同步电机坐标变换

2 2 cos cos 3 3 2 2 sin sin 3 3 1 1 2 2
(2)
由于角θ 为任意值时 P 总是非奇异矩阵，总可求逆，从而总可进行派克逆变换：
Lf Lrr m fD 0
于是，变换后的磁链方程为
m fD LD 0
0 0 LQ
(11)
Ld d 0 q 0 0 3 2 maf f 3 D maD 2 Q 0
FB0 分量。
运用旋转磁场原理， 并将参考坐标设置在定子上的 120 坐标系统。 这一坐标系统由莱昂
首先使用，因而这种坐标变换又称为莱昂变换，相应的变换后的变量则称为莱昂分量或 120 分量。 这些坐标变换又有守恒变换和不守恒变换之分。 所谓守恒变换指变换前后电磁功率守恒， 亦即用变换前后电压、电流分量书写的电磁功率表示式，具有相似的形式。不守恒变换则不 然。 至于这些坐标系统的使用，则因所研究问题的性质、所要求的精度、所使用的研究工具 而异。一般我们按下述原则选用坐标系统： 分析对称运行方式时，选用参考坐标设置在转子上的坐标系统。
1 2 1 2 1 2
(4)
显然，这些变换关系同样适用于磁链和电压。下面，就运用上述关系将磁链和功率变换 以派克分量表示，并进一步阐明不守恒变换与守恒变换的区别。 同步电机的磁链方程如下
3
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a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa
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同步电机的坐标变换
[摘要] 由于大部分电感随角 亦即随时间而周期变化， 同步电机电压和磁链方程是具有时
变系数的矩阵微分方程。这种方程式的解析解相当难求。因此，早期对于同步电机的研究， 多半都首先运用“坐标变换”或“变量变换”对这种将参考坐标设置在定子三相轴线上的基 本方程式进行处理，然后求解。以后，则又出现了将参考坐标仍设置在定子上的坐标变换。
将上式简写为
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M bD M cD M fD LDD M QD
M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ i D LQQ iQ
(15)
cos sin 2 2 2 1 Pi cos sin 3 3 3 2 2 cos sin 3 3
对电磁功率方程式(13)进行派克变换，则由于
(16)
P P
1 t i
1
i
Pi

