直线的方向向量和平面的法向量 课件
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[解析] ∵n1≠n2，且n1·n2≠0， ∴α与β相交但不垂直.
[例3] 已知A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量．
[分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于 平面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
[解析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由题意A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)．
[例 5] 直线 l 的方向向量为 a＝(2，－1,1)，平面 α 的法向量为 e＝12，0，－1，则 l 与 α 的位置关系为______．
[误解] l∥α [辨析] ∵a＝(2，－1,1)，e＝(12，0，－1)， ∴a·e＝(2，－1,1)·(12，0，－1) ＝2×12－1×0－1×1＝0. ∴a⊥e，所以 l∥α 或 l⊂α.
[例4] 三条直线a、b、c，若a∥b，a∥c，求证b∥c. [证明] 设a、b、c的方向向量分别为e1、e2、e3， ∵a∥b，∴存在k∈R，使e2＝ke1， ∵a∥c，∴存在实数m，使e1＝me3， ∴e2＝(km)e3， ∴e2∥e3，∵b与c不重合，∴b∥c.
两条不重合直线m、n和平面α都垂直，求证m∥n. [证明] 设m、n的方向向量分别为e1、e2，平面α的法 向量为n，∵m⊥α，n⊥α， ∴e1∥n，e2∥n， 故存在实数x，y，使e1＝xn，n＝ye2， ∴e1＝(xy)e2，∴e1∥e2， ∵m与n不重合，∴m∥n.
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知v＝－2u，即u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0， ∴u、v不垂直，显然u≠v， ∴α与β既不平行也不垂直．
不重合平面α、β的法向量分别为n1＝(1,2，－3)，n2＝ (－2,1,3)，判断α与β的位置关系________．
l2重合⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b.
[解析] (1)显然有b＝3a，即a∥b，
∴l1∥l2(或l1与l2重合)．
(2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然b＝－4a，即a∥b，故l1∥l2(或l1与l2重合)．
直线 a 与 b 的方向向量分别为 e＝(2,1，－3)和 n＝(－
这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以 具体表示出l上的任意一点．
2．空间中平面α的位置可以由α内两条 相交 直线来 确定. 设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a 和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知， 存在有序实数对(x，y)，使得
O→P＝ xa＋yb . 这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还 可以具体表示出α内的任意一点．
∵n⊥A→B且 n⊥B→C， ∴nn··AB→→BC＝ ＝－ x－x＋ z＝y0＝，0，
令 x＝1 得 y＝z＝1. ∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
[点评] (1)在选取平面内的向量时，要选取不共线的 两个向量．(2)在求n的坐标时，可令x、y、z中一个为一特 殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
(1)l∥m⇔ a∥b ⇔ 存在k∈R，使a＝kb ； (2)l⊥m⇔ a⊥b ⇔ a·b＝0 ； (3)l∥α⇔ ⇔a⊥u a·u；＝0 (4)l⊥α⇔ a∥u⇔ 存在k∈R，使a＝ku . (5)α∥β⇔ u∥v ⇔ 存在k∈R，使u＝kv ； (6)α⊥β⇔ u⊥v ⇔ u·v＝0 .
注：①由前提知a，b，u，v都是非零向量． ②用(1)证明线Βιβλιοθήκη Baidu平行时，必须指明l与m不重合；用(3) 证明线面平行时必须说明l⊄α；用(5)证明二面平行时，必 须说明α与β不重合．
1,1，－13)，则 a 与 b 的位置关系是
()
A．平行 C．相交 [答案] B
B．垂直 D．重合
[例2] 设u，v分别是不重合平面α、β的法向量，根据 下列条件，判断α、β的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的
法向．量
给定一点A和一个向量a，那么过点A以向量a为法向量 的平面唯一确定．
4．空间直线与平面的位置关系可以由直线的方向向量 与平面的法向量的位置关系来研究．
设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向 量分别为u、v，当l，m不重合，α、β不重合且l、m不在平 面α、β内时，有
[例1] 设a，b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列 条件判断l1、l2的位置关系．
(1)a＝(2，－2，－2)，b＝(6,3，－6)； (2)a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)； (3)a＝(0,0，－1)，b＝(0,0,4)． [分析] 设l1、l2的方向向量分别为a，b，则l1∥l2或l1与
立体几何中的向量方法
1．空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个 定点A 以及一个 定方向 确定．如图所示，点 A 是直线 l 上一点， 向量 a 表示直线 l 的方向(方向向量)，O 是空间任一点．在 直线 l 上取A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存 在实数 t，使得
A→P＝t A→B 或O→P＝(1－t)O→A＋tO→B.
