第五节 最小费用最大流问题

v1
（10，0） ， ）
(7,0)
（2，0） ， ）
vt
(4，0) ，
vs
(8，0) ，
（5，0） ， ）
v2 v1
(10,0)
v3 vt
(4，0) ，
(7,5)
（2，0） ， ）
， ） 上进行调整， （4）在µ上进行调整，（10，0） ） 上进行调整
θ = 5，得f 1 ， ， 如图（ ）所示。 如图（b）所示。
-1 1
1 -1
6 -2
vt
2
vs
(8，5) ，
（5，5） ， ）
v2
(10,0)
v3 v1
4 -1 1
v2 vt
2
3
v3
(b) f
1
1 -1
6 -2
） (c) W(f （1）)
vs
v2
3
v3
9
） (c) W(f （1）)
v1
（10，0） ， ）
(7,5)
（2，0） ， ）
vt
(4，0) ， 4
v1 vs
长度网络W（ 长度网络 （f 0 ）， 的最短路。 求出从v 求出从 s到vt的最短路。 4 （3）在原网络 中，与这 ）在原网络D中 条最短路对应的增广链为 vs µ =（vs，v2，v1，vt）。 （
1
v2 v1
（3,10） ）
v3 vt
2
1
6 2
v2
(a)
3
v3
6
w(f0)
（3）在原网络 中， ）在原网络D中 与这条最短路对应 的增广链为 : µ =（vs，v2，v1，vt） （
第 5节
最小费用最大流问题
网络D=（ ， ， ） 每一弧 每一弧（ 网络 （V，A，C）,每一弧（vi，vj）∈A，给出 ， 上单位流的费用b(v ，（简记 （vi，vj）上单位流的费用 i，vj)≥0，（简记 ij）。 ，（简记b 最小费用最大流问题： 最小费用最大流问题： 求一个最大流 f，使流的总费用 ，
17
V1 18,18
20,3
V2 14,3 V1 -3
-5
V2 5 -4 5
-5 vt -3
vs
15,15
12,0Fra Baidu bibliotek
17,17 V3
vt
3 8 -8
V3
8
20,2 (f) f(3)
(g) (f(3))
第四轮，k= 3 作图W(f(3))如图（g）所示，求W(f(3))中vs到vt的 最短路(vs,v3,v1,v2,vt)，在G中找到相应的增广链，该 链上最大可增加11个流量，然而我们只要再增加5个 流量就达到目标流量值3，故在该链上调为流量为5， 得到新流f (3) ，如图（h）， f (4)即为所求的流量25的 最小费用流。 18
(8，8) ，
(4，3) ，
v2
(f) f
(10,3)
3
v3
3)=10
11
V( f
v1
（10，2） ， ）
(7,7)
(2,0)
vt
(4，3) ，
v1
4 -4 -2 -1
-1
6 3 2
vt
-2
vs
(8，8) ，
（5，5） ， ）
vs
v2
(10,3)
v3 v1
(7,7)
(2,0) （5，4） ， ）
v2
（5，4） ， ）
vs
v2
(10,4)
4
v3
4)=11
v2
-3
v3
(h) f
V( f
（i） W（f 4） ） （
不存在从v 的最短路，所以f 图（i）中，不存在从 s到vt的最短路，所以 4为 ） 最小费用最大流。 最小费用最大流。 问题：（ ）如何求网络W（ 中的v 最短路？ 问题：（1）如何求网络 （f k）中的 s到vt最短路？ ：（ 的最短路？ （2）如何判断无 s到vt的最短路？ ）如何判断无v
( k + 1) ij
f + θk k = f ij − θ k k f ij
k ij
(vi, v j) ∈ u
+
(vi, v j) ∈ u (vi , v j ) ∉ u
-
得新的可行流f 返回第2步 得新的可行流 k+1 , 返回第 步。 第四步：停止运算， 第四步：停止运算，并输出当前最小费用可行流 fk+1 ，作为 的最小费用最大流。 作为G的最小费用最大流 的最小费用最大流。
vs
(8，5) ，
（5，5） ， ）
v2
(10,0)
v3
7
(b) f 1
按照上述算法依次得f 按照上述算法依次得 1 ，f 2 ，f 3 ，f 4 ，构造相应 如图(a), 的增量网络为W(f 1)，W(f 2)，W(f 3)，W( f 4), 如图 ， ， ， 的增量网络为 (e), (g), (i)所示。 所示。 所示
b( f ) =
取最小值。 取最小值。 一、求解原理 调整f， 设对可行流 f 存在增广链 µ，当沿 µ 以θ=1调整 ， ， 调整 得新的可行流 f ' 时，(显然 V(f ')=V(f )+1)，两流的费 显然 ， b( f′) -b( f ) 用之差 1
( v i , v j )∈ A
∑
b ij f ij
−bij w ji = +∞ 若 fij > 0 fij = 0
4
第三步：在增广链 上对 按下式进行调整，调整量θ 上对f 第三步：在增广链µ上对 k 按下式进行调整，调整量θ 为 k k θk = min min ( c ij - f ij ) , min f ij u u+ 令 f
-1 1
1 -1
6 -2
vt
2
vs
(8，5) ，
（5，5） ， ）
v2
(10,0)
v3 v1
(7,7)
(2,0) （5，5） ， ）
v2 vt
(4，0) ，
3
v3
(b) f
1
） (c) W(f （1）)
（10，2） ， ）
vs
(8，5) ，
v2
(10,0)
v3
10
(d) f 2 V( f 2)=7
v1
20, 0
V2 14,0 -3
V1
5 -4
V2 5
vs
15,15
12,0
17,15 V3
vt
vs 8
3
8
3 -3
vt
