高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.1 归纳与类比课件 文 北师大版
归纳与类比.ppt
版
＝6.
第12章 第四节
高考数学总复习
(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相
等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比
较恰当的是( )
北
师
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；
大 版
②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面
角相等；
第12章 第四节
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③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条
师
大
版
[答案] A
第12章 第四节
高考数学总复习
[解析] 演绎推理是由一般到特殊的推理，它的形式
是“三段论”，由此可知选 A，选项 B、D 是归纳推理，
C 是类比推理．
北
师
大
版
第12章 第四节
高考数学总复习
3．(文)(2012·合肥模拟)下面使用类比推理恰当的是
()
A．“若 a·3＝b·3，则 a＝b”类比推出“若 a·0＝b·0， 北 师
则 a＝b”
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B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋c b＝ac＋bc”
第12章 第四节
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C
．
“(a
＋
b)c＝Biblioteka ac＋bc”类
比
推
出
“a＋c b
＝
a c
＋
b c
(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
北 师
大
版
[答案] C
[解析] 由类比推理特点知，选C.
高考数学总复习
北 师 大 版
第12章 算法初步、推理与证明、复数
高考一轮总复习课件(北师大版)：第十二章 算法初步、复数、推理与证明-1
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
A．0.5 C．2
B．1 D．4
[答案] C
第十二章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
[解析] 本题考查了循环结构的程序框图，考查了学生的 识图能力以及观察、推理的能力．
第 1 次循环：x＝－4，x＝|－4－3|＝7>3， 第 2 次循环：x＝7，x＝|7－3|＝4>3， 第 3 次循环：x＝4，x＝|4－3|＝1<3， 则 y＝21＝2.输出 y.
第十二章 第一节
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流程图如下：
第十二章 第一节
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[方法总结] 1.给出一个问题，设计算法时应注意： (1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法． (2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况． (3)将解决问题的过程划分为若干个步骤． (4)用简练的语言将各个步骤表示出来．
第十二章 第一节
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－2，x>0， 已知函数 y＝0，x＝0，
2，x<0，
写出求该函数函数值的算法
及流程图．
第十二章 第一节
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[解析] 算法如下： 第一步，输入 x. 第二步，如果 x>0，则 y＝－2；如果 x＝0，则 y＝0；如 果 x<0，则 y＝2. 第三步，输出函数值 y. 相应的流程图如图所示．
D.9
第十二章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
[解析] 依题意得，执行完第 1 次循环后，x＝－12＋3＝ －9≤0；执行完第 2 次循环后，x＝－9＋3＝－6≤0；执行完 第 3 次循环后，x＝－6＋3＝－3≤0；
高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数
2018版高考数学大一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数 12.1 归纳与类比教师用书文北师大版1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N＋)．( ×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199 答案 C解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123. 2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳数列{a n }的通项公式B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°D ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人 答案 C解析 A 、D 是归纳推理，B 是类比推理，C 符合三段论模式，故选C.3．(2017·济南质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是________． 答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 4．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则存在的等式为________________．答案 b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，b 29＝b 1＋n ·b 17－n ，可知存在的等式为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)．5．(2016·青岛模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋2(n ∈N ＋)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________. 答案n ＋22n ＋2解析 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34，f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝34(1－19)＝23＝46， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝23(1－116)＝58， 推测f (n )＝n ＋22n ＋2.题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2016·山东)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43×n ×(n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题点2 与不等式有关的推理例2 (2016·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a ＝________.答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n. 命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n . … …可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 (2017·大连月考)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 答案 D解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D. 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)(2015·陕西)观察下列等式：1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为_________________________________________________________ _______________．(2)(2016·抚顺模拟)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．答案 (1)1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(2)183解析 (1)等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. (2)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.