数学分析答案

数学分析上册第三版华东师范大学数学系编部分习题参考解答P.4 习题1．设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a + x是无理数；（2）当时，ax 是无理数.证明（1）（反证）假设a + x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾，故a + x是无理数.（2）假设ax 是有理数，于是是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故ax是无理数.3．设，证明：若对任何正数ε有，则 a = b .证明由题设，对任何正数ε有，再由教材P.3 例2，可得，于是，从而 a = b .另证（反证）假设，由实数的稠密性，存在 r 使得. 这与题设“对任何正数ε有”矛盾，于是，从而 a = b .5．证明：对任何有（1）；（2）证明（1）（2）因为，所以6．设证明证明建立坐标系如图，在三角形OAC中，OA的长度是，OC的长度是，AC的长度为. 因为三角形两边的差小于第三边，所以有7．设，证明介于1与之间.证明因为，所以介于1与之间.8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则是无理数.证明（反证）假设为有理数，则存在正整数 m、n使得，其中m、n互素. 于是，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得. 于是，，从而 p 是 m 的约数，故m、n有公约数 p. 这与“m、n互素”矛盾. 所以是无理数.P.9 习题2．设S为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S无上界；若，，使得，则称S无上界.（请与S有上界的定义相比较：若，使得，有，则称S有上界）（2）S无界.若，，使得，则称S无界.（请与S有界的定义相比较：若，使得，有，则称S有界）3．试证明数集有上界而无下界.证明，有，故2是S的一个上界.而对，取，，但. 故数集S无下界.4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）解，. 下面依定义加以验证（可类似进行）.，有，即是S的一个上界，是S的一个下界.，若，则，都有；若，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得，即，不是上界，所以.（2）解 S无上界，故无上确界，非正常上确界为.下面证明：.①，有，即 1 是S的一个下界；②，因为，即不是S的下界. 所以.(3)解仿照教材P.6例2的方法，可以验证：.⑷解，首先验证.①，有，即 1 是S的一个上界；②，取正整数，使得，于是取. 从而，且.所以5．设S为非空有下界数集，证明：证明：）设，则对一切，有，而，故是数集S中的最小的数，即.）设，则；下面验证；⑴ 对一切，有，即是数集S的下界；⑵ 对任何，只须取，则. 所以.6．设S为非空数集，定义. 证明：⑴⑵证⑴ 设，下面证明：.① 对一切，有. 因为，所以有，于是，即是数集S的上界；② 对任何，有. 因为，所以存在，使得. 于是有，使得.由①，②可知.7．设A、B皆为非空有界数集，定义数集证明：（1）；（2）证明（1）因为A、B皆为非空有界数集，所以和都存在.，由定义分别存在，使得. 由于，，故，即是数集的一个上界. ，（要证不是数集的上界），，由上确界的定义，知存在，使得. 于是，再由上确界的定义，知存在，使得. 从而，且. 因此是数集的上确界，即另证，由定义分别存在，使得. 由于，，故，于是. ①由上确界的定义，，，使得，，使得，从而，由教材P.3 例2，可得由①、②，可得类似地可证明：P.15 习题9．试作函数的图象解是以2π为周期，定义域为，值域为的分段线性函数，其图象如图.11．试问是初等函数吗？解因为，可看成是两个初等函数与的复合，所以是初等函数.12．证明关于函数的如下不等式：（1）当时，（2）当时，证明（1）因为，所以当时，有，从而有.（2）当时，在不等式中同时乘以x，可得，从而得到所需要的不等式.P.20 习题1．证明是R上的有界函数.证明因为对R 中的任何实数x 有所以 f 在R上有界.2．（1）叙述无界函数的定义；（2）证明为（0，1）上的无界函数；（3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数.