第4章最小二乘估计量的性质

计量经济学-中国人民大学,赵国庆

r Xt X Yt Y SXY
2
2
Xt X
Yt Y
SXX SYY
§2.3最小二乘估计量的性质
1. 线性特性（Linear）
估计量a,b均可由被解释变量Yt线性表出，即：
b wtYt a vtYt wt ,vt均为确定性变量。
b
Xt X Xt
Yt Y X 2
Xt SXX
≥
t
2
≤
的置信区间为 :
b
p
S
1 S XX
t
2
=
1
-
b t S
2
1 S XX
≤
≤
b + t S
2
1 S XX
同样的置信区间为 :
a t S
2
1 n
X2 S XX
≤
≤
a + t S
2
1 X2
n S XX
§2.4 系数的显著性检验
例题 :给出下列数据 X 23 159 Y 4 7 3 9 17 (1)估计模型 :Y X u
( 2 ) 给出方差 : v aˆ r a v aˆ r b
(3) 对系数作显著性检验
§2.4 系数的显著性检验
解:(1) Yˆ a bX 1 1.75 X
(2) S 2 TSS ESS 1.24 1.75 70 0.5
n2
3
vaˆr a
S
2
1 n
则式变为: S XX SXY
S XY
S XX
Y X
§2.2参数的最小二乘估计
最小二乘估计:
b
X t X Yt X t X 2

最小二乘估计量的性质

第三节最小二乘估计量的性质三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性一、线性特性的含义线性特性是指参数估计值1ˆβ和2ˆβ分别是观测值t Y 或者是扰动项t μ的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用t Y 或者是t μ来表示。

1、2ˆβ的线性特征证明（1）由2ˆβ的计算公式可得： 222222()ˆt tttt ttttttt tt tt x y x Y x Y xxx xx x x x β--===⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑Y Y Y Y需要指出的是，这里用到了因为t x 不全为零，可设2tt tx b x =∑，从而，t b 不全为零，故2ˆt t b β=∑Y 。

这说明2ˆβ是t Y 的线性组合。

（2）因为12t t t Y X ββμ=++，所以有()212122ˆt t t t t t t t t t t tb b X b b X b b βββμββμβμ==++=++=+∑∑∑∑∑∑Y这说明2ˆβ是t μ的线性组合。

需要指出的是，这里用到了220t t t t t x x b x x ===∑∑∑∑∑以及 ()2222222201t t tt t t tt ttttttttx x X x b X X x x x x X x X x x x x x⎛⎫+⎪== ⎪⎝⎭++==+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2、1ˆβ的线性特征证明（1）因为12ˆˆY X ββ=-，所以有 ()121ˆˆ1t t t t tY X Y X b nXb n ββ=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑Y Y这里，令1a Xb n=-，则有1ˆt a β=∑Y 这说明1ˆβ是t Y 的线性组合。

（2）因为回归模型为12t t t Y X ββμ=++，所以()11212ˆt t t t t t t t t ta a X a a X a βββμββμ==++=++∑∑∑∑∑Y因为111t t t a Xb X b nn⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭∑∑∑∑。