题型二 类比推理例5 (1)(2017·西安质检)对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|OA →＋|OA →|OB →＝0；将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________． (2)求1＋1＋1＋…的值时，采用了如下方法：令1＋1＋1＋…＝x ，则有x ＝1＋x ，解得x ＝1＋52(负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋12＋11＋12＋1…的值为________．答案 (1)V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 (2)1＋32解析 (1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为V O －BCD·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0.(2)令1＋12＋1…＝x ，则有1＋12＋1x ＝x ，解得x ＝1＋32(负值已舍去)．思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.题型三 演绎推理例6 已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )． (1)试证明：f (x )为R 上的单调增函数；(2)若x ，y 为正实数且4x ＋9y＝4，比较f (x ＋y )与f (6)的大小．(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， ∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )为R 上的单调增函数．(2)解 ∵x ，y 为正实数，且4x ＋9y＝4，∴x ＋y ＝14(x ＋y )(4x ＋9y )＝14(13＋4y x ＋9x y )≥14(13＋2 4y x ·9x y )＝254， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 4y x ＝9xy ，4x ＋9y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝154时取等号，∵f (x )在R 上是增函数，且x ＋y ≥254>6，∴f (x ＋y )>f (6)．思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．非以上错误(2)(2016·洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案(1)C (2)B解析(1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．(2)A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C、D都不正确，只有B正确，故选B.10．高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2 014是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N ＋，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ； ④A ＝Z ，B ＝Q .解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2，b 1＝4×52＝a 4， b 2＝5×62＝a 5， b 3＝2＝a 9， b 4＝2＝a 10， b 5＝2＝a 14， b 6＝2＝a 15，…b 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.②由①知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5kk －2.(2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N ＋，所以A ＝N ＋，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①； 对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②； 对于③，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③.④不符合，故填④. 答案 (1)①5 035 ②5kk －2(2)④1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．推理过程 D ．没有出错答案 A解析 推理形式正确，但大前提错误，故得到的结论错误．故选A. 2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确答案 C解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．4．(2016·泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…按照这样的规律，则2 016所在等式的序号为( ) A ．29 B ．30 C ．31 D ．32答案 C解析 由题意知，每个等式正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n ＋1，…，其前n 项和S n ＝n [3＋n ＋2＝n (n ＋2)且S 31＝1 023，即第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有63个偶数，故2 016在第31个等式中． 5．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 (a ＋b )n≠a n＋b n(n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34， 故②错误．由向量的运算公式知③正确．6．把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N ＋)是位于这个三角形数表中从上往下第i 行，从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．答案 107解析 由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1 024，故2 009在第32个奇数行内，则i ＝63，因为第63行第1个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(j －1)，所以j ＝44，所以i ＋j ＝107.7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________． 答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2yb2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 8．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．答案111222O PQ R O P Q R V V --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为111222O PQ R O P Q R V V--＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2. 9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明． 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3 ＝33＋3＋13＋3＝33， 同理可得f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33. 由此猜想f (x )＋f (1－x )＝33. 证明：f (x )＋f (1－x )＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x33＋3x＝3＋3x 33＋3x＝33. 10．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N ＋)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)11.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f (12 017)＋f (22 017)＋f (32 017)＋f (42 017)＋…＋f (2 0162 017)．解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1.由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)．(2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f (12 017)＋f (2 0162 017)＝2，f (22 017)＋f (2 0152 017)＝2， f (32 017)＋f (2 0142 017)＝2， …，f (2 0162 017)＋f (12 017)＝2. 所以f (12 017)＋f (22 017)＋f (32 017)＋f (42 017)＋…＋f (2 0162 017)＝12×2×2 016＝2 016.。
