洛阳市2017-2018学年高三第二次统一练习理数
河南省洛阳市2017-2018学年高三考前综合练习(二)理数试题 Word版含解析
2017-2018学年第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数212ii+-（ ） A ．i B ．i - C ．42i + D ．1i + 【答案】D 【解析】 试题分析：()()21225511255i i i ii i +-++===+-，故选D. 考点：复数的运算 2.若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的（ ） A ． 既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件 【答案】D 考点：逻辑命题3.将函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移8π个单位，所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π-【答案】B 【解析】考点：y=Asin （ωx+φ）的图象变换 4.若110(1)xS edx =-⎰，120S xdx =⎰，130sin S xdx =⎰，则（ ）A ．231S S S >>B ．132S S S >>C ．213S S S >>D ．123S S S >> 【答案】D 【解析】 试题分析：111001(1)|22x x S e dx e x e =-=-=->⎰， 12120011|22S xdx x ===⎰ ，113001sin cosx |1cos12S xdx ==-=-<⎰， 123S S S ∴>>，故选D.考点：定积分；比较大小5.若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤【答案】B【方法点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．考点：程序框图6.设,x y满足约束条件3020x y ax yx y--≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，若目标函数z x y=+的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】【解析】试题分析：先作出不等式组20x yx y-≥⎧⎨+≥⎩的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由02x y x y -=+=⎧⎨⎩ 得x=1,y=1, 即A （1，1），同时A （1，1）也在直线3x-y-a=0上， ∴3-1-a=0，则a=2，故选：A ．考点：简单的线性规划7.如图所示22⨯方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复，若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有（ ） A ．192种 B ．128种 C ．96种 D ．12种【答案】C考点：排列组合及简单的计数问题8.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=（ ）A ． 6B ．7C ．8D ．9 【答案】D考点：一元二次方程根与系数的关系；等差数列和等比数列的性质9.设双曲线22221x y a b -=的两渐近线与直线2a x c=分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若006090AFB <∠<，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B ．(1,2) C． D．)+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：双曲线的两条渐近线方程为2y x b a a c x ±=＝，时，aby c =±，2260901FB a ab a ab A B AFB k c c c c ∴︒<∠<︒<< （，），（，-），，，2222211111132333ab a a c e e a b c a c c<<<<∴<<∴<-<<<--，，，，． 故选B考点：双曲线的简单性质10.在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．12π C ．32π D ．36π 【答案】 【解析】试题分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积．取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC ，∴AC ⊥SN ， 同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N ，∴AC ⊥平面SBN ，∵SB ⊂平面SBN ，∴AC ⊥SB ，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A ， ∴SB ⊥平面SAC ⇒SB ⊥SA 且SB ⊥AC ， ∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．∵底面边长AB =∴侧棱SA=2，∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R R =∴= ， ∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是2412S R ππ== ，故选：B ．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体11.设,a b为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=- ，则c 的最大值是（ ）A．． 2 C．1 【答案】A考点：平面向量的几何性质12.已知函数()y f x =的定义域的R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足11()1()1n nf a f a +=+，（*n N ∈），且1(0)a f =，则下列结论成立的是（ ）A ．20132016()()f a f a >B ．20142015()()f a f a >C ．20162015()()f a f a <D ．20142015()()f a f a <【解析】试题分析：∵()()()f x f y f x y ∙=+恒成立， ∴令x =-1，y =0，则101f f f -=-（）（）（）， ∵当x<0时，11001f x f f >∴-≠∴=（），（），（），()()1111011111n n n n f a f a f f a a f ++=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴== ，（） ，111110011n n n nf a f a a a a ++∴+==∴+=++（）（），，111n na a +=-+∴，2341212a a a =-=-=∴，，， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，2013320141201522016312122a a a a a a a a ∴==-====-==-，，，，故选：B ．考点：抽象函数的应用【方法点睛】1. 换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；2. 方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；3. 待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；4. 赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；5. 转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；6. 递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；7. 模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】13π+ 【解析】试题分析：由题根据所给三视图易知该几何体为水平放置的半个圆柱与一个直三棱锥，故所求几何体的体积为211112211323ππ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+. 考点：三视图求体积14.已知对任意实数x ，有6270127()(1)m x x a a x a x a x ++=++++ .若135732a a a a +++=，则m =________.【答案】0考点：二项式定理【方法点睛】赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n、(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．15.已知点(,)P x y 是直线40kx y ++=（0k >）上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，,A B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为________. 【答案】2 【解析】考点：直线和圆的位置关系；点到直线的距离公式16.数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=（*n N ∈），设n S 为{}n b 的前n 项和，若125308a a =>，则当n S 取得最大值时n 的值为________. 【答案】16 【解析】试题分析：设{a n }的公差为d ，由1251125376810 0855n a a a d a a d a n d ⎛⎫=∴=-∴∴<∴=-⎭<⎪> ⎝,，，，，从而可知116n ≤≤时，017n a n >≥，时，0n a <．从而121417181515161716161718000b b b b b b a a a b a a a =>>>>>><>=> ，，， 故1413114151516S S S S S S S >>>>< ，，．1518151815161617151869694000055555a d a d a a d d db b a a a a =->=<∴+=-+=<∴+=+> ，，，（），所以1614S S >，故S n 中S 16最大． 考点：数列的函数特性【方法点睛】数列与函数的特性问题主要是通过研究数列通项的单调性、周期性，最值来解决有关数列的问题，属于综合性题目，一定要注意数列单调变化对项的正负的影响，决定了数列求和的最值问题.三、解答题 ：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且25sin sin cos 3a A Bb A a +=.（1）求ba；（2）若22285c a b =+，求角C .【答案】(1)53b a =；（2）23C π=（2）设5(0)b t t =>，则3a t =，于是222222889254955c a b t t t =+=+∙=. 即7c t =.由余弦定理得222222925491cos 22352a b c t t t C ab t t +-+-===-∙∙. 所以23C π=. 考点：正弦定理；余弦定理；同角三角函数基本关系 18.（本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件甲、乙为正品的概率；（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元。
河南省洛阳市高三数学第二次统一考试试题 理
洛阳市2017—2018学年高中三年级第二次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|ln },{|0}3x A x y x B x x +===≤- ，则A B =（ ） A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(1,0)- D ．(3,)+∞2. 若复数z 满足为(3)3(i z i i +=-虚数单位），则z =（ ）A ．3 C ．4 D ．53. 在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4. 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则//m n B ．,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥ C ．//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n D ．//,//m n αβ且//αβ，则//m n5. 在23(1)(1)x x ++展开式中，含5x 项的系数是（ ）A ．1B ．1-C ．1D ．56.数学家发现的“31x +猜想”是指：任取一个自然数，如果它是欧式，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的20n =，则输出的结果为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．97. 若,x y 满足约束条件210330230x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则222x y z x ++=+的最小值于最大值的和为（ ）A ．32-B ．12-C ．32D ．528. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ） A ．1320 B ．720 C ．12 D ．5129. 设函数()201912017sin 201820191x x x f x x -=+++，已知正实数,a b 满足(2)(4)0f a f b +-=，则12a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2 C．．