t 1
1 0 0 Pi 0 1 0 0 0 1
' ' ia i0 、ib ib i0 、ic' ic i0 ， 则令 ia 就可由三相不平衡的 ia 、 ia ib ic 3i0 0 。 ' ' 、 ib 、 i c' ，这一组电流产生的磁场，可由位于转子正、 ib 、 ic 中分解出一组三相平衡的 ia
（二）派克变换的数学描述
派克变换的数学描述（以电流为例） ：
idq0 Piabc
(1)
式中
idq0
ia id iq ， iabc ib i c i0
而矩阵 P ——在采用不守恒变换时，常定义为
cos 2 P sin 3 1 2
0 坐标系统。这一坐标系统由克拉
克等首先使用， 因而这种坐标变换又称为克拉克变换， 相应的变换后的变量则称为克拉克分 量或
0 分量。
运用旋转磁场原理，并将参考坐标设置在转子上的 FB0 坐标系统。这一坐标系统由顾
敏琇首先使用， 因而这种坐标变换又称为顾氏变换， 相应的变换后的变量则称为顾氏分量或
交轴向的两个等值定子绕组的磁场所替代。 由此可见， 更普遍的派克变换应该是三相不平衡 的定子电流 ia 、 ib 、 ic ，变换为另三个电流或三个电流分量——派克分量，其中之一就是 因三相电流不平衡而有的“零轴电流分量 i0 ” 。经派克变换而得的另两个电流分量，则分别 是“正轴等值定子绕组电流分量 i d ”和“交轴等值定子绕组电流分量 i q ” 。只有这样，三个 电流 ia 、 ib 、 ic 变换为另三个电流 id 、 i q 、 i0 ，才符合线性变换的基本原则——变换前后 的变量数保持不变。 更为特殊的是三相平衡而且对称电流的派克变换。此时，由于 ia ib ic 0 ，没有零 轴电流分量。 而且， 由于三相电流幅值相等， 相位各相差
0 分量电流、 电压书写的电磁功率表示式中各项系数都有差异， 这就是这一变换之所以称 “不
守恒”变换的由来。 但比较式(13)、(14)又可见如将取正、交轴分量时的乘数
3 3 改为 ，求取零轴分量 2 2
时的乘数
1 1 改为 ，就可将不守恒变换改为守恒变换。换言之，如取 3 3
cos 2 Pi sin 3 1 2 2 2 cos cos 3 3 2 2 sin sin 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
然后对它进行派克变换
dq0 P 0 abc P 0 Lss fDQ 0 U fDQ 0 U Lrs P 0 Lss 0 U Lrs P 0 Lss 0 U Lrs
1
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分析不对称运行方式时，选用参考坐标设置在定子上的坐标系统。 分析稳态运行方式时，选用按旋转磁场原理建立的坐标系统。 分析暂态过程时，选用按双反应原理建立的坐标系统。 下面，本文主要对派克变换作主要介绍，而对克拉克变换、顾氏变换以及莱昂变换则仅
作简要介绍。
一、派克变换
（一）派克变换的特点
(5)
abc Lss fDQ Lrs
Lsr iabc Lrr i fDQ
(6)
fDQ 、iabc 、i fDQ 都是 3×1 阶列向量，而 Lss 、 对照式(5)、 (6)可见， 式(6)中的 abc 、
Lsr 、 Lrs 、 Lrr 则都是 3×3 阶方阵。
(7)
-1
PLss P 1 1 Lrs P
式中 U 为单位矩阵。 可以证明，上式中
PLsr idq0 Lrr i fDQ
Ld PLss P 0 0
1
0 Lq 0
0 0 L0
(8)
其中
3 Ld l 0 m0 l 2 2 3 Lq l0 m0 l 2 2
L0 l0 2m0
4
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maf PLsr 0 0
3 2 maf 3 Lrs P 1 maD 2 0
maD 0 0
0 0
0 maQ 0
0 0 0
(9)
(10)
3 maQ 2
此外，将上式中 Lrr 的各个元素改写如下
-1
Lsr iabc Lrr i fDQ
Lsr P 0 P 0 iabc Lrr 0 U 0 U i fDQ Lsr P 0 idq0 Lrr 0 U i fDQ
iabc P 1idq0
式中的派克逆变换矩阵 P 不难证明为
1
(3)
cos sin 2 2 P 1 cos sin 3 3 2 2 cos sin 3 3
2 ， 当它们的频率为同步频率时， 3
产生的合成磁场将在空间以同步速旋转。如转子也以同步速旋转，则替代这一磁场的正、交
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轴等值定子绕组磁场将不交变。与之对应的等值定子绕组电流 id 、 i q ，将只有单向分量。 而且， 这些单向分量电流随时间而变化的规律， 又与定子绕组电流的幅值随时间而变化的规 律相一致。
派克变换的基础是 “任何一组三相平衡定子电流产生的合成磁场， 总可由两个轴线相互 垂直的磁场所代替”的双反应原理。根据这一原理，将这两根轴线的方向选择得与转子正、 交轴方向相一致， 使三相定子绕组电流产生的电枢反应磁场， 由两wenku.baidu.com位于这两轴方向的等值 定子绕组电流产生的电枢反应磁场所代替，就称派克变换。因此，简言之，派克变换相当于 观察点位置的变换——将观察点从在空间不动的定子上， 转移到再空间旋转的转子上， 并且 将两个位于转子正、交轴向的等值定子绕组，替代实际的三相定子绕组。 派克变换的更普遍含义，是三相不平衡电流的变换。设三相电流不平衡时，
P
1
3 2 t P 1 0 0
5
0 0 3 0 2 0 3
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于是
P
观察式(12)、(13)、(14)可见：
3 3 3 u d i d u q i q u 0 i0 2 2 2
(14)
经变换，所有电感系数都从时变变成了非时变，这正是这种变换的突出优点。 经变换，磁链方程系数矩阵中定子和转子间的互感系数，从可逆变成了不可逆，以致使 运用这一方程时有某些不便。 运用变换前 a 、 b 、 c 三相电流、电压书写的电磁功率表示式，与运用变换后 d 、 q 、
(12)
再对电磁功率作类似的变换。由
t P u abc iabc u a ia ub ib u c ic
(13)
考虑到
1 t t 1 、 iabc P idq0 uabc udq 0 P

t
可得
t 1 P udq P 1idq0 0 P

t
可以证明，上式中
[关键词] 同步电机；派克变换；克拉克变换；顾氏变换；莱昂变换
自 20 世纪 20 年代以来，先后建立的坐标系统主要有以下四种： 运用双反应原理，并将参考坐标设置在转子上的 dq0 坐标系统。这一坐标系统由派克
首先使用， 因而这种坐标变换常称为派克变换， 相应的变换后的变量则称为派克分量或 dq0 分量。 运用双反应原理，并将参考坐标设置在定子上的
0 Lq 0 0 0 3 maQ 2
0 0 L0 0 0 0
maf 0 0 Lf m fD 0
maD 0 0 m fD LD 0
0 i d maQ 0 iq i 0 0 i f 0 iD iQ LQ