数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。
答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。
答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。
答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。
答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。
3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。
南开大学数学分析考研试题及解答
20XX 年南开大学数学分析考研试题及解答1、求极限2463lim.x x x ex -→-+解 原极限46464262660[1()][1()]690263limx x x x x x x o x x o x x →-+-+--+-++=11906=-+ 7.45= 2、 计算22,4L ydx xdy I x y -+=+⎰L 为221,x y +=取逆时针方向。
解 记2222,,44y xP Q x y x y-==++ 则222224,(,)(0,0),(4)P x y Qx y y x y x∂-+∂==≠∂+∂ 而由Green 公式知LI Pdx Qdy =+⎰222224(01,4x y ydx xdyx y εε+=-+=<<<+⎰取逆时针方向）222241x y ydx xdy εε+==-+⎰2201sin cos =(sin cos )22t tt t dt πεεεεε--⋅+⋅⎰ .π=3、 计算333,1Sx y z I dS z++=-⎰⎰S 为222=1),0 1.x y z z +-≤≤（解22x y I +≤=⎰⎰22x y +≤=22x y +≤=(对称性)31(1)rrdrr-=⋅⎰.4=4、求函数22(,)27f x y x y=-在闭区域22{(,);2413}D x y x xy y=++≤上的最大值与最小值。
解由414xyf xf y=⎧⎪⎨=-⎪⎩，知f的极值点为(0,0),且(0,0)0.f=往求f在22{(,);(,)24130}D x y x y x xy yϕ∂=≡++-=上的最大值与最小值。
为此，利用Lagrange乘数法，记(,,)(,)(,)L x y f x y x yλλϕ=+222227(2413).x y x xy yλ=-+++-则由224(22)014(28)024130xyL x x yL y x yL x xy yλλλ⎧=++=⎪=-++=⎨⎪=++-=⎩(1)知373xyλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩或122xyλ=±⎧⎪=⎨⎪=⎩直接计算有91(,),(1,2)26.333f f±=±=-故91min26,max.3D Df f=-=______________________________________由1,2(1)知(42)202(148)0.x yx yλλλλ++=⎧⎨+-+=⎩而其有非零解(否则与3(1)矛盾)。
最新电大数学分析专题研究试题及参考答案知识点复习考点归纳总结参考
三一文库（ ）*电大考试*数学分析专题研究试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 .2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。
3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点0x 可导。
4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。
5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。
6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1A f f -A. =B. ≠C. ⊃D. ⊂2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。
A. )(x f '有界B. )(x f '无界C. )(x f 可积D. )(x f 不可积3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。
A. )(x f '≠)(x ϕ'B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=x t t f x F 0d )()(，则)(x F 在区间[0，2]上（ ）。
A. 连续B. 不连续C. 可导D. 前三个结论都不对5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。
考研数学分析真题答案
考研数学分析真题答案一、选择题1. 根据极限的定义，下列哪个选项是正确的？A. \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)B. \(\lim_{x \to 0} \sin x = 1\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)答案：A2. 函数 \(f(x) = \sin x + x^2\) 在 \(x = 0\) 处的导数是多少？A. 1B. 2C. 0D. -1答案：A二、填空题1. 函数 \(y = \ln x\) 的定义域是 _________。
答案：\((0, +\infty)\)2. 若 \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}\)，那么\(\int_{0}^{1} x^3 dx\) 的值是 _________。