4 10. 若锐角ϕ满足sin cos 2ϕϕ-=，则函数()2cos ()f x x ϕ=+的单调增区间为（ ） A ．5[2,2],()1212k k k Z ππππ-+∈ B ．5[,],()1212k k k Z ππππ-+∈ C ．7[2,2],()1212k k k Z ππππ++∈ D ．7[,],()1212k k k Z ππππ++∈11. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以12F F 为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M ，线段1MF 与双曲线的左支交于点N ，若点N 恰好平分线1MF ，则双曲线离心率为（ ）ACD12. 已知函数()()11,ln 22x xf x eg x -==+，若()()f a g b =成立，则b a - 的最小值为（ ） A ．1ln 22-B ．1ln 22+ C ．1ln2+ D ．1ln2- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若(2,4),(3,4)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ．14.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若224()S a b c =--， 且4b c +=，则的最大值为 ．15.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ．16.已知直线22y x =+与抛物线2(0)y ax a =>交于,P Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线，交抛物线于点A ，若AP AQ AP AQ +=-，则a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且31235,,,a a a a = 成等比数列。
2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1．（5分）已知集合，N＝{x|y＝log2（2﹣x）}，则∁R（M∩N）＝（）A．[1，2）B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）C．[0，1]D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝|1﹣i|（i为虚数单位），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．D．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则＝（）A．2B．3C．5D．74．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．35．（5分）甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（）A．144种B．180种C．288种D．360种6．（5分）已知圆C的方程为x2+y2＝1，直线l的方程为x+y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于A，则|P A|的最小值为（）A．B．1C．D．7．（5分）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P＝（）A．B．C．D．8．（5分）设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（）A．πB．3πC．8πD．9π9．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数，若a，b满足不等式f（a2﹣2a）+f（2b﹣b2）≤0，则当1≤a≤4时，2a﹣b的最大值为（）A．1B．10C．5D．811．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝﹣，则角A的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数关于x的方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C．D．二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13．（5分）已知角α的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x﹣3y＝0（x≤0）上，则cosα﹣sinα＝．14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a22）+（a2a4﹣a32）+（a3a5﹣a42）+…+（a2015a2017﹣a20162）＝．15．（5分）如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC ＝BD．若OA＝1，∠AOB＝120°，则的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2＝4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线P A与椭圆C交于点Q，则的取值范围是．三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝（n+1）a n，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝3n﹣λa n2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．18．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．19．（12分）已知三棱锥A﹣BCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD＝BD＝2，CD＝2，E，F分别是AC，BC的中点．（1）P为线段BC上一点．且CP＝2PB，求证：AP⊥DE．（2）求直线AC与平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）已知动圆M过定点E（2，0），且在y轴上截得的弦PQ的长为4．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A，B是轨迹C上的两点，且，F（1，0），记S＝S△OF A+S△OAB，求S 的最小值．21．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣，g（x）＝ax+b．（1）若a＝2，F（x）＝f（x）﹣g（x），求F（x）的单凋区间；（2）若函数g（x）＝ax+b是函数f（x）＝lnx﹣的图象的切线，求a+b的最小值；（3）求证：＞0．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （θ﹣）＝3．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．（1）求m的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1．（5分）已知集合，N＝{x|y＝log2（2﹣x）}，则∁R（M∩N）＝（）A．[1，2）B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）C．[0，1]D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）【解答】解：由题意可得M＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，N＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}＝[1，2），∴∁R（M∩N）＝（﹣∞，1）∪[2，+∞），故选：B．2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝|1﹣i|（i为虚数单位），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．D．【解答】解：由（1+i）z＝|1﹣i|，得＝，则＝．故选：D．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则＝（）A．2B．3C．5D．7【解答】解：∵等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，∴a42＝a2a8，∴（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+7d），∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，∴＝＝3．故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A ﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED＝＝，S△ABC＝S△ABE＝＝，S△ACD＝＝，故选：B．5．（5分）甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（）A．144种B．180种C．288种D．360种【解答】解：根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在6个位置中任选一个即可，有C61＝6种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中，任选一个，安排乙，有C21＝2种选法；3、将剩余的4个人，安排在其余的4个位置，有A44＝24种安排方法；则这6名同学的站队方法有6×2×24＝288种；故选：C．6．（5分）已知圆C的方程为x2+y2＝1，直线l的方程为x+y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于A，则|P A|的最小值为（）A．B．1C．D．【解答】解：由题意，P A平行于坐标轴，或就是坐标轴．不妨设P A∥y轴，设P（cosα，sinα），则A（cosα，2﹣cosα），∴|P A|＝|2﹣cosα﹣sinα|＝|2﹣sin（α+45°）|，∴|P A|的最小值为2﹣．故选：D．7．（5分）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2017时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2017，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P＝．故选：C．8．（5分）设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（）A．πB．3πC．8πD．9π【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O2的半径为r＝2，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V＝＝3π．故选：B．9．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．10．（5分）设函数，若a，b满足不等式f（a2﹣2a）+f（2b﹣b2）≤0，则当1≤a≤4时，2a﹣b的最大值为（）A．1B．10C．5D．8【解答】解：函数，定义域为R，且对于任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）＝ln（+x）+ln（﹣x）＝ln（x2+1﹣x2）＝0，∴函数y＝f（x）定义域R上的为奇函数；由f（a2﹣2a）+f（2b﹣b2）≤0可得f（a2﹣2a）≤﹣f（2b﹣b2）由函数为奇函数可得式f（a2﹣2a）≤f（﹣2b+b2）；又∵f′（x）＝＜0恒成立，∴函数f（x）为R上的减函数；∴a2﹣2a≥﹣2b+b2，即a2﹣b2﹣2（a﹣b）≥0，整理可得，（a+b﹣2）（a﹣b）≥0，作出不等式组所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC；令Z＝2a﹣b，则Z表示2a﹣b﹣Z＝0在y轴上的截距的相反数，由图可知，当直线经过点A（1，1）时Z最小，最小值为Z＝2×1﹣1＝1，当直线经过点C（4，﹣2）时Z最大，最大值为2×4﹣（﹣2）＝10．故选：B．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝﹣，则角A 的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝﹣，∴由余弦定理可得：＝﹣3×，∴解得：2a2+b2＝c2，∴cos A＝＝＝≥＝，∵A∈（0，π），∴角A的最大值是．故选：A．12．（5分）已知函数关于x的方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C．D．【解答】解：设y＝，则y′＝，由y′＝0，解得x＝e，当x∈（0，e）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜0，函数为减函数．∴当x＝e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）＝．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]＝0．解得f（x）＝m或f（x）＝．如图画出函数图象：可得m的取值范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13．（5分）已知角α的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x﹣3y＝0（x≤0）上，则cosα﹣sinα＝．