最新数学建模试卷(答案)

华中科技大学
《数学建模》考试卷（半开卷）
2009～2010学年度第一学期 成绩
学号 专业 班级 姓名
一、选择题 （每题2分，共10分）
（1）建模预测天气。

在影响天气的诸多因素及相互关系中，既有已知的又有许多未知的
非确定的信息。

这类模型属于（ b ）。

a.白箱模型
b.灰箱模型
c.黑箱模型
（2）在城镇供水系统模型中，水箱的尺寸是（ c ）。

a.常量
b.变量
c.参数 （3）在整理数据时，需处理和分析观测和实验数据中的误差，异常点来源于（ c ）。

a.随机误差
b.系统误差
c.过失误差
（4）需对一类动物建立身长与体重关系的模型。

在对模型的参数进行估计时，如已有
30组数据，且参数估计精度要求较高，应采用（ b ）估计参数。

a.图解法 b.统计法 c.机理分析法
（5）在求解模型时，为了简化方程有时会舍弃高价小量（如一阶近似、二阶近似等），
由此带来一定的误差，此误差是（ a ）。

a.截断误差
b.假设误差
c.舍入误差
二、填空题 （每空1分，共10分）
（1）已知函数 ()()22y 1a sin x a cos x ωωω=++，当a 很小时，一阶近似为
（ ()y 1a sin x ω=+ ），当ω很小时，二阶近似为（ 22y 1a x a ωω=++ ），而当x 很小时，一阶近似为( 22y 1a x a ωω=++ ），二阶近似为（ 22242
1y 1a x a a x 2
ωωω=++-
）。

（2）学校共有3个系， 甲系103人，乙系63人，丙系34人。

学生会共设有20个成员， 按Hamilton 方法分配名额为（10 ，6 ，4 ），按Q 值法分配名额为（ 11 ，6 ，3 ）。

（3）使用三次样条函数()()3
n 1
2
3
j j 23301j 1
x x x
x
S x x 2!
3!
3!
βαααα-+
=-=++
+
+∑
进行插值，在
两节点间()3S x 是（ 3 ）次多项式，在每个节点上()3S x 既连续又（ 光滑 ）。

()3S x 中共有（ n+3 ）个待定系数，可由（ 插值 ）条件唯一确定。

三、生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus （马尔萨斯）生物总数增长律：
()()dp t 0.003p t dt
=，其中p (t )是t 时刻鲑鱼总数，t 按分计。

在时刻t =0，一群鲨鱼
定居在这片水域，开始捕食鲑鱼，鲨鱼捕杀鲑鱼的速率为0.001p 2(t )。

此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开阿拉斯加水域。

（1）考虑到这两种因素，试修正马尔萨斯生物总数增长律；（5分）
（2）假设在t =0时存在一百万条鲑鱼，当t →∞时发生什么情况？（15分）
解：（1）修正后的马尔萨斯生物总数增长律为：
()()()2dp t 0.003p t 0.001p t 0.002dt
=-- ⑤
（2）令：()()()2f t 0.003p t 0.001p t 0.0020=--= ②
整理： 2p 3p 20-+= ()()p 2p 10⇒--=
平衡解： 12p 2
p 1== ④
()()f t 0.0030.002p t '=-
()()f 20.0030.0040.0010f 10.0030.0020.0010
'=-=-<'=-=> ④
∴平衡点1p 2=是稳定的。

②
即：t lim p 2→∞
= 当t →∞时还剩两条鲑鱼。

③
四、沿河有三城镇甲、乙和丙，污水需处理后才能排入河中。

三城镇单独建立污水处理
厂分别需投资230万元、160万元和230万元。

如甲、乙联合建厂，需投资350万元；乙、丙联合建厂，需投资365万元；甲、丙联合建厂，需投资463万元；三城合作建厂，需投资556万元。

如果联合建厂，各城镇如何分担费用？（20分）
解：将分担费用问题转化为效益分配问题。

即三城合作建厂节约了投资，产生了效益，
可以用Shapley 值方法分配这个效益。

此问题为3人合作对策。

{}I 1,2,3= ① 定义特征函数：联合建厂比单独建厂节约的投资。

()()()()()()()()v 0,v 1v 2v 30v 1,223016035040v 2,3160230365252302304630
v 1,30
v I 23016023055664
∅=====+-==+-=+-<⇒==++-= ④
计算ϕ 1：
()(
)(){}()[]1
1s S v w s v s v s 1 6.671319.67ϕ⊂=
--=+=∑ ④
计算ϕ 2：
()(
)(){}()[]2
2s S v w s v s v s 2 6.67 4.1721.3332.17ϕ⊂=
--=++=∑ ④
计算ϕ 3：
()(
)(){}()[]3
3s S v w s v s v s 3 4.17812.17ϕ⊂=
--=+=∑ ④
分配向量为：()()v 19.67,32.17,12.17Φ=
在联合建厂总投资额556万元中各城的分担费用为： 甲城： ()()
1230v 23019.67210.33ϕ-=-=万元
乙城：
()()2160v 16032.17127.83ϕ-=-=万元
丙城： ()()3230v 23012.17217.83ϕ-=-=万元 ③
五、建模描述阻尼摆的运动周期。

质量为m 的小球系在长度为 l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下做往复摆动。

考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比，比例系数为k 。

（1）求摆动周期 t 的表达式。

（15分） （2）讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。

（5分） 解： （1）设()f t,l,m,g,k 0,
m 5== ①
量纲：[][][][][]21t T
l L m M g LT k MT --=====
量纲矩阵：01010A 00101r 310021⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
⑦
12345y y 01010y 001010y 10021y ⎧⎫⎪⎪
⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬
⎢⎥⎪⎪⎢⎥--⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭
有m-r =5-3=2个基本解。

()
()
T
T
121
111y
0,,1,,1y
1,,0,,02
222⎧⎫⎧
⎫=--=-⎨⎬
⎨⎬⎩⎭⎩
⎭ ②
即：1
111
1
2
2
2
2
12l m g
k
tl g ππ--
-== ②
()12F ,0ππ=与()f t,l,m,g,k 0=等效。

①
由11112
2
2
2
222
tl g
t l g ππ--
=⇒==
由()()1221F ,0πππϕπ=⇒=，其中ϕ为未知函数。

①
∴(
)1
2112
kl t mg π⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝
⎭
# ①
(2) 物理模拟的比例:
设对原型有：1
212
k l t m g ⎛⎫
'' ⎪'=
⎪ ⎪''⎝
⎭
①
对模型有：1
212
kl t mg ⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
①
又设g g k k '
'== ①
则当112
2
l l
m m
'='时，
m m '=成立时，就有： ①
t t '= ①
六、一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的数据（胸围指鱼身的最大周长）。

设w l βα=，其中w 为鱼的重量，l 为鱼的身长，,αβ为待定参数。

试用以下数据确定参数。

（20分）
解：直接用已给数据拟合。

设 w l ln w ln ln l Y a bX βααβ=⇒=+⇒=+ ③
a 、
b 的估计值为: ()()()8
i i i 18
2i i 1
X X Y Y 0.3954ˆb 3.030.1305X X ˆˆa
Y bX 6.56 3.03 3.6 4.348==⎧
--⎪
⎪===⎪⎨-⎪⎪
=-=-⨯=-⎪⎩∑∑ ⑧
ˆ
a 4.348ˆe e 0.0129,
b
3.03αβ-===== ⑥ 3.03w 0.0129l ∴= # ③。