专题30 三点共线证法

﹣=
﹣
=0，
kBD=kBC， ∴B，C，D 三点共线．
4.给定椭圆 C： + =1（a＞b＞0），称圆 C1：x2+y2=a2+b2 为椭圆的“伴随圆”．已知 A（2，
1）是椭圆 G：x2+4y2 =m（m＞0）上的点． （Ⅰ）若过点 P（0， ）的直线 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点，求直线 l 被椭圆 G 的“伴 随圆”G1 所截得的弦长； （Ⅱ）若椭圆 G 上的 M，N 两点满足 4k1k2=﹣1（k1，k2 是直线 AM，AN 的斜率），求证：M，N，O 三点共线． 【思路点拨】（Ⅰ）将 A 代入椭圆方程，可得 m，进而得到椭圆方程和伴椭圆方程，讨论直线 l 的斜率不存在和存在，设出 l 的方程，代入椭圆方程运用判别式为 0，求得 k，再由直线和 圆相交的弦长公式，计算即可得到所求弦长； （Ⅱ）设直线 AM，AN 的方程分别为 y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），设点 M（x1，y1），N（x2， y2），联立椭圆方程求得交点 M，M 的坐标，运用直线的斜率公式，计算直线 OM，ON 的斜⇐ 率相 等，即可得证．
（ ）的焦点为 ，点
为直线 与抛物线 准线的交点，直
线 与抛物线 相交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）证明：点 在直线 上.
【思路点拨】（1）由交点坐标可得
，求得 可得抛物线方程；（2）设直线 的方程
为
（ ），代入抛物线方程消去 x 整理得
，再设
，
，
进而得
，可得直线 的方程为
【思路点拨】（I）F（1，0），设 M（0，t1），N（0，t2）．不妨设 t1＞t2．由 MF⊥NF，可得
化为：t1t2=﹣1．S△MFN=
，利用基本不等式的性质即可得出．
=0，
（II）A（﹣ ，0）．设 M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣ ），（t≠±1）．直线 AM，AN 的
方程分别为：y= x+t，y=
（2）如图，已知 R, S 是椭圆上的两个点，线段 RS 的中垂线的斜率为 1 且与 RS 交于点 P ， 2
O 为坐标原点，求证： P,O, M 三点共线．
【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点
M
4 3
,
1 3
，建立关于
a，b，c
的方
程组从而得到椭圆的标准方程；
（2）因为线段线段 RS 的中垂线的斜率为 1 ，所以线段 RS 所在直线的斜率为 2 ，线段 RS 2
（2）根据题意，设直线 PQ 的方程为 y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x2﹣ 18k2x+27k2﹣6=0，设出 P、Q 的坐标，由根与系数的关系的分析求出 、 的坐标，由向量 平行的坐标表示方法，分析可得证明； （3）设直线 PQ 的方程为 x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，设 P （x1，y1 ），Q（x2，y2），结合根与系数的关系分析用 y1．y2 表示出△FPQ 的面积，分析可得答 案．
线交于不同的两点 M , N ,直线 y 1与直线 BM 交于点 G ，求证： A ， G ， N 三点共线.
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方程为：
y
kxM xM
6
x
2 ，则
G
3xM kxM
6
，1
，
AG
3xM xM k
6
，
1
，
AN
xN
，xN k
2
，
欲证 A，G ，N 三点共线，只需证 AG ， AN 共线
（1）求直线 FN 与直线 AB 的夹角 θ 的大小；
（2）求证：点 B、O、C 三点共线．
∵kOB= = ，y1y2=﹣4，
∴kOB=kOC，∴点 B、O、C 三点共线． 类型三 直线方程法证三点共线
例 3（2017•贵阳二模）已知椭圆 C：
=1（a＞0）的焦点在 x 轴上，且椭圆 C 的焦
距为 2． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）过点 R（4，0）的直线 l 与椭圆 C 交于两点 P，Q，过 P 作 PN⊥x 轴且与椭圆 C 交于另 一点 N，F 为椭圆 C 的右焦点，求证：三点 N，F，Q 在同一条直线上．
所在直线的方程为 y 2x m ，联立方程可得 9x2 8mx 2m2 2 0 ，利用韦达定理得到
弦的中点的坐标，所以
y0
1 4
x0
，所以点
P
在定直线
y
1 4
x
上，而 O, M
两点也在定直线
y 1 x 上，所以 P,O, M 三点共线． 4
【详细解析】（1）因为双曲线 C ' ： x2 y2 1的离心率 e ' c ' 2 2 ，
x﹣ ．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系
数的关系可得 kOE，kOD．只要证明 kOE=kOD．即可得出 E，O，D 三点共线． 【详细解析】（I）F（1，0），设 M（0，t1），N（0，t2）．不妨设 t1＞t2．
∵MF⊥NF，∴
=1+t1t2=0，化为：t1t2=﹣1．
∴S△MFN=
1．已知椭圆 E： + =1（a＞ ）的离心率 e= ，右焦点 F（c，0），过点 A（ ，0）
的直线交椭圆 E 于 P，Q 两点． （1）求椭圆 E 的方程； （2）若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：M，F，Q 三点共线； （3）当△FPQ 面积最大时，求直线 PQ 的方程． 【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得 a 与 c 的值，由椭圆的几何性质可得 b 的 值，将 a、b 的值代入椭圆的方程计算可得答案；
（3）设直线 PQ 的方程为 x=my+3．
由方程组
，得（m2+3）y2+6my+3=0，
2.已知椭圆 C： +y2=1 的左顶点为 A，右焦点为 F，O 为原点，M，N 是 y 轴上的两个动点， 且 MF⊥NF，直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E，D 两点． （Ⅰ）求△MFN 的面积的最小值； （Ⅱ）证明；E，O，D 三点共线．
=
≥
=1．当且仅当 t1=﹣t2=1 时
取等号．
3.已知焦距为 2 的椭圆 W： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 A1，A2，上、下顶点