2021版高考数学一轮复习第12章推理与证明、算法、复数第3节算法初步课件理新人教A版
三、易错自纠 4．如图给出的是计算12＋14＋16＋18＋…＋1100的一个程序框图，其中判断框内应填入 的条件是( ) A．i<50? B．i>50? C．i<25? D．i>25?
解析：选 B 因为该循环体需要运行 50 次，i 的初始值是 1，间隔是 1，所以 i＝50 时不满足判断框内的条件，而 i＝51 时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填 入 i>50？故选 B．
第十二章 推理与证明、算法、 复数
第三节 算法初步
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解算法的含义，了解算法的思
想. 2.理解程序框图的三种基本逻辑结 构：顺序结构、条件结构、循环结 构. 3.理解几种基本算法语句——输入 语句、输出语句、赋值语句、条件
考点 程序框图的补全问题
【例】
(1)(2019 年全国卷Ⅰ)如图是求2＋12＋1 12的程序框图，图中空白框中应填入
()
A．A＝2＋1 A B．A＝2＋A1 C．A＝1＋12A D．A＝1＋21A
(2)(2019 届河北九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a，b，k 分 别为 1，2，4，输出的 M＝185，那么判断框中应填入的条件为( )
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出 s 的值等于( )
A．－3 B．－10
C．0
D．－2
解析：选 A 第一次循环：k＝0＋1＝1，满足 k<4，s＝2×1－1＝1；第二次循环： k＝1＋1＝2，满足 k<4，s＝2×1－2＝0；第三次循环：k＝2＋1＝3，满足 k<4，s＝2×0 －3＝－3；第四次循环：k＝3＋1＝4，不满足 k<4，故输出的 s＝－3.故选 A．
北师大版高考数学一轮复习统考第12章算法初步复数推理与证明第1讲算法初步课件
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解析
s＝1＋21＋41＋81＋116＋312，x＝614，x 不成立； s＝1＋21＋41＋81＋116＋312＋614，x＝1128，x 成立， 此时输出s＝2－216.故选C.
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解析
利用循环结构表示算法应注意的问题 (1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构． (2)注意准确选择表示累计的变量． (3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．
果输入的 为0.01，则输出s的值等于( )
A．2－214
B．2－215
C．2－216
D．2－217
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答案
解析 ＝0.01， x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝21，x 不成立； s＝1＋21，x＝14，x 不成立； s＝1＋21＋41，x＝18，x 不成立； s＝1＋21＋41＋81，x＝116，x 不成立； s＝1＋21＋41＋81＋116，x＝312，x 不成立；
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(3)三种基本逻辑结构
名称 内容
顺序结构
条件结构
循环结构
定义
算法的流程根据 从某处开始，按照
由 10 _若__干__个__依__次__执__行_的 12 _条__件__是__否__成__立_ 一定的条件 13
步骤组成，这是任何一个 有不同的流向，条 _反__复__执__行_某些步骤
算法都离不开的 11
输入信息
输出语句 15 _P_R_I_N__T_“__提__示__内__容__”__；__表__达__式___
输出信息
赋值语句 16 _变__量__＝__表__达__式_____
17 将__表__达__式__所__代__表__的__值__赋__给__变__量_
高中数学一轮复习理数通用版：第十二章 推理与证明、算法、复数 Word版含解析
第十二章⎪⎪⎪推理与证明、算法、复数第一节 合情推理与演绎推理本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.突破点(一) 合情推理[基本知识] 类型 定义特点 归纳 推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、 由个别到一般类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊[基本能力]1．判断题(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是a n ＝________.解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：n 2(2)由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．答案：类比(3)观察下列不等式： ①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112< 3.则第5个不等式为____________________________________________________．答案：12＋16＋112＋120＋130< 5[全析考法]归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一)与数字有关的推理[例1](1)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)(2)(·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.[解析](1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.[答案](1)A(2)n2解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． [易错提醒]类型(二) 与式子有关的推理 [例2] (1)(·山东高考)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x3＋x 3＋27x3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． 类型(三) 与图形有关的推理[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A．21 B．34C．52 D．55[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．[解]如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积相等．下面证明该结论的正确性， 设内切球半径为R ，则V A -BEFD ＝13(S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD )×R ＝V A -EFC ＝13(S △AEC＋S △ACF ＋S △ECF )×R ，即S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD ＝S △AEC ＋S △ACF ＋S △ECF ，两边同加S △AEF 可得结论．[方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．[全练题点]1.[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．2.[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3.[考点一·类型(一)]将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k 行有k 个奇数)，其中第i 行第j 个数表示为a ij ，例如a 42＝15，若a ij ＝2 017，则i －j ＝( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…A ．26B ．27C ．28D ．29解析：选A 前k 行共有奇数为1＋2＋3＋…＋k ＝k (1＋k )2个，所以第k 行的最后一个数为2·k (1＋k )2－1＝k 2＋k －1，第k ＋1行的第一个数为k (k ＋1)＋1，当k ＋1＝45时，k (k＋1)＋1＝44×45＋1＝1 981，即第45行的第一个数为1 981，因为2 017－1 9812＝18，所以2 017是第45行的第19个数，即i ＝45，j ＝19，所以i －j ＝45－19＝26.故选A.4．[考点一·类型(二)]观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 各等式可化为55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2；77－4＋8－7(8－7)－4＝2，1010－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：n n －4＋8－n (8－n )－4＝2，故选A.5.