【解答】解：角α的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x﹣3y＝0（x≤0）上，不妨令x＝﹣3，则y＝﹣4，∴r＝5，∴cosα＝＝﹣，sinα＝＝﹣，则cosα﹣sinα＝﹣+＝，故答案为：．14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a22）+（a2a4﹣a32）+（a3a5﹣a42）+…+（a2015a2017﹣a20162）＝1．【解答】解：a1a3﹣a22＝1×2﹣1＝1，a2a4﹣a32＝1×3﹣22＝﹣1，a3a5﹣a42＝2×5﹣32＝1，…a2015a2017﹣a20162＝1∴（a1a3﹣a22）+（a2a4﹣a32）+（a3a5﹣a42）+…+（a2015a2017﹣a20162）＝1+（﹣1）+1+（﹣1）+…+1＝1．故答案为1．15．（5分）如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC＝BD．若OA＝1，∠AOB＝120°，则的取值范围是．【解答】解：以OA为x轴，O为原点建立如图坐标系，则∵半径OA＝1，且∠AOB＝120°，∴弧AMB的中点M坐标为（，）求得BO方程为：y＝﹣x，设C（1﹣m，0），则D（﹣m，m），（0≤m≤1）∴＝（﹣m，﹣），＝（﹣m﹣，m﹣）因此，•＝（﹣m）（﹣m﹣）﹣（m﹣）＝m2﹣m+＝（m﹣）2+∴当m＝时，•有最小值为；当m＝0或1时，•有最大值为故答案为：16．（5分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2＝4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线P A与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．【解答】解：椭圆C：焦点在x轴上，a＝2，b＝，c＝1，右焦点F（1，0），由P在圆x2+y2＝4上，则P A⊥PB，则k AP•k PB＝﹣1，则k PB＝﹣，＝＝﹣，设Q（2cosθ，sinθ），则k AP•k QF＝•，＝，＝，设t＝cosθ，t∈（﹣1，1），则f（t）＝，∴＝＝+∈（﹣∞，1），且不等于0．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）．三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝（n+1）a n，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝3n﹣λa n2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．【解答】解：（1）∵2S n＝（n+1）a n，∴2S n+1＝（n+2）a n+1，两式相减可得2a n+1＝（n+2）a n+1﹣（n+1）a n，即na n+1＝（n+1）a n，∴，∴，∴a n＝n（n∈N*）．（2），.﹣（3n﹣λn2）＝2•3n﹣λ（2n+1）．∵数列{b n}为递增数列，∴2•3n﹣λ（2n+1）＞0，即．令，则．∴{c n}为递增数列，∴λ＜c1＝2，即λ的取值范围为（﹣∞，2）．18．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．【解答】解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则，，，，，则X的分布列为：设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，则X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，这n+1个互斥事件的和事件，则∵，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；（2）设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8，P（Y＝18）＝P（X＝0），，；则Y的分布列为：则；故该厂获利的均值为．19．（12分）已知三棱锥A﹣BCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD＝BD＝2，CD＝2，E，F分别是AC，BC的中点．（1）P为线段BC上一点．且CP＝2PB，求证：AP⊥DE．（2）求直线AC与平面DEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵PG∥BD，且PG交CD于G，∴，∴，在△ADG中，，∴∠DAG＝30°．AC2＝AD2+CD2＝4+12＝16，∴AC＝4，E为中点，DE＝AE＝2，∴∠ADE＝60°，∴AG⊥DE．∵AD⊥面BCD，∴AD⊥BD，又∵BD⊥CD，AD∩CD＝D，∴BD⊥面ADC，∴PG⊥面ADC，∴PG⊥DE．∵AG∩PG＝G，∴DE⊥面AGP，AP⊂面AGP，∴DE⊥AP．解：（2）以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，0），，，，，，．设平面EDF的法向量为，则即取．设，的夹角为θ，．所以直线AC与平面DEF所成角的正弦值为．20．（12分）已知动圆M过定点E（2，0），且在y轴上截得的弦PQ的长为4．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A，B是轨迹C上的两点，且，F（1，0），记S＝S△OF A+S△OAB，求S 的最小值．【解答】解：（1）设M（x，y），PQ的中点N，连MN，则：|PN|＝2，MN⊥PQ，∴|MN|2+|PN|2＝|PM|2．又|PM|＝|EM|，∴|MN|2+|PN|2＝|EM|2∴x2+4＝（x﹣2）2+y，整理得y2＝4x．（2）设，，不失一般性，令y1＞0，则，∵，∴，解得y1y2＝﹣8③直线AB的方程为：，（y1≠﹣y2），即，令y＝0得x＝2，即直线AB恒过定点E（2，0），当y1＝﹣y2时，AB⊥x轴，，．直线AB也经过点E（2，0）．∴．由③可得，∴S＝＝．当且仅当，即时，．21．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣，g（x）＝ax+b．（1）若a＝2，F（x）＝f（x）﹣g（x），求F（x）的单凋区间；（2）若函数g（x）＝ax+b是函数f（x）＝lnx﹣的图象的切线，求a+b的最小值；（3）求证：＞0．【解答】解：（1）a＝2时，F（x）＝f（x）﹣g（x）＝，，，解F'（x）＞0得0＜x＜1，解F'（x）＜0得x＞1，∴F（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（2）设切点坐标为（x0，lnx0﹣），，切线斜率，又，∴，∴，令，＝＝，解h'（x）＜0得0＜x＜1，解h'（x）＞0得x＞1，∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴h（x）≥h（1）＝﹣1，∴a+b的最小值为﹣1；（3）证法一：令，由（1）知（G（x））max＝G（1）＝0，∴．又由y＝e x﹣x﹣1，y′＝e x﹣1，可得函数y在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0）递减，即有函数y有最小值0，即e x≥x+1，∴＝2x﹣3（x＞0）∴，（两个等号不会同时成立）∴．法二：令，显然P'（x）在（0，+∞）上递增，P'（1）＜0，P'（2）＞0∴P'（x）＝0在（0，+∞）上有唯一实根x*，且x*∈（1，2），，∴P（x）在（0，x*）上递减，在（x*，+∞）上递增，∴P（x）≥P（x*）＝＝∴．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （θ﹣）＝3．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a为参数），普通方程为＝1，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝3，即ρcosθ+ρsinθ﹣6＝0，直角坐标方程为x+y﹣6＝0；（2）设P（cosα，sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6＝0距离，即＝|sin（α+）﹣3|，当且仅当α＝2kπ+（k∈Z）时，|PQ|取得最小值2，此时P（，）．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．（1）求m的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．【解答】解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）﹣（x+m）|＝|m﹣3|．当﹣3≤x≤﹣m或﹣m≤x≤﹣3时取等号，令|m﹣3|≥2m所以m﹣3≥2m或m﹣3≤﹣2m．解得m≤﹣3或m≤1∴m的最大值为1．（2）∵a+b+c＝1．由柯西不等式，≥（a+b+c）2＝1，∴，等号当且仅当2a＝3b＝4c，且a+b+c＝1时成立．即当且仅当，，时，2a2+3b2+4c2的最小值为．。
2017-2018届河南省洛阳市高三下学期第二次统一考试物理试题及答案
河南省洛阳市2017-2018届高三下学期统考（二练）物理试题第19－21题有多项符合题目要求。
14．用比值法定义物理量是物理学中一种常用的方法。
下面四个物理量表达式中，属于比值法定义式的是A ．导体的电阻R ＝L SB ．加速度a ＝F m C ．电流I ＝U R D ．电容器的电容C ＝Q U15．在空中某一高度将一小球水平抛出，取抛出点为坐标原点，初速度方向为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，得到其运动的轨迹方程y ＝ax 2．若a 和重力加速度g 均已知，且不计空气阻力，则仅根据以上条件可求出的是A ．小球距离地面的高度B ．小球做平抛运动的初速度C ．小球落地时的速度D ．小球在空中运动的总时间16．如右图甲所示，质量m ＝1kg 的物块（可视为质点）以v 0＝10m ／s 的初速度从粗糙斜面上的P 点沿斜面向上运动到达最高点后，又沿原路返回，其速率随时间变化的图像如图乙所示，已知斜面固定且足够长．且不计空气阻力，取g ＝10m ／s 2．下列说法中正确的是A．物块所受的重力与摩擦力之比为3 ：2B．在t＝1s到t＝6s的时间内物块所受重力的平均功率为50WC．在t＝6s时物体克服摩擦力做功的功率为20WD．在t＝0到t＝1s时间内机械能的变化量大小与t＝1s到t＝6s时间内机械能变化量大小之比为1 ：517．如图所示是某种交变电流的电流随时间变化的图线，i＞0部分的图线是一个正弦曲线的正半周，i＜0部分的图线是另一个正弦曲线的负半周，其最大值如图中所示，则这种交变电流的有效值为A．I0 B0C I0D I018．如图所示，Q1和Q2是两个电荷量大小相等的点电荷，MN是两电荷的连线，HG是两电荷连线的中垂线，O是垂足。
下列说法正确的是A．若两电荷是异种电荷，则OM的中点与ON的中点电势一定相等B．若两电荷是异种电荷，则O点的电场强度大小，与MN上各点相比是最小的，而与HG上各点相比是最大的C．若两电荷是同种电荷，则OM中点与ON中点处的电场强度一定相同D．若两电荷是同种电荷，则O点的电场强度大小，与MN上各点相比是最小的，与HG上各点相比是最大的19．如图甲所示，在粗糙水平面上静置一个截面为等腰三角形的斜劈A，其质量为M，两个底角均为30°．两个完全相同的、质量均为m的小物块p和q恰好能沿两侧面匀速下滑．若现在对两物块同时各施加一个平行于斜劈侧面的恒力F1、F2，且F1＞F2，如图乙所示，则在p和q下滑的过程中，下列说法正确的是A．斜劈A仍保持静止B．斜劈A受到地面向右的摩擦力作用C．斜劈A对地面的压力大小等于（M＋2m）gD．斜劈A对地面的压力大于（M＋2m）g20．如图所示，轨道1是卫星绕地球运动的圆轨道，可以通过在A 点加速使卫星在椭圆轨道2上运动。
2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)