计量经济学名词解释和简答题

计量经济学第一部分：名词解释第一章1、模型：对现实的描述和模拟。

2、广义计量经济学：利用经济理论、统计学和数学定量研究经济现象的经济计量方法的统称，包括回归分析方法、投入产出分析方法、时间序列分析方法等。

3、狭义计量经济学：以揭示经济现象中的因果关系为目的，在数学上主要应用回归分析方法。

第二章1、总体回归函数：指在给定Xi 下Y 分布的总体均值与Xi 所形成的函数关系（或者说总体被解释变量的条件期望表示为解释变量的某种函数）。

2、样本回归函数：指从总体中抽出的关于Y ，X 的若干组值形成的样本所建立的回归函数。

3、随机的总体回归函数：含有随机干扰项的总体回归函数（是相对于条件期望形式而言的）。

4、线性回归模型：既指对变量是线性的，也指对参数β为线性的，即解释变量与参数β只以他们的1次方出现。

5、随机干扰项：即随机误差项，是一个随机变量，是针对总体回归函数而言的。

6、残差项：是一随机变量，是针对样本回归函数而言的。

7、条件期望：即条件均值，指X 取特定值Xi 时Y 的期望值。

8、回归系数：回归模型中βo ，β1等未知但却是固定的参数。

9、回归系数的估计量：指用01,ββ等表示的用已知样本提供的信息所估计出来总体未知参数的结果。

10、最小二乘法：又称最小平方法，指根据使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数的方法。

11、最大似然法：又称最大或然法，指用生产该样本概率最大的原则去确定样本回归函数的方法。

12、估计量的标准差：度量一个变量变化大小的测量值。

13、总离差平方和：用TSS 表示，用以度量被解释变量的总变动。

14、回归平方和：用ESS 表示：度量由解释变量变化引起的被解释变量的变化部分。

15、残差平方和：用RSS 表示：度量实际值与拟合值之间的差异，是由除解释变量以外的其他因素引起的被解释变量变化的部分。

16、协方差：用Cov （X ，Y ）表示，度量X,Y 两个变量关联程度的统计量。

17、拟合优度检验：检验模型对样本观测值的拟合程度，用2R 表示，该值越接近1，模型对样本观测值拟合得越好。

计量经济学考点整理

第一章计量经济学定义：统计学、经济理论和数学三者的结合。

正经济学中，我们用数学的函数概念表达对经济变量间的关系的看法。

计量经济学模型建立的步骤：一、理论模型的设计二、样本数据的收集三、模型参数的估计四、模型的检验计量经济学模型成功的三要素：理论数据方法计量经济学模型的应用：一、结构分析二、经济预测三、政策评价四、理论检验与发展第二章回归分析概述：是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。

其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。

回归分析与相关分析异同同：对变量间统计依赖关系的考察异：1。

相关分析适用于所有统计关系，回归分析仅对存在因果关系而言2．相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。

回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量），前者是随机变量，后者不一定是。

医院线性回归的基本假设：针对采用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS ）估计而提出的。

分为：1、关于模型关系的假设：1。

模型设定正确假设。

2线性回归假设i i i X Y μββ++=102、关于解释变量的假设：1。

确定性假设。

2．与随机项不相关假设 3．观测值变化假设4．无完全共线性假设5．样本方差假设：随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一有限常数∞→→-∑n Q n X X i ,/)(23、关于随机项的假设：1。

0均值假设 2．同方差假设3序列不相关假设4、随机项的正态性假设：正态性假设5、CLRM 和 CNLRM cov(,)0,1,2,,()0,1,2,,i i i i X i nE X i n μμ====()0,1,2,,i i E X i n μ==2(),1,2,,i i Var X i n μσ==(,,)0,,1,2,,,i j i j Cov X X i j n i j μμ==≠22~(0,)~(0,)i i N μσμσ→NID一、元线性回归模型的参数估计：一、参数的普通最小二乘估计（OLS ）二、参数估计的最大或然法(ML)三、最小二乘估计量的性质四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计一、参数的普通最小二乘估计（OLS ）：根据被解释变量的所有观测值与估计值之差的平方和最小的原则求得参数估计量二、参数估计的最大或然法(ML)：基本原理：当从模型总体随机抽取n 组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n 组样本观测值的概率最大• 三、最小二乘估计量的性质：1准则：– 线性性(linear)，即它是否是另一随机变量的线性函数；– 无偏性(unbiased)，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值； – 有效性(efficient)，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。

