离散时间系统及卷积

2、时不变系统
设某系统对输入 f (n) ，有输出s(n) 则该系统对输入 f (n N0) ， 有输出 s(n N0) ， 则该系统为时不变系统。
3、因果系统
如果某系统在 n0 时刻的输出 s(n0) 仅于 n0 时刻前的输入 f (n) n n0 有关， 而与 n0 时刻以后的输入 f (n) n n0 无关， 则该系统为因果系统。
4、稳定系统
对有界输入信号的响应还是有界信号的 系统是稳定系统。
或者说，如果输入信号的幅度限制在某 个范围之内，则输出信号的幅度也限制 在某个范围之内。
10.3 离散时间系统的描述
1、系统函数
对应连续时间系统中的h(t)，离散时间系 统中有h(n)。
2、系统函数的物理含义
冲激响应函数： 指冲激信号 (n) 经过系统的响应。 换句话说，系统函数h(n) 就是输入信号为 (n) 时离散 时间系统的输出信号。
做了一个频域频移，相当于时域延迟，但要注意，H (k) 对应的时域信号是h(n) 的周期延拓信号h~(n) ，所以：
。 N 1
j 2mk j 2nk
[H (k)e N ]e N
h~(n m)
k 0
于是
y(n)
N 1
x(m)
1
N 1
j 2mk j 2nk
H (k)e N e N
m0
N k0
<h(n-1)>N
h~(n 2)
h~(n m)
…
……
…
3
n
h~(n 2)
3
~ h (n
m)
n
3
n
在[0,N-1]内=圆周移位
<h(n-2)>N
3
n
在[0,N-1]内=圆周移位
<h(n-m)>N
可见：
N 1
y(n) x(m) h(n m) N m0 这种卷积被称为园周卷积，可见得到的y(n) 是x(n)
2、并联系统
系统1
输入
h1(n)
输出
系统2 h2(n)
系统h(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)+h2(n)
3、混联系统
系统1 系统2
输入
h1(t)
h2(t)
输出
系统4
系统3
h4(t)
h3(t)
系统h(t) 此种情况下，系统的冲激响应函数：
h(t)={[h1(t)h2(t)]+ h3(t)} h4(t)
与 h(n) 的园周卷积。
表示为： y(n) x(n)h(n)
下面的问题是：园周卷积与正常离散卷积相同吗？？
回答，如不做特殊处理，园卷积与正常 卷积不同，在做特殊处理之后，可以相 同。
问题：一个K点的h(n)和一个L点的x(n)正 常卷积可以得到一个多少点的y(n)？？
回答：K+L-1点。
基于这些联系，我们可以分析和解决很 多问题
1）级联系统
输入
系统1 h1(n)
输出
系统2
h2(n) 系统h(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)h2(n)H()=H1()·H2()
2）并联系统
系统1
输入
h1(n)
输出
系统2 h2(n)
系统h(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)+h2(n) H()=H1()+H2()
t
s(n) f (k )h(n k ) 就是离散卷积公式 k
将它与连续的卷积公式对比
s (t ) f ( )h (t )d
二者之间是统一的
于是，借助系统函数-即冲激响应函数， 我们就在系统的输入信号与输出信号之 间建立了一种明确的数学关系，这种数 学关系就是卷积关系。
4、卷积的性质及一类特殊的卷积
例如：
h(n)=[1,2,3,4]
3n x(n)=[1,2,2,1]
3n
h(0-m)
3m x(m)
3m
正常卷积：
y(0) x(m)h(0 m) m
1
即上下两图中对应
点相乘后相加
同理：
h(1-m)
3m x(m)
3m
正常卷积：
y(1) x(m)h(1 m) m
4
即上下两图中对应
我们知道：
N1
j 2nk
N 1
j 2nk
X (k) x(n)e N ， H (k) h(n)e N ，
n0
n0
y(n)
1
N 1
j 2nk
Y (k)e N
1
N 1
j 2nk
X (k)H (k)e N
N k0
N k0
1
N 1 N 1