[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二)演绎推理[基本知识](1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[基本能力]1．判断题(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)√(2)×2．填空题(1)下列说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有________个．解析：易知①③④正确．答案：3(2)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．答案：②[全析考法]演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，(大前提)所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[全练题点]1．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m .证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提) 所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提) 所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋m a ＋m .(结论)2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．证明：设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2， 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， 因为x 1<x 2，即x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．(小前提) 所以y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．(结论)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.2．(·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和33．(·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.答案：A[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 合情推理1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析：选B 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A ．n (n ＋1) B.n (n －1)2C.n (n ＋1)2D ．n (n －1)解析：选C 由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选B 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：选B 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.答案：337．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.12345…3579…81216…2028…2 013 2 014 2 015 2 0164 027 4 029 4 0318 0568 06016 116……该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，故第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，第四行的第一个数为5×22，…，第n行的第一个数为(n＋1)·2n－2，故第2 016行(最后一行)仅有一个数为(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.答案：2 017×22 0148.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为____________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008)对点练(二)演绎推理1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，大前提均错误．故选B.2．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：选A若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.4．(·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.5．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为____________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙[大题综合练——迁移贯通]1．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为13574 81212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. ∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD .∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD .又AB ∩AE ＝A ， ∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AF . ∴在Rt △ACD 中1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.第二节直接证明与间接证明、数学归纳法本节主要包括3个知识点： 1.直接证明； 2.间接证明； 3.数学归纳法.突破点(一)直接证明[基本知识]内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件书写格式“因为…，所以…”或“由…，得…”“要证…，只需证…，即证…”[基本能力]1．判断题(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)6－22与5－7的大小关系是________．解析：假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．答案：6－22>5－7(2)已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x、y的大小关系是________．解析：x2＝12(a＋b＋2ab)，y2＝a＋b＝12(a＋b＋a＋b)>12(a＋b＋2ab)＝x2，又∵x>0，y>0，∴y>x.答案：y>x(3)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴a>b，a－b>0，∴n2－m2＝a－b－(a＋b－2ab)＝2ab－2b>2b2－2b＝0，∴n2>m2，又∵m>0，n>0，∴n>m.答案：n>m[全析考法]综合法(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：f(x)x－1>0. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x －1.由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )x －1>0.当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1>0， ∴f (x )x －1>0.综上可知，f (x )x －1>0. [方法技巧] 综合法证题的思路分析法[例2] 已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.[证明] 由已知1b －1a >1及a >0，可知0<b <1，要证1＋a >11－b ，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a >1.这是已知条件，所以原不等式得证．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．[全练题点]1.[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“由因导果”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2.[考点一](·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .①又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.3.[考点一]已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥13.4.