答案：\(\frac{1}{4}\)三、解答题1. 证明：对于任意正整数 \(n\)，\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\)。
证明：首先，我们可以将求和式拆分为部分和的形式：\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]通过观察，我们可以看到这是一个望远镜求和，大部分项会相互抵消，最终只剩下：\[1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x = 2\) 处的泰勒展开式，并计算其近似值。
解：首先，我们计算函数在 \(x = 2\) 处的各阶导数：\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6\]在 \(x = 2\) 处，\(f(2) = 0\)，\(f'(2) = -2\)，\(f''(2) =6\)，\(f'''(2) = 6\)。
数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析专题研究试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。
3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点0x 可导。
4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。
5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。
6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1A f f-A. =B. ≠C. ⊃D. ⊂2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。
A. )(x f '有界 B. )(x f '无界 C. )(x f 可积 D. )(x f 不可积3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。
A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=xtt f x F 0d )()(，则)(x F 在区间[0，2]上（ ）。
A. 连续B. 不连续C. 可导D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。
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数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。
（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。
（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。
4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。
5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。
一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。
, , 当时, , 则。
2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。
五、1.证明:, , 当时, ；得证。
2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。
综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。
, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
数学分析试题及答案
数学分析试题及答案4(总8页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除（十四） 《数学分析Ⅱ》考试题一 填空（共15分，每题5分）：1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ;2 设=--='→5)5()(lim,2)5(5x f x f f x 则54；3 设⎩⎨⎧>++≤=0,)1ln(,0,sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。
二 计算下列极限：（共20分，每题5分）1 n n n1)131211(lim ++++∞→ ; 解: 由于，n n n n 11)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→nn n故 。
1)131211(lim 1=++++∞→nn n2 3)(21limn nn ++∞→；解: 由stolz 定理,3)(21limn n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n nn )1)1()(1(lim-+-+--=∞→n n n n n n nn)1)1(2))(1(()1(lim--+---+=∞→n n n n n n n n n.32)1)11(2111lim2=--+-+=∞→nn nn 3 ax a x a x --→sin sin lim；解: ax ax a x --→sin sin lim ax ax a x ax --+=→2sin 2cos2lim.cos 22sin2coslim a a x a x a x ax =--+=→ 4 xx x 1)21(lim +→。
解: xx x 10)21(lim +→.)21(lim 22210e x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）：1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+=求解: 。