j 2mk
j 2nk
x(m)e N H (k)e N
2 (n) 7 (n 1) 8 (n 2) 3 (n 3)
si(n)
2
3
si(0) si(1)
n
h(n)
1
2
1
n
si(0)引起的输出=2h(n)
4
2
2
n
si(1)引起的输出=3h(n-1)
6
3
3
n
总的输出=2h(n)+3h(n-1)
8 7
2
3
n
3、时域卷积等价与频域乘积的物理意义
从广义上看，任何一个系统h(n)，都 可以看成是一个滤波器。因为它们均 实现了一定的频率选择性。
3、从系统函数到卷积
(n) n
f(n)
T
系统
h(n) n
f (n) f (k) (n k) k
f(t)
s(t)
系统
T
于是输入信号f(n)的输出就 等于一系列h(n)（经过加权 和移位）的叠加
s(n) f (k)h(n k) k
h(n)f(0)
t
h(n-1)f(1)
t …
h(n-k)f(k)
r0
N
b k e jk
k 0
得到H()之后可以通过逆离散付里叶变 换反解出系统冲激响应函数h(n)。
10.7 DFT和圆周卷积
1、园周移位
x(n)，n=0,1,2,…N-1的信号的圆周移位 又写成<x(n-k)>N
具体方法如下图。
X(n)
<X(n-1)>N
<X(n-2)>N
3
n
3
n
加
3m
依次有：
y’(n)=[17,15,13,15]。显然同前面的y(n) 不同。
问题，如何处理才能使y’(n)=y(n)??
回答：将K点的x(n)，L点的h(n)通过补0 分别展成K+L-1点的序列，再做园周卷积 即可。
还用上例：
h(n)=[1,2,3,4,0,0,0]
•••
7
n
x(n)=[1,2,2,1, 0,0,0]
补0展长后 的序列
•••
7
n
展长后的园周卷积：
<h(0-m)>N
园周卷积：
•••
x(m)
7m
7
y'(0) x(m) h(0 m) N m0
1
即上下两图中对应点相乘后相
•••
7m
加
注：<h(0-m)>N的获取仍采用前面介绍过的方法
展长后的园周卷积：
<h(1-m)>N
园周卷积：
•••
7m x(m)
举例：
输入信号为： si(n) 2(n)3(n1)
冲激响应为：h(n) 1(n) 2(n1) 1(n2)
1
输出为： s0(n) si (k)h(n k) 2h(n) 3h(n 1) k 0
2 (n) 4 (n 1) 2 (n 2) 3 (n 1) 6 (n 2) 3 (n 3)
回答：有，而且实际的处理中，结合FFT， IFFT，就是用这种方法来处理的。
我们知道：
对x(n)，h(n)，n[0,N)，其周期拓展后的信号 的离散付里叶变换(DFT)为X(k)，H(k)， k[0,N)。
假设Y(k)=X(k)·H(k)。
那么问题是，Y(k)做逆离散付里叶变换(IDFT) 得到的y(n)是什么？？
10.5 卷积的频域性质
1、时域与频域的关系
时域卷积等价于频域乘积，即
如果： s(n) f (n) h(n) 则： S () F () H () 其中， S (), F (), H () 分别为
输出信号 s(n), 输入信号 f (n), 系统冲激响应函数 h(n)
的离散付里叶变换
于是，我们在系统冲激响应函数、输入 信号、输出信号之间建立了联系，这种 联系不仅体现在时域中，而且体现在频 域中。
<X(n-3)>N
<X(n-4)>N
3
n
3
n
3
n
2、园周卷积
我们知道，前面介绍求解输出信号时可 以采用频域法，即对输入x(n)，系统h(n)， 求解输出y(n)时，可以先求 Y()=X()H()，再反变换回去得y(n)， 不过，反变换涉及积分，不太方便计算 机处理。
问题，有没有其他的办法在频域也离散 化，即根据Y(k)来求解y(n)？？？
点相乘后相加
继续移动，最终正常卷积得到的 y(n)=[1,4,9,15,16,11,4]共7点 下面看园周卷积
园周卷积：
<h(0-m)>N
园周卷积：
3m x(m)
3
y'(0) x(m) h(0 m) N m0
17
即上下两图中对应点相乘后相
加
3m
解释：<h(0-m)>N是怎样得来的：
1
N 1
N 1
j 2mk j 2nk