[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二)间接证明[基本知识]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤第一步分清命题“p⇒q”的条件和结论第二步作出命题结论q相反的假设綈q第三步由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真3．常见的结论和反设词原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个都没有对任意x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有(n－1)个p或q 綈p且綈q至多有n个至少有(n＋1)个p且q 綈p或綈q 都是不都是不都是都是[基本能力]1．判断题(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(3)用反证法证题时必须先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况．()(4)反证法的步骤是：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”，假设的内容应是________．答案：3a≤3b(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．①结论相反的判断即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义；④原结论．答案：①②③(3)写出下列命题的否定．①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；否定为____________________________________________________________；②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；否定为________________________________________________________；③所有的正方形都是矩形；否定为________________________________________________________________；④至少有一个实数x，使x2＋1＝0；否定为_______________________________________________________________．答案：①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c都是奇数②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q>2③至少存在一个正方形不是矩形④不存在实数x，使x2＋1＝0[全析考法]证明否定性命题[例1]设{a n}(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．[解](1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①。
北师大版版高考数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明数学归纳法教学案理
一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（１）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N+）时命题成立．（２）（归纳递推）假设当n＝k（k≥n0，k∈N+）时命题成立，证明当n＝k＋１时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．二、教材衍化１．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n（n—３）条时，第一步检验n等于（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝３．２．已知{a n}满足a n＋１＝a错误!—na n＋１，n∈N*，且a１＝２，则a２＝________，a３＝________，a４＝________，猜想a n＝________．答案：３４５n＋１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝１时结论成立．（）（２）所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．（）（３）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋１时，项数都增加了一项．（）（４）用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√二、易错纠偏错误!错误!（１）误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n＝１；（２）利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．１．用数学归纳法证明“２n>n２＋１对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．５Ｄ．6解析：选Ｃ．当n＝１时，２１＝２＝１２＋１，当n＝２时，２２＝４<２２＋１＝５，当n＝３时，２３＝8<３２＋１＝１0，当n＝４时，２４＝１6<４２＋１＝１7，当n＝５时，２５＝３２>５２＋１＝２6，当n＝6时，２6＝6４>6２＋１＝３7，故起始值n0应取５．２．用数学归纳法证明１＋２＋３＋…＋（２n＋１）＝（n＋１）（２n＋１）时，从n＝k到n＝k ＋１，左边需增添的代数式是______________．解析：当n＝k时，待证等式左边＝１＋２＋３＋…＋（２k＋１），当n＝k＋１时，待证等式左边＝１＋２＋３＋…＋（２k＋１）＋（２k＋２）＋（２k＋３），所以从n＝k到n＝k＋１，左边需增添的代数式是（２k＋２）＋（２k＋３）．答案：（２k＋２）＋（２k＋３）用数学归纳法证明等式（师生共研）用数学归纳法证明：错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!（n∈N+）．【证明】（１）当n＝１时，左边＝错误!＝错误!，右边＝错误!＝错误!.左边＝右边，所以等式成立．（２）假设n＝k（k∈N+且k≥１）时等式成立，即有错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，则当n＝k＋１时，错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.所以当n＝k＋１时，等式也成立，由（１）（２）可知，对于一切n∈N*等式都成立．错误!用数学归纳法证明等式的注意点（１）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．（２）由n＝k时等式成立，推出n＝k＋１时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．（３）不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．求证：（n＋１）（n＋２）·…·（n＋n）＝２n·１·３·５·…·（２n—１）（n∈N+）．证明：（１）当n＝１时，等式左边＝２，右边＝２，故等式成立；（２）假设当n＝k（k∈N+，k≥１）时等式成立，即（k＋１）（k＋２）·…·（k＋k）＝２k·１·３·５·…·（２k—１）．当n＝k＋１时，左边＝（k＋１＋１）（k＋１＋２）·…·（k＋１＋k＋１）＝（k＋２）（k＋３）·…·（k＋k）（２k＋１）（２k＋２）＝２k·１·３·５·…·（２k—１）（２k＋１）·２＝２k＋１·１·３·５·…·（２k—１）（２k＋１）．这就是说当n＝k＋１时等式也成立．由（１）（２）可知，对所有n∈N+等式成立．用数学归纳法证明不等式（典例迁移）（２0１9·高考浙江卷）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a３＝４，a４＝S３.数列{b n}满足：对每个n∈N+，S n＋b n，S n＋１＋b n，S n＋２＋b n成等比数列．（１）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（２）记c n＝错误!，n∈N+，证明：c１＋c２＋…＋c n<２错误!，n∈N+.【解】（１）设数列{a n}的公差为d，由题意得a１＋２d＝４，a１＋３d＝３a１＋３d，解得a１＝0，d＝２．从而a n＝２n—２，n∈N+.所以S n＝n２—n，n∈N+.由S n＋b n，S n＋１＋b n，S n＋２＋b n成等比数列，得（S n＋１＋b n）２＝（S n＋b n）（S n＋２＋b n）．解得b n＝错误!（S错误!—S n S n＋２）．所以b n＝n２＋n，n∈N+.（２）证明：c n＝错误!＝错误!＝错误!，n∈N+.我们用数学归纳法证明．１当n＝１时，c１＝0<２，不等式成立；２假设当n＝k（k∈N+）时不等式成立，即c１＋c２＋…＋c k<２错误!，那么，当n＝k＋１时，c１＋c２＋…＋c k＋c k＋１<２错误!＋错误!<２错误!＋错误!<２错误!＋错误!＝２错误!＋２（错误!—错误!）＝２错误!，即当n＝k＋１时不等式也成立．根据１和２，不等式c１＋c２＋…＋c n<２错误!对任意n∈N+成立．错误!用数学归纳法证明不等式的注意点（１）当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．（２）用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋１时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差（求商）比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．