{a,b}表示a,b 俩数中的最小值,若函数f(x)= min{|x|,|x+t|}的图象 关于直线x=-21对称,则t=_________________解析:在同一坐标系中,分别作出函数xy =与tx y +=的图像,由图像知f(x)的图像为图中的实线部分(A-B-C-O-E)。
由于f(x) 的图象 关于直线x=-21对称,于是1,2120=∴-=+-t t 。
评注:本题主要考查绝对值函数的图像的做法以及函数图像的对称问题。
求解本题应首先作出f(x)的图像(两函数图像中较低的部分),再利用对称性,由中点坐标公式求出t 值。
4. 已知函数f(x)是[a,b]上的连续函数,定义:g 1(x)=min{f(t)|a ≤t ≤x}(x ∈[a,b]),g 2(x)=max{f(t)|a a ≤t ≤x}( x ∈[a,b]).其中,min{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最小值,man{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最大值。
若存在最小正整数k,使得g 2(x)—g 1(x) ≤k(x-a)对任意的x ∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k 阶回归函数”。
(Ⅰ)若f(x)=cosx, x ∈[0, π],试写出g 1(x),g 2(x)的表达式;(Ⅱ)已知函数f(x)=x 2,,x ∈[-1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k 阶回归函数”。
如果是,求出对应的k; 如果不是,请说明理由; 解析: (Ⅰ)由题意可知g 1(x)=cosx,[],,0π∈x g 2(x)=1,[]π,0∈x . (Ⅱ)g 1(x)=[)[]⎩⎨⎧∈-∈4,0,00,1,2x x xg 2(x)=[][]⎩⎨⎧∈-∈4,1,1,1,1,2x x x g 2(x)—g 1(x)=[)[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-∈-4,1,1,0,10,1,122x x x x x 当[)0,1-∈x 时,()112+≤-x k x,所以2,1≥-≥k x k;当[)1,0∈x 时,()11+≤x k ,所以11+≥x k 所以1≥k;当[]4,1∈x 时,()12+≤x k x 所以5161,2≥∴≥+k k x x 综上所述516≥k即存在4=k ,使得f(x)是[-1,4]上的“4阶回归函数”。
评注:本题主要考查新定义函数题问题以及分类讨论思想。
5.符号[x]表示不超过x 的最大整数,如[2.3]=2,[-1.3]=-2,定义函数{x}=x+[x],那么下列命题中所有正确命题的序号为________。
①函数{x}的定义域是R ;②函数{x}的值域是R ; ③方程{x}=23有唯一解;④函数{x}是周期函数;⑤函数{x}是增函数。
解析:显然①是成立的;对于②,当[)1,0∈x 时,[x]=0,{x}=[)1,0∈x ,当[)2,1∈x 时,[x]=1,{x}=x+[x][)3,2∈,于是函数为增函数可见并不存在x 使得{x}[)2,1∈,因此函数{x}的值域不为R ,②不正确;对于③,由②的判定过程可知方程{x}=23无解,③不正确;对于④,由于{x}为增函数,因此不可能为周期函数,④不正确;对于⑤,易知x 和[x]均为关于x 的增函数,因此{x}= x+[x] 为增函数,⑤正确。
故答案填上①⑤。
评注:一般地,对于含[x]的函数常把定义域分解为[)[)[) 2,11,00,1-⋃分段讨论求解。
又如函数f(x)= x-[x]性质的判定,只须分段讨论画图即可。
6.给出定义:若m-21<x ≤m+21(其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{x}=m ,在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x-{x}|四个命题: ①函数y=f(x)的定义域为R ,值域,为[0,21];②函数y=f(x)的图象关于直线()Z k xk∈=2对称;③函数y=f(x)是周期函数,最小正周期为1;④函数y=f(x)在[-21,21]上是增函数。
其中正确的命题的序号是______。
解析: 对于①,f(x)=|x-{x}|=|x-m|由m-21<x ≤m+21⇒-21<x-m<21,所以0≤|x-m|≤21,正确;对于②,f(x-k)=|x-k-({x}-k)|=|x-{x}|= f(x)所以f(x)的对称轴是()Z k x k∈=2,正确;对于③,f(x+1)=|(x+1)-{x+1}|=|(x+1)-({x}+1)|= |x-{x}|=f(x)正确;对于④,因为f(0)=0,f(21)=21,f(-21)=21,所以函数y=f(x)在[-21,21]上不是单调函数,错误。