2022年华南理工数学分析考研试题及解答
2022年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:RnRn，且fC1R，满足f某fy某y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的.某,yR证明显然，对于任意某,yRn，某y，有f某fy，f是单射，所以f1存在，由f1某f1y某y，知f1连续，由f某fy某y，得对任意实数t0,向量某,hRn,有f某thf某th，f某thf某h在中令t0，取极限，则有t得Jf(某)hh，任何某,hRn,从而必有|Jf(某)|0，Jf可逆，由隐函数组存在定理，所以f1存在，且是连续可微的。
例2.讨论序列fntinnt在0,上一致收敛性.nt11解方法一显然fnt，nt对任意t0,，有limfnt0，nfntinntntt，ntntt0limfnt0，关于n是一致的；对任意0，当t,时，fnt11，n于是fnt在,上是一致收敛于0的，综合以上结果，故fnt在0,上是一致收敛于0的.方法二由fntinntntinntntnt1，ntn即得fnt在0,上是一致收敛于0的例3、判断n1n在某1上是否一致收敛.某n例4.设f某在,上一致连续，且2f某d某收敛，证明limf某0.某2某yz例5.求有曲面21所围成的立体的体积其中常数a,b,c0.abc例6、设D为平面有界区域，f某,y在D内可微，在D上连续，在D的边界上f某,y0，在D内f满足方程试证：在D上f某,y0.fff.某y证明因为f某,y在D上连续，设Mma某f某,y，某,yD则M0，假若M0，则存在某0y0D，使得f某0y0M，于是有ff某0y00，某0y00，某yff这与某0y0f某0y00矛盾，某y假若M0，亦可得矛盾.同理，对mminf某,y，亦有m0，某,yD故f某,y0，某,yD.一．求解下列各题1、设，数列{某}满足lima0nn某na某na。
0，证明limn某na21、解由0lim某na2alim1，n某an某ann知lim2a1，所以lim某na.nn某anco某,当某为有理数f(某)2、设当某为无理数，0,证明f(某)在点某kk1（k为任意整数）处连续，而在其它点处不连续。
国开电大-数学分析专题研究-形考任务1-3答案
形考任务1 题目1：标准答案1：题目2：标准答案2：题目3：与自然数集N等势的集合称之为（）标准答案3：可列集题目4：标准答案4：题目5：标准答案5：=题目6：标准答案6：反对称的题目7：标准答案7：半序集题目8：标准答案8：题目9：对整数加法来说，整数集Z中（）标准答案9：零元和负元素都存在题目10：对于复数集C，下列说法正确的是（）.标准答案10：它不能成为有序域二、填空题题目11：标准答案11：三、计算题题目12：标准答案12：题目13：标准答案13：题目14：标准答案14：题目15：标准答案15：题目16：标准答案16：四、证明题题目17：标准答案17：题目18：标准答案18：题目19：标准答案19：题目20：标准答案20：题目21：标准答案21：形考任务2 一、单项选择题题目1：标准答案1：单调增加函数题目2：标准答案2：a≥ 1+b题目3：标准答案3：连续题目4：标准答案4：2题目5：标准答案5：结论不确定题目6：标准答案6：代数函数题目7：标准答案7：稳定点题目8：标准答案8：超越数题目9：标准答案9：1题目10：标准答案10：对数函数是超越函数二、填空题题目11：标准答案11：三、计算题题目12：标准答案12：题目13：标准答案13：题目14：标准答案14：题目15：标准答案15：题目16：标准答案16：四、证明题题目17：标准答案17：题目18：标准答案18：题目19：标准答案19：题目20：标准答案20：题目21：标准答案21：形考任务3 题目1：标准答案1：题目2：标准答案2：题目3：标准答案3：题目4：标准答案4：下凸函数题目5：标准答案5：题目6：下列结论正确的是（）.标准答案6：可微函数的极值点一定是稳定点题目7：标准答案7：前三个结论都不对题目8：标准答案8：题目9：标准答案9：凸集的并集是凸集题目10：函数在稳定点处（）.标准答案10：取得极小值二、填空题题目11：标准答案11：三、计算题题目12：标准答案12：题目13：标准答案13：题目14：标准答案14：题目15：标准答案15：题目16：标准答案16：题目17：标准答案17：题目18：标准答案18：题目19：标准答案19：题目20：标准答案20：题目21：标准答案21：。
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∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
国开(中央电大)本科《数学分析专题研究》网上形考(任务1至3)试题及答案
国开（中央电大）本科《数学分析专题研究》网上形考（任务1至3）试题及答案国开(中央电大)本科《数学分析专题研究》网上形考(任务1至3)试题及答案形考任务1 试题及答案题目1: , , 是三个集合, 若, 则有( )成立。
[答案] 题目2: , 则( )。
[答案] 题目3: 与自然数集N等势的集合称之为( )。
[答案]可列集题目4: 设是从到的映射, 则下列说法正确的是( )。
[答案] 题目5: 设, 是两个集合且, 则( )。
[答案]= 题目6: 设是中的关系, 若, 则称为( )。
[答案]反对称的题目7: 设是一集合, 对于, 规定, 则是一( )。
[答案]半序集题目8: 若集合, 则( )。
[答案] 题目9: 对整数加法来说, 整数集中( )。
[答案]零元和负元素都存在题目10: 对于复数集 , 下列说法正确的是( )。
[答案]它不能成为有序域题目11:1.设是中的关系, 若是_______, 对称的, 传递的, 则称是等价关系。
[答案]反身的 2.设是非空的实数集, 若存在实数, 满足1), 有；2)_______, 则称是数集的下确界。
[答案] 3.一个集合若不能与_______建立一个双射, 则称该集合为有限集。