已知数列{a n}，a n≥0，a１＝0，a错误!＋a n＋１—１＝a错误!，求证：当n∈N+时，a n<a n＋１.证明：（１）当n＝１时，因为a２是方程a错误!＋a２—１＝0的正根，所以a２＝错误!，即a１<a２成立．（２）假设当n＝k（k∈N+，k≥１）时，0≤a k<a k＋１，所以a错误!—a错误!＝（a错误!＋a k＋２—１）—（a错误!＋a k＋１—１）＝（a k＋２—a k＋１）（a k＋２＋a k＋１＋１）>0，又a k＋１>a k≥0，所以a k＋２＋a k＋１＋１>0，所以a k＋１<a k＋２，即当n＝k＋１时，a n<a n＋１也成立．综上，可知a n<a n＋１对任何n∈N+都成立．归纳—猜想—证明（师生共研）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝错误!＋错误!—１，且a n>0，n∈N+.（１）求a１，a２，a３，并猜想{a n}的通项公式；（２）证明通项公式的正确性．【解】（１）当n＝１时，由已知得a１＝错误!＋错误!—１，即a错误!＋２a１—２＝0，解得a１＝错误!—１（a１>0）．当n＝２时，由已知得a１＋a２＝错误!＋错误!—１，将a１＝错误!—１代入并整理得a错误!＋２错误!a２—２＝0，解得a２＝错误!—错误!（a２>0）．同理可得a３＝错误!—错误!.猜想a n＝错误!—错误!.（２）证明：１由（１）知，当n＝１，２，３时，通项公式成立．２假设当n＝k（k≥３，k∈N+）时，通项公式成立，即a k＝错误!—错误!.由于a k＋１＝S k＋１—S k＝错误!＋错误!—错误!—错误!，将a k＝错误!—错误!代入上式，整理得a错误!＋２错误!·a k＋１—２＝0，解得a k＋１＝错误!—错误!，即n＝k＋１时通项公式仍成立．由１２可知对所有n∈N+，a n＝错误!—错误!都成立．错误!“归纳—猜想—证明”的一般步骤（１）计算：根据条件，计算若干项．（２）归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论．（３）证明：用数学归纳法证明．已知数列{a n}满足S n＋a n＝２n＋１．（１）写出a１，a２，a３，并推测a n的表达式；（２）用数学归纳法证明所得的结论．解：（１）将n＝１，２，３分别代入可得a１＝错误!，a２＝错误!，a３＝错误!，猜想a n＝２—错误!.（２）证明：１由（１）得n＝１，２，３时，结论成立．２假设n＝k（k≥３，k∈N*）时，结论成立，即a k＝２—错误!，那么当n＝k＋１时，a１＋a２＋…＋a k＋a k＋１＋a k＋１＝２（k＋１）＋１，且a１＋a２＋…＋a k＝２k＋１—a k，所以２k＋１—a k＋２a k＋１＝２（k＋１）＋１＝２k＋３，所以２a k＋１＝２＋２—错误!，a k＋１＝２—错误!，即当n＝k＋１时，结论也成立．根据１２得，对一切n∈N+，a n＝２—错误!都成立．[基础题组练]１．用数学归纳法证明：首项是a１，公差是d的等差数列的前n项和公式是S n＝na１＋错误!d时，假设当n＝k时，公式成立，则S k＝（）Ａ．a１＋（k—１）dＢ．错误!Ｃ．ka１＋错误!dＤ．（k＋１）a１＋错误!d解析：选Ｃ．假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即S k＝ka１＋错误!d.２．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：当f（k）≥k＋１成立时，总能推出f（k ＋１）≥k＋２成立，那么下列命题总成立的是（）A．若f（１）<２成立，则f（１0）<１１成立Ｂ．若f（３）≥４成立，则当k≥１时，均有f（k）≥k＋１成立Ｃ．若f（２）<３成立，则f（１）≥２成立Ｄ．若f（４）≥５成立，则当k≥４时，均有f（k）≥k＋１成立解析：选Ｄ．当f（k）≥k＋１成立时，总能推出f（k＋１）≥k＋２成立，说明如果当k＝n时，f（n）≥n＋１成立，那么当k＝n＋１时，f（n＋１）≥n＋２也成立，所以如果当k＝４时，f（４）≥５成立，那么当k≥４时，f（k）≥k＋１也成立．３．用数学归纳法证明１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!，则当n＝k＋１时，左端应在n＝k的基础上加上（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!—错误!Ｄ．错误!＋错误!解析：选Ｃ．因为当n＝k时，左端＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!，当n＝k＋１时，左端＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＋错误!—错误!.所以，左端应在n＝k的基础上加上错误!—错误!.４．已知f（n）＝１２＋２２＋３２＋…＋（２n）２，则f（k＋１）与f（k）的关系是（）Ａ．f（k＋１）＝f（k）＋（２k＋１）２＋（２k＋２）２Ｂ．f（k＋１）＝f（k）＋（k＋１）２Ｃ．f（k＋１）＝f（k）＋（２k＋２）２Ｄ．f（k＋１）＝f（k）＋（２k＋１）２解析：选Ａ．f（k＋１）＝１２＋２２＋３２＋…＋（２k）２＋（２k＋１）２＋[２（k＋１）]２＝f（k）＋（２k＋１）２＋（２k＋２）２.５．利用数学归纳法证明不等式１＋错误!＋错误!＋…＋错误!<f（n）（n≥２，n∈N+）的过程中，由n＝k到n＝k＋１时，左边增加了（）Ａ．１项Ｂ．k项Ｃ．２k—１项Ｄ．２k项解析：选Ｄ．令不等式的左边为g（n），则g（k＋１）—g（k）＝１＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!，其项数为２k＋１—１—２k＋１＝２k＋１—２k＝２k.故左边增加了２k项．6．用数学归纳法证明１＋错误!＋错误!＋…＋错误!<n（n∈N+，n>１）时，第一步应验证的不等式是________．解析：由n∈N+，n>１知，n取第一个值n0＝２，当n＝２时，不等式为１＋错误!＋错误!<２．答案：１＋错误!＋错误!<２7．用数学归纳法证明错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!—错误!，假设n＝k时，不等式成立，则当n ＝k＋１时，应推证的目标不等式是________________．答案：错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!>错误!—错误!8．用数学归纳法证明不等式错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!（n≥２）的过程中，由n＝k推导n＝k＋１时，不等式的左边增加的式子是________．解析：不等式的左边增加的式子是错误!＋错误!—错误!＝错误!，故填错误!.答案：错误!9．用数学归纳法证明等式１２—２２＋３２—４２＋…＋（—１）n—１·n２＝（—１）n—１·错误!.证明：（１）当n＝１时，左边＝１２＝１，右边＝（—１）0×错误!＝１，左边＝右边，原等式成立．（２）假设n＝k（k≥１，k∈N+）时等式成立，即有１２—２２＋３２—４２＋…＋（—１）k—１·k２＝（—１）k—１·错误!.那么，当n＝k＋１时，１２—２２＋３２—４２＋…＋（—１）k—１·k２＋（—１）k·（k＋１）２＝（—１）k—１·错误!＋（—１）k·（k＋１）２＝（—１）k·错误![—k＋２（k＋１）]＝（—１）k·错误!.所以当n＝k＋１时，等式也成立，由（１）（２）知，对任意n∈N+，都有１２—２２＋３２—４２＋…＋（—１）n—１·n２＝（—１）n—１·错误!.１0．已知f（n）＝１＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，g（n）＝错误!—错误!，n∈N+.（１）当n＝１，２，３时，试比较f（n）与g（n）的大小；（２）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．解：（１）当n＝１时，f（１）＝１，g（１）＝１，所以f（１）＝g（１）；当n＝２时，f（２）＝错误!，g（２）＝错误!，所以f（２）＜g（２）；当n＝３时，f（３）＝错误!，g（３）＝错误!，所以f（３）＜g（３）．（２）由（１）猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明．１当n＝１，２，３时，不等式显然成立．２假设当n＝k（k≥３，k∈N+）时不等式成立，即１＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜错误!—错误!.那么，当n＝k＋１时，f（k＋１）＝f（k）＋错误!＜错误!—错误!＋错误!.因为错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＜0，所以f（k＋１）＜错误!—错误!＝g（k＋１）．由１２可知，对一切n∈N+，都有f（n）≤g（n）成立．[综合题组练]１．已知整数p>１，证明：当x>—１且x≠0时，（１＋x）p>１＋px.证明：用数学归纳法证明．１当p＝２时，（１＋x）２＝１＋２x＋x２>１＋２x，原不等式成立．２假设当p＝k（k≥２，k∈N+）时，不等式（１＋x）k>１＋kx成立．则当p＝k＋１时，（１＋x）k＋１＝（１＋x）（１＋x）k>（１＋x）·（１＋kx）＝１＋（k＋１）x＋kx２>１＋（k＋１）x.所以当p＝k＋１时，原不等式也成立．综合１２可得，当x>—１且x≠0时，对一切整数p>１，不等式（１＋x）p>１＋px均成立．２．已知数列{x n}满足x１＝错误!，且x n＋１＝错误!（n∈N+）．（１）用数学归纳法证明：0<x n<１；（２）设a n＝错误!，求数列{a n}的通项公式．解：（１）证明：１当n＝１时，x１＝错误!∈（0，１），不等式成立．