解（1）设函数，若对任何，都存在，使得，则称 f 是D 上的无界函数.（2）分析：，要找，使得. 为此只需.证明，取，则，且，所以f 为区间（0，1）上的无界函数.（3）函数是闭区间 [0，1] 上的无界函数.7．设、为定义在上的有界函数，满足，证明：⑴；⑵证⑴，有，即是在上的一个上界，所以.⑵，有，即是在上的一个下界，所以.8．设为定义在上的有界函数，证明：⑴；⑵证⑴，有，于是，即是在上的一个下界，从而，所以①反之，，有，于是，即是在上的一个上界，从而②由①，②得，.9．证明：在上无界，而在内任一闭区间上有界.证，取，于是. 则有，所以在上无界.在内任一闭区间上，取，则，必有，所以在上有界.10．讨论狄利克雷函数，的有界性，单调性与周期性.解函数是有界函数：. 不是单调函数.是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下：设r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则是有理数，于是；若 x 是无理数，则是无理数，于是.任何无理数都不是的周期.11．证明：在R上严格增.证设，于是因为，有，所以，从而. 所以有即在R上严格增.P.21 总练习题1．设，证明：⑴证若，则，，这时有；若，则，，也有，所以2．设和都是初等函数，定义，，试问和是否为初等函数？解由第1题有，因为和都是初等函数，于是是初等函数，再由，知是初等函数，所以是初等函数.8．设、和为增函数，满足，，证明：证因为、为增函数，再由，得，，所以有. 同理可得.9．设、为区间上的增函数，证明，也都是区间上的增函数.证⑴ 先证是区间上的增函数.设，于是有，，从而，所以是增函数.⑵ 其次证明是区间上的增函数设，于是有从而12．设、为上的有界函数，证明：⑴⑵证⑴ 由p.17例2 (i)，有①再由p.20习题8，有②结合①、②可得13．设、为上的非负有界函数，证明：⑴⑵证⑴，有，，从而. 即是在上的一个下界，所以有15．设为定义在R上以h为周期的函数，a为实数. 证明：若f在 [ a, a+h ] 上有界，则f在R上有界.证设f在 [ a, a+h ] 上有界，即存在，使得，有.，必存在整数和实数，使得. 于是，所以f在R上有界.16．设在区间上有界. 记，，证明证，有，. 于是，有，即是数集的一个上界. 下面证明：是数集的最小上界.由上确界，下确界的定义知，，，使得，，从而. 所以是数集的最小上界.所以部分重点高校历年研究生入学考试试题选（供参考）1．（北京科技大学，1999年）叙述数集A的上确界的定义，并证明：对任意有界数列，，总有证明定义参考教材.由上确界的定义，有，，（）. 于是，即实数是数列的一个上界，所以有2．（中国人民大学）设，求的定义域和.解由解得的定义域为，所以3．（华中理工大学）设，试验证，并求（，）.解由，得.4．（同济大学）设，求.解当时，，当时，，当时，，所以5．（西北工业大学）设，求⑴的定义域⑵⑶解⑴，所以的定义域为.⑵ 因为，所以⑶ 因为，，所以不存在6．（清华大学）设函数在上是奇函数，且对任何值均有⑴ 试用表示与⑵ 问取什么值时，是以2为周期的周期函数.解⑴ 因为对任何值均有，令得，所以.，⑵ 由知当且仅当，即时，是以2为周期的周期函数.7．（合肥工业大学）证明：定义在对称区间内的任何函数，必可表示成偶函数与奇函数之和的形式，且这种表示法是唯一的.证明令，，则，且容易证明是偶函数，是奇函数.下证唯一性. 若还有偶函数与奇函数，满足，则有，①用代入①式，得②①+② 得，再代入②式得8．（内蒙古大学）作函数的图形解9．（上海师范大学）是否存在这样的函数，它在区间上每点都取有限值，但在此区间的任何点的任何邻域内都无界.答存在，例如10．（武汉大学，1994年）设为一个正无穷大数列，E为的一切项组成的数集，试证：必存在自然数，使得证明因为为一个正无穷大数列，所以存在自然数，使得当时，. 于是，由于为有限集，所以存在，使得.11．（天津大学）证明：是满足不等式的一切正有理数的下确界；证设. 要证是数集A的下确界.，有，所以，即是数集A的一个下界.，由有理数的稠密性，在上存在无穷多个有理数，于是可取，即且.所以12．（华中师范大学）设函数定义在区间I上，如果对于任何，及，恒有，证明：在区间I的任何闭子区间上有界.证，要证在有界.，存在，使，即.①其中，令，则，，所以②由①、②可得，，有，所以在有界.。