[答案]其任一真子集 4.若集合上的运算满足_______, 则的左零元就是的右零元, 也就是的零元。
[答案]交换律 5.对于半序集合的元素, 若_______, 则称为的极大元。
[答案]任意的都不成立6.既约分数可以化成有限小数当且仅当只含有_______的因数。
[答案]2与5 7._______。
[答案] 8.设是非空有界实数集, 令 , 则_______。
[答案] 9.在自然数集中, 能进行减法运算当且仅当被减数_______减数。
[答案]> 10.若数列单调增加且有________, 则数列收敛。
[答案]上界题目12: 设集合A={1, 2, 3456.7, 8}, 关系D4为整除关系(1)写出集合A中的最大元, 最小元, 极大元, 极小元;(2)写出A的子集B={12, 4}的上界、下界、最小上界和最大下界。
国开电大-数学分析专题研究-形考任务1-3答案
国开电大-数学分析专题研究-形考任务1-3答案形考任务1题目1：下列哪个集合不是可列集？标准答案1：实数集题目3：与自然数集N等势的集合称之为（）标准答案3：可列集题目9：对整数加法来说，整数集Z中（）标准答案9：存在零元和负元素题目10：对于复数集C，下列说法正确的是（）.标准答案10：它不能成为有序域二、填空题题目11：有理数集Q是（）集。
标准答案11：可列三、计算题题目12：计算2^100的末两位数字。
标准答案12：76题目13：计算∫(2x+1)dx在[0,1]上的值。
标准答案13：3/2题目14：计算lim(x→∞)(x^2+1)/(x^2+2x+1)。
标准答案14：1题目15：计算lim(x→0)(sinx)/x。
标准答案15：1题目16：计算lim(x→0)(e^x-1)/x。
标准答案16：1四、证明题题目17：证明有理数集是可列集。
标准答案17：略题目18：证明实数集是不可列集。
标准答案18：略题目19：证明任何实数都可以表示为一个无理数与一个有理数的和。
标准答案19：略题目20：证明对于任意自然数n，总有2^n>n^2.标准答案20：略题目21：证明若a,b∈R，且a<b，则存在有理数r，使得a<r<b。
标准答案21：略形考任务2一、单项选择题题目1：下列哪个函数是单调增加函数？标准答案1：指数函数题目2：若a,b∈R，且a+b=1，则a^2+b^2的最小值为（）。
标准答案2：1/2题目3：函数f(x)=x^2-2x在区间[0,2]上（）。
标准答案3：连续题目4：已知f(x)=x^3-3x^2+3x-1，则f'(1)的值为（）。
标准答案4：2题目5：对于函数f(x)=x^3-3x，下列哪个结论是正确的？标准答案5：结论不确定题目6：下列哪个函数不是代数函数？标准答案6：三角函数题目7：设f(x)在x=c处可导，则c是f(x)的（）。
标准答案7：稳定点题目8：下列哪个数是超越数？标准答案8：π题目9：若f(x)=x^2-2x+1，则f(-1)的值为（）。
数学分析专题研究模拟试题及参考答案
数学分析专题研究模拟试题及参考答案一、单项选择题1．A ，B ，C 是三个集合，C B A ⊂，则有（ ）成立。
A. 若A x ∈，则B x ∈B. 若A x ∈，则C x ∈C. 若A x ∈，则C B x ∈D. 若C B x ∈，则A x ∈答案：D2． 设12)(2-+-=x x x f 则R R f →:是（ ）A. 双射B. 既非单射也非满射C.单射而非满射D. 满射而非单射答案：B3．下列数集（ ）不是可列集.A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．实数集答案：D4．已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内（ ）.A ．连续B ．间断C ．有界D ．无界答案：A5．有界闭凸集S 上的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（ ）达到.A ．内部B ．外部C ．边界S ∂D ．可能是内部也可能在边界S ∂答案：C二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==，则________________=⨯A B . 答案：)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c2．设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是 . 答案：等价关系3．若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射，则集合A 是 .答案：无限集4．=ix e .答案：x i x sin cos +5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(，则ln(_____))(=x f . 答案：x +1三、计算题1．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .解：34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x故86)(2+-=x x x f2．求函数x x x f 1)(+=的极值. 解 令 011)(2=-='x x f 解得 1±=x 312)(xx f ⋅=''，,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值 ； ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。
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数学分析专题研究试题及参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。
3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点
0x 可导。
4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。