２假设当n＝k（k∈N+，k≥１）时，不等式成立，即x k∈（0，１），则当n＝k＋１时，x k＋１＝错误!，因为x k∈（0，１），所以２—x k>0，即x k＋１>0．又因为x k＋１—１＝错误!<0，所以0<x k＋１<１．综合１２可知0<x n<１．（２）由x n＋１＝错误!可得错误!＝错误!＝错误!—１，即a n＋１＝２a n—１，所以a n＋１—１＝２（a n—１）．令b n＝a n—１，则b n＋１＝２b n，又b１＝a１—１＝错误!—１＝１，所以{b n}是以１为首项，２为公比的等比数列，即b n＝２n—１，所以a n＝２n—１＋１．３．将正整数作如下分组：（１），（２，３），（４，５，6），（7，8，9，１0），（１１，１２，１３，１４，１５），（１6，１7，１8，１9，２0，２１），…，分别计算各组包含的正整数的和如下：S１＝１，S２＝２＋３＝５，S３＝４＋５＋6＝１５，S４＝7＋8＋9＋１0＝３４，S５＝１１＋１２＋１３＋１４＋１５＝6５，S6＝１6＋１7＋１8＋１9＋２0＋２１＝１１１，…试猜测S１＋S３＋S５＋…＋S２n—１的结果，并用数学归纳法证明．解：由题意知，当n＝１时，S１＝１＝１４；当n＝２时，S１＋S３＝１6＝２４；当n＝３时，S１＋S３＋S５＝8１＝３４；当n＝４时，S１＋S３＋S５＋S7＝２５6＝４４.猜想：S１＋S３＋S５＋…＋S２n—１＝n４.下面用数学归纳法证明：（１）当n＝１时，S１＝１＝１４，等式成立．（２）假设当n＝k（k∈N+，k≥１）时等式成立，即S１＋S３＋S５＋…＋S２k—１＝k４，那么，当n＝k＋１时，S１＋S３＋S５＋…＋S２k—１＋S２k＋１＝k４＋[（２k２＋k＋１）＋（２k２＋k＋２）＋…＋（２k２＋k＋２k＋１）]＝k４＋（２k＋１）（２k２＋２k＋１）＝k４＋４k３＋6k２＋４k＋１＝（k＋１）４，所以当n＝k＋１时，等式也成立．根据（１）和（２）可知，对于任意的n∈N+，S１＋S３＋S５＋…＋S２n—１＝n４都成立．。
高考数学一轮复习 第十二章 推理证明、算法、复数 第3讲 数学归纳法 理(2021年最新整理)
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第3讲数学归纳法一、选择题1。
利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!（a≠1，n∈N*）”时，在验证n＝1成立时,左边应该是( )A 1B 1＋aC 1＋a＋a2D 1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C。
答案 C2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,x n＋y n能被x＋y整除"，在第二步时，正确的证法是（)．A．假设n＝k(k∈N＋）,证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k（k是正奇数），证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋），证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数），证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中,k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数,k＋2为奇数．答案D3．用数学归纳法证明1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )．A.错误!B．－错误!C。
错误!－错误!D。
错误!＋错误!解析∵当n＝k时，左侧＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!，当n＝k＋1时，左侧＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＋错误!－错误!。
答案C4．对于不等式错误!〈n＋1（n∈N＊)，某同学用数学归纳法的证明过程如下:（1）当n＝1时，错误!〈1＋1，不等式成立．（2）假设当n＝k(k∈N＊且k≥1）时,不等式成立，即错误!<k＋1,则当n＝k＋1时，错误!＝错误!〈错误!＝错误!＝（k＋1）＋1，所以当n＝k＋1时,不等式成立,则上述证法（)．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．答案D5．下列代数式（其中k∈N＊)能被9整除的是( ）A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2（2＋7k＋1) D．3（2＋7k)解析 (1）当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2）假设当k＝n（n∈N*）时，命题成立,即3（2＋7n）能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由（1)(2）可知，命题对任何k∈N＊都成立．答案 D6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为（)．A．a＝错误!，b＝c＝错误!B．a＝b＝c＝错误!C．a＝0,b＝c＝错误!D．不存在这样的a、b、c解析∵等式对一切n∈N＊均成立，∴n＝1，2，3时等式成立，即错误!整理得{3a－3b＋c＝1，，18a－9b＋c＝7，，81a－27b＋c＝34，解得a＝错误!,b＝c＝错误!。
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第3讲 数学归纳法及其应用课件 理
①当n＝1时，已证命题成立. ②假设当n＝k时命题成立，即x2k＞x2k＋2，易知xk＞0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝1＋1x2k＋1－1＋1x2k＋3＝（1＋x2xk2＋k＋ 1）3－（x21k＋＋1 x2k＋3） ＝（1＋1＋x2k1x＋21k）＋2－（11＋＋1xx22kk＋3） ＝（1＋x2k）（1＋x2k＋x12）k－（x21k＋＋2 x2k＋2）（1＋x2k＋3）＞0， 即 x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2，也就是说，当 n＝k＋1 时命题也成立. 结合①和②知命题成立.
答案 (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
考点一 用数学归纳法证明等式 【例 1】 用数学归纳法证明：
2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n（21n＋2）＝4（nn＋1）(n∈N*). 证明 (1)当 n＝1 时， 左边＝2×1×（12×1＋2）＝18， 右边＝4（11＋1）＝18，左边＝右边，所以等式成立.
1)(n∈N*).证明 ()当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2， ∴等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1). 当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2) ＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1) ＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1) ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1). 这就是说当n＝k＋1时，等式成立. 根据(1)(2)知，对n∈N*，原等式成立.
猜想 an 的表达式为________. 解析 当 n＝2 时，13＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝3×1 5.当 n＝3 时，13
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.4 复数 文
题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算
例2 (1)(2015·湖北改编)i为虚数单位，i607的共轭复数为____i ____. 解析 方法一 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i. 方法二 i607＝i6i08＝i4×i152＝1i ＝－i，其共轭复数为 i.
解析答案
满足条件(a，b为实数)
b＝0
a＋bi为实数b≠⇔0
复数的分 类
a＋bi为虚a＝数0⇔ 且b≠0
答案
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＝－d (a，b，c，d∈R). (5)模：向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |a＋bi|或 |z|，即|z|＝|a ＋bi|＝ a2＋b2 (a，b∈R). 2.复数的几何意义 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b) 及平面向量O→Z＝(a，b)(a，b∈R) 是一一对应法则.
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是 复数对应的向量的模.( √ )
解析答案
(2)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若zz12为纯虚数，则复数zz12的 虚部为____1____.