x(m) H (k)e N e N
N k0 m0
N m0
k 0
由 y(n)
N 1
x(m)
1
N 1
j 2mk j 2nk
H (k)e N e N
m0
N k0
而对
1 N
N 1
j 2mk
[H (k)e N
k 0
j 2nk
]e N
，看中括号内的部分，是对H (k)
h(m) 3
有了<h(0-m)>N，自然求 解<h(n-m)>N 就方便了，实际 上就是不断地向右做园周移位
m
h(-m)
周期延拓
<h(0-m)>N
取0~N-1点
3m
3m
3m
园周卷积：
<h(1-m)>N
园周卷积：
3m x(m)
3
y'(1) x(m) h(1 m) N m0
15
即上下两图中对应点相乘后相
号为 so(n)
利用时域法可以求解输出信号：
so(n) si (n) h(n) si (k)h(n k) k
利用频域法也可以求解输出信号：
So() Si () H() ，再做反付里叶变换
so
(n)
1
2
2 0
So
()e
jnd
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应当注意的是，有些情况下，采用时域 法求解较为容易，而有些情况下，采用 频域法较为方便。
卷积具有如下重要性质： 交换率：s (n)h(n)= h(n) s (n) 分配率：
s (n)[h1(n)+h2(n)]= s(n) h1 (n)+ s(t) h2 (n)
5、一类特殊的卷积
对： h(n) (n n0 )
有：
so(n) si (k)h(n k) si (k) (n k n0) si (n n0) ，
k
k
可见输入信号经过一个冲激响应为(nn0) 的系统，
相当于做平移。
特殊的： si (n) (n) si (n)
h(n)=(n)的系统又被称为恒等系统
10.4 离散互联系统的冲激响应
1、级联系统
输入
系统1 h1(n)
输出
系统2
h2(n) 系统h(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)h2(n)
3）混联系统
系统1 系统2
输入
h1(n)
h2(n)
输出
系统4
系统3
h4(n)
h3(n)
系统h(n) 此种情况下，系统的冲激响应函数：
h(n)={[h1(n)h2(n)]+ h3(n)} h4(n)
H()={H1()·H2()+H3()} ·H4()
2、输出信号的求解
设输入信号为si(n) ，系统的冲激响应为h(n) ，输出信
解释同连续时间系统
10.6 系统冲激响应函数的求解
对差分方程， y 为输出信号，x 为输入信号：
N
M
bk y(n k) ar x(n r) ，有：
k 0
r 0
N
M
bkY ( )e jk ar X ( )e jr ，所以
k 0
r0
M
H ( )
Y ( ) X ( )
a r e jr
离散时间系统输入输出之间的关系可以采 用一些数学模型来描述，如差分方程，以及其他 各种方式。 例如：
bn s0 (n) bn1s0 (n 1) b0si (n)
10.2 离散时间系统的分类
1、线性系统
设某系统对输入 f1(n), f2(n) ，有输出s1(n),s2(n) 则该系统对输入C1 f1(n) C2 f2(n) ， 有输出C1 s1(n) C2 s2(n) ，则该系统为线性系统。
N 1
~
x(m)h (n m)
m0
这已经是卷积的形式，但它与普通卷积不同，主要在于 后一项是h~(n m) 而不是h(n m) 。 下面我们来看h~(n m) 在[0，N-1]上是什么形式
举例来看：
h(n)
…
h~(n 1)
…
3n h~(n)
3 h~(n 1)
n
…
…
3
n
3
n
在[0,N-1]内=圆周移位
第十章 离散时间系统及卷积
10.1 离散时间系统
1、离散系统的概念
离散时间系统是指输入及输出信号均是 离散信号的系统。
输入si(n)
系统
输出so(n)
2、离散系统的互联
系统1
输入
输出 输入
输出
系统1
系统2
系统2
a.系统的级联
b.系统的并联
系统1 系统2
输入
系统3
c.系统的混联
输出
系统4
3、离散时间系统的模型