2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1．（5分）已知集合M ={x|y =√x −1}，N ＝{x |y ＝log 2（2﹣x ）}，则∁R （M ∩N ）＝（ ） A ．[1，2） B ．（﹣∞，1）∪[2，+∞） C ．[0，1]D ．（﹣∞，0）∪[2，+∞）【解答】解：由题意可得 M ＝{x |x ﹣1≥0}＝{x |x ≥1}，N ＝{x |2﹣x ＞0}＝{x |x ＜2}， ∴M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}＝[1，2），∴∁R （M ∩N ）＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）， 故选：B ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝|1﹣i |（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．√22−√22i D ．√22+√22i 【解答】解：由（1+i ）z ＝|1﹣i |， 得z =|1−i|1+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√2−√2i2=√22−√22i ，则z =√22+√22i ．故选：D ．3．（5分）已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1+a 5+a 9a 2+a 3=（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7【解答】解：∵等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列， ∴a 42＝a 2a 8，∴（a 1+3d ）2＝（a 1+d ）（a 1+7d ）， ∴d 2＝a 1d ， ∵d ≠0， ∴d ＝a 1， ∴a 1+a 5+a 9a 2+a 3=15a 15a 1=3．故选：B ．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．√22B ．√52C ．√62D ．3【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A ﹣BCDE 的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形， 则S △AED =12×1×1=12，S △ABC ＝S △ABE =12×1×√2=√22，S △ACD =12×1×√5=√52， 故选：B ．5．（5分）甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ） A ．144种B ．180种C ．288种D ．360种【解答】解：根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在6个位置中任选一个即可，有C 61＝6种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中，任选一个，安排乙，有C 21＝2种选法；3、将剩余的4个人，安排在其余的4个位置，有A 44＝24种安排方法； 则这6名同学的站队方法有6×2×24＝288种； 故选：C ．6．（5分）已知圆C 的方程为x 2+y 2＝1，直线l 的方程为x +y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于A ，则|P A |的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．√2−1D ．2−√2【解答】解：由题意，P A 平行于坐标轴，或就是坐标轴．不妨设P A∥y轴，设P（cosα，sinα），则A（cosα，2﹣cosα），∴|P A|＝|2﹣cosα﹣sinα|＝|2−√2sin（α+45°）|，∴|P A|的最小值为2−√2．故选：D．7．（5分）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P＝（）A．M2017B．2017MC．4M2017D．20174M【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2017时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2017，所以要求的概率4M2017，所以空白框内应填入的表达式是P=4M 2017．故选：C．8．（5分）设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（）A．πB．3πC．8πD．9π【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O2的半径为r＝2，∴△ABC的边长为2√3，∴圆锥的底面半径为√3，高为3，∴V=13π×3×3=3π．故选：B．9．（5分）F1、F2分别是双曲线x2a −y2b=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．√5D．√7【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e=√7．故选：D．10．（5分）设函数f(x)=ln(√x 2+1−x)，若a ，b 满足不等式f （a 2﹣2a ）+f （2b ﹣b 2）≤0，则当1≤a ≤4时，2a ﹣b 的最大值为（ ） A ．1B ．10C ．5D ．8【解答】解：函数f(x)=ln(√x 2+1−x)，定义域为R ，且对于任意的x ∈R 都有 f （﹣x ）+f （x ）＝ln （√(−x)2+1+x ）+ln （√x 2+1−x ）＝ln （x 2+1﹣x 2）＝0， ∴函数y ＝f （x ）定义域R 上的为奇函数；由f （a 2﹣2a ）+f （2b ﹣b 2）≤0可得f （a 2﹣2a ）≤﹣f （2b ﹣b 2） 由函数为奇函数可得式f （a 2﹣2a ）≤f （﹣2b +b 2）； 又∵f ′（x ）=x√−1√x +1−x0恒成立，∴函数f （x ）为R 上的减函数；∴a 2﹣2a ≥﹣2b +b 2，即a 2﹣b 2﹣2（a ﹣b ）≥0， 整理可得，（a +b ﹣2）（a ﹣b ）≥0， 作出不等式组{(a +b −2)(a −b)≥01≤a ≤4所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC ；令Z ＝2a ﹣b ，则Z 表示2a ﹣b ﹣Z ＝0在y 轴上的截距的相反数，由图可知，当直线经过点A （1，1）时Z 最小，最小值为Z ＝2×1﹣1＝1， 当直线经过点C （4，﹣2）时Z 最大，最大值为2×4﹣（﹣2）＝10． 故选：B ．11．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB b=−3cosC c，则角A的最大值是（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【解答】解：∵cosB b=−3cosC c，∴由余弦定理可得：a 2+c 2−b 22acb=−3×a 2+b 2−c 22abc ，∴解得：2a 2+b 2＝c 2， ∴cos A =b2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−c 2−b 222bc=3b 2+c 24bc ≥2√3bc 4bc =√32， ∵A ∈（0，π）， ∴角A 的最大值是π6．故选：A ．12．（5分）已知函数f(x)={x 2−1(x ＜1)lnx x(x ≥1)关于x 的方程2[f （x ）]2+（1﹣2m ）f （x ）﹣m ＝0，有5不同的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．(−1，1e)B ．（0，+∞）C ．(0，1e)D ．(0，1e]【解答】解：设y =lnxx ，则y ′=1−lnxx 2， 由y ′＝0，解得x ＝e ，当x ∈（0，e ）时，y ′＞0，函数为增函数，当x ∈（e ，+∞）时，y ′＜0，函数为减函数． ∴当x ＝e 时，函数取得极大值也是最大值为f （e ）=1e ．方程2[f （x ）]2+（1﹣2m ）f （x ）﹣m ＝0化为[f （x ）﹣m ][2f （x ）+1]＝0．解得f （x ）＝m 或f （x ）=−12． 如图画出函数图象：可得m 的取值范围是（0，1e ）．故选：C ．二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13．（5分）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x ﹣3y ＝0（x ≤0）上，则cos α﹣sin α＝15．【解答】解：角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x ﹣3y ＝0（x ≤0）上， 不妨令x ＝﹣3，则 y ＝﹣4，∴r ＝5，∴cos α=x r =−35，sin α=y r =−45， 则cos α﹣sin α=−35+45=15， 故答案为：15．14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则（a 1a 3﹣a 22）+（a 2a 4﹣a 32）+（a 3a 5﹣a 42）+…+（a 2015a 2017﹣a 20162）＝ 1 ． 【解答】解：a 1a 3﹣a 22＝1×2﹣1＝1， a 2a 4﹣a 32＝1×3﹣22＝﹣1， a 3a 5﹣a 42＝2×5﹣32＝1， …a 2015a 2017﹣a 20162＝1∴（a 1a 3﹣a 22）+（a 2a 4﹣a 32）+（a 3a 5﹣a 42）+…+（a 2015a 2017﹣a 20162） ＝1+（﹣1）+1+（﹣1）+…+1＝1．故答案为1．15．（5分）如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在线段OA ，OB 上，且OC ＝BD ．若OA ＝1，∠AOB ＝120°，则MC →⋅MD →的取值范围是 [38，12] ．【解答】解：以OA 为x 轴，O 为原点建立如图坐标系，则 ∵半径OA ＝1，且∠AOB ＝120°， ∴弧AMB 的中点M 坐标为（12，√32） 求得BO 方程为：y =−√3x ， 设C （1﹣m ，0），则D （−12m ，√32m ），（0≤m ≤1） ∴MC →=（12−m ，−√32），MD →=（−12m −12，√32m −√32）因此，MC →•MD →=（12−m ）（−12m −12）−√32（√32m −√32）=12m 2−12m +12=12（m −12）2+38∴当m =12时，MC →•MD →有最小值为38；当m ＝0或1时，MC →•MD →有最大值为12故答案为：[38，12]16．（5分）已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2+y 2＝4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则k PB k QF的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，1） ． 【解答】解：椭圆C ：x 24+y 23=1焦点在x 轴上，a ＝2，b =√3，c ＝1，右焦点F （1，0），由P 在圆x 2+y 2＝4上，则P A ⊥PB ， 则k AP •k PB ＝﹣1，则k PB =−1k AP，k PB k QF=−1k APk QF=−1k AP ⋅k QF，设Q （2cos θ，√3sin θ），则k AP •k QF =√3sinθ2cosθ+2•√3sinθ2cosθ−1，=3sin 2θ4cos 2θ+2cosθ−2， =3(1−cos 2θ)4cos 2θ+2cosθ−2，设t ＝cos θ，t ∈（﹣1，1），则f （t ）=3(1−t 2)4t 2+2t−2，∴k PB k QF=4t 2+2t−23(t 2−1)=43+23⋅1t−1∈（﹣∞，1），且不等于0．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）．三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝（n +1）a n ，（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n ＝3n ﹣λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． 【解答】解：（1）∵2S n ＝（n +1）a n ， ∴2S n +1＝（n +2）a n +1，两式相减可得2a n +1＝（n +2）a n +1﹣（n +1）a n ， 即na n +1＝（n +1）a n ， ∴a n+1n+1=a n n， ∴a n n=a n−1n−1=⋯=a 11=1，∴a n ＝n （n ∈N *）． （2）b n =3n −λn 2，.b n+1−b n =3n+1−λ(n +1)2−（3n ﹣λn 2）＝2•3n ﹣λ（2n +1）． ∵数列{b n }为递增数列，∴2•3n﹣λ（2n +1）＞0，即λ＜2⋅3n2n+1．令c n =2⋅3n 2n+1，则c n+1c n =2⋅3n+12n+3•2n+12⋅3=6n+32n+3＞1．∴{c n }为递增数列， ∴λ＜c 1＝2，即λ的取值范围为（﹣∞，2）．18．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值． 【解答】解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验， 在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验， 可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B(4，13)，P(X =0)=C 40(23)4=1681， P(X =1)=C 41⋅13⋅(23)3=3281， P(X =2)=C 42⋅(13)2(23)2=2481， P(X =3)=C 43⋅(13)3⋅23=881，则X 的分布列为：X 01234P168132812481881181设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X ≤n ， 则X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n +1个互斥事件的和事件，则n 01234P （X ≤n ） 16814881728180811∵7281≤90%≤8081，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；（2）设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18，13，8， P （Y ＝18）＝P （X ＝0）+P(X =1)+P(X =2)=7281， P(Y =13)=P(X =3)=881， P(Y =8)=P(X =4)=181； 则Y 的分布列为：Y 18138P7281881181则E(Y)=18×7281+13×881+8×181=140881； 故该厂获利的均值为140881．19．（12分）已知三棱锥A ﹣BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝2√3，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．（1）P 为线段BC 上一点．且CP ＝2PB ，求证：AP ⊥DE ． （2）求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵PG ∥BD ，且PG 交CD 于G ， ∴CG GD=CP PB=2，∴GD =13CD =23√3，在△ADG 中，tan∠GAD =√33，∴∠DAG ＝30°．