2.2 最小二乘的估计性质

ˆ ) E ( k ) k E ( ) E( i i 1 i i 1 1 1
同样地，容易得出
ˆ ) E ( w ) E( ) w E ( ) E( i i i i 0 0 0 0
3、有效性（最小方差性），即在所有线性无偏估计量
2
x nX n x
2 i 2 i
2
2
X n x
2 i i
2 2
（2）证明最小方差性
ˆ * 是其他估计方法得到的关于的线性无偏估计量：假设 1 1
ˆ* c Y ii 1
其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数
则容易证明
ˆ * ) var( ˆ) var( 1 1
ˆ + ˆ Xi + ei • (2) 估计的统计模型： Yi= 0 1
• (3) 真实的回归直线：E(Yi) = 0 + 1 Xi
ˆ = ˆ + ˆ Xi • (4) 估计的回归直线： Y i 0 1
二、参数估计量的概率分布及随机误差项方差的估计
ˆ 的概率分布 ˆ 和 1、参数估计量 0 1
2 1 x 1 1 2 2 2 Xk i X 2 k i2 2 X k i X 2 i 2 x n n n n i 2
2
2 1 X n x2 i
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。
ˆ 证： 1
x y x
i 2 i

最小二乘法原理

三、最小二乘法最小二乘法是根据最小二乘准则，利用样本数据估计回归方程的一种方法。

（一）残差设是被解释变量的第次样本观测值，是相应的第次样本估计值。

将与之间的偏差记作称为第次样本观测值的残差。

（二）最小二乘准则使全部样本观测值的残差平方和达到最小，即来确定未知参数估计量的准则，称为最小二乘准则。

（三）最小二乘估计量未知参数的最小二乘估计量的计算公式为最小二乘估计量的推导设残差平方和其中它是阶残差列向量。

为了得到最小二乘估计量，我们对上式进行极小化移项后，得正规方程组根据基本假定5.，存在，用左乘正规方程组两边，得的最小二乘估计量式（四）的无偏估计量随机误差项的方差的无偏估计量为称作回归估计的均方误差，而称作回归估计的标准误差。

（五）的方差其中，，于是每个的方差为，而是矩阵对角线上对应的第个元素，。

（六）方差的估计量方差的估计量为则每个方差的估计量为，标准差的估计量为，四、拟合优度检验拟合优度检验是样本回归方程对样本观测值拟合程度的检验。

（一）总离差平方和的分解公式其中—总离差平方和，—回归平方和，—残差平方和。

于是，可以将平方和的分解公式写成离差形式（二）多元样本决定系数1.多元样本决定系数所谓多元样本决定系数，也称多元样本判定系数或多元样本可决系数，是指被解释变量中的变异性能被样本回归方程解释的比例，即2. 修正的样本决定系数与有如下关系：在样本容量一定的情形下，可以看出有性质：(1)，；（2）可能出现负值。

例如，，，时，。

显然负的拟合优度没有任何意义，在这种情形时，我们取。

（三）三个平方和的计算公式于是有因为，所以。

作为度量回归值对样本观测值拟合优度的指标，显然的数值越大越好。

的数值越接近于1，表示中的变异性能被估计的回归方程解释的部分越多，估计的回归方程对样本观测值就拟合的越好；反之，的数值越接近于0，表示中的变异性能被估计的回归方程解释的部分越少，估计的回归方程对样本观测值就拟合的越差。

五、检验检验是对回归方程总体显著性的检验，就是从总体上检验解释变量对被解释变量是否有显著影响的一种统计检验方法。

一元线性回归的最小二乘估计

3. 高斯--马尔柯夫定理（Gauss--Markov Theorem）
对于满足统计假设条件(1)--(4)的线性回归模型 Yt = + Xt + ut , ，普通最小二乘估计量 ( OLS估计量) 是最佳线性无偏估计量（BLUE）。或对于古典线性回归模型（CLR模型）Yt=α+β+Xt ，普通最小二乘估计量（OLS估计量）是最佳线性无偏估计量（BLUE）。
最小二乘法就是选择一条直线，使其残差平方和，使得 ˆ和达到最小值的方法。即选择 α
ˆ )2 S et (Yt Y t
2
ˆX ) 2 ˆ (Yt t
达到最小值。
运用微积分知识，使上式达到最小值的必要条件为：
S S 0 ˆ ˆ
两边取期望值，得：
ˆ )2 E (
1 2 2 [ x E ( i ) xi x j E ( i j )] 2 2 i ( xt ) i j
由于 E( t )=
2
2
, t=1,2,…,n
——根据假设（3） ——根据假设（2）
E( i j )=0, i≠j
ˆ
xy 390 0.39,ˆ Y ˆ * X 22 0.39 * 30 10.3 x 1000
Eviews 创建工作文件，输入数据并进行回归：
Create u 1 5
data x y ls y c x
三、最小二乘法估计量的性质 ˆ 和 ˆ 的均值 1．
2 1 2 2 2 ˆ E ( ) ( x 0) ∴ 2 2 i 2 ( xt ) x t 2 ˆ) 即 Var ( 2 x t