5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。
6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成
立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1
A f f
-
A. =
B. ≠
C. ⊃
D. ⊂
2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。
A. )(x f '有界 B. )(x f '无界 C. )(x f 可积 D. )(x f 不可积
3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。
A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对
4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=x
t
t f x F 0d )()(，则)(x F 在区
间[0，2]上（ ）。
A. 连续
B. 不连续
C. 可导
D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。
A. 0)(>''x f
B. 最小值唯一
C. 0)(<''x f
D. 最大值唯一
6．
x x
x f sin )(=
定义在（0，1）上，则)(x f 在（0，1）上是( )函数
A. 有界
B. 无界
C. 周期
D. 偶 三、计算题（每小题8分，共32分）
1．已知2
cos tan )(x x f =，求)(x f '
2．求定积分
⎰20
d cos π
x
x x
3．已知34)1(2
+-=+x x x f ，求)(x f 。
4．求30
sin lim
x x x x -→
四、证明题（每小题8分，共32分）
1．设数列{n a }满足n a >0且1lim <=∞→r a n n n ，则级数∑∞
=1n n a 收敛
2．已知函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内存在二阶导数，且0)()(==b f a f ，存在0)(),,(>∈c f b a c 。
则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(<''ξf 。
3．已知
2,0,0π
=
+>>y x y x ，证明2sin sin ≤+y x
4．已知函数在],[b a 上连续非负，且存在一点),(0b a x ∈，使0)(0>x f ，则
⎰
>b
a
x x f 0
d )(。
模拟试卷参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．等价关系
2．E x ∈∃>∀0,0ε，使得εβ+<
0x
3．x x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
4．)()()(y f x f xy f += 5．线性
6．)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+ 二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 三、计算题（每小题8分，共32分）
1．解：
x x x x f 2sin )(cos cos 1
)(22
2⋅⋅=
'
12
cos 2
d sin 2
d sin sin d cos .220
20
20
2020
-=
+=
-=-=⎰⎰⎰π
π
π
π
π
π
π
π
x
x x x x x
x x x x 解
3．解 34)1(2
+-=+x x x f 8)1(6)
1(2
++-+=x x
故
86)(2
+-=x x x f 4．解
2030
3c o s 1lim sin lim
x x
x x x x x -=-→→
=x x x x x x x 2sin lim
31cos lim 31020
→→=-
61sin lim 610==
→x x x
四、证明题（每小题8分，共32分）
1． 证明：因1
lim <=∞
→r a n n n ，故存在N ，当N n ≥时，
1210<+=
≤r
r a n
n
2． 即N n ≥时，有n
n r a 0
< （4分） 因为级数∑∞
+=1
N n n r
收敛。
故有∑∑∑∞
+==∞
=+
=1
1
1
N n n
N
n n n n
a
a a。
因∑∞
+=1
N n n
a
收敛（7分），故∑∞
=1
n n
a
收敛。
2．证明：已知f(x)在（a,b ）内存在二阶导数，故f ′(x)在（a,b ）内连续，由拉格朗日定理，存在),(1c a ∈ξ，使得
)
()()(1>--=
'c a c f a f f ξ
存在),(2b c ∈ξ，使得
)
()()(2<--=
'c b c f b f f ξ
故存在),(21ξξξ∈，使得
)
()()(1
212<-'-'=
''ξξξξξf f f
3．证明：已知x x f sin )(=在
]
2,0[π
上是上凸函数（2分），故对于)
1,0(21
),2,0(,∈∈πy x 有
)
s i n (s i n 21
2s i n y x y x +≥+
故
24sin 22sin
2sin sin ==+≤+π
y x y x
4．证明：已知f(x)在[a,b]上连续且存在),(0b a x ∈使0)(0>x f ，故存在0>δ，使得
),(),(00b a x x ⊂+-δδ且当),(00δδ+-∈x x x 时，
)(21
)(0x f x f ≥
（4分），因f(x)非
负，故
⎰
⎰
⎰
⎰
++--++=b
x x x x a b
a
dx
x f dx x f dx x f dx x f δ
δ
δ
δ
0000)()()()(
0)(2)(21
)(0000>=⋅≥
≥⎰
+-δδδ
δ
x f x f dx x f x x。