AC 2＝AD 2+CD 2＝4+12＝16，∴AC ＝4，E 为中点，DE ＝AE ＝2， ∴∠ADE ＝60°，∴AG ⊥DE ． ∵AD ⊥面BCD ，∴AD ⊥BD ，又∵BD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴BD ⊥面ADC ， ∴PG ⊥面ADC ，∴PG ⊥DE ．∵AG ∩PG ＝G ，∴DE ⊥面AGP ，AP ⊂面AGP ， ∴DE ⊥AP ．解：（2）以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2），B （2，0，0），C(0，2√3，0)，E(0，√3，1)，F(1，√3，0)， DF →=(1，√3，0)，DE →=(0，√3，1)，AC →=(0，2√3，−2)． 设平面EDF 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{DF →⋅n →=0DE →⋅n →=0即{x +√3y =0√3y +z =0 取n =(3，−√3，3)． 设AC →，n →的夹角为θ，cosθ=AC →⋅n→|AC →|⋅|n →|=421√217． 所以直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值为√217．20．（12分）已知动圆M 过定点E （2，0），且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4． （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设A ，B 是轨迹C 上的两点，且OA →⋅OB →=−4，F （1，0），记S ＝S △OF A +S △OAB ，求S 的最小值．【解答】解：（1）设M （x ，y ），PQ 的中点N ，连MN ，则：|PN |＝2，MN ⊥PQ ， ∴|MN |2+|PN |2＝|PM |2． 又|PM |＝|EM |， ∴|MN |2+|PN |2＝|EM |2∴x 2+4＝（x ﹣2）2+y ，整理得y 2＝4x ．（2）设A(y 124，y 1)，B(y 224，y 2)，不失一般性，令y 1＞0，则S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1， ∵OA →⋅OB →=−4， ∴y 12y 2216+y 1y 2=−4，解得y 1y 2＝﹣8③直线AB的方程为：y−y 1y 2−y 1x−y 124y 224−y 124，（y 1≠﹣y 2），即y −y 1=4(x−y 124)y 1+y 2，令y ＝0得x ＝2，即直线AB 恒过定点E （2，0），当y 1＝﹣y 2时，AB ⊥x 轴，A(2，2√2)，B(2，−2√2)． 直线AB 也经过点E （2，0）．∴S △OAB =12|OE|⋅|y 1−y 2|=y 1−y 2． 由③可得S △OAB =y 1+8y 1，∴S =12y 1+(y 1+8y 1)=32y 1+8y 1≥2√12=4√3．当且仅当32y 1=8y 1，即y 1=4√33时，S min =4√3． 21．（14分）已知函数f （x ）＝lnx −1x ，g （x ）＝ax +b ．（1）若a ＝2，F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求F （x ）的单凋区间；（2）若函数g （x ）＝ax +b 是函数f （x ）＝lnx −1x的图象的切线，求a +b 的最小值； （3）求证：2ex−52−lnx +1x ＞0．【解答】解：（1）a ＝2时，F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）=lnx −1x −2x −b ， F′(x)=1x +1x 2−2(x ＞0)，F′(x)=x+1−2x 2x 2=(1−x)(1+2x)x 2， 解F '（x ）＞0得0＜x ＜1，解F '（x ）＜0得x ＞1，∴F （x ）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （2）设切点坐标为（x 0，lnx 0−1x 0），f′(x)=1x +1x 2， 切线斜率a =f′(x 0)=1x 0+1x 02，又lnx 0−1x 0=ax 0+b ， ∴b =lnx 0−2x 0−1，∴a +b =lnx 0+1x 02−1x 0−1， 令ℎ(x)=lnx +1x 2−1x−1(x ＞0)， ℎ′(x)=1x −2x 3+1x 2=x 2+x−2x 3=(x+2)(x−1)x 3， 解h '（x ）＜0得0＜x ＜1，解h '（x ）＞0得x ＞1， ∴h （x ）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增． ∴h （x ）≥h （1）＝﹣1，∴a +b 的最小值为﹣1； （3）证法一：令G(x)=lnx −1x−2x +3，由（1）知（G （x ））max ＝G （1）＝0，∴lnx −1x ≤2x −3．又由y ＝e x ﹣x ﹣1，y ′＝e x ﹣1，可得函数y 在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0）递减， 即有函数y 有最小值0，即e x ≥x +1， ∴2ex−52≥2[(x −52)+1]=2x ﹣3（x ＞0）∴2e x−52≥2x −3≥lnx −1x ，（两个等号不会同时成立）∴2e x−52−lnx +1x＞0． 法二：令P(x)=2ex−52−lnx +1x ，P′(x)=2e x−52−1x −1x2显然P '（x ）在（0，+∞）上递增，P '（1）＜0，P '（2）＞0 ∴P '（x ）＝0在（0，+∞）上有唯一实根x *，且x *∈（1，2）， 2e x∗−52=1x ∗+1(x ∗)2， ∴P （x ）在（0，x *）上递减，在（x *，+∞）上递增， ∴P （x ）≥P （x *）=2e x ∗−52−lnx ∗+1x ∗=2x ∗+1(x ∗)2−lnx ∗＞22+14−ln2＞0 ∴2e x−52−lnx +1x＞0． 选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos （θ−π4）＝3√2．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sina （a 为参数），普通方程为x 2+y 23=1，曲线C 2的极坐标方程为ρcos （θ−π4）＝3√2，即ρcos θ+ρsin θ﹣6＝0，直角坐标方程为x +y ﹣6＝0；（2）设P （cos α，√3sin α），则|PQ |的最小值为P 到x +y ﹣6＝0距离， 即√3sinα−6|√2=√2|sin （α+π6）﹣3|，当且仅当α＝2k π+π3（k ∈Z ）时，|PQ |取得最小值2√2，此时P （12，32）． 选修4-5：不等式选讲23．已知关于x 的不等式|x +3|+|x +m |≥2m 的解集为R ． （1）求m 的最大值；（2）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a +b +c ＝1，求2a 2+3b 2+4c 2的最小值及此时a ，b ，c 的值．【解答】解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）﹣（x+m）|＝|m﹣3|．当﹣3≤x≤﹣m或﹣m≤x≤﹣3时取等号，令|m﹣3|≥2m所以m﹣3≥2m或m﹣3≤﹣2m．解得m≤﹣3或m≤1∴m的最大值为1．（2）∵a+b+c＝1．由柯西不等式，(12+13+14)(2a2+3b2+4c2)≥（a+b+c）2＝1，∴2a2+3b2+4c2≥1213，等号当且仅当2a＝3b＝4c，且a+b+c＝1时成立．即当且仅当a=613，b=413，c=313时，2a2+3b2+4c2的最小值为1213．。
2018届河南省洛阳市高三第二次统一考试理科综合试题及答案 (2)
2017——2018学年高中三年级第二次统一考试理科综合试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
其中第Ⅱ卷33～40题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共126分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科自填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卷上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题巷上无效。
3．非选择题用0．5毫米黑色墨水签字笔直接写在答题卷上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4．考试结束后，请将答题卷上交。
可能用到相对原子质量：H－1 Li－7 C－12 N－14 O－16 Na－23 Mg－24Ca－40 Cr－52 Cu－64 Au－197一、选择题（每小题给出的4个选项中只有一个选项符合题意，共13小题，每小题6分。
）1．有关人体成熟红细胞的叙述中，正确的是A．细胞中无染色体，只进行无丝分裂 B．细胞中无线粒体，只进行被动运输C．细胞中有血红蛋白，只运输却不消耗氧 D．细胞中无遗传物质，只转录却不复制2．下列生命系统的活动中，不是单向进行的是A．植物细胞发生质壁分离过程中，水分子的运动B．蛋白质合成过程中，核糖体在mRNA上的移动C．食物链和食物网中，能量和物质的流动 D．两个神经元之间，兴奋的传递3．用32p标记了果蝇精原绍胞DNA分子的双链，再将这些细胞置于只含31p的培养液中培养，发生了如下图A→D和D→H的两个细胞分裂过程。
相关叙述正确的是A．BC段细胞中一定有2条Y染色体 B．EF段细胞中可能有2条Y染色体C．EF段细胞中含32p的染色体一定有8条D．FG段细胞中含32p的染色体可能有8条4．Ⅰ型糖尿病可能因人的第六号染色体短臂上的HLA—D基因损伤引起。
该损伤基因的表达使胰岛B细胞表面出现异常的HLA－D抗原，T淋巴细胞被其刺激并激活，最终攻击并使胰岛B 细胞裂解死亡。
洛阳市2017-2018学年高三第二次统一考试理数
洛阳市2017-2018学年高三第二次统一考试理数一、选择题1. 已知集合1{|ln },{|0}3x A x y x B x x +===≤-，则B A = （）A.(0,3)B.(0,3]C.(-1,0)D.(3,)+∞答案：A解析：考查分式不等式B 集合中，(1)(3)0,(3)[1,3)x x x x +-≤≠⇒∈-因此交集为(0,3)2. 若复数z 满足(3)3i z i +=-，则|z|=（）A.√13B.3C.4D.5答案：D解析：考查共轭复数运算及模的计算(3)343||5z i i i z =---=--⇒=3. 在△ABC 中，“A>B ”是sin sin A B >的（）A. 充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要 答案：A解析：考查三角函数单调性及分类讨论当A 为锐角时，由正弦函数单调性等价互推sinA>sinB当A 为钝角时，sin()sin sin A B A A B ππ+<⇔-=>4.若m,n 是不同直线，α,β是不同平面，则下列命题正确的是（）A.,m n αβ⊥⊥且αβ⊥则m//nB. ,//m n αβ⊥且//αβ则m ⊥nC. //,m n αβ⊥且αβ⊥则m//nD. //,//m n αβ且//αβ则m//n答案：B解析：考查线面关系选项A 、C 结论应该是m ⊥n选项D 中，m 与n 没有确定关系5. 在25(1)(1)x x +- 展开式中，含5x 项的系数是（）A.－5B.－1C.1D.5答案：B解析：考查二项式展开定理完全平方式展开有三项212x x ++，因此含有5次项的共有三项分别是554433555(),(),()C x C x C x ---，系数和为152101-+⨯-=-6. 数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，若为偶数，就把它除以2；若为奇数，就把它乘以3再加上1。
2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=lnx}，B={x|x+1x−3≤0}，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（0，3]C．（﹣1，0）D．（3，+∞）【解答】解：由A＝{x|y＝lnx}＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1≤x＜3}则A∩B＝{x|0＜x＜3}，故选：A．2．（5分）若复数z满足为i(z+3)=3−i(i虚数单位），则|z|＝（）A．√13B．3C．4D．5【解答】解：∵i(z+3)=3−i(i虚数单位），∴z+3=3−ii=−i(3−i)−i⋅i=−1﹣3i，∴z=−4﹣3i，∴z＝﹣4+3i．则|z|=√(−4)2+32=5．故选：D．3．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A若A，B都是锐角，显然有“sin A＞sin B”成立，若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤π2，此时有sin（π﹣A）＝sin A＞sin B综上，△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充分条件2°研究sin A＞sin B，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，综上在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的必要条件综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充要条件，故选：A．4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（）A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n【解答】解：A选项中的命题是正确的，分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直，故不是正确选项；B选项中的命题是错误的，因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故是正确选项；C选项中的命题是正确的，因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故不是正确选项；D选项中的命题是正确的因为n⊥β且α∥β，可得出n⊥α，再由m⊥α，可得出m∥n故不是正确选项．