第四章参数的最小二乘法估计讲解

第四章最小二乘法与组合测量§1概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。

对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。

例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。

另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。

最小二乘法的发展已经经历了200多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。

本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。

§2最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。

对某量x 测量一组数据n x x x ,,,21 ，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏差依次为：n σσσ ,,21记最可信赖值为x ，相应的残差x x v i i -=。

测值落入),(dx x x i i +的概率。

dx v P i i ii )2exp(2122σπσ-=根据概率乘法定理，测量n x x x ,,,21 同时出现的概率为n i ii ni i dx v P P )]()(21exp[)2(12∑-∏=∏=σπσ 显然，最可信赖值应使出现的概率P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即∑=iii Min v 22σ权因子：22o i i w σσ=即权因子i w ∝21iσ，则2[]i i wvv wv Min ==∑再用微分法，得最可信赖值x11ni ii nii w xx w===∑∑ 即加权算术平均值这里为了与概率符号区别，以i ω表示权因子。

计量经济学普通最小二乘法估计量

[
1 N

x2 (xi x)2
x2f (xi
x)2

2xx f (xi
x)2
1]
2
1
[N
(x (xi
xf )2 x)2
1]
2
2、预测E(yf)
以 yˆ f ˆ0 ˆ1xf 作为对E(yf)的预测。预
测误差是：
e2 E( y f ) yˆ f (0 ˆ0) (1 ˆ1)xf
1、预测yf
以 yˆ f ˆ0 ˆ1xf 作为对yf的预测。此时预测误差是： e1 y f yˆ f (0 ˆ0) (1 ˆ1)xf f 显然，E(e1)=0。
Var(e1) Var(ˆ0 ) x2fVar(ˆ1) 2x f Cov(ˆ0, ˆ1) Var( f )
普通最小二乘法估计量
例2：假设真实模型为 y 0 1x
0, 1为待估参数，最小二乘法的参数估计量为
ˆ1
(xi x ) yi (xi x )2
; ˆ0

y

ˆ1x
既然估计量是随机的，那么我们需要分析随机
变量的统计性质，了解它的分布。另外0, 1 真

cov ki yi , (wi ki )yi

ki (wi ki ) 2
0

var wi yi var ki yi (wi ki )yi

var ki yi var (wi ki )yi var ki yi
假定2：在重复抽样中，(x1, x2,..., xN )被预先固定下来，即(x1, x2,..., xN )是非随机的，显然，如果解释变量含有随机的测量误差，那么该假定被违背。还存其他的违背该假定的情况。

计量经济学简答题

第二部分：简答题第一章1、什么是计量经济学？答：计量经济学包括广义计量经济学和狭义计量经济学，本课程中的计量经济学模型，就是狭义计量经济学意义上的经济数学模型：计量经济学是经济学的一个分支学科，以揭示经济活动中客观存在的数量关系为主要内容，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉性学科。

2、计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？答：计量经济学方法揭示经济活动中具有因果关系的各因素间的定量关系，它用随机性的数学方程加以描述；而一般经济数学方法揭示经济活动中各个因素间的理论关系，更多地用确定性的数学方程加以描述。

3、如何理解计量经济学在当代经济学科中的重要地位？当代计量经济学的基本特点？答：计量经济学自20世纪20年代末30年代初形成以来，无论在技术方法还是在应用方面发展都十分迅速，尤其是经过20世纪50年代的发展阶段和60年代的扩张阶段，计量经济学在经济学科中占据了重要的地位，主要表现在：①。

