同步电机坐标变换

1 2 1 2 1 2
(4)
显然，这些变换关系同样适用于磁链和电压。下面，就运用上述关系将磁链和功率变换 以派克分量表示，并进一步阐明不守恒变换与守恒变换的区别。 同步电机的磁链方程如下
3
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a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa
然后对它进行派克变换
dq0 P 0 abc P 0 Lss fDQ 0 U fDQ 0 U Lrs P 0 Lss 0 U Lrs P 0 Lss 0 U Lrs
0 坐标系统。这一坐标系统由克拉
克等首先使用， 因而这种坐标变换又称为克拉克变换， 相应的变换后的变量则称为克拉克分 量或
0 分量。
运用旋转磁场原理，并将参考坐标设置在转子上的 FB0 坐标系统。这一坐标系统由顾
敏琇首先使用， 因而这种坐标变换又称为顾氏变换， 相应的变换后的变量则称为顾氏分量或
L0 l0 2m0
4
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maf PLsr 0 0
3 2 maf 3 Lrs P 1 maD 2 0
maD 0 0
0 0
0 maQ 0
0 0 0
(9)
(10)
3 maQ 2
此外，将上式中 Lrr 的各个元素改写如下
0 分量电流、 电压书写的电磁功率表示式中各项系数都有差异， 这就是这一变换之所以称 “不
守恒”变换的由来。 但比较式(13)、(14)又可见如将取正、交轴分量时的乘数
3 3 改为 ，求取零轴分量 2 2
时的乘数
1 1 改为 ，就可将不守恒变换改为守恒变换。换言之，如取 3 3
cos 2 Pi sin 3 1 2 2 2 cos cos 3 3 2 2 sin sin 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 cos cos 3 3 2 2 sin sin 3 3 1 1 2 2
(2)
由于角θ 为任意值时 P 总是非奇异矩阵，总可求逆，从而总可进行派克逆变换：
交轴向的两个等值定子绕组的磁场所替代。 由此可见， 更普遍的派克变换应该是三相不平衡 的定子电流 ia 、 ib 、 ic ，变换为另三个电流或三个电流分量——派克分量，其中之一就是 因三相电流不平衡而有的“零轴电流分量 i0 ” 。经派克变换而得的另两个电流分量，则分别 是“正轴等值定子绕组电流分量 i d ”和“交轴等值定子绕组电流分量 i q ” 。只有这样，三个 电流 ia 、 ib 、 ic 变换为另三个电流 id 、 i q 、 i0 ，才符合线性变换的基本原则——变换前后 的变量数保持不变。 更为特殊的是三相平衡而且对称电流的派克变换。此时，由于 ia ib ic 0 ，没有零 轴电流分量。 而且， 由于三相电流幅值相等， 相位各相差
' ' ia i0 、ib ib i0 、ic' ic i0 ， 则令 ia 就可由三相不平衡的 ia 、 ia ib ic 3i0 0 。 ' ' 、 ib 、 i c' ，这一组电流产生的磁场，可由位于转子正、 ib 、 ic 中分解出一组三相平衡的 ia
将上式简写为
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M bD M cD M fD LDD M QD
M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ i D LQQ iQ
Lf Lrr m fD 0
于是，变换后的磁链方程为
m fD LD 0
0 0 LQ
(11)
Ld d 0 q 0 0 3 2 maf f 3 D maD 2 Q 0
iabc P 1idq0
式中的派克逆变换矩阵 P 不难证明为
1
(3)
cos sin 2 2 P 1 cos sin 3 3 2 2 cos sin 3 3
(12)
再对电磁功率作类似的变换。由
t P u abc iabc u a ia ub ib u c ic
(13)
考虑到
1 t t 1 、 iabc P idq0 uabc udq 0 P

t
可得
t 1 P udq P 1
1
3 2 t P 1 0 0
5
0 0 3 0 2 0 3
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于是
P
观察式(12)、(13)、(14)可见：
3 3 3 u d i d u q i q u 0 i0 2 2 2
(14)
经变换，所有电感系数都从时变变成了非时变，这正是这种变换的突出优点。 经变换，磁链方程系数矩阵中定子和转子间的互感系数，从可逆变成了不可逆，以致使 运用这一方程时有某些不便。 运用变换前 a 、 b 、 c 三相电流、电压书写的电磁功率表示式，与运用变换后 d 、 q 、
(16)
P P
1 t i
1
i
Pi