所以是正确的命题的序号①②③。
7 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程: 区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点M ,如图1;将线段AB 围成一个圆,使两端点A 、B 恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y 轴上,设A 的坐标为(0,1),图3中直线AM 与x 轴交于点N (n,0),则m 的象就是n ,记作f(m)=n.图3图2图1A(B)1m0B M A(1) 方程f(x)=0的解是x=__;(2)下列说法中正确命题的序号是__。
①f(41)=1; ②f(x)是奇函数;③f(x)在定义域上单调递增;④f(x)的图象关于点(21,0)对称。
解析:(1)显然当点M 为AB 中点时,f(x)=0,此时x=21.(2)当m=41时,对应的圆上的点M 位于四分之一圆周上,此时点N 在x 轴的负半轴,即得f(41)=-1,即①不正确,显然该函数的定义域不关于原点对称,即该函数既不是奇函数也不是偶函数,即②也不正确;由图象作图即可知,该函数在定义域上单调递增,即③正确;由图象作图即可知函数f(x)的图象关于点(21,0)对称。
综上可得正确的命题的序号是③④。
评注:本题主要考查新定义型映射下函数的建模问题,将线段、圆、解析几何中的坐标系、函数建立此类映射关系是此题命题的一大创新。
8.设函数f(x)的定义域为D ,若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M(M D ⊆),有x+l ∈D,且f(x+l )≥f(x),则称f(x)为M 上的l 高调函数。
如果定义域为[-1,+)∞的函数f(x)=x 2为[-1,+)∞上的m 高调函数。
那么实数m 的取值范围是________.如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数,当x ≥0时,f(x)=|x-a 2|-a 2,且f(x)为R 上的4高调函数,那么实数a 的取值范围是________.解析: 定义域为[-1,+)∞的函数f(x)=x 2为[-1,+)∞上的m 高调函数,则f(x+m)=(x+m)2≥x 2在[-1,+)∞上恒成立,即m 2+2mx ≥0在[-1,+)∞上恒成立,所以2m ≥0且2m ×(-1)+m 2≥0,解之得m ≥2.由定义域为R 的函数f(x)是奇函数,当x ≥0时,f(x)=|x-a 2|-a 2可得,当x<0时,f(x)= a 2-|x-a 2|,画出函数f(x)的图象,如图所示,当2 a 2-(-2 a 2)≤4时,才能使得对任意x ∈R ,f(x+4)≥f(x)恒成立,由2 a 2-(-2 a 2)≤4可得-1≤a ≤1.9,对于函数y=f(x)( x ∈D,D 为函数定义域)若同时满足下列条件:①f(x)在定义域内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]D ⊆,使f(x)在[a,b]上的值域是[a,b]。
那么把y=f(x)( x ∈D)称为闭函数。
(1)求闭函数y=-x 3符合条件②的区间[a,b];(2)判定函数f(x)=43x+x1,()+∞∈,0x 是否为闭函数?设明理由;(3)若f(x)=k+2+x 是闭函数,求实数k 的取值范围.分析;根据闭函数定义,建立关于a,b 的方程组,再解方程组可求得区间[a,b];举例判定(2),对于(3)要使方程组有解,消元后分离参数,将k 的取值范围转化为函数图象交点问题。
解析:(1)由y=-x 3在[a,b]上为减函数,得⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=b a b a a b 33,可得a=-1,b=1.所以所求区间为[-1,1].(2)取x 1=1,x 2=10可得f(x)不是减函数;取x 1=101,x 2=1001可得f(x)不是增函数,所以f(x)不是闭函数。
(3)设函数符合条件②的区间为[a,b],则⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22k k b a k a 。
故a,b 是方程x=k+2+x 的两个实根,即k=x-2+x 令t=2+x (t ≥0), k=t 2-2-t=(t-21)2-49(t ≥0),即y=k 与y=(t-21)2-49(t≥0)由两个交点,作出图象可知-49<k ≤-2.故实数k 的取值范围是(-49,-2].点评:(1)是验证。
(2)是探究,否定一个命题只需直接构造反例。
(3)的求解充分体现等价转化的数学思想,数性结合思想,提升了问题的综合性。
对于求参数值的问题,一般利用方程思想求解;对于求参数取值范围问题,一般利用函数思想或不等式思想求解。