解析
由zz12＝21＋ －a2ii＝2＋a
i1＋2i 2－2a 4＋a
高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.5《数学归纳法》收尾精炼 理 新人教A版.pdf
2014届高考一轮复习收尾精炼： 数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )． A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 2．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，nN*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边( )． A．增加了一项 B．增加了两项、 C．增加了和两项但减少了一项 D．以上各种情况均不对 3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立时，起始值n至少应取为( )． A．7 B．8 C．9 D．10 4．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为 ( )． A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． 5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )． A． B． C． D． 6．设函数f(n)＝(2n＋9)·3n＋1＋9，当nN*时，f(n)能被m(mN*)整除，猜想m的最大值为( )． A．9 B．18 C．27 D．36 7．对于不等式＜n＋1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(kN*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1， 当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )． A．过程全部正确B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 二、填空题 8．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，且nN*)”，在验证n＝1时，左边计算所得的结果是__________． 9．在ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立…… 猜想在n边形A1A2…An中，有不等式________成立． 10．用数学归纳法证明…＞(k＞1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上__________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________． 三、解答题 11．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…. (1)求a1，a2； (2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明． 12．如图，P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i＝1,2，3，…，n)在x轴的正半轴上，且Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)． (1)写出a1，a2，a3； (2)求出点An(an,0)(nN*)的横坐标an关于n的表达式并证明．一、选择题 1．C 解析：左边表示从1开始，连续2n＋1个正整数的和，故n＝1时，表示1＋2＋3的和． 2．C 解析：当n＝k＋1时，不等式为＋＋…＋＜，∴比当n＝k时增加了，项．但最左端少了一项. 3．B 解析：∵1＋＋＋…＋＝＝2－＝＝， 而1＋＋＋…＋＞，故起始值n至少取8. 4．B 解析：当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)， 当n＝k＋1时，等式为(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k) (k＋1＋k＋1)＝2k＋1×1×3×…×(2k＋1)， ∴左端增乘＝2(2k＋1)． 5．C 解析：由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝. 6．D 解析：f(n＋1)－f(n)＝(2n＋11)·3n＋2－(2n＋9)·3n＋1＝4(n＋6)·3n＋1， 当n＝1时，f(2)－f(1)＝4×7×9为最小值，据此可猜想D正确． 7．D 解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法． 二、填空题 8．1＋a＋a2 解析：首先观察等式两边的构成情况，它的左边是按a的升幂顺序排列的，共有n＋2项．因此当n＝1时，共有3项，应该是1＋a＋a2. 9.＋＋…＋≥ 10.·…· 2k－1 解析：当n＝k时， ·…·＞. 当n＝k＋1时， ……＞. ∴左边应乘上…，设第一项a1＝2k＋1，an＝2k＋1－1，d＝2， ∴n＝＝＝2k－1. 三、解答题 11．解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－， 于是2－a2－a2＝0，解得a2＝. (2)由题设知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 即S2n－2Sn＋1－anSn＝0. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(*) 由(1)得S1＝a1＝， S2＝a1＋a2＝＋＝. 由(*)式可得S3＝. 由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，…. 下面用数学归纳法证明这个结论． ①n＝1时已知结论成立． ②假设n＝k(k∈N*)时结论成立， 即Sk＝， 当n＝k＋1时，由(*)得Sk＋1＝， 即Sk＋1＝， 故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由①、②可知Sn＝对所有正整数n都成立． 12．解：(1)a1＝2，a2＝6，a3＝12. (2)依题意，得xn＝，yn＝·，由此及＝3·xn得(·)2＝(an＋an－1)， 即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)． 由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)． 下面用数学归纳法予以证明： ①当n＝1时，命题显然成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即有ak＝k(k＋1)，则当n＝k＋1时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)， 得 [ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0， 解之，得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)〔ak＋1＝k(k－1)＜ak不合题意，舍去〕， 即当n＝k＋1时，命题成立． 由①、②可知，命题an＝n(n＋1)(n∈N*)成立．。
一轮复习考点与题型全归纳：第12章 复数、算法、推理与证明.pptx
解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤ 2得|x＋(y－1)i|≤ 2，所以 x2＋y－12≤ 2， 所以 x2＋(y－1)2≤2，所以 z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以 2为半径
二、常用结论
(1)(1±i) 2＝±2i，11－＋ii＝i，11＋－ii＝－ i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)z·z ＝|z| ＝2 | z | ，2 |z ·z1 |＝2 |z |·| z1 |，2 zz21＝||zz21||，|zn|＝|z|n.
―O→B ，若 zz2＝z1，则 z 的共轭复数 z ＝( )
13 A.2＋2i
13 B.2－2i
C．－12＋32i
13 D．－2－2i
5i (2)复数 z＝4i2 018－1＋2i(其中 i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)由题意知 z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，故 z(－1＋i)＝1＋2i，
a [典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知 i 为虚数单位，若复数 z＝1－2i＋i(a∈R)的实部
与虚部互为相反数，则 a＝( ) A．－5
B．－1
C．－13
D．－53
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设 z＝11－ ＋ii＋2i， 则 |z|＝( )
A．0
1 B.2
C．1
D. 2
高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.1合情推理与演绎推理课件文新人教A
则OAEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH＝1. 证明如下：在四面体 O－BCD 与 A－BCD 中， OAEE＝hhOA－－BBCCDD
1 ＝313SS△△BBCCDD··hhOA－－BBCCDD＝VVOA－－BBCCDD. 同理，ODFF＝VVOD－ －AABBCC，OBGG＝VVOB－－AACCDD，OCHH＝VVOC－－AABBDD，
事实上，在直角三角形中h12＝a12＋b12是由等面积法得到的， 而在三棱锥中可由等体积法求得h12＝a12＋b12＋c12
[典题 1] (1)在等差数列{an}中，若 am＝p，an＝q(m，n∈N*，
n－m≥1)，则 am＋n＝nnq－－mmp.
类比上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝r， n－m sn
bn＝s(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到 bm＋n＝_______rm_. [解析] 设公比为 q，则 sn＝bn1qn(n－1)，rm＝bm1 qm(m－1)，rsmn＝bn1－m
n－m q(n－m)(n＋m－1)，bm＋n＝b1qn＋m－1＝
sn rm.
(2)[2017·江西南昌模拟]如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD， AB＝a，CD＝b(a>b)．若 EF∥AB，EF 到 CD 与 AB 的距离 之比为 m∶n，则可推算出：EF＝mma＋＋nnb.用类 比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的
[教材习题改编]在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，设h
为斜边上的高，则
1 h2
＝
1 a2
＋
1 b2
.由此类比：三棱锥S－ABC中的三
条侧棱SA，SB，SC两两垂直，且长度分别为a，b，c，设棱锥 底面ABC上的高为h，则__h1_2_＝__a1_2＋__b_12_＋__c1_2___．