t 1
1 0 0 Pi 0 1 0 0 0 1
派克变换的基础是 “任何一组三相平衡定子电流产生的合成磁场， 总可由两个轴线相互 垂直的磁场所代替”的双反应原理。根据这一原理，将这两根轴线的方向选择得与转子正、 交轴方向相一致， 使三相定子绕组电流产生的电枢反应磁场， 由两个位于这两轴方向的等值 定子绕组电流产生的电枢反应磁场所代替，就称派克变换。因此，简言之，派克变换相当于 观察点位置的变换——将观察点从在空间不动的定子上， 转移到再空间旋转的转子上， 并且 将两个位于转子正、交轴向的等值定子绕组，替代实际的三相定子绕组。 派克变换的更普遍含义，是三相不平衡电流的变换。设三相电流不平衡时，
0 Lq 0 0 0 3 maQ 2
0 0 L0 0 0 0
maf 0 0 Lf m fD 0
maD 0 0 m fD LD 0
0 i d maQ 0 iq i 0 0 i f 0 iD iQ LQ
[关键词] 同步电机；派克变换；克拉克变换；顾氏变换；莱昂变换
自 20 世纪 20 年代以来，先后建立的坐标系统主要有以下四种： 运用双反应原理，并将参考坐标设置在转子上的 dq0 坐标系统。这一坐标系统由派克
首先使用， 因而这种坐标变换常称为派克变换， 相应的变换后的变量则称为派克分量或 dq0 分量。 运用双反应原理，并将参考坐标设置在定子上的
-1
Lsr iabc Lrr i fDQ
Lsr P 0 P 0 iabc Lrr 0 U 0 U i fDQ Lsr P 0 idq0 Lrr 0 U i fDQ
(7)
-1
PLss P 1 1 Lrs P
式中 U 为单位矩阵。 可以证明，上式中
PLsr idq0 Lrr i fDQ
Ld PLss P 0 0
1
0 Lq 0
0 0 L0
(8)
其中
3 Ld l 0 m0 l 2 2 3 Lq l0 m0 l 2 2
2 ， 当它们的频率为同步频率时， 3
产生的合成磁场将在空间以同步速旋转。如转子也以同步速旋转，则替代这一磁场的正、交
2
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轴等值定子绕组磁场将不交变。与之对应的等值定子绕组电流 id 、 i q ，将只有单向分量。 而且， 这些单向分量电流随时间而变化的规律， 又与定子绕组电流的幅值随时间而变化的规 律相一致。
1
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分析不对称运行方式时，选用参考坐标设置在定子上的坐标系统。 分析稳态运行方式时，选用按旋转磁场原理建立的坐标系统。 分析暂态过程时，选用按双反应原理建立的坐标系统。 下面，本文主要对派克变换作主要介绍，而对克拉克变换、顾氏变换以及莱昂变换则仅
作简要介绍。
一、派克变换
（一）派克变换的特点
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同步电机的坐标变换
[摘要] 由于大部分电感随角 亦即随时间而周期变化， 同步电机电压和磁链方程是具有时
变系数的矩阵微分方程。这种方程式的解析解相当难求。因此，早期对于同步电机的研究， 多半都首先运用“坐标变换”或“变量变换”对这种将参考坐标设置在定子三相轴线上的基 本方程式进行处理，然后求解。以后，则又出现了将参考坐标仍设置在定子上的坐标变换。
FB0 分量。
运用旋转磁场原理， 并将参考坐标设置在定子上的 120 坐标系统。 这一坐标系统由莱昂
首先使用，因而这种坐标变换又称为莱昂变换，相应的变换后的变量则称为莱昂分量或 120 分量。 这些坐标变换又有守恒变换和不守恒变换之分。 所谓守恒变换指变换前后电磁功率守恒， 亦即用变换前后电压、电流分量书写的电磁功率表示式，具有相似的形式。不守恒变换则不 然。 至于这些坐标系统的使用，则因所研究问题的性质、所要求的精度、所使用的研究工具 而异。一般我们按下述原则选用坐标系统： 分析对称运行方式时，选用参考坐标设置在转子上的坐标系统。
(5)
abc Lss fDQ Lrs
Lsr iabc Lrr i fDQ
(6)
fDQ 、iabc 、i fDQ 都是 3×1 阶列向量，而 Lss 、 对照式(5)、 (6)可见， 式(6)中的 abc 、
Lsr 、 Lrs 、 Lrr 则都是 3×3 阶方阵。
(15)
cos sin 2 2 2 1 Pi cos sin 3 3 3 2 2 cos sin 3 3
对电磁功率方程式(13)进行派克变换，则由于
（二）派克变换的数学描述
派克变换的数学描述（以电流为例） ：
idq0 Piabc
(1)
式中
idq0
ia id iq ， iabc ib i c i0
而矩阵 P ——在采用不守恒变换时，常定义为
cos 2 P sin 3 1 2