在西方大多数大学和学院中，计量经济学的讲授已成为经济学课程表中最具权威性的一部分；②。

在1969至2003年诺贝尔经济学奖的53位获奖者中有10位与研究和应用计量经济学有关，居经济学各分支学科之首。

此外，绝大多数获奖者的研究中都应用了计量经济学方法。

③。

计量经济学方法与其他经济数学方法的结合应用得到了长足发展。

从当代计量经济学的发展动向看，其基本特点包括：⑴。

非经典计量经济学的理论与应用研究成为计量经济学越来越重要的内容；⑵。

计量经济学方法从主要用于经济预测转向经济理论假设和政策假设的检验；⑶。

计量经济学模型的应用从传统的领域转向新的领域，从宏观领域的研究开始转向微观领域的研究；⑷。

计量经济学模型的规模不再是水平高低的衡量标准，人们更喜欢建立一些简单的模型，从总量上和趋势上说明经济现象。

4、建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤包括：①设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；②收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和一致性；③估计模型参数；④检验模型，包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。

最小二乘估计量b1的方差推导(3篇)

第1篇一、引言最小二乘法（Least Squares Method）是统计学中一种常用的参数估计方法，尤其在回归分析中得到了广泛的应用。

最小二乘法通过最小化残差平方和来估计模型参数，其中b1是线性回归模型中自变量对因变量的斜率估计量。

本文将推导最小二乘估计量b1的方差，以期为线性回归分析提供理论支持。

二、线性回归模型线性回归模型的一般形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y是因变量，X1, X2, ..., Xk是自变量，β0是截距，β1, β2, ...,βk是回归系数，ε是误差项。

三、最小二乘估计量根据最小二乘法，估计量b1可以通过以下公式计算：b1 = (X'X)^(-1)X'Y其中，X是设计矩阵，Y是观测值向量，(X'X)^(-1)是X的协方差矩阵的逆矩阵。

四、b1的方差推导为了推导b1的方差，我们需要考虑以下步骤：1. 残差平方和残差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）是衡量模型拟合程度的重要指标，其计算公式为：RSS = ∑(Yi - Yi^)²其中，Yi是观测值，Yi^是模型预测值。

2. 残差协方差矩阵残差协方差矩阵（Residual Covariance Matrix，CR）是衡量残差之间关系的矩阵，其计算公式为：CR = (X'X)^(-1)X'X(X'X)^(-1)3. b1的方差根据线性回归模型和残差协方差矩阵，b1的方差可以表示为：Var(b1) = CR[1,1]其中，CR[1,1]表示残差协方差矩阵的第1行第1列元素。

4. 推导过程为了推导Var(b1)，我们需要考虑以下步骤：（1）计算残差协方差矩阵CRCR = (X'X)^(-1)X'X(X'X)^(-1)（2）计算CR[1,1]CR[1,1] = (X'X)^(-1)X'X[1,1](X'X)^(-1)其中，[1,1]表示矩阵的第1行第1列元素。

计量经济学简答

简答题：1.选择工具变量的原则是什么:（1）工具变量必须与所替代的随机解释变量高度相关；（2）工具变量与随机误差项不相关（3）工具变量与其它解释变量不相关，避免出现多重共线性。

2.实际经济问题中的多重共线性(1)经济变量的趋同性（2）滞后变量的引入（3）样本资料的限制3.序列相关性产生的原因:（1）惯性；（2）模型设定误差；（3）蛛网现象；（4）数据加工。

4、随机解释变量问题及其解决方法。

如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，则称原模型出现随机解释变量问题。

第一、随机解释变量与误差项相互独立；第二、随机解释变量与误差项同期无关，而异期相关；第三、随机解释变量与误差项同期相关；第四、解决方法为工具变量法。

5.随机解释变量产生的后果1.若相互独立，则参数估计量仍然无偏一致。

2 若同期相关，异期不相关，得到的参数估计有偏，但却是一致的3 若同期相关，则估计量有偏且非一致。

6.简述最小二乘估计量的性质：（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。

（4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值；（5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。