分别为 B1，B2，点 M（x0，y0）为椭圆 W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线 MA1，MA2，MB1， MB2 的斜率之积为 ． （1）求椭圆 W 的标准方程； （2）如图所示，点 A，D 是椭圆 W 上两点，点 A 与点 B 关于原点对称 ，AD⊥AB，点 C 在 x 轴 上，且 AC 与 x 轴垂直，求证：B，C，D 三点共线．
=
=
，
即直线 QN 过点（1，0）， 又∵椭圆 C 的右焦点坐标为 F（1，0）， ∴三点 N，F，Q 在同一条直线上．
类型四 多种方法证三点共线 例 4 .（2 017•保定一模）设椭圆 x2+2y2=8 与 y 轴相交于 A，B 两点（A 在 B 的上方），直线 y=kx+4 与该椭圆相交于不同的 两点 M，N，直线 y=1 与 BM 交于 G． （1）求椭圆的离心率； （2）求证：A，G，N 三点共线．
即
3xM xM k
6
(
xN
k
2)
xN
成立，化简得： (3k
k)xM xN
6(xM
xN )
将①②代入易知等式成立，则 A，G ，N 三点共线得证。
类型二 斜率法证三点共线
例 2.（2017•上海模拟）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两
点，设 AB 的中点为 M，A、B、M 在准线上的射影依次为 C、D、N．
5.已知椭圆
,四点
中恰有三点在椭圆 C 上 （1）求椭圆 的 方程. （2）经过原点作直线 （不与坐标轴重合）交椭圆于 ， 两点，
轴于点 ，点 在椭圆 C 上，且
求证： ，
三点共线.
【思路点拨】根据椭圆上的点坐标求出椭圆方程；设出
，
，则
，
，再向量坐标化，得到
，得到
，最终得到
；
6.已知抛物线 ：
【典例指引】 类型一 向量法证三点共线
例 1 （2012 北京理 19）（本小题共 14 分）已知曲线 C : (5 m)x2 (m 2) y2 8 （ m R ） (Ⅰ)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围； (Ⅱ)设 m =4，曲线 C 与 y 轴的交点为 A ， B （点 A 位于点 B 的上方），直线 y kx 4 与曲
k 的直线 l1 与椭圆交于 A，B 两点，M 为线段 EF 的中点． （I）若直线 l1 的倾斜角为 ，求△ABM 的面积 S 的值；
（2）证明：不妨设点 A（x1，y1），D（x2，y2），B 的坐标（﹣x1，﹣y1），C（x1，0），
∵A，D 在椭圆上，
，=0，即（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，
∴
=﹣
由 AD⊥AB， ∴kAD•kAB=﹣1， •
， =﹣1， •（﹣
，）=﹣1，
∴=
，
∴kBD﹣kBC=
由弦长公式|PQ|=
•
=
，
∴四边形 PMQN 的面积 S= |MN|•|PQ|=
令 1+k2=t，（t＞1），
则 S=
=
=4 ×（1+
∴S＞4 ，
， ）＞4 ，
综上可知：四边形 PMQN 的面积的最小值 4 ．
9.已知椭圆
的右焦点为 F，设直线 l：x=5 与 x 轴的交点为 E，过点 F 且斜率为
【扩展链接】
1.给出 AP AQ BP BQ ,等于已知 P,Q 与 AB 的中点三点共线;
2. 给出以下情形之一：① AB // AC ；②存在实数 , 使AB AC ；③若存在实数 , , 且 1,使OC OA OB ,等于已知 A, B,C 三点共线；
3.
【同步训练】
【思路点拨】（1）由 c=1，a2﹣b2=1，求得四条直线的斜率，由斜率乘积为 ，代入求得 a 和 b 的关系，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆 W 的标准方程； （2）设 A，D 的坐标，代入椭圆方程，作差法，求得直线 AD 的斜率，由 kAD•kAB=﹣1，代入求
得=
，由 kBD﹣kBC=0，即可求证 kBD=kBC，即可求证 B，C，D 三点共线．
，又
，
，
故 BD 方程化为
，令 ，得 ，即结论成立。
【详细解析】（1）依题意知
所以抛物线 的方程
.
（2）设直线 的方程为
，解得 ， （ ），
7.已知椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率与双曲线 C ' ：
x2 y2 1的离心率互为 22
倒数，且经过点
M
4 3
,
1 3
．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
22
a' 2
而椭圆 C 的离心率与双曲线 C ' 的离心率互为倒数，所以椭圆 C 的离心率为 2 ， 2
设椭圆 C 的半焦距为 c ，则 e c 2 .① a2
4 2 1 2
又椭圆
C
经过点
M
4 3
,
1 3
，所以
3 a2
3 b2
1.②
a2 b2 c2 ，③
联立①②③，解得 a 2, b 1, c 1 .
所以椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1 . 2
8.设椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的右焦点为 F1，离心率为 ，过点 F1 且与 x 轴垂直的直
线被椭圆截得的线段长为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 y2=4x 上存在两点 M，N，椭圆 C 上存在两个点 P，Q，满足：P，Q，F1 三点共线，M，N， F1 三点共线且 PQ⊥MN，求四边形 PMQN 的面积的最小值． 【思路点拨】（1）由题意可知：a= b2，a= c 及 a2=b2﹣c2，即可求得 a 和 b 的值，求得椭 圆的标准方程； （2）讨论直线 MN 的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面 积；当直线 MN 斜率存在时，设 直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式， 以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．
【题型综述】 三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存
在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点 间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量 共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第 3 点也在该 直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离， 若距离为 0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为 0， 则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.