2019年高考数学一轮复习 第5章 数列 第4节 数列求和课件 理 北师大版.pptx

)
(3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可 根据错位相减法求得．( ) (4)如果数列{an}是周期为 k(k 为大于 1 的正整数)的周期数列，那么 Skm＝ mSk.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
n＋1－
n)
＋( n－ n－1)＋…＋( 3－ 2)＋( 2－ 1)＝ n＋1－1，令 n＋1－1＝9，
得 n＝99，故选 B.]
4．数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则 S17＝ ________.
9 [S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋ (－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 如 果 数 列 {an} 为 等 比 数 列 ， 且 公 比 不 等 于 1 ， 则 其 前 n 项 和 Sn ＝
a11－－aqn＋1.(
)
(2)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.(
(2)由(1)知 an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝n1＋22n－1＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
[规律方法] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an} 的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或 等差数列，可采用分组求和法求和． 易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．
[跟踪训练] (2018·南昌一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，S3 ＋S4＝S5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前 2n 项和 T2n.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d， 由 S3＋S4＝S5 可得 a1＋a2＋a3＝a5，即 3a2＝a5， ∴3(1＋d)＝1＋4d，解得 d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)可得 bn＝(－1)n－1·(2n－1)． ∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1) ＝(－2)×n＝－2n.
裂项相消法求和
(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列2na＋n 1的前 n 项和．
[解] (1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当 n≥2 时， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 两式相减得(2n－1)an＝2， 所以 an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得 a1＝2，满足上式， 所以{an}的通项公式为 an＝2n2－1.
第 章 数列 第四节 数列求和
[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式.2.掌握特殊 的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
栏目 导航
双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练
(对应学生用书第 87 页)
[基础知识填充]
1．公式法
(1)等差数列的前 n 项和公式：
①nn1＋1＝1n－n＋1 1；
②2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
③
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对 应项之积构成的，那么求这个数列的前 n 项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或 等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
[解] (1)设等比数列{bn}的公比为 q， 则 q＝bb32＝39＝3， 所以 b1＝bq2＝1，b4＝b3q＝27，所以 bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)． 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以 1＋13d＝27，即 d＝2. 所以 an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．
)
A．1
B．56
C．61
D．310
B [∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－21＋21－31＋…－16＝56.]
3．数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n
等于(
)
A．9
B．99
C．10
D．100
B
[∵an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(
Sn＝na12＋an＝ na1＋nn2－1d
；
(2)等比数列的前 n 项和公式：
Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1，a111－－qqn，q≠1
.
2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列 组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得前 n 项和．裂项时常用的三种变形：
5．若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝ __________.
2n＋1－2＋n2 [Sn＝211－－22n＋n1＋22n－1＝2n＋1－2＋n2.]
分组转化求和
(对应学生用书第 87 页)
(2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3＝ 9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2来自百度文库设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和．