7、虚拟变量的作用：（1）表现定性因素对被解释变量的影响（2）提高模型的说明能力与水平（3）季节变动分析。

（4）方程差异性检验。

8、虚拟变量设置的原则：如果有定性因素共有个结果需要区别，那么至多引入m-1 个虚拟变量9、实际经济问题中的多重共线性：（1）经济变量的趋同性（2）滞后变量的引入（3）样本资料的限制10.引入随机误差形式为了：（1）代表未知的影响因素（2）代表残缺数据（3）代表众多细小的影响因素（4）代表数据观测误差（5）代表模型设定误差（6）变量的随机存在性11.12.回归分析的主要内容有：（1）根据样本观测值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验（3）利用回归方程进行分析、评价及预测。

计量经济学习题第4章异方差性

第4章异方差性一、单项选择1.Goldfeld-Quandt 方法用于检验（） A.异方差性 B.自相关性 C.随机解释变量 D.多重共线性2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（） A.一阶差分法 B.广义差分法 C.工具变量法 D.加权最小二乘法3.White 检验方法主要用于检验（） A.异方差性 B.自相关性 C.随机解释变量 D.多重共线性4.Glejser 检验方法主要用于检验（） A.异方差性 B.自相关性 C.随机解释变量 D.多重共线性5.下列哪种方法不是检验异方差的方法（）A.戈德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.方差膨胀因子检验 6.当存在异方差现象时，估计模型参数的适当方法是（） A.加权最小二乘法 B.工具变量法C.广义差分法D.使用非样本先验信息7.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（）A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用C.重视小误差和大误差的作用D.轻视小误差和大误差的作用8.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差i e 与i x 有显著的形式ii i v x e +=28715.0的相关关系（i v满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（）A. i xB. 21i x C. i x 1D. i x 19.如果戈德菲尔特——匡特检验显著，则认为什么问题是严重的（）A.异方差问题B.序列相关问题C.多重共线性问题D.设定误差问题 10.设回归模型为ii i u bx y +=，其中ii x u Var 2)(σ=，则b 的最有效估计量为（）A.∑∑=2ˆx xy bB. 22)(ˆ∑∑∑∑∑--=x x n y x xy n bC.x y b=ˆ D. ∑=xy n b 1ˆ二、多项选择1.下列计量经济分析中那些很可能存在异方差问题（） A.用横截面数据建立家庭消费支出对家庭收入水平的回归模型 B.用横截面数据建立产出对劳动和资本的回归模型C.以凯恩斯的有效需求理论为基础构造宏观计量经济模型D.以国民经济核算帐户为基础构造宏观计量经济模型E.以30年的时序数据建立某种商品的市场供需模型 2.在异方差条件下普通最小二乘法具有如下性质（）A 、线性B 、无偏性C 、最小方差性D 、精确性E 、有效性 3.异方差性将导致A 、普通最小二乘法估计量有偏和非一致B 、普通最小二乘法估计量非有效C 、普通最小二乘法估计量的方差的估计量有偏D 、建立在普通最小二乘法估计基础上的假设检验失效E 、建立在普通最小二乘法估计基础上的预测区间变宽 4.下列哪些方法可用于异方差性的检验（）A 、DW 检验B 、方差膨胀因子检验法C 、判定系数增量贡献法D 、样本分段比较法E 、残差回归检验法5.当模型存在异方差现象进，加权最小二乘估计量具备（）A 、线性B 、无偏性C 、有效性D 、一致性E 、精确性 6.下列说法正确的有（）A 、当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性B 、当异方差出现时，常用的t 和F 检验失效C 、异方差情况下，通常的OLS 估计一定高估了估计量的标准差D 、如果OLS 回归的残差表现出系统性，则说明数据中不存在异方差性E 、如果回归模型中遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势三、名词解释1.异方差性2.格德菲尔特-匡特检验3.怀特检验4.戈里瑟检验和帕克检验四、简答题1.什么是异方差性？试举例说明经济现象中的异方差性。