故选：B．5．（5分）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【解答】解：（1+x）2（1﹣x）5＝（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），∴展开式中含x5项为﹣x5+2x•5x4+x2•（﹣10x3）＝﹣x5；∴含x5项的系数是﹣1．故选：B．6．（5分）数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n＝20，则输出的结果为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得n＝20，i＝1不满足条件n是奇数，n＝10，i＝2不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝5，i＝3不满足条件n＝1，执行循环体，满足条件n是奇数，n＝16，i＝4不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝8，i＝5不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝4，i＝6不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝2，i＝7不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝1，i＝8满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．7．（5分）若x，y满足约束条件{x−2y+1≤03x−y+3≥02x+y−3≤0，则z=2x+y+2x+2的最小值于最大值的和为（）A．−32B．−12C．32D．52【解答】解：由约束条件x ，y 满足约束条件{x −2y +1≤03x −y +3≥02x +y −3≤0，则作可行域如图，∵z =2x+y+2x+2=2x+4+y−2x+2=2+y−2x+2， 即z ﹣2=y−2x+2，其几何意义是可行域内的动点 与定点P （﹣2，2）连线斜率，由图可知，当可行域内的动点为A 时，k P A 最大，z ＝2+3−20+2=52， 当可行域内的动点为B 时，k PB 最小，z ＝2+0−2−1+2=0， ∴z =2x+y+2x+2的最小值与最大值的和为52+0=52， 故选：D ．8．（5分）如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ） A ．1320B ．720C ．12D ．512【解答】解：任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631， 145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532， 307，370，703，730，406，460，604，640，共40个， 其中奇数有20个，∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为p=2040=12．故选：C．9．（5分）设函数f(x)=2017x+sinx2018+2019x−12019x+1，已知正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣4）＝0，则1a +2b的最小值为（）A．1B．2C．2√2D．4【解答】解：根据题意，f(x)=2017x+sinx2018+2019x−12019x+1，则f（﹣x）＝2017（﹣x）+sin（−x2018）+2019−x−12019−x+1＝﹣（2017x+sinx2018+2019x−12019x+1=−f（x），则函数f（x）为奇函数；f(x)=2017x+sin x2018+2019x−1x=2017x+sinx2018−22019x+1+1，则f′（x）＝2017+12018cosx2018+2ln2019×2019x(2019+1)＞0，函数f（x）为增函数，若f（2a）+f（b﹣4）＝0，则f（2a）＝﹣f（b﹣4）＝f（4﹣b），则有2a＝4﹣b，即2a+b ＝4，则1a +2b=2a+b4（1a+2b）=14（4+ba+4a b）＝1+14（ba+4ab）≥1+14×2×√b a×4a b=2，当且仅当b＝2a时等号成立；故选：B．10．（5分）若锐角φ满足sinφ−cosφ=√22，则函数f（x）＝cos2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ−5π12，2kπ+π12]，(k∈Z)B．[kπ−5π12，kπ+π12]，(k∈Z)C．[2kπ+π12，2kπ+7π12]，(k∈Z)D．[kπ+π12，kπ+7π12]，(k∈Z)【解答】解：锐角φ满足sinφ−cosφ=√2 2，∴1﹣2sinφcosφ=1 2，∴sin2φ=1 2；又sin φ＞√22，∴2φ=5π6， 解得φ=5π12； ∴函数f （x ）＝cos 2（x +φ） =1+cos(2x+2φ)2 =12+12cos （2x +5π6）， ∴2k π﹣π≤2x +5π6≤2k π，k ∈Z ； 解得k π−11π12≤x ≤k π−5π12，k ∈Z ；∴f （x ）的单调增区间为[k π−11π12，k π−5π12]（k ∈Z ）， 即[k π+π12，k π+7π12]，k ∈Z ． 故选：D ．11．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，以F 1F 2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M ，线段MF 1与双曲线的左支交于点N ，若点N 恰好平分线MF 1，则双曲线离心率为（ ） A ．√13B ．√11C ．√7D ．√5【解答】解：如图所示：∵F 1F 2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M ， ∴MF 1⊥MF 2，∵点N 恰好平分线MF 1， ∴|NF 1|=12|MF 1|，设|MF 1|＝2m ，则|MF 2|＝2m ﹣2a ， ∴|NF 2|＝m +2a ，在Rt △NMF 2中，|NF 2|2＝|MN |2+|MF 2|2， ∴（m +2a ）2＝m 2+（2m ﹣2a ）2， 整理解得m ＝3a ， ∴|MF 2|＝2m ﹣2a ＝4a ，在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|2＝|MF 1|2+|MF 2|2，∴4c2＝（6a）2+（4a）2＝52a2，即c=√13a，∴e=ca=√13故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣1，g(x)=12+ln x2，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．ln2−12B．ln2+12C．1+ln2D．1﹣ln2【解答】解：设y＝e a﹣1，则a＝1+lny，y=12+lnb2，则b＝2e y−1 2，则b﹣a＝2e y−12−lny﹣1，则（b﹣a）′＝2e y−12−1y，∴（b﹣a）′递增，∴y=12时，（b﹣a）′＝0，∴（b﹣a）′有唯一零点，∴y =12时，b ﹣a 取最小值， 2ey−12−lny ﹣1＝1+ln 2，故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若a →=(2，4)，b →=(3，−4)，则向量a →在向量b →方向上的投影为 ﹣2 ． 【解答】解：根据题意，a →=(2，4)，b →=(3，−4)， 则a →•b →=2×3+4×（﹣4）＝﹣10， |b →|=√32+(−4)2=5，则向量a →在向量b →方向上的投影a →⋅b →|b →|=−105=−2；故答案为：﹣2．14．（5分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若4S ＝a 2﹣（b ﹣c ）2，且b +c ＝4，则S 的最大值为 2 ． 【解答】解：∵满足4S ＝a 2﹣（b ﹣c ）2，b +c ＝4， ∴4×12×bc sin A ＝2bc ﹣（b 2+c 2﹣a 2）＝2bc ﹣2bc cos A ， 化为sin A ＝1﹣cos A ， 又∵sin 2A +cos 2A ＝1， ∴解得：sin A ＝1， ∴S =12bc sin A =12bc ≤12（ b+c 2）2＝2，当且仅当b ＝c ＝2时取等号．故答案为：2．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为100π3．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC 为直角三角形，面P AC 为等边三角形，且面P AC ⊥底面ABC ，取BC 中点G ，则G 为三角形ABC 的外心，过G 作平面ABC 的垂线，取等边三角形P AC 的外心为H ，过H 作平面P AC 的垂线，则两垂线交于点O ，O 为三棱锥P ﹣ABC 外接球的球心， OG =12PH =2√33，GC =12BC =√7， ∴OC =(2√33)2+(√7)2=5√33， ∴三棱锥外接球表面积为4π×(5√33)2=100π3． 故答案为：100π3．16．（5分）已知直线y ＝2x +2与抛物线y ＝ax 2（a ＞0）交于P ，Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线，交抛物线于点A ，若|AP →+AQ →|=|AP →−AQ →|，则a ＝ 2 ． 【解答】解：联立方程组{y =2x +2y =ax2，消元得：ax 2﹣2x ﹣2＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=2a ，x 1x 2=−2a． ∴A （1a，1a ），∵|AP →+AQ →|=|AP →−AQ →|，即AP →2+AQ →2+2AP →⋅AQ →=AP →2+AQ →2−2AP →⋅AQ →， 即AP →⋅AQ →=0， ∴AP ⊥AQ ．∴y 1−1ax 1−1a⋅y 2−1a x 2−1a=−1，即x 1x 2−1a （x 1+x 2）+y 1y 2−1a （y 1+y 2）+2a 2=0， 又y 1y 2＝a 2x 12x 22＝4，y 1+y 2＝2（x 1+x 2）+4=4a+4， ∴2a +3a−2＝0，解得：a ＝2． 故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＝5，a 1，a 2，a 5成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =1a n 2+4n−2，S n 是数列{b n }的前n 项和，若对任意正整数n ，不等式2S n +(−1)n+1⋅a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解（1）根据题意，因为a 3＝5，a 1，a 2，a 5成等比数列，所以{a 1+2d =5(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)，解得a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣1． （2）因为b n =1n 2=1(2n−1)2+4n−2=12=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， 所以S n =b 1+b 2+⋯+b n =12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)， 依题意，对任意正整数n ，不等式1−12n+1+(−1)n+1a ＞0，当n 为奇数时，1−12n+1+(−1)n+1a ＞0，即a ＞−1+12n+1，所以a ＞−23；当n 为偶数时，1−12n+1+(−1)n+1a ＞0，即a ＞1−12n+1，所以a ＜45； 所以实数a 的取值范围是(−23，45)．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点．（1）求证：AB ⊥PD ；（2）若∠PBC ＝90°，求二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：取AB 的中点为O ，连接OD ，OP ， ∵P A ＝PB ，∴AB ⊥OP ， ∵OD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥OD ，又OD ∩OP ＝O ， ∴AB ⊥平面POD ， 从而AB ⊥PD ；（2）解：∵∠PBC ＝90°，即PB ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PBA ，∴OD ⊥平面PBA ，∴OD ⊥OP ，以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设OB ＝1，则B(1，0，0)，P(0，0，√3)，D(0，1，0)，C(1，2，0)， ∴BD →=(−1，1，0)，PD →=(0，1，−√3)，DC →=(1，1，0)，设m →=(x ，y ，z)是平面PDB 的一个法向量，则{m →⋅BD →=0m →⋅PD →=0，即{−x +y =0y −√3z =0， 不妨设z ＝1，则x =y =√3，∴m →=(√3，−√3，−1)， 同理可求得平面PDC 的一个法向量为n →=(√3，−√3，−1)，∴cos〈m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−17，∵二面角B ﹣PD ﹣C 是锐二面角，∴其余弦值为17．19．（12分）某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C ）有关．