[正解] l∥α或l⊂α
过点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)的平面的法向量为 ________．
[答案] (1,1,1)
[解析] 设法向量 n＝(x，y,1)， 由nn··AA→→BC＝＝00 得，－－xx＋＋y1＝＝00 ，∴xy＝＝11 ， ∴n＝(1,1,1)．
[点评] 提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为1 时一定要注意这个坐标不为0如本题中若求平面AOB的法向 量时，就不能设其法向量为(1，y，z)．
[例3] 已知A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量．
[分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于 平面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
[解析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由题意A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)．
[例 5] 直线 l 的方向向量为 a＝(2，－1,1)，平面 α 的法向量为 e＝12，0，－1，则 l 与 α 的位置关系为______．
[误解] l∥α [辨析] ∵a＝(2，－1,1)，e＝(12，0，－1)， ∴a·e＝(2，－1,1)·(12，0，－1) ＝2×12－1×0－1×1＝0. ∴a⊥e，所以 l∥α 或 l⊂α.
[例4] 三条直线a、b、c，若a∥b，a∥c，求证b∥c. [证明] 设a、b、c的方向向量分别为e1、e2、e3， ∵a∥b，∴存在k∈R，使e2＝ke1， ∵a∥c，∴存在实数m，使e1＝me3， ∴e2＝(km)e3， ∴e2∥e3，∵b与c不重合，∴b∥c.
两条不重合直线m、n和平面α都垂直，求证m∥n. [证明] 设m、n的方向向量分别为e1、e2，平面α的法 向量为n，∵m⊥α，n⊥α， ∴e1∥n，e2∥n， 故存在实数x，y，使e1＝xn，n＝ye2， ∴e1＝(xy)e2，∴e1∥e2， ∵m与n不重合，∴m∥n.
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知v＝－2u，即u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0， ∴u、v不垂直，显然u≠v， ∴α与β既不平行也不垂直．
不重合平面α、β的法向量分别为n1＝(1,2，－3)，n2＝ (－2,1,3)，判断α与β的位置关系________．
l2重合⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b.
[解析] (1)显然有b＝3a，即a∥b，
∴l1∥l2(或l1与l2重合)．
(2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然b＝－4a，即a∥b，故l1∥l2(或l1与l2重合)．
直线 a 与 b 的方向向量分别为 e＝(2,1，－3)和 n＝(－
这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以 具体表示出l上的任意一点．
2．空间中平面α的位置可以由α内两条 相交 直线来 确定. 设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a 和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知， 存在有序实数对(x，y)，使得
O→P＝ xa＋yb . 这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还 可以具体表示出α内的任意一点．
∵n⊥A→B且 n⊥B→C， ∴nn··AB→→BC＝ ＝－ x－x＋ z＝y0＝，0，
令 x＝1 得 y＝z＝1. ∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
[点评] (1)在选取平面内的向量时，要选取不共线的 两个向量．(2)在求n的坐标时，可令x、y、z中一个为一特 殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
(1)l∥m⇔ a∥b ⇔ 存在k∈R，使a＝kb ； (2)l⊥m⇔ a⊥b ⇔ a·b＝0 ； (3)l∥α⇔ ⇔a⊥u a·u；＝0 (4)l⊥α⇔ a∥u⇔ 存在k∈R，使a＝ku . (5)α∥β⇔ u∥v ⇔ 存在k∈R，使u＝kv ； (6)α⊥β⇔ u⊥v ⇔ u·v＝0 .
注：①由前提知a，b，u，v都是非零向量． ②用(1)证明线Βιβλιοθήκη Baidu平行时，必须指明l与m不重合；用(3) 证明线面平行时必须说明l⊄α；用(5)证明二面平行时，必 须说明α与β不重合．
1,1，－13)，则 a 与 b 的位置关系是
()
A．平行 C．相交 [答案] B
B．垂直 D．重合
[例2] 设u，v分别是不重合平面α、β的法向量，根据 下列条件，判断α、β的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的
法向．量
给定一点A和一个向量a，那么过点A以向量a为法向量 的平面唯一确定．
4．空间直线与平面的位置关系可以由直线的方向向量 与平面的法向量的位置关系来研究．
设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向 量分别为u、v，当l，m不重合，α、β不重合且l、m不在平 面α、β内时，有
[例1] 设a，b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列 条件判断l1、l2的位置关系．
(1)a＝(2，－2，－2)，b＝(6,3，－6)； (2)a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)； (3)a＝(0,0，－1)，b＝(0,0,4)． [分析] 设l1、l2的方向向量分别为a，b，则l1∥l2或l1与
立体几何中的向量方法
1．空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个 定点A 以及一个 定方向 确定．如图所示，点 A 是直线 l 上一点， 向量 a 表示直线 l 的方向(方向向量)，O 是空间任一点．在 直线 l 上取A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存 在实数 t，使得
A→P＝t A→B 或O→P＝(1－t)O→A＋tO→B.
[正解] l∥α或l⊂α
过点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)的平面的法向量为 ________．
[答案] (1,1,1)
[解析] 设法向量 n＝(x，y,1)， 由nn··AA→→BC＝＝00 得，－－xx＋＋y1＝＝00 ，∴xy＝＝11 ， ∴n＝(1,1,1)．
[点评] 提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为1 时一定要注意这个坐标不为0如本题中若求平面AOB的法向 量时，就不能设其法向量为(1，y，z)．