计量经济学【一元线性回归模型——参数估计】

ˆ0计量ˆ1 和
可以分别表示为被解释变量观测Y值i
的线
性组合（线性函数）；
ˆ证1 明
如( X下i ： X )(Yi (Xi X )2
Y
)
(Xi X) (Xi X )2
(Yi
Y
)
ki (Yi Y )
其中ki ：
(Xi X) (Xi X )2
ki
对ki于引0 进的 ki (X容i 易X证) 明有k如i X下i 的1 特性k：i2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
i
1,
2,
n
假设3：随机误差项在不同样本点之间是独立的，不
存
Cov(i , j ) 0,,,,,,,i j,,,,i, j 1, 2, n
在序列相关，即：
一、一元线性回归模型的基本假设
假设 4：随机误差项与解释变量之间不相关，即：
Cov( Xi , i ) 0,,,,,,,,,,,i 1, 2, n
：待估
E(Y
总样体本回回归归函函数数形形式式：：Yˆi
| Xi)
ˆ0
0 ˆ1X i
1X i
其计
中估
方
ˆ0 , ˆ1 法ˆ0，, ˆ1求
是ˆ00,,ˆ11 出
的估计值，我们需要找到一种参数，并0 ,且1 这种参数估计方法保证了估
计值数
与总体真值
尽可能地接近；这种参
i
根据微小，
积
分中
ˆ0 , ˆ1
求
极
值
的
原
理
，
要
使 i
ei2
待定系数

参数的最小二乘法估计

最小二乘法的目标是找到一组模型参数，使得模型预测值与观测值之间的误差平方和最小。
最小二乘法的应用领域
回归分析
在统计学中，最小二乘法被广泛应用于线性回归分析，用于估计回归模型的参数。
01
工程领域
最小二乘法在工程领域也有广泛应用，例如用于参数估计、系统辨识、控制设计等任务。
05
02
曲线拟合
最小二乘法可用于拟合曲线，例如多项式曲线、指数曲线等，以描述数据之间的关系。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量具有最小的方差，因此是有效的。
有效性意味着在同样的样本量下，最小二乘法估计量能够提供更精确的参数估计，减少估计误差。
05
最小二乘法估计的优缺点
优点
无偏性
一致性
在满足一定的假设条件下，最小二乘法估计量是参数的真实值的无偏估计，即估计量的期望值等于参数的真实值。
最小二乘法估计量是样本数据的线性组合，其期望值等于总体参数的真实值，因此具有无偏性。
无偏性意味着在多次重复抽样和估计过程中，估计量的平均值将接近参数的真实值。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计量的值将逐渐接近参数的真实值，具有一致性。
VS
一致性保证了在大样本情况下，最小二乘法估计量能够给出相对准确的参数估计。
对于非线性模型，可以通过变量变换或引入非线性项，将其转化为线性模型，再利用最小二乘法进行参数估计。
在时间序列分析中的应用
趋势分析
通过最小二乘法拟合时间序列的趋势项，揭示时间序列的长期趋势和变化规律。
季节调整
对于具有季节性特征的时间序列，可以利用最小二乘法估计季节因子，进而对原始序列进行季节调整。

2.2 一元线性回归模型的最小二乘估计

一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：
（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；
（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；
（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。
这三个准则也称作估计量的小样本性质。
拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator, BLUE）。
3、有效性（最小方差性），即在所有线性无偏估计量
中，最小二乘估计量ˆ0 、 ˆ1 具有最小方差。
(1)先求ˆ0 与ˆ1 的方差
var(ˆ1) var( kiYi )
k
2 i
var( 0
பைடு நூலகம்

1X i

i
)

k
2 i
var(i
)

xi xi2
易知故
ki
xi 0 xi2
ˆ1 1 ki i
ki Xi 1
E(ˆ1 ) E(1 ki i ) 1 ki E(i ) 1
同样地，容易得出
E(ˆ0 ) E(0 wi i ) E(0 ) wi E(i ) 0
二、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和
n
n
Q (Yi Yˆi )2 (Yi (ˆ0 ˆ1 X i )) 2
为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。

