抽象函数对称性和周期性

抽象函数的对称性与周期性

一、抽象函数的对称性。

性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)。

（2）f(2a－x)＝f(x)。

（3）f(2a＋x)＝f(－x)。

性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。

（2）f(2a－x)＝－f(x)。

（3）f(2a＋x)＝－f(－x)。

注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。

y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。

二、复合函数的奇偶性。

性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。

复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。

性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；

复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。

性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。

复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。

三、函数的周期性。

性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a)，

②f(x＋a)＝－f(x)，

③f(x＋a)＝1/f(x)，

④f(x＋a)＝－1/f(x)。

四、函数的对称性与周期性。

性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。

性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。

性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。

五、复合函数的对称性。

性质1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b-x)关于直线x＝(b-a)/2轴对称。

性质2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中心对称。

推论1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称。

推论2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称。

六、巩固练习

1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝

f(6－x)的图象（）。

A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称

C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称

2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，

f(x)＝x，则f(7.5)=（）。

A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5

3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，

f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（）。

A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数

C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数

4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。

参考答案：D，B，C，T＝2。

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