如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 （10，15） （15，20） （20，25） （25，30） （30，35） （35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率． （1）六六月份这种冰激凌一天需求量X （单位：桶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y （单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n （单位：桶）为多少时，Y 的数学期望取得最大值？【解答】解：（1）由已知得，X 的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件A 1，最高气温位于区间[20，25）为事件A 2，最高气温不低于25为事件A 3， 根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知P(X =200)=P(A 1)=1890=15，P(X =400)=P(A 2)=3690=25，P(X =600)=P(A 3)=3690=25，故六月份这种冰激凌一天的需求量X （单位：桶）的分布列为：X 200 400 600 P152525（2）结合题意得当n ≤200时，E （Y ）＝2n ≤400， 当200＜n ≤400时，E(Y)=15×[200×2+(n −200)×(−2)]+45×n ×2=65n +160∈(400，640]，当400＜n ≤600时，E(Y)=15×[200×2+(n −200)×(−2)]+25×[400×2+(n −400)×(−2)]+25×n ×2=−25n +800∈[560，640)， 当n ＞600时，E(Y)=15×[200×2+(n −200)×(−2)]+25×[400×2+(n −400)×(−2)]+25×[600×2+(n −600)×(−2)]=1760−2n ＜560， 所以当n ＝400时，Y 的数学期望E （Y ）取得最大值640．20．（12分）如图，已知圆G ：（x ﹣2）2+y 2=49是椭圆T ：x 216+y 2b2=1（0＜b ＜4）的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC ． （1）求椭圆T 的标准方程；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，试判断直线EF 与圆G 的位置关系并说明理由．【解答】解：（1）设B(83，y 0)，y 0＞0，AB 与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，由DG AG=HB AB，得236=0√9+y 0，解得y 02=59，又点B(83，y 0)，在椭圆上，故64916+y 02b2=49+59b 2=1，解得b 2＝1，故所求椭圆T 的标准方程为x 216+y 2=1．（2）设过点M （0，1）与圆(x −2)2+y 2=49相切的直线方程为y ﹣1＝kx ， 则23=√1+k2，即32k 2+36k +5＝0， 设MF ，ME 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2=−98，k 1k 2=532， 将y ﹣1＝kx ，代入x 216+y 2=1，得（16k 2+1）x 2+32kx ＝0，解得x =−32k 16k 2+1或0，设F （x 1，k 1x 1+1），E （x 2，k 2x 2+1），则x 1=−32k 116k 12+1，x 2=−32k 216k 22+1，于是直线EF 的斜率为k EF =k 2x 2−k 1x 1x 2−x 1=k 2+k 11−16k 1k 2=34，从而直线EF 的斜率为y +32k 1216k 12+1−1=34(x +32k 116k 12+1)，将32k 12=−36k 1−5代入上式化简得y =34x −73，则圆心（2，0）到直线EF 的距离d =|32−73|√1+916=23，故直线EF 与圆G 相切．21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）与直线x ﹣y ﹣1﹣ln 2＝0相切，求实数a 的值； （2）若函数y ＝f （x ）有两个零点x 1，x 2，证明1lnx 1+1lnx 2＞2．【解答】解：（1）由f （x ）＝lnx ﹣ax ，得f′(x)=1x −a ，设切点横坐标为x 0，依题意得{1x 0−a =1x 0−1−ln2=lnx 0−ax 0，解得{x 0=12a =1，即实数a 的值为1．（2）不妨设0＜x 1＜x 2，由{lnx 1−ax 1=0lnx 2−ax 2=0，得lnx 2﹣lnx 1＝a （x 2﹣x 1），即1a=x 2−x 1lnx 2−lnx 1，所以1lnx 2+1lnx 1−2=1ax 1+1ax 2−2=x 2−x 1lnx 2−lnx 1(1x 1+1x 2)−2=x 2x 1−x 1x 2−2ln x 2x 1ln x 2x 1， 令t =x2x 1＞1，则ln x2x 1＞0，x2x 1−x1x 2−2ln x2x 1=t −1t −2lnt ，设g(t)=t −1t −2lnt ，则g′(t)=t 2−2t+1t 2＞0，即函数g （t ）在（1，+∞）上递减， 所以g （t ）＞g （1）＝0，从而x 2x 1−x 1x 2−2ln x 2x 1ln x 2x 1＞0，即1lnx 2+1lnx 1＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程是ρ=2√2sin(θ−π4)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα（t 为参数，0≤α＜π），设P （1，2），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． （1）当α＝0时，求|AB |的长度； （2）求|P A |2+|PB |2的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 的方程是ρ＝2√2sin （θ−π4），化为ρ2=2√2ρ(√22sinθ−√22cosθ)， 化为ρ2＝2ρsin θ﹣2ρcos θ， ∴x 2+y 2＝2y ﹣2x ，曲线C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2． 当α＝0时，直线l ：y ＝2，代入曲线C 可得x +1＝±1．解得x ＝0或﹣2． ∴|AB |＝2．（2）设t 1，t 2为相应参数值t 2+（4cos α+2sin α）t +3＝0，△＞0， ∴35＜sin 2(α+φ)≤1，∴t 1+t 2＝﹣（4cos α+2sin α），t 1t 2＝3．∴|P A |2+|PB |2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=（4cos α+2sin α）2﹣6＝20sin 2（α+φ）﹣6，∴|P A |2+|PB |2∈（6，14]．23．已知函数f(x)=|x −a|+12a (a ≠0)（1）若不等式f （x ）﹣f （x +m ）≤1恒成立，求实数m 的最大值；（2）当a ＜12时，函数g （x ）＝f （x ）+|2x ﹣1|有零点，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f(x)=|x −a|+12a ，∴f(x +m)=|x +m −a|+12a ， ∴f （x ）﹣f （x +m ）＝|x ﹣a |﹣|x +m ﹣a |≤|m |， ∴|m |≤1，∴﹣1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1； （2）当a ＜12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a ={−3x +a +12a +1，x ＜a −x −a +12a +1，a ≤x ≤123x −a +12a−1，x ＞12∴g （x ）在（﹣∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增．∴g(x)min =g(12)=12−a +12a =−2a 2+a+12a≤0， ∴{0＜a ＜12−2a 2+a +1≤0或{a ＜0−2a 2+a +1≥0，∴−12≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是[−12，0)．。
【全国市级联考word】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试(3月)理数试题
1洛阳市2016—2017学年高中三年级第二次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1．已知集合{}1M x y x ==-，(){}2log 2N x y x ==-，则()R C M N =I （ ） A ．[)1,2 B ．()[),12,-∞+∞U C ．[]0,1 D ．()[),02,-∞+∞U 2．设复数z 满足()11i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．2222i - D ．2222i + 3．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923a a a a a +++等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．1B ．22C ．52D ．625．甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ）A ．144种B ．180种C ．288种D ．360种6．已知圆C 的方程为221x y +=，直线l 的方程为2x y +=，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45︒的直线交l 于A ，则PA 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．21-D ．22- 7．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P 表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P =（ ）2A ．2017M B ．2017M C ．42017M D ．20174M8．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（ ） A ．π B ．3π C ．8π D ．9π9如图，1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．7B ．3C ．233D ．4 10设函数()()2ln1f x x x =+-，若a ，b 满足不等式()()22220f a a f b b -+-≤，则当14a ≤≤时，2a b -的最大值为（ ）A ．1B ．10C ．5D ．811．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 3cos B Cb c=-，则角A 的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π12．已知函数()()()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥，关于x 的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦，有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）3A ．11,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．()0,+∞C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13．已知角α的始边与x 轴非负半轴重台，终边在射线()4300x y x -=≤上，则cos sin αα-=______． 14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()2132a a a -+()2243a a a -+()2354a a a -+⋅⋅⋅+()2201520172016aaa -=______．15．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在线段OA ，OB 上，且OC BD =，若1OA =，120AOB ∠=︒，则MC MD ⋅uuu r uuu r的取值范围是______．16．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点．圆224x y +=上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是______． 三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足()21n n S n a =+，()*n N ∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围．18．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障4或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．19．已知三棱锥A BCD -，AD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2AD BD ==，23CD =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．(1)P 为线段BC 上一点．且2CP PB =，求证：AP DE ⊥. (2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．20．