计量经济学笔记(1-9章)

引言计量经济学建模方法:1)理论或假设的陈述;2)理论的数学模型的设定;3)理论的计量经济模型的设定;4)获取资料;5)计量经济模型的参数估计;6)假设检验;7)预报或预测;8)利用模型进行控制或制定政策。

第一章回归分析的性质1、回归分析:研究一个叫应变量的变量对另一个或多个叫做解释变量的变量的依赖关系,其用意在于通过后者的已知或设定值,去估计和预测前者的均值。

2、虚拟变数:定性变量或范畴变量。

3、时间序列数据:一个变量在不同时间取值的一组观测结果。

4、横截面数据:一个或多个变量在同一时间点上收集的数据。

5、实验资料：在保持一些因素不变的情况下收集数据。

、6、非实验资料：收集的资料不受研究者控制。

、7、回归分析的主要用意，是分析一个叫做应变量的变量，对另一个或多个叫做解释变量的变量的统计依赖性，这种分析的目的，是要在解释变量已知或固定值的基础上，估计和预测应变量的均值，实际上，回归分析的成功有赖于适用资料的获得。

、、第二章双变量回归分析：一些基本概念1、总回归函数（PRF ）：)()(i i X f X Y E =它仅仅表明在给定i X 下Y 分布的均值与i X 有函数关系，换句话说，他说出应变量的均值或平均值是怎样随解释变量变化的。

在几何意义上，总体回归曲线就是解释变量给定值时应变量的条件均值或期望值的轨迹。

、i i X X Y E 21)/(ββ+=：称为线性总体回归函数或简称线性总体回归。

2、PRF 的随机设定)/(i i i X Y E Y u -= 或 i i i u X Y E Y +=)/(i u 称为随机干扰项或随机误差。

是从模型中省略下来的而又集体地影响这应变量的全部变量的替代物。

)/(i X Y E 这一个成分被称为系统性或确定性成份；i u 为随机或非系统性成分。

若i i X X Y E 21)/(ββ+=ii i u X Y ++=21ββ3、随机干扰项的意义 1）理论的模糊性。

最小二乘法

而最小方差估计由(4.65) 得 ψ Mv = E{[ X T (σ 2 I ) −1 X ]−1} = σ 2 E{( X T X ) −1} = ψ
ˆ 在满足一定噪声条件下这说明 LSE 的估计 Θ
是一个最小方差估计，即一个有效估计。由此可知， LSE 是无偏的、有效的、一致的 4.5.5 最小二乘的局限性
i =1 n
列。以一阶系统为例，对于系统 y ( k ) = − ay ( k − 1) + bu ( k − 1) + ε (k ) ，ε ( k ) = v ( k ) + av ( k − 1) 。它的最小二乘估计为
θˆ = ( X T X ) −1 X T Y ，
-3-
⎡ X T (1) ⎤ ⎢ T ⎥ X (2) ⎥ T ⎢ ˆ 其中 θ = [− a, b] ， X = ， X T (i ) = [ y (i ) u (i )] ⎢ M ⎥ ⎢ T ⎥ ⎢ X ( N )⎦ ⎥ ⎣ ⎡ N 2 ⎢ ∑ y (i ) θˆ = ⎢ Ni =1 ⎢ ⎢∑ y (i )u (i ) ⎣ i =1
= aσ 2
ˆ} ≠ Θ 。可见，即使 E{v ( k )} = 0 ，因为一阶系统 ε (k ) 一步相关， Rεε (1) ≠ 0 ，所以 E{Θ
-4-
4.6 辅助变量法（IV）设为有色噪声或相关序列，则因为
Y = XΘ + ε 所以它的 N 次观测 (N>2n) 后的最小二乘估计为
ˆ = ( X T X ) −1 X T Y = Θ + ( X T X ) −1 X T ε Θ
2 (0) 其中 Δ = R yy (0) Ruu (0) − Ruy
R yy (1) = E[ y ( k + 1) y ( k )]