20,0 (b) f(1)
V3
(c) W(f(1))
第二轮，k= 1 作图W(f(1))如图（c）所示，最短路为(vs,v3, vt)， 在G内相应的增广链上进行调整，调整量为2，得流f (2)如图（d）所示。
2
二、最小费用最大流算法 算法步骤： 算法步骤： 第一步：确定初始可行流 第一步：确定初始可行流f 0 =0，令k=0； ， ； 第二步： 次调整得到的最小费用流为f 第二步：记经 k 次调整得到的最小费用流为 k，构造 增量网络W（ 增量网络 （f k）； 寻找v 的最短路。 在W（f k）中，寻找 s到vt的最短路。若不存 （ 在最短路（即最短路路长是 ）， ），则 在最短路（即最短路路长是∞），则f k 就是 最小费用最大流，若存在最短路， 最小费用最大流，若存在最短路，则此最短 路即为原网络D中相应的可增广链 ， 路即为原网络 中相应的可增广链µ，转入第 中相应的可增广链 3步。 步
13
例2 下图所示的网络G中，求从vs到vt的目标流值为 25的最小费用流，弧上括号内的数字第一个为弧 上单位流的费用，第二个为弧上的容量。
V1 (3,18) (5,20) V2 (5,14) (4,15)
vs
(8,12)
(3,17) V3
vt
(8,20)
14
解 :算法过程 第一轮，k= 0 f（0） 取 ={0}开始，用DijksTra算法求的中vs到vt的最 短路（vs,v1,v3,vt），在网络G中相应的增广链 µ0=( vs,v1,v3, vt )上用最大流算法进行流的调整。 µ0+ = {（vs,v1）、（v1,v3），（v3, vt）} µ0- =φ
v1
4
1
6 2
vt
2
vs
1
v1
（10，0） ， ）
(7,5)
（2，0） ， ）
vt
(4，0) ，
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5) ，
w(f0)
（5，5） ， ）
v2
(10,0)
v3
8
(b) f 1
v1
（10，0） ， ）
(7,5)
（2，0） ， ）
vt
(4，0) ， 4
v1 vs
（10，2） ， ）
(7,7)
(2,0)
vt
(4，0) ，
v1
4 -4 -1 1 -2
-1
6
vt 2
vs
(8，5) ，
（5，5） ， ）
vs
v2
(10,0)
v3 v1
(7,7)
(2,0) （5，5） ， ）
v2 vt
3
v3
(d) f 2 V( f 2)=7
(e) w(f 2 )
（10，2） ， ）
vs
V1 18,18
20,8
V2 14,8
vs 20,7
15,10
12,0
17,17 V3
vt
(h) f(4)
19
3
• W（f）的构造方法如下：W（f）中的顶点是 原网络中的点，而把G中的每一条弧（vi，vj） 变成两个方向相反的弧（vi，vj）和（vj，vi）。 定义 • W（f）中弧（vi，vj）和（vj，vi）的权wij和wji 为：
bij 若 fij <cij wij = fij =cij +∞
5
例1
求下图所示网络的最小费用最大流。 求下图所示网络的最小费用最大流。弧旁数字为 v1 (1,7) （bij，cij）。 vt
(4,10) （6，2） ， ） （2，5） ， ） (2，4) ，
0
解：（1）取初始 ：（ ） 可行流f 可行流 = 0； ；
vs
， （2）按算法要求构造 (1，8) ）
θ0 = m i {18，15，17} = 15， θ0 < 25 n f ij（0） + 15 （vi，v j） ∈ µ + f（1） = （0） 其它 f ij
vs
V1 3 4 5 V2 5
8
3 V3
15
vt
得到f (1)的如图（b）所示。
8 (a) L(f(0))
V1 18,15
b( f ′) -b( f )
= ∑ bij ( f ij' − f ij ) + ∑ bij ( f ij' − f ij )
µ+ µ−
= ∑ bij − ∑ bij
µ+ µ−
+1
-1
的费用。 称为增广链 µ 的费用。 最小费用最大流的原理的主要依据： 最小费用最大流的原理的主要依据： 是流值为V（ 的所有可行流中费用最小者, 若f 是流值为 （f ）的所有可行流中费用最小者 是关于f 的所有增广链中费用最小的增广链,则沿 而µ 是关于 的所有增广链中费用最小的增广链 则沿 µ 以θ去调整 f ,得可行流 f ′ ，f ′就是流量为 就是流量为V(f )+ θ 得可行流 的所有可行流中费用最小的可行流。这样， 的所有可行流中费用最小的可行流。这样，当 f ′是 最大流时， 就是所求的最小费用最大流。 最大流时， f ′就是所求的最小费用最大流。
16
V1 18,15
20,0
V2 14,0 -3
V1
5 -4
V2 5
vs
15,15
12,0
17,17 V3
vt
vs -8
3 8
8 -3
V3
vt
20,2 (d) f(2)
(e) W(f(2))
第三轮，k= 2 作图w(f(2))如图（e）所示，W(f(2))中vs到vt的 最短路(vs,v1,v2, vt)，在G中找到相应的增广链 进行调整，调整量为3，得流f (3)如图（f）所示。
v3
-3
(f) f 3 V( f 3)=10
（10，3） ， ）
(g) W( f 3)
vt
(4，4) ，
vs
(8，8) ，
v2
(10,4)
4
v3
4)=11
12
(h) f
V( f
v1
（10，3） ， ）
(7,7)
(2,0)
vt
(4，4) ，
v1
4 -4 -1 -2 2
-1
6 3
vt
-2
vs
(8，8) ，