已知动圆M 过定点()2,0E ，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是轨迹C 上的两点，且4OA OB ⋅=-uu r uu u r，()1,0F ，记OFA OAB S S S ∆∆=+，求S 的最小值．21．已知函数()1ln f x x x =-，()g x ax b =+．(1)若2a =，()()F x g x -，求()F x 的单凋区间；(2)若函数()g x ax b =+是函数()1ln f x x x =-的图像的切线，求a b +的最小值；(3)求证：5212ln 0x ex x--+>． 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题计分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22．(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 3sin x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为cos 324πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．523．选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式32x x m m +++≥的解集为R ． (1)求m 的最大值；(2)已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，求222234a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值．6洛阳市2016—2017学年高中三年级第二次统一考试数学试卷参考答案(理)一、选择题1-5:BDBCC 6-10:DCBAB 11、12:AC二、填空题13．15 14．1 15．31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16．()(),00,1-∞U17．解：(1)∵()21n n S n a =+，∴()1122n n S n a ++=+，∴()()11221n n n a n a n a ++=+++， 即()11n n na n a +=+，∴11n na a n n+=+， ∴11111n n a a a n n -==⋅⋅⋅==- ∴()*n a n n N =∈. （2）23n n b n λ=-.()21131n n n b b n λ++-=-+()()232321n n n n λλ--=⋅-+.∵数列{}n b 为递增数列，∴()23210nn λ⋅-+>，即2321n n λ⋅<+.令2321nn c n ⋅=+，则112321631232321n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+. ∴{}n c 为递增数列，∴12c λ<=，即λ的取值范围为(),2-∞．18．解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13．该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，()4042160381P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314123213381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()2224122423381P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33412833381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， 即X 的分布列为：7X 0 1 2 3 4P1681 3281 2481 881 181设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X n ≤，即0X =，1X =，2X =，…，X n =，这1n +个互斥事件的和事件，则n0 1 2 3 4()P X n ≤1681 4881 7281 80811∵728090%8181≤≤，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%．(2)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有右能取值为：18,13,8， ()()180P Y P X ===()()721281P X P X +=+==， ()()813381P Y P X ====， ()()18481P Y P X ====． 即Y 的分布列为：Y 18 13 8P7281 881 181则()728114081813881818181E Y =⨯+⨯+⨯=． 故该厂获利的均值为140881． 19．(1)解：PG BD ∥交CD 于G ，∴2CG CP GD PB ==，∴12333GD CD ==， 在ADG ∆中，3tan 3GAD ∠=，∴30DAG ∠=︒. 22241216AC AD CD =+=+=，∴4AC =，E 为中点，2DE AE ==，∴60ADE ∠=︒，∴AG DE ⊥．∵AD ⊥面BCD ，∴AD BD ⊥，又∵BD CD ⊥，AD CD D =I ，∴BD ⊥面ADC ， ∴PG ⊥面ADC ，∴PG DE ⊥．∵AG PG G =I ，∴DE ⊥面AGP ，AP ⊂面AGP ，8∴DE AP ⊥.(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系,则()0,0,2A ，()2,0,0B ，()0,23,0C ，()0,3,1E ，()1,3,0F ，()1,3,0DF =uuu r ，()0,3,1DE =uuu r ，()0,23,2AC =-uuu r． 设平面EDF 的法向量为(),,n x y z =r， 则0,0,DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uuu r r 即30,30,x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取()3,3,3n =-． 设AC uuu r ，n r的夹角为θ， 6621cos 7421AC n AC nθ⋅--==-⋅uuu r r uuu r r . 所以直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值为217．20．解：(1)设(),M x y ，PQ 的中点N ，连MN ，则：2PN =，MN PQ ⊥， ∴222MN PN PM +=. 又PM EM =, ∴222MN PN EM +=∴()2242x x y +=-+，整理得24y x =.(2)设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，不失一般性，令10y >， 则111122OFA S OF y y =⋅⋅=△，∵4OA OB ⋅=-uu r uu u r,9∴221212416y y y y +=-,解得128y y =-③ 直线AB 的方程为：211222121444y x y y y y y y ----，()12y y ≠-, 即2111244y x y y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+，令0y =得2x =，即直线AB 恒过定点()2,0E ， 当12y y =-时，AB x ⊥轴，()2,22A ，()2,22B -． 直线AB 也经过点()2,0E .∴121212OAB S OE y y y y =⋅-=-△. 由③可得118OAB S y y =+△,∴111182OAB S S y y y ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭△1138212432y y =+=≥.当且仅当11382y y =，即1433y =时，min 43S =. 21．解：(1)2a =时，()()()F x f x g x =-1ln 2x x b x=---， ()()21120F x x x x'=+->，()()()22211212x x x x F x x x -++-'==， 解()0F x '>得01x <<，解()0F x '<得1x >，∴()F x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为区间为()1,+∞． (2)设切点坐标为设切点坐标为0001,ln ,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()211f x x x '=+， 切线斜率()020011a f x x x '==+，又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--，∴020011ln 1a b x x x +=+-- 令()()211ln 10h x x x x x=+-->，1()32121h x x x x '=-+232x x x +-=()()321x x x +-= ， 解()0h x '<得1o x <<，解()0h x '>得1x >， ∴()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增． ∴()()11h x h =-≥，∴a b +的最小值为1-． (3)法一：令()1ln 23G x x x x=--+， 由(1)知()()()max 10G x G ==，∴1ln 23x x x --≤.又1xe x +≥，∴5252212x ex -⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥()230x x =->∴521223ln x e x x x---≥≥，（两个等号不会同时成立） ∴5212ln 0x ex x--+>． 法二：令()5212ln x P x ex x -=-+，()522112x P x e x x-'=--显然()P x '在()0,+∞上递增，()10P '<，()20P '> ∴()0P x '=在()0,+∞上有唯一实根*x ，且()*1,2x ∈，5*2*12x ex -=+()2*1x ，∴()P x 在()*0,x 上递减，在()*,x +∞上递增， ∴()()*P x P x≥*522ln x ex -=-*5*2*12ln x ex x -=-+()*2**21ln x x x =+-21ln 2024>+-> ∴5212ln 0x e x x--+>， 22．解：(1)1C 的普通方程为2213y x +=，2C 的直角坐标方程为60x y +-=．(2)由题意，可设点P 的直角坐标为()cos ,3sin αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()cos 3sin 62d ααα+-=2sin 36πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.1当且仅当()23k k Z παπ=+∈时，PQ 取得最小值，最小值为22，此时P 的直角坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭．23．解：(1)因为3x x m +++≥()()3x x m +-+3m =-. 当3x m --≤≤或3m x --≤≤时取等号， 令32m m -≥所以32m m -≥或32m m --≤． 解得3m -≤或1m ≤ ∴m 的最大值为1． (2)∵1a b c ++=．由柯西不等式，()222111234234a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭()21a b c ++=≥,∴2221223413a b c ++≥，等号当且仅当234a b c ==，且1a b c ++=时成立． 即当且仅当613a =，413b =，313c =时，222234a b c ++2的最小值为1213．111111112汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！21。
河南省洛阳市2017-2018学年高中三年级第二次统一考试理科数学试题(PDF版)
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$ $ ! " # 6 )# 设函数/! # 已知正实数0 # " " # 6! $" " # $ $(4 5 * 1满足/! ! 0 1)3 #! ( (/! #" $ ! " # % ! " # 6 (#
高三数学第二次统一考试(3月)试题 文(2021年整理)
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洛阳市2016-2017学年高中三年级第二次统一考试数学试卷(文)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求。
1. 设复数z 满足1z i i =-+(i 为虚数单位)，则复数z 为（ ) A ．2i - B ．2i + C ．1 D ．12i --2。
已知集合{}{}21,1,3,1,2A B a a =-=-,且B A ⊆，则实数a 的不同取值个数为 A 。
2 B. 3 C. 4 D. 53.已知,a b 均为非零向量，()()2,2a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为 A.3π B 。
2πC 。
23π D.56π4. 已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923a a a a a +++等于( )A ．6B ．5C ．4D ．35.设()2221tan 39cos50cos127cos 40cos37,sin 56cos56,21tan 39a b c -=+=-=+，则,,a b c 的大小关系是A. a b c >> B 。
b a c >> C 。
c a b >> D 。