关于卷积码编码结果的位数

关于卷积码编码结果的位数

一、问题描述

卷积码的编码是我们经常遇到的，在讲解卷积码的输出时，我们都是如下所示的这个典型的(2,1,3)卷积码为例的，其中1111g =，2101g =。

在这个例子的条件下，我们总是可以迅速地求得正确的编码结果，无论使用离散卷积，还是多项式，还是生成矩阵。但是，实际中可不都是这样的，生成多项式可能出现左侧或者右侧为零的情况，比如1100g =，2001g =之类的，这样就出现了离散卷积或者多项式相乘后位数不正常的情况，使得输出结果存在前后补零的问题。另外，输入也不见得都是10111u =这样的，也可能出现1011100u =，此时结果又会出现位数上的疑问。

下面就从根源开始，详细说说这个位数的问题。

二、生成多项式含零

考虑生成多项式含零的问题，就用最极端的例子，1100g =，2001g =，前者是右侧含零，后者是左侧含零。为了更有针对性，暂不考虑输入两侧含零的情况，假设输入10111u =。

1、完整输出的位数

首先我们需要对正常完整输出的位数有个理解，在输入为5位，1g 长度为3的情况下，上支路输出位数应该是7位，具体计算是5+3-1。实际上，对于输入n 位，1g 长度为m 的情况，上支路输出位数应该是n +m -1位，其中m -1是寄存器的个数。也即输入为n 位时，输出完n 位之后寄存器中还存在输入的数据，只有当寄存器的内容跟输入都无关了，才算输出结束，所以输出除了输入的n 位，还会输出跟寄存器数量相等的m -1位。当然，这里只讨论了一个支路，总的输出位数应该是n +m -1乘以输出路数。

所以，抛开输入是否为零，生成多项式是否为零的因素不看，正常的完整的输出就应该是n +m -1位，这是后续分析的基础。

2、离散卷积法

对于一个一般的111g =，进行离散卷积显然如下图(a )所示，离散卷积的结果长度为7。但是对于1100g =和

2001g =，很多同学就觉得困惑了，因为结果长度不够，不知道该如何合并。实际上，这个并不难，只要不偷懒，把

计算过程写完整，完全没有问题，如下图(b )(c )所以。至于什么前面补零还是后面补零的问题，根本就不是问题，我们就按照正常的方法去计算，算出来是多少就多少。

输出

1

g 2

1

c

最后得到11011100c =，20010111c =，两路输出交错合并，得到10001110110101c =。 3、多项式法

输入10111u =对应多项式234()1u x x x x =+++。如果2()1g x x x =++，多项式相乘的结果是46()1c x x x x =+++，再写成二进制就是1100101c =，这没什么问题。但是如果考虑1100g =和2001g =，有同学就感到困惑了。其实也没什么，这里()g x 的理论最高次方是2次方，()u x 的理论最高次方是4次方，所以相乘之后的完整多项式理论最高次方应该是6次方。注意，这里说的是“理论最高次方”，因为不是所有的多项式都会取到这个最高，如果右边有零，这里

的“理论最高次方”次方就取不到。1()1g x =，22()g x x =，跟()u x 相乘得到2341()1c x x x x =+++，24562()c x x x x x =+++。

根据“理论最高次方”为6的结论，我们把这两个多项式写成完整形式，即0次方都6次方都补齐，没有的用0代替，就什么问题都没有了。

2341()1000c x x x x =++++++，24562()000c x x x x x =++++++

我们再把这两个完整多项式写成码字，就得到了卷积结果，11011100c =，20010111c =。两路输出交错合并，得到10001110110101c =。

当然，在熟练之后，不应该在多项式中写上这些0，否则会看上去很奇怪，这只是我们为了解决这个问题而详细列出的，实际做题的时候脑子里面有这个概念就可以了。

4、生成矩阵法

其实生成矩阵法是最不容易错的，因为矩阵的每一位都有严格卡位，不可能多出或者少了哪一位，从而就不存在补零的问题了。考虑1100g =和2001g =，10111u =，对应的计算式如下：

1000011000011011110001110110101100001

100001100001c uG ⎛⎫

⎪

⎪==⨯= ⎪

⎪

⎝

⎭ 注意，卷积码计算时生成矩阵的行数是不固定的，要跟输入位数一致。因为卡位严格，所以生成矩阵算出来的结果无懈可击，如果遇到不确定的情况，用生成矩阵来计算或者验证其实也是不错的主意。

三、输入序列含零

现在考虑输入1011100u =的情形，为了更有针对性，假设1111g =，2101g =，这样我们就能把精力集中到输入上。首先根据前面的分析，这里输入是7位，生成多项式序列1g 是3位，所以完整的输出长度应该是7+3-1=9位。有

10111

111

1011110111101111100101

()

a 10111

001

1011100000000000010111

()

b 10111

100

101111011100

()

c 0000000000

了这个预期再进行计算，就不容易出错了。

前面三种方法已经讲清楚，下面就以多项式计算法为例来算一下。输入为7位，理论最高次方是6次方，1()g x 的理论最高次方是2次方，所以相乘后的理论最高次方应该是8次方。234()1u x x x x =+++，21()1g x x x =++，

22()1g x x =+，所以461()1c x x x x =+++，3562()1c x x x x =+++。根据理论最高次方为8，将多项式补齐如下：

461()100000c x x x x =++++++++，3562()100000c x x x x =++++++++

我们再把这两个完整多项式写成码字，就得到了卷积结果，1110010100c =，2100101100c =。两路输出交错合并，得到111000011001110000c =。

再讲问题复杂化一点，假设1100g =，2001g =，我我们照样可以轻松求出编码结果而无需担心长度的问题。

234()1u x x x x =+++，1()1g x =，22()g x x =，所以2341()1c x x x x =+++，24562()c x x x x x =+++。根据理论最高次方

为8，将多项式补齐如下：

2341()100000c x x x x =++++++++，24562()00000c x x x x x =++++++++

我们再把这两个完整多项式写成码字，就得到了卷积结果，1101110000c =，2001011100c =。两路输出交错合并，得到100011101101010000c =。

当然，使用离散卷积和生成矩阵的方法都能得到正确的结果，只要我们注意把过程写完整就一定不会错。仍以1011100u =，1100g =，2001g =为例，离散卷积方法如下：

使用生成矩阵的计算过程如下：

100001100001100001

1011100100011101101010000100001100001100001100001c uG ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==⨯= ⎪

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

四、尾比特的问题

有时候卷积码的描述中并没有已知生成多项式，只是已知了状态转移图，比如最常见的(2,1,3)卷积码状态转移图如下：

1011100

100

101110000

0000000

000000010111001011100

001

001011100

000000000000001011100