导数证明不等式(总题)

导数与函数不等式

考点1不等式的证明

考法1比较法 考向1求商比较法

1.（2014·福建卷·理科）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-. （Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值； （Ⅱ）证明：当0x >时，x e x <

2.

解析：（Ⅰ）()x f x e a '=-，(0)11f a '=-=-，2a =.()2x f x e x =-，()2x f x e '=-，令()0f x '=，ln 2x =，极小值为(ln 2)22ln 2f =-，无极大值.

（Ⅱ）2

x

x e <，等价于21x x e

<，令2()x x g x e =，22()x

x x g x e -+'=，220x x -+=，0x =或2x =，当0x >时，24

()(2)1g x g e

≤=

<，所以，x e x <2. 2.（2018·全国卷Ⅱ·理科）已知函数2()x f x e ax =-. （Ⅰ）若1a =，证明：当0x ≥时；()1f x ≥；

解析：当1a =时，()1f x ≥等价于2

1x

e x -≥，2110x x e +-≤．设函数21

()1x x g x e

+=-，

则222(1)(21)

()x x

x x x x g x e e -+--+'==．当1x ≠时，()g x '0<，所以()g x 在(0,)

+∞单调递减．而(0)0g =，当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． 考向2 求差比较法：

1.（2013·北京卷·理科）设l 为曲线C ：ln x

y x

=在点(1,0)处的切线. （Ⅰ）求l 的方程；

（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方. 解析：（Ⅰ）1y x =-.

（Ⅱ）ln ()1x

h x x x

=--，222

1ln 1ln ()1x x x h x x x --+'=-=，2()1ln x x x ϕ=-+在(0,)+∞单调递增，(1)0ϕ=，即(0)0h '=.当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如

()(1)0h x h ≥=，1x x

-≥

，当且仅当1x =时，取等号. 2.已知函数()ln(1)f x x =+，2311

()23g x bx x x =-+，函数()y f x =与函数()

y g x =的图像在点(0,0)有公共的切线. （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）证明()()f x g x ≤.

解析：（Ⅰ）1b =.（Ⅱ）令2311

()()()ln(1)()23

h x f x g x x x x x =-=+--+（1x >-），

则32

1()(1)11x h x x x x x

-'=--+=++，当1x >-时，()(0)0h x h ≤=，()()f x g x ≤，当且仅当0x =时，取等号. 考向3中间变量法

1.（2014·全国新课标卷Ⅰ·理科）设函数1

()ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()

y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+. （Ⅰ）求a ，b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.

解析：（Ⅰ）曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+.(1)2f =，又

(1)f b =，2b =，2111

()(ln )()x x b f x a x e e x e x x

'=++-，(1)f ae e '==，1a =.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知12()ln x x

e f x e x x -=+，()1f x >，等价于2

ln x x x x e e

>-.

设()ln g x x x =（0x >），()ln 1g x x '=+，()0g x '=，1

x e

=.当x 变化时，()g x '，

()g x 变化情况如下表：

min ()()g x g e e ==-.

设2()x x h x e e =-，11

()x x x x h x e e

--+'==，()0h x '=，1x =.当x 变化时，()h x '、()

h x

max ()(1)h x h e ==-.min max ()()(1)()g x g h h x e

===，所以0x >时，()()g x h x >，

即()1f x >.

2.证明：①x e ex ≥ ②ln x

x e

≥ ③2ln x e e x > 考法2适当放缩构造法 考向1已知条件放缩

1.(2018·全国卷Ⅰ·文科)已知函数()ln 1x f x ae x =--.

（Ⅰ）设2x =是()f x 的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）证明：当1

a e

≥时，()0f x ≥.

解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，，1()x

f x ae x '=-

．由题设知，21(2)02f ae '=-=,所以212a e =．21

()ln 12x f x e x e =--，211()2x f x e e x '=-，21102x e e x

-=，2x =（由

已知）.当x 变化